Как найти сторону равнобедренного треугольника через радиус - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Треугольником называется фигура, которая состоит их трех точек (вершины), которые не лежат на одной
прямой и трех попарно соединяющих эти точки отрезков (стороны). Треугольники бывают остроугольными,
тупоугольными, прямоугольными, равнобедренными, равносторонними, разносторонними. С данной фигурой
связано много формул, теорем, правил. Ниже приведены формулы и примеры по нахождению стороны
треугольника.

Сторона треугольника равностороннего через радиус описанной
окружности
Сторона треугольника равностороннего через радиус вписанной
окружности
Сторона треугольника равностороннего через высоту
Сторона треугольника равностороннего через площадь
треугольника
Основание равнобедренного треугольника через боковые
стороны и угол между ними
Основание равнобедренного треугольника через боковые
стороны и угол при основании
Боковая сторона равнобедренного треугольника через
основание и угол между боковыми сторонами
Боковая сторона равнобедренного треугольника через
основание и угол при основании
Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый
угол
Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и другой
известный катет
Гипотенуза прямоугольного треугольника через катет и острый
угол
Гипотенуза прямоугольного треугольника через катеты
Сторона треугольника через две известные стороны и угол
между ними
Сторона треугольника через известную сторону и два угла

Сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
необходимо ее радиус умножить на корень квадратный из трех. Таким образом, формула будет выглядеть
следующим образом:

a = R * √3

где а — сторона треугольника, R — радиус описанной окружности.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом описанной окружности 10см. Подставим в
формулу и получится: a = 10*√3 = 10 * 1,732 ≈ 17,3 см.

Сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Для нахождения стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности следует
использовать формулу радиуса r= a (√3 / 6). Отсюда можно вывести формулу следующим образом: a = r (6
/ √3) = r *(6√3 / √3√3) = r * (6√3 / 3). Формула будет следующая (удвоенный радиус умножить на
квадратный корень из трех):

a = 2r * √3

где а — сторона треугольника, R — радиус вписанной окружности.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом вписанной окружности 23см. Подставим в
формулу и получится: a = 2 * 23 * √3 = 2 * 23 * 1,732 ≈ 79,7см.

Сторона равностороннего треугольника через высоту

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через высоту следует применить теорему
Пифагора. Сторона равностороннего треугольника a² будет равна сумме квадратов высоты и половины
основания, которое также является стороной a: a² = h² + (a/2)² ⇒ a² = h² + a²/4 ⇒ a² — a²/4
=h² ⇒ (4a² — a²) / 4 = h² ⇒ 3a²/4 = h² ⇒ a² = 4*h²/3 ⇒a = √(4h²/3). Отсюда можно вывести
формулу для нахождения стороны через высоту:

a = 2h / √3

где а — сторона, h — высота равностороннего треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с высотой 45см. Подставим в формулу и получится: a = 2 *
45 / √3 = 2 * 45 / 1,732 ≈ 51,963 см.

Сторона равностороннего треугольника через площадь

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через площадь нужно применить следующую
формулу

a = √(4S / √3)

где а — сторона, S — площадь равностороннего треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с площадью 64м². Подставим в формулу и получится: a =
√(4*64 / √3)= √(4 * 64 / 1,732) ≈ 12,157 см.

Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

Равнобедренным называется треугольник, у которого есть две равные стороны, называемые ребрами, а
третья сторона основанием. Для того чтобы найти основание нужно знать или один из углов, или высоту
треугольника, приводящаяся к основанию. Его можно вычислить по данной формуле:

a = 2b * sin (α/2)

где a — длина основания треугольника, b — длина стороны треугольника; α — это угол,
который противоположен основанию.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 12°, то: a = 2⋅10⋅sin 12/2 = 2⋅10⋅0,1045 =2,09 см.

Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол при основании

Угол при основании равнобедренного треугольника равен разности 90º и половины угла при его вершине и
чем больше угол при вершине равнобедренного треугольника, тем он меньше. Может быть только острым,
то есть прямым или тупым он быть не может. Если известен угол при основании и боковые стороны, то
можно найти основание равнобедренного треугольника по следующей формуле:

a = 2b + cos β

где b — боковая сторона, β — угол при основании.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то: a = 2⋅10⋅cos 40 = 2⋅10⋅0,766 =15.32 см.

Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны,
из чего можно сделать вывод что если углы при основании треугольника одинаковы по значению, значит
он является равнобедренным. Это значит, что α = β.

Формула, выражающая боковую сторону равнобедренного треугольника через основание и угол боковыми
сторонами:

b = a / (2 * sin(α/2))

где d — основание равнобедренного треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Если сторона a = 17 см, а ∠α = 50°, то: a = 17 / 2 * sin (50/2) = 17 / 2 * sin 25 = 20.11
см.

Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол при основании

Если известно основание и угол при нем, то формула боковой стороны равнобедренного треугольника будет
выглядеть следующим образом:

b = a / 2 * cos β

где a — это основание, β — угол при основании равнобедренного треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Здесь длина боковых сторон будет равно b: AB=BC=b, длина основания a: AC=a. Для доказательства
формулы боковой стороны применяется теорема косинусов, вернее, ее следствие.

Пример. Пусть основание (a) равно 35мм, а угол β — 60º, тогда подставив в формулу получим b =
35 / 2 * 0,5=35 мм.

