Как найти сторону равнобедренной трапеции по синусу

Нахожу основание АЕ треугольника АЕВ. АЕ = (AD — ВС)/2 = (12 — 6)/2 = 6/2 = 3.

Чтобы найти гипотенузу, АВ в треугольнике АЕВ нужен не синус, а косинус. То есть отношение прилежащей стороны к гипотенузе, а не противолежащей. Смотрим на мой скрин ниже про определения. Вычисляю по формулам:

Мне нужен косинус, а не синус. Вычисляю:

sin²α + cos²α = 1.

cosα = √(1 — sin²α).

cosα = √(1 — 0,8²) = √(1 — 0,64) = √0,36 = 0,6.

Теперь вычисляю гипотенузу по косинусу угла:

3*10/6 = 5 ед.

Мой ответ: Боковая сторона равна 5-ти условным единицам.

   Углы равнобедренной трапеции. Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о решении задач с трапецией. Данная группа заданий входит в состав экзамена, задачки простые. Будем вычислять углы трапеции, основания и высоты. Решение ряда задач сводится к решению прямоугольного треугольника, как говориться: куда мы без теоремы Пифагора, синуса и косинуса?

Работать будем с равнобедренной трапецией. У неё равны боковые стороны и углы при основаниях. О трапеции есть статья на блоге, посмотрите.

Отметим небольшой и важный нюанс, который в процессе решения самих заданий подробно расписывать не будем. Посмотрите, если у нас дано два основания, то большее основание высотами, опущенными к нему, разбивается на три отрезка – один равен меньшему основанию (это противолежащие стороны прямоугольника), два других равны друг другу (это катеты равных прямоугольных треугольников):

Простой пример: дано два основания равнобедренной трапеции 25 и 65. Большее основание разбивается на отрезки следующим образом:

*И ещё! В задачах не введены буквенные обозначения. Это сделано умышленно, чтобы не перегружать решение алгебраическими изысками. Согласен, что это математически неграмотно, но цель донести суть. А обозначения вершин и прочих элементов вы всегда можете сделать сами и записать математически корректное решение.

Рассмотрим задачи:

27439. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

Для того чтобы найти угол необходимо построить высоты. На эскизе обозначим данные в условии величины. Нижнее основание равно 65, высотами оно разбивается на отрезки 7, 51 и 7:

В прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза и катет, можем найти второй катет (высоту трапеции) и далее уже вычислить синус угла.

По теореме Пифагора указанный катет равен:

Таким образом:

Ответ: 0,96

27440. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен 5/7. Найдите боковую сторону.

Построим высоты и отметим данные в условии величины, нижнее основание разбивается на отрезки 15, 43 и 15:

Ответ: 21

27441. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен (2√10)/7. Найдите меньшее основание.

Построим высоты. Для того чтобы найти меньшее основание нам необходимо найти чему равен отрезок являющийся катетом в прямоугольном треугольнике (обозначен синим):

Можем вычислить высоту  трапеции, а затем найти катет:

По теореме Пифагора вычисляем катет:

Таким образом, меньшее основание равно:

Ответ: 22

27442. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен 5/11. Найдите высоту трапеции.

Построим высоты и отметим данные в условии величины. Нижнее  основание разбивается на отрезки:

Что делать? Выражаем тангенс известного нам угла при основании в прямоугольном треугольнике:

Ответ: 10

27443. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен 13/8. Найдите большее основание.

Строим высоты и вычисляем чему равен катет:

Таким образом большее основание будет равно:

Ответ: 71

27444. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

Строим высоты и отмечаем известные величины на эскизе. Нижнее основание разбивается на отрезки 35, 17, 35:

По определению тангенса:

Ответ: 0,4

77152. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

Построим эскиз, построим высоты и отметим известные величины, большее основание разбивается на отрезки 3, 6 и 3:

Выразим гипотенузу обозначенную как х через косинус:

Из основного тригонометрического тождества найдём cosα

Таким образом:

Ответ: 5

27818. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50⁰? Ответ дайте в градусах.

Из курса геометрии нам известно, что если имеем две параллельные прямые и секущую, что сумма внутренних односторонних углов равна 180⁰_.  В нашем случае это

C условии сказано, что разность противолежащих углов равна 50⁰, то есть

Так как у равнобедренной трапеции углы  при основании равны, то есть угол А равен углу В, то можем записать

Имеем два уравнения с двумя  неизвестными, можем решить систему:

*Конечно, эту задачу можно было легко решить просто перебирая пары углов )

27833. В равнобедренной трапеции большее основание равно 25, боковая сторона равна 10, угол между ними 60⁰. Найдите меньшее основание.

Построим высоты DE и CF:

Меньшее основание равно отрезку EF, так как DC и EF это противолежащие стороны прямоугольника. Отрезок EF мы можем найти если вычислим АЕ. Выразим этот катет прямоугольного треугольника ADE через функцию косинуса:

Так как AE=FB=5, то EF=25–5–5=15. Следовательно и DC=15.

Ответ: 15

27837. Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 9, один из углов равен 45⁰. Найдите высоту трапеции.

Из точек D и C опустим две высоты:

Как уже сказано выше они разбивают большее основание на три отрезка: один равен меньшему основанию, два других равны друг другу.

В данном случае они равны 3, 9 и 3 (в сумме 15). Кроме того, отметим что высотами отсекаются прямоугольные треугольники, причём они являются равнобедренными, так как углы при основании равны по 45⁰. Отсюда следует, что высота трапеции будет равна 3.

Ответ: 3

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр.

P.S: Расскажите о сайте в социальных сетях!

ABCD — равнобедренная трапеция, AB = CD, AD — BC = 3, sinA = sinC = 0,8.

1. Из вершины В проведем высоту к AD. Высота ВН делит основание AD на отрезки, один из которых равен полуразности оснований (АН), а второй — полусумме оснований (DH).

Рассмотрим треугольник АНВ: АН и ВН — катеты, АВ — гипотенуза.

АН = (AD — BC) / 2.

Так как AD — BC = 3, то:

АН = 3/2.

2. Обозначим сторону АВ как х. По теореме Пифагора из треугольника АНВ найдем ВН:

ВН = √ (AB^2 — AH^2);

ВН = √ (х^2 — (3/2) ^2);

ВН = √ (х^2 — 9/4);

ВН = √ ((4 х^2 — 9) / 4);

ВН = (√ (4 х^2 — 9)) / 2.

3. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sinA = BH/AB.

Подставим значения:

((√ (4 х^2 — 9)) / 2) / х = 8/10;

(√ (4 х^2 — 9)) / 2 х = 4/5;

√ (4 х^2 — 9) = 8 х/5 (по пропорции);

(√ (4 х^2 — 9)) ^2 = (8 х/5) ^2;

4 х^2 — 9 = 64 х^2 / 25;

25 (4 х^2 — 9) = 64 х^2 (по пропорции);

100 х^2 — 225 = 64 х^2;

100 х^2 — 64 х^2 = 225;

36 х^2 = 225;

х^2 = 225/36 (по пропорции);

х = √ (225/36);

х = 15/6 = 5/2 = 2,5.

Таким образом, АВ = х = 2,5.

Тогда: АВ = CD = 2,5.

Ответ: АВ = CD = 2,5.

Категория: Задачи по планиметрии