Как найти сторону сечения тетраэдра - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Тетраэдр. Виды тетраэдров

Тетраэдр (четырёхгранник) — многогранник, гранями которого являются четыре треугольника (от греческого tetra — четыре и hedra — грань).

Рис. 1

У тетраэдра (4) грани, (4) вершины и (6) рёбер (Рис. 1).

Один из треугольников называется основанием тетраэдра, а три остальные — боковыми гранями тетраэдра.

В зависимости от видов треугольников и их расположения выделяют разные виды тетраэдров.

В школьном курсе чаще говорят о следующих видах тетраэдра:

— равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники;

— правильная треугольная пирамида — основание — равносторонний треугольник, все боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники (Рис. 3);

— правильный тетраэдр, у которого все четыре грани — равносторонние треугольники (Рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3

Свойство правильного тетраэдра:

из определения правильного многогранника следует, что все рёбра тетраэдра имеют равную длину, а грани — равную площадь.

Параллелепипед. Виды параллелепипедов

Параллелепипедом называется многогранник, у которого (6) граней — параллелограммы.

Рис. 4

У параллелепипеда, как отмечено, (6) граней, (8) вершин и (12) рёбер (Рис. 4).

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер — противоположными.

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда.

Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми рёбрами.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда (Рис. 5).

Рис. 5

В зависимости от видов параллелограммов и их расположения выделяют разные виды параллелепипедов:

параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.

У прямых параллелепипедов боковые грани — прямоугольники (Рис. 5),

у наклонных — параллелограммы (Рис. 4).

Прямой параллелепипед, у которого основанием тоже является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

Рис. 6

Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

У прямоугольного параллелепипеда — три линейных размера:

DD1

(Рис. 6).

Свойства параллелепипеда:
— противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

— Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

— Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.

Построение сечения тетраэдра и параллелепипеда

Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Так как у тетраэдра (4) грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник (Рис. 7) или

четырёхугольник (Рис. 8).

Рис. 7 Рис. 8

У параллелепипеда (6) граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник (Рис. 9), четырёхугольник ( Рис. 10), пятиугольник (Рис. 11) или шестиугольник (Рис. 12).

При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:

1. если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая находится в этой плоскости.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.

3. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

Пример:

Задача

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки (K), (M) и (N).

1. Проводим (MK), так как обе точки находятся в одной плоскости;

MK∩CC1=X

— непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются;

3. проводим (XN), так как обе точки находятся в одной плоскости;

5. проводим (MP), так как обе точки находятся в одной плоскости;

6. через точку (N) в плоскости основания

NL∥MP

, так как линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью должны быть параллельны;

7. соединяем (N) и (L) и получаем сечение (MPNLK).

Источник

Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра

План урока

Тетраэдр;
Построение сечений тетраэдра.

Цели урока

Знать, что такое тетраэдр и как называются его элементы;
Знать, что понимают под сечением тетраэдра;
Уметь строить сечения тетраэдров.

Разминка

Какая фигура на плоскости называется многоугольником?
Что представляет собой множество всех общих точек двух различных непараллельных плоскостей?
Две параллельные плоскости пересечены третьей (секущей) плоскостью. Что можно сказать о взаимном расположении прямых по которым секущая плоскость пересекает данные параллельные плоскости?
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость трапеции?
Прямая a пересекает плоскость α. Лежит ли в плоскости α хоть одна прямая, параллельная прямой α?

Рис. 1. Тетраэдр

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку S, не лежащую в плоскости этого треугольника (рис. 1). Соединим точку S отрезками с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники SAB, SBC, SCA. Пространственная фигура, состоящая из треугольников ABC, SAB, SBC, SCA называется тетраэдром и обозначается SABC.

Тетраэдр является разновидностью многогранников, которым будет посвящена одна из глав курса стереометрии.

Определение 1

Тетраэдр
– это многогранник, состоящий из треугольника, точки не лежащий в плоскости этого треугольника и трёх отрезков соединяющих данную точку с вершинами данного треугольника.

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются
гранями
тетраэдра.

Стороны этих треугольников называются
рёбрами
тетраэдра.

Вершины этих треугольников называются
вершинами
тетраэдра.

Определение 2

Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется
правильным
.

Таким образом, тетраэдр SABC (как и любой другой тетраэдр) имеет четыре грани (ABC, SAB, SBC, SCA), шесть рёбер (AB, BC, AC, SA, SB, SC) и четыре вершины (S, A, B, C). Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называют противоположными. На рисунке 1 парами противоположных рёбер являются SA и BC, SB и AC, SC и AB. Одну из граней можно рассматривать как основание тетраэдра. В этом случае остальные грани называют боковыми.

