Как найти сторону шестиугольника в правильной призме - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Правильная шестиугольная призма

На сайте уже были рассмотрены некоторые типы задач по стереометрии, которые входят в единый банк заданий экзамена по математике. Например, задания про составные многогранники .

Призма называется правильной если её боковые перпендикулярны основаниям и в основаниях лежит правильный многоугольник. То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

В этой статье для вас задачи на решение призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник . Особенностей и сложностей в решении нет никаких. В чём суть? Дана правильная шестиугольная призма, требуется вычислить расстояние между двумя вершинами или найти заданный угол. Задачи на самом деле простые, в итоге решение сводится к нахождению элемента в прямоугольном треугольнике.

Используется теорема Пифагора и теорема косинусов . Необходимо знание определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Обязательно посмотрите информацию о правильном шестиугольнике в этой статье (пункт 6) . Ещё вам пригодится навык извлечения квадратного корня их большого числа. Можете посмотреть статью на решение многогранников, там тоже вычисляли расстояние между вершинами и углы.

Кратко: что представляет собой правильный шестиугольник?

Известно, что в правильном шестиугольнике стороны равны. Кроме этого, углы между сторонами тоже равны .

*Противолежащие стороны параллельны.

Радиус окружности описанной около правильного шестиугольника равен его стороне. *Это подтверждается очень просто: если мы соединим противоположные вершины шестиугольника, то получим шесть равных равносторонних треугольников. Почему равносторонних?

У каждого треугольника угол при его вершине лежащей в центре равен 60 0 (360:6=60). Так как у треугольника две стороны имеющие общую вершину в центре равны (это радиусы описанной окружности), то каждый угол при основании такого равнобедренного треугольника так же равен 60 градусам.

То есть правильный шестиугольник, образно говоря, состоит как бы из шести равных равносторонних треугольников.

Какой полезный для решения задач факт ещё следует отметить? Угол при вершине шестиугольника (угол между его соседними сторонами) равен 120 градусам.

*Умышленно не коснулись формул правильного N-угольника. Данные формулы мы подробно рассмотрим в будущем, здесь они просто не нужны.

272533. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 48. Найдите расстояние между точками A и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA ₁ E ₁ . По теореме Пифагора:

*Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Отрезок АЕ ₁ является гипотенузой, АА ₁ и А ₁ Е ₁ катеты. Ребро АА ₁ нам известно. Катет А ₁ Е ₁ мы можем найти используя используя теорему косинусов.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

По теореме Пифагора:

*Обратите внимание, что 48 возводить в квадрат совсем не обязательно.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 35. Найдите расстояние между точками B и E.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

Сказано, что все рёбра равны 35, то есть сторона шестиугольника лежащего в основании равна 35. А так же, как уже сказано, радиус описанной около него окружности равен этому же числу.

273353. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны сорока корням из пяти. Найдите расстояние между точками B и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BB ₁ E ₁ . По теореме Пифагора:

Отрезок B ₁ E ₁ равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а её радиус равен стороне шестиугольника, то есть

273683. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 45. Найдите тангенс угла AD₁D.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD₁, в котором AD равно диаметру окружности, описанной вокруг основания. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника равен его стороне.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 23. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

В нём углы между сторонами равны 120°. Значит,

Сама длина ребра не имеет значения, на величину угла она не влияет.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 10. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AC₁C:

Найдём AC . В правильном шестиугольнике углы между его сторонами равны 120 градусам, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС :

Значит, угол AC ₁ C равен 60 градусам.

274453. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 10. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник AС ₁ С, он прямоугольный. Вычислим тангенс указанного в условии угла и определим угол. Известно, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

Катет С₁С = 10. Отрезок АС вычислим по теореме косинусов (это мы уже делали в первой задаче, запишем ещё раз):

В правильном шестиугольнике углы при вершинах равны 120 градусам, то есть

245364. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками А и Е₁.

