Как найти сторону равностороннего треугольника через угол

Равносторонний треугольник – первый из ряда правильных многоугольников, отличается от остальных треугольников тем, что у него все углы и стороны равны, как видно из названия. Здесь, как и в равнобедренном треугольнике, можно найти сторону, зная высоту, из теоремы Пифагора в получившихся прямоугольных треугольниках. Сторона равностороннего треугольника a в квадрате, как гипотенуза, будет равна сумме квадратов высоты и половины основания, которое также является стороной a:

Информация по назначению калькулятора

Треугольник — это одна из основных геометрических фигур: многоугольник с тремя углами (или вершинами) и тремя сторонами (или ребрами), которые являются прямыми отрезками.

В евклидовой геометрии любые три неколлинеарные точки определяют треугольник и единственную плоскость, то есть двумерное декартово пространство.

Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это и есть неравенство треугольника.

Треугольники могут быть классифицированы в соответствии с относительной длиной их сторон:

⇒ В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник также является равноугольным многоугольником, т.е. все его внутренние углы равны, а именно 60° — это правильный многоугольник.

⇒ В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину. Равнобедренный треугольник также имеет два совпадающих угла (а именно, углы, противоположные совпадающим сторонам). Равносторонний треугольник — это равнобедренный треугольник, но не все равнобедренные треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ В скалярном треугольнике все стороны имеют разную длину. Внутренние углы в скалярном треугольнике все разные.

Треугольники также могут быть классифицированы в соответствии с их внутренними углами:

⇒ Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой; это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Две другие стороны — катеты треугольника.

⇒ Тупой треугольник имеет один внутренний угол, больший 90° (тупой угол).

⇒ Острый треугольник имеет внутренние углы, которые все меньше 90° (три острых угла). Равносторонний треугольник — это острый треугольник, но не все острые треугольники являются равносторонними треугольниками.

⇒ Наклонный треугольник имеет только углы, которые меньше или больше 90°. Следовательно, это любой треугольник, который не является прямоугольным треугольником.

Онлайн калькулятор поможет найти параметры треугольника, такие как:

• Длины сторон

— равны в равностороннем треугольнике

• Углы

— также равны в равностороннем треугольнике

• Высота

— это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней)

• Периметр

— равен сумме всех 3х сторон (P=AB+BC+AC)

• Площадь

— равна половине произведения высоты и стороны к которой построена высота (S=1/2 * H * AC)

• Медианы
• Биссектрисы
• Радиус Вписанной и Описанной окружностей
• Диаметр Вписанной и Описанной окружностей
• Длина Вписанной и Описанной окружностей
• Площадь Вписанной и Описанной окружностей

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Стороны равностороннего треугольника

Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним. Периметр такого треугольника равен стороне (а) умноженной на 3 (количество сторон): : P = 3a.
Кроме сторон, у такого треугольника одинаковы и все углы, по 60 градусов каждый, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его противоположную сторону, является его высотой. Она делит треугольник на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенузой будет сторона равностороннего треугольника (а), одним из катетов — высота (h), а другим катетом — половина его основания или (а/2), т.к в треугольнике все стороны равны.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (в нашем случае она является и стороной равностороннего треугольника) равен сумме квадрата высоты h и квадрата половины основания (половины стороны а):

a 2 = h 2 + a 2 /2 2 ,

где а — сторона, h — высота равностороннего треугольника.
После проведенных преобразований, выводим формулу для расчета стороны равностороннего треугольника по его высоте:

Т.е. сторона равностороннего треугольника (а) равна удвоенной высоте (2h) на корень квадратный из трех.

Сторона правильного треугольника

Сторона правильного треугольника — это одна из сторон
треугольника, у которого все стороны и углы равны.

У правильного треугольника имеется три стороны, и три угла.

Признаки стороны правильного треугольника

Сторона является правильной в треугольнике, если:

1. Каждый из углов треугольника равен 60 градусам.
2. Все стороны треугольника равны.
3. Все углы треугольника равны.

Кроме этих трех признаков, определить является ли сторона
правильной можно с помощью формул, характерных только
для сторон правильного треугольника.