Упражнение 1

Изобразите треугольник MNK и точку E, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соедините отрезками точку E с вершинами треугольника MNK.

а) Запишите обозначение тетраэдра, изображённого на полученном рисунке, а также все грани, рёбра и вершины этого тетраэдра.

б) Запишите пары противоположных рёбер этого тетраэдра.

Построение сечений тетраэдра

При решении многих стереометрических задач, связанных с тетраэдром, важно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Разберём что называют сечением тетраэдра.

Определение 3

Секущая плоскость тетраэдра
– это плоскость по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра.

Секущая плоскость тетраэдра пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки представляет собой сечение тетраэдра.

Определение 4

Сечение тетраэдра
—многоугольник, образованный пересечением плоскости с данным тетраэдром.

Тетраэдр имеет четыре грани, значит сечение тетраэдра не может иметь более четырёх сторон. Следовательно, сечением тетраэдра могут быть только треугольники и четырёхугольники.

Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра.

Рис. 2. К примеру 1

Пример 1

На рёбрах SA, SB, SC тетраэдра SABC отмечены точки соответственно M, N и K.

Построить сечение тетраэдра плоскостью MNK

Рис. 3. Решение

Решение

На рисунке 2 изображён исходный тетраэдр.

При построении сечений первым делом соединяем точки, лежащие на одних плоскостях (гранях). В данном случае точки M и N лежат в плоскости ABS, поэтому их соединяем. Аналогично N и K, M и K. Тогда плоскость MNK пересекает грани тетраэдра по отрезкам MN, NK и MK. В совокупности плоскость представляет собой треугольник MNK, который и является сечением данного тетраэдра.

Пример 2

На рёбрах AB, SA, SC тетраэдра SABC отмечены точки соответственно M, N и K. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Рис. 4. К примеру 2

Решение

Построим прямую, по которой плоскость MNK пересекает плоскость грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Чтобы построить ещё одну общую точку, продолжим отрезки KN и AC до их пересечения в точке E (рис. 4, б), которая и является второй общей точкой плоскостей MNK и ABC. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро BC в некоторой точке Q. Четырёхугольник MNKQ – искомое сечение.

Если точки N и K расположены таким образом, что прямые NK и AC параллельны, то прямая NK параллельна грани ABC и, следовательно, плоскость MNK пересекает грань ABC по некоторой прямой MF, параллельной NK. Вторая общая точка плоскостей ABC и MNK (точка Q) находится на пересечении MF и BC (рис. 4, в).

Пример 3

Точка M лежит на боковой грани ABS тетраэдра SABC (рис. 5, а).

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно основанию ABC.

Рис. 5. К примеру 3

Решение

Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC, то она параллельна прямым AB, BC и CA. Значит, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Проведём через точку M прямую, параллельную отрезку AB и обозначим буквами X и Y точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами SA и SB (рис. 5. б). Теперь через точку X проведём прямую, параллельную отрезку AC. Обозначим точку пересечения этой прямой с ребром SC буквой Z. Проведем отрезок YZ.

Треугольник XYZ является искомым сечением.

Упражнение 2

1. Может ли сечением тетраэдра быть:

а) треугольник;

б) четырёхугольник;

в) пятиугольник.

2. В тетраэдре SABC точки M, N, K – середины рёбер SA, SB, SC соответственно. Найдите площадь сечения тетраэдра SABC плоскостью MNK, если площадь треугольника ABC равна 80 см².

3. Изобразите тетраэдр SABC и отметьте точку M на ребре AB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым AC и SB.

Контрольные вопросы

Какая геометрическая фигура называется тетраэдром?
Что представляет собой сечение тетраэдра?
Какие геометрические фигуры могут являться сечением тетраэдра?

Ответы

Упражнение 1

1.(рис. 6)

а) EMNK; грани – EMK, EKN, EMN, MNK; ребра – MK, KN, MN, EM, EK, EN; вершины – E, M, N, K.

б) MK и EN, MN и EK, KN и EM.

Рис. 6. К упражнению 1

Упражнение 2

1.а) да; б) да; в) нет

2. 20 см²

3. Через точку M проведём прямую a, параллельную AC;

обозначим точку пересечения прямых a и BC буквой X;

через точку M проведём прямую b, параллельную SB;

обозначим точку пересечения прямых b и SA буквой Y;

через точку Y проведём прямую c, параллельную AC;

обозначим точку пересечения прямых c и SC буквой Z;

Четырёхугольник MYZX – искомое сечение.