245365. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками В и Е.

245366. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁все ребра равны корню из пяти. Найдите расстояние между точками В и Е₁.

245367. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD₁D.

245368. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.

245369. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

На этом всё! Успеха Вам!

В состав ЕГЭ включены и другие задачи по стереометрии, и они довольно разнообразны. Обязательно будем их рассматривать, не пропустите! Успехов вам!

Правильная шестиугольная призма — свойства, признаки и формулы

Одним из фундаментальных объектов в геометрии является многоугольник. Если рассматривать фигуру в трёхмерном пространстве, то с помощью двух таких геометрических тел с шестью углами можно построит правильную шестиугольную призму. При этом боковые грани обязательно будут прямоугольниками. По своему виду такая фигура напоминает пчелиные соты, поэтому она и интересна для изучения архитекторам и математикам.

Общие сведения

Призма представляет собой многогранную объёмную фигуру. Две стороны её всегда конгруэнтные (равные) и расположены относительно друг друга в параллельных плоскостях. Остальные же грани являются параллелограммами и формируют общие боковые основания с параллельными поверхностями. Четырёхугольники состоят из попарно равноудалённых прямых. Называют их боковыми гранями призмы. Оставшиеся же 2 многоугольника — основанием. По сути, фигура — это частный случай некругового цилиндра.

Кроме основания и граней, в состав стереофигуры входит:

высота — прямая, перпендикулярная плоскостям, лежащим у основания многогранника;
боковые рёбра — стороны, являющиеся общими для боковых граней;
вершины — точки, принадлежащие сразу двум отрезкам и формирующим периметр геометрического тела;
диагонали — отрезки, проходящие через 2 вершины, но при этом несвойственные одной грани;
диагональные плоскости — пересекающие боковые рёбра и диагональ у основания.

Кроме этого, используются такие понятия, как диагональное и ортогональное сечение. Первое представляет собой параллелограмм, полученный при пересечении призмы и диагональной плоскости. Второе же — пересечение многогранника с плоскостью, перпендикулярной боковому ребру.

В зависимости от расположения стенок и вида основания, призмы разделяют на 3 типа. Прямой называют ту, где все грани — прямоугольники. Если у фигуры в основании находится правильный многоугольник, стереофигура считается правильной. Частным случаем её является полуправильная призма. В ней боковые грани образуют квадраты. Когда же у многогранника основания непараллельные, призму называют усечённой.

Полуправильный многогранник, имеющий 2 параллельных основания в виде правильных n-угольников, равных между собой, чьи грани представляют собой ломаную линию, называют антипризмой. В качестве примера такой фигуры можно привести октаэдр, икосаэдр и восьмиугольный октагон.

Свойства шестигранника

Правильную шестиугольную призму принято обозначать большими латинскими буквами: ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Длину основания подписывают маленьким символом a, а длину боковой стороны h. К характеристикам фигуры относят площади основания, боковые грани, полную поверхность, объём многогранника. Всего у геометрического тела 8 граней, 18 рёбер и 12 вершин.

Для успешного вычисления различных параметров фигуры понадобится знать следующие формулы:

Если рассмотреть правильный шестиугольник, лежащий в основе призмы ABCDEF, и провести отрезки AB, CD, EF, у них будет общая точка пересечения. Для удобства обозначить её можно буквой O. Так как, в соответствии со свойствами, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA будут правильными, можно составить равенство: AO = OD = EO = OB = CO = OF = a .

Через точку М можно провести прямую AC и CF. Образованный ранее треугольник AEO будет равнобедренным. В нём отрезок AO равняется по величине OE. Значит, угол EOA будет развёрнутым и равняться 120 градусам. Используя свойства равнобедренного треугольника, можно записать: AE = a * √2 * (1 — cos EOA). То есть: AE = AC = √3 * a.