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол выражается данным образом: катет,
противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α, то есть формула будет выглядеть
следующим образом:

a = c * sin α

где c — гипотенуза, α — острый угол прямоугольного треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть гипотенуза с равна 77см, а острый угол 80º, тогда подставив в формулу значения получим
следующее: a = 77 * 0,98 = 75,8см.

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и другой известный катет

Если известен один катет и гипотенузу, то можно найти другой катет. Для этого необходимо
воспользоваться формулой:

a = √(c² — b²)

где c — гипотенуза, b — катет который известен прямоугольного треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а
катет b = 4 см: a = √(5² — 4)² = √(25 — 16) = √9 = 3 см

Гипотенуза прямоугольного треугольника через катет и острый угол

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему
угол можно узнать по формуле:

c = a / sin(β)

где a — катет, β — острый угол прямоугольного треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 4 см, а
противолежащий к нему ∠β =60°: c = 4 / sin(60) = 4 / 0,87 = 8,04 см.

Гипотенуза прямоугольного треугольника через катеты

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b) можно рассчитать по
формуле используя теорему Пифагора. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов: c² = a² + b² следовательно:

c = √(a² + b²)

где c — гипотенуза, a и b — катеты.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет
b = 4 см: c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см

Сторона треугольника через две известные стороны и угол между ними

По стороне и двум углам или по двум сторонам и углу можно тоже вычислить длину стороны
треугольника:

a = b² + c² — 2bc * cos α

где a, b, c — стороны произвольного треугольника, α — угол между сторонами который
известен.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Обязательно обратите внимание что при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα
принимает отрицательное значение.

Пример. Пусть сторона с равна 10 см, сторона b — 7, угол α — 60 градусов. Таким образом
получим подставив в формулу:
a = 7² + 10² — 2 * 7 * 10 * cos 60 = 8,89 см.

Сторона треугольника через известную сторону и два угла

Для нахождения стороны треугольника через известную сторону и два угла необходимо воспользоваться
теоремой синусов и формула будут следующая:

a = (b * sin α) / sin β

где b — сторона треугольника; β, α — углы треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть сторона треугольника b равна 10, угол β = 30º, угол α = 35º. Тогда получим подставив в
формулу следующие значения: Сторона (a) = (10 * sin 35) / sin 30 = 8.71723 мм.

Источник

Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1)
P=2a+b

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2)
h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2

Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8)
h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a

Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту.
S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4

Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности.
α=(180°-β)/2
β=180°-2α

Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол.
cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a
cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )

Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3)
m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4)
l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5)
M_b=b/2
M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6)
r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7)
R=a^2/√(4a^2-b^2 )

Источник

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a, b, c — стороны произвольного треугольника

α, β, γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a, b — катеты

c — гипотенуза

α, β — острые углы

Формулы для катета, (a):

Формулы для катета, (b):

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины равных сторон , (a):

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c₁, c₂ — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

L— биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α — угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α, β — углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

L — высота = биссектриса = медиана

a — одинаковые стороны треугольника

b — основание

α — равные углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

L — высота=биссектриса=медиана

a — сторона треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Формула длины через катеты, (M):

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Источник

как найти стороны треугольника если дан радиус описанной окружности

Отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны и равны диаметру описанной окружности. Отсюда любая сторона треугольника равна удвоенному радиусу описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла. Третий угол треугольника найти элементарно, зная два других, из теоремы о сумме углов треугольника.

P.S.
Блин, обязательно кто-нибудь опередит.. .
Теорему синусов в школе проходят, но о последнем равенстве в большинстве случаев почему-то умалчивается.

Есть такая теорема, которая называется теорема синусов.

Али в школе не проходили?
И теорему о сумме углов в треугольнике тоже не проходили, походу?

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Зная радиус описанной окружности, можно найти сразу не только сторону равностороннего треугольника, но и радиус вписанной в него окружности, так как они напрямую связаны друг с другом. Сторона треугольника будет равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трех, а радиус вписанной окружности – его половине. (рис.100) a=√3 R r=R/2

Чтобы вычислить периметр и площадь равностороннего треугольника через радиус описанной вокруг него окружности, необходимо подставить полученное выражение для стороны в соответствующие формулы. P=3a=3√3 R S=(√3 a^2)/4=(3√3 R^2)/4

Высоты, медианы и биссектрисы являются одними и теми же отрезками в равностороннем треугольнике, и вычислить их можно по единой формуле, где искомая величина равна корню из трех, умноженному на сторону и деленному на два. Подставив вместо стороны произведение радиуса и корня из трех, получаем, что высота равна трем радиусам, деленным на два. (рис.99) h=m=l=(√3 a)/2=(√3 √3 R)/2=3R/2

Чтобы найти среднюю линию равностороннего треугольника через радиус описанной вокруг него окружности, необходимо разделить произведение радиуса и корня из трех на два. (рис.97.3) M=(√3 R)/2

Калькулятор расчета стороны правильного многоугольника через радиусы окружностей

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета длины стороны правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

Расчет длины стороны
- Через радиус вписанной окружности
- Через радиус описанной окружности
Расчет длины стороны

Инструкция по использованию: введите радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности, укажите количество вершин правильного многоугольника (n), затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена длина стороны фигуры (a).

Источник

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

Найти все стороны треугольника.
Найти все углы треугольника.
Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
Найти радиус (r) вписанной окружности.
Найти радиус (R) описанной окружности.
Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами.
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.