Рис. 7. К упражнению 2

Источник

Тема:

« Тетраэдр

и его сечение ».

Урок №2 10 класс стереометрия

10 класс

Актуализация опорных знаний

Вопросы:

1) Что такое многогранник? Какие многогранники вы знаете?

МНОГОГРАННИК – это поверхность геометрического тела, составленная из многоугольников.

Мы познакомимся с двумя из них – ТЕТРАЭДРОМ и ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ.

Актуализация опорных знаний

2) Дайте определение тетраэдра.

Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС , ADC, ADB и BDC , называется тетраэдром и обозначается: DABC .

Актуализация опорных знаний

3) Назовите элементы тетраэдра

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями.

ABC, ADC, ADB и BDC – грани тетраэдра DABC.

Стороны треугольников называются ребрами тетраэдра , а вершины треугольника – вершинами тетраэдра.

AB,AC,AD,DC,DB и BC – ребра,

A,B,C, и D – вершины тетраэдра.

Задача по готовому чертежу

Укажите все грани, ребра, вершины, противоположные ребра, скрещивающиеся ребра тетраэдра.

1) Определение секущей плоскости тетраэдра

Секущей плоскостью тетраэдра называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки тетраэдра.

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам .

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра .

2) Сечение тетраэдра

Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники .

3) Правила построения сечений ТЕТРАЭДРА

а)Проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

б) Ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:

— ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

— параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

Построение:

1. KM

2. NM

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

Построение:

3. NM ∩ АС = F

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

Построение:

4. KF ∩ АС = L

5. KL

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K

Построение:

1. KM

2. NM

3. NM ∩ АС = F

4. KF ∩ АС = L

5. KL

6. LN

7. KLNM – искомое сечение

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

Найдите периметр сечения, если

M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра

равно а.

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

Найдите периметр сечения, если M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а .

Индивидуальное задание

Построить сечение тетраэдра по данным точкам

Источник

Тетраэдр.

Тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

Медиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).

Бимедиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).

Высота тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).

Свойства тетраэдра.

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Типы тетраэдров.

Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Правильный тетраэдр — это один из 5-ти правильных многогранников.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

— Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

— Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

— Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

— Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

есть сфера, которая касается каждого ребра,
суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.

— Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

— Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Формулы для определения элементов тетраэдра.

Высота тетраэдра:

где h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

где V — объем тетраэдра, a — ребро тетраэдра.

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Где S — Площадь поверхности правильного тетраэдра;

h — высота, опущенная на основание;

r — радиус вписанной в тетраэдр окружности;

Тетраэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Тетра» означает четыре, «хедра» — означает грань (тетраэдр – четырехгранник).

Поэтому на вопрос — «что такое тетраэдр?», можно дать следующее определение: » Тетраэдр это геометрическое тело из четырех граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .

Тетраэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный треугольник;
Число сторон у грани – 3;
Общее число граней – 4;
Число рёбер, примыкающих к вершине – 3;
Общее число вершин – 4;
Общее число рёбер – 6;

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Является ли тетраэдр пирамидой? Да, тетраэдр это треугольная пирамида у которой все стороны равны.

Может ли пирамида быть тетраэдром? Только если это пирамида с треугольным основанием и каждая из её сторон равносторонний треугольник.

Отметим, что очень редко, но встречаются геометрические тела, составленные не из правильных треугольников, и их тоже называют тетраэдры, так как они имеют четыре грани.

Математические характеристики тетраэдра

Тетраэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы тетраэдра определяется по формуле:

, где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь тетраэдра.

Радиус вписанной сферы тетраэдра определяется по формуле:

Площадь поверхности тетраэдра

Для наглядности, площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон тетраэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 4. Либо воспользоваться формулой:

Объем тетраэдра определяется по следующей формуле:

Высота тетраэдра определяется по следующей формуле:

Расстояние до центра основания тетраэдра определяется по формуле:

Вариант развертки

Тетраэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал тетраэдр с «земным» элементом огонь, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали красный цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Видео. Тетраэдр из набора «Волшебные грани»

Вы можете изготовить модель тетраэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».