Формулы стороны правильного треугольника

Длину правильной стороны в равностороннем, равноугольном,
правильном треугольнике можно выразить через формулы.

Сторона правильного треугольника через высоту:

Сторона правильного треугольника через периметр:

Сторона правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

Сторона правильного треугольника через радиус описанной окружности:

Сторона правильного треугольника через площадь:

С помощью вышеперечисленных формул можно найти сторону в
равностороннем, равноугольном, правильном треугольниках.

Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это самый простой правильный многоугольник из возможных. При нахождении его площади возникают частные варианты его расчета. Важно знать и понимать признаки и свойства этого вида фигур, для более легкого вычисления этого параметра. Все методы, представленные ниже, достаточно просты в применении, и не потребуют глубокого осмысления….

Признаки и свойства фигуры

Для того чтобы рассчитать его площадь необходимо понимать свойства и признаки, которыми он обладает. Можно выделить следующие основные признаки этой фигуры:

• Значение величины его углов одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам, вне зависимости от размера сторон.
• Биссектриса, высота и медиана выпущенные из одного угла будут совпадать.
• Любая сторона равностороннего треугольника равна двум другим.
• Центр правильного треугольника будет являться центром для вписанной и описанной окружности.
• Является частным случаем равнобедренного треугольника.

Важно! Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним. Равносторонний треугольник

Дополнительно этот частный случай фигуры обладает следующими свойствами:

Расчет через сторону

Существует множество способов расчета площади этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самая популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом: , где, a и b – стороны, α – угол между ними.

В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все углы этой фигуры равны, и равняются 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса, равняется , преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: .

Учитывая то, что все стороны этой фигуры равны, то преобразованное выражение даст такой результат: .

Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны этой фигуры. В таком виде вычислять данный показатель гораздо легче и быстрее.

Те, кто помнит формула Герона, знают, как найти площадь этой фигуры. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь этой фигуры по Герону рассчитывается так: , где, a, b, c —стороны, а p — полупериметр ( ). Преобразовывается данное выражение достаточно просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон можно представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:

,

,

,

.

Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.

Вычисление площади треугольника по его стороне

Расчет по высоте

Найти площадь равностороннего треугольника можно также, если известна его высота и сторона. Половина длины высоты умножается на сторону, выбрана может быть любая высота и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые: , где a – это длина стороны. Ее легко запомнить, однако, на практике она применяется достаточно редко.

Если в задаче указана информация о том, что треугольник является равносторонним и известна величина высоты. А чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее рассчитать. Найти сторону можно разделив двойную величину высоты на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: . После этого применяется формула площади, где расчеты производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.

Для того чтобы не делать лишних расчетов можно вывести формулу этого показателя сразу же через высоту. Квадрат высоты делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: . В этом случае можно не применять формулу равнобедренного треугольника через сторону.

Вычисление площади треугольника по его стороне и высоте

Расчет через окружности

В математике популярен также прием расчета, рассматриваемого в статье, значения через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окружность называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.

Описанная окружность обязательно должна проходить через все вершины, вписанная должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.

Чертеж равностороннего треугольника, описанного или вписанного в окружность

Если в условии задачи дан радиус вписанной и описанной окружности, то из них также можно составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину высоты. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .

Преобразовав формулу , применив расчет высоты h = R + r, можно получить следующее значение: . Данную формула можно упростить еще больше, ведь радиус описанной окружности можно выразить через радиус вписанной. Согласно свойствам этих окружностей R = 2r, где r — это радиус вписанной окружности, R — это радиус описанной. Соответственно площадь правильного треугольника будет высчитываться так: .

Если же будет дан размер радиуса описанной окружности, то выражение будет выглядеть следующим образом: .

Использование этих свойств пригодится для расчета стороны фигуры. Для того чтобы ее найти можно воспользоваться выражением для описанной окружности, и для вписанной.

Учитывая радиус описанной окружности можно найти искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на радиус, увеличенный в 4 раза. Математически его можно записать следующим образом: .

Процесс расчета, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета, а также свойства и признаки этой фигуры.

Внимание! Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность

Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.