Сборка многогранника из набора:

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал PRO)

вращение готового многогранника:

Видео. Вращение всех правильных многогранников

Тетраэдр и его сечения. 10-й класс

Класс: 10

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (377 кБ)

Цели урока:

Ввести понятие тетраэдра и его составляющих,
Научить изображать тетраэдр,
Сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий,
Ввести определение сечения и правила построения сечений
Развивать пространственное мышление , умение работать с компьютером
Воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету
Обосновывать и опровергать выдвигаемые предложения.

Ход урока

Актуализация знаний

Здравствуйте ребята. (показываю тетраэдр) Сегодня я познакомлю вас с геометрической фигурой, которая называется тетраэдр.

СЛАЙД №1. Тетраэдр – означает четырехгранник,( τετραεδρον) «tetra»- по -гречески четыре, а «hedra» -грань.

СЛАЙД №2. Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС получим треугольники DАВ, DВС, DСА. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DАВ, DВС, DСА, называется тетраэдром и обозначается DАВС.

Слайд №3. Тетраэдр изображается обычно в виде выпуклого и невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра

Начертите по образцу тетраэдр в тетради, обозначьте их, оба способа.

Слайд №4,5. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями,

стороны граней — ребрами, вершины граней — вершинами тетраэдра.

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Назовите , пожалуйста, противоположные ребра тетраэдра DАВС.

ВЫПОЛНИМ ЗАДАНИЕ №66 УЧЕБНИК страница 29

Слайд №6. Правильный тетраэдр – правильный четырехгранник, то есть тетраэдр с равными ребрами, представляет собой правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и из каждой вершины которого выходит ровно три ребра.

Прежде чем приступить к следующему новому для вас определению вспомним и применим знания аксиом стереометрии для решения следующего теста .

1. Если две плоскости имеют общую точку, то

А) они называются пересекающимися,
Б) они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку,
В) они параллельны

2. Через прямую и не лежащую на ней точку

А) проходит плоскость и при том только одна
Б) проходит бесконечно много плоскостей
В) нельзя провести плоскость

3. Две прямые называются скрещивающимися, если

А) они лежат в одной плоскости и не пересекаются
Б) они не пересекаются
В) они не пересекаются и не параллельны

4. Если прямая пересекает две параллельные прямые, то

А) она пересекает плоскость, образованную этими параллельными прямыми
Б) она параллельна плоскости, образованными этими прямыми
В) она лежит в плоскости, определенными этими параллельными прямыми

5. Если две прямые параллельны третьей, то

А) они лежат в одной плоскости
Б) они параллельны
В) они скрещивающиеся.

Слайд №9. сверяем ответы. 1А, 2А, 3В, 4В, 5Б. (обосновываем, опровергаем ).

Изучение нового материала

СЕКУЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ ТЕТРАЭДРА НАЗЫВАЕТСЯ ЛЮБАЯ ПЛОСКОСТЬ , ПО ОБЕ СТОРОНЫ ОТ КОТОРОЙ ИМЕЮТСЯ ТОЧКИ ДАННОГО ТЕТРАЭДРА.

СЕКУЩАЯ ПЛОСКОСТЬ ПЕРЕСЕКАЕТ ГРАНИ ТЕТРАЭДРА ПО ОТРЕЗКАМ. МНОГОУГОЛЬНИК, СТОРОНАМИ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ ЭТИ ОТРЕЗКИ, НАЗЫВАЕТСЯ СЕЧЕНИЕМ ТЕТРАЭДРА.

Слайд № 11. Правила построения сечений ТЕТРАЭДРА:

проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;
ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого
а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);
б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

И так сечение, что же это такое?

Усвоение нового понятия

Закрепление

Слайды №15 задание на построение сечений.

Слайд №16. взаимопроверка .

Домашнее задание № 67, №71. § 12, § 14 (1 абзац).

Итоги урока:

Чем занимались на уроке?
С чем познакомились?
Как построить сечение тетраэдра?
Что понравилось? Что не понравилось?

источники:

http://mnogogranniki.ru/tetraedr.html

http://urok.1sept.ru/articles/619077

Источник

Учимся строить сечения

Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью.
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка — другой грани.

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.

2. Если многоугольник можно замкнуть — сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.

3. Далее повторяем с пункта 1.
Рассмотрим такую задачу.
Построить сечение тетраэдра плоскостью (EFG), причем точки E и G — видимые.

1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось «замкнуть» сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка — невидимы, проводим их пунктиром.

В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем «свойства» правильно построенного сечения:

1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения

Попробуйте самостоятельно построить сечение плоскостью (EFG), но теперь точки E и G — невидимые.