По аналогии можно найти и стороны: EA1, FB1, AC1, BD1, CE1, DF1. Так как AA1 = h, а из свойств правильной призмы следует, что угол EAA1 — прямой, длины сторон будут равны между собой, и их можно найти, используя формулу: √(AA1 2 + AE 2 )= √(h 2 + 3 * a) = 2 * a. Грань EB1 = FC1 = AD1 = BE1 = CF1 = DA1 = √(BB1 2 + BE 2 ) = √(h 2 + 4 *a) = √5 *a. Сторона FE1 = √(FE 2 + EE 2 ) = √(h 2 + a 2 ) = √2 *a.

Длины диагоналей призмы равняются сумме квадратов высоты и длины основания под корнем. Это легко доказать, если принять, что ЕЕ1 = h, а FE = a. Треугольник FEE1 прямоугольный, значит, FE = √(h 2 + a 2 ), что и следовало доказать.

Решение простого примера

Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.

Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.

Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.

Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.

С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.

Теперь можно найти СH. Сделать это возможно через косинус угла C: cos 30 = CH / CD. Отсюда: CH = 4 * p/2 = 2 √ 3. Так как CH = HE, сторона CE = 2 * 2 √3. К треугольнику CC1E можно применить теорему Пифагора: C1E 2 = C1C 2 + CE = 2 2 + (4 c3) 2 . C1E 2 = √ 52. Таким образом, искомый ответ можно записать так: C1E = 2√13.

Задача высокого уровня

Решение примеров повышенного уровня сложности предполагает не только хорошее понимание изучаемого материала, но и знание предыдущих тем. Понадобится вспомнить формулы для нахождения площадей и объёмов плоских фигур и их свойства. Вот пример одной из таких задач.

Пусть имеется шестиугольная объёмная фигура, у которой баковая грань равняется 6, а площадь основания 12. Нужно найти объём геометрического тела с вершинами в точках A, B1, C1, D1, E1, F1.

В таких задачах перед тем как непосредственно приступить к вычислениям, желательно использовать вспомогательный рисунок. На нём нужно изобразить фигуру в трёхмерной системе координат и подписать все её вершины.

Согласно условию, площадь основания Sabcde1f1 = 12, отрезок AA1 = 6. Так как фигура правильная, то все ребра у призмы буду равны. Чтобы найти, сколько будет составлять объём, понадобится обозначить многогранник. Для этого следует построить отрезки F1B, F1A, B1, E1A, D1A, C1A. Получившаяся фигура представляет собой пирамиду.

Формула для нахождения объёма пирамиды записывается так: V = h * S / 3. Её можно привести к виду: V = (AA1 * Sb1c1d1e1f1) / 3. Теперь нужно определить, чему же будет равняться площадь шестиугольника. Так как в основании призмы лежит правильная фигура с шестью углами, радиус описанной окружности будет совпадать с боковой стороной.

Таким образом, искомая площадь будет равняться шести поверхностям правильного треугольника. В свою очередь, его занимаемый размер можно определить как Sтр = (a * b) * sin / 2. Значит, площадь основания призмы равна: S = (6 * R * R * sin 60) / 2. Подставив заданное условием значение из формулы, можно выразить радиус: R 2 = (12 * 2) / 3 √ 3 = 8 /√3.

Площадь треугольника A1B1F1 находится как произведение сторон, умноженное на синус угла и разделённое на 2: S = (a * a * sin120) / 2 = a 2 * sin60 / 2 = (R 2 * √ 3/3) / 2. Подставив значение R, можно получить: S = (½) * (8 / √ 3) * (√3 / 2) = 2. Тогда площадь пятиугольника будет равняться разнице поверхностей шестиугольника и треугольника A1B1F1, то есть S = 12 — 2 = 10. Теперь можно будет подсчитать и объём пирамиды: Vab1c1d1e1f1 = (1 / 3) * 6 * 10 = 20. Задача решена.

Шестиугольная призма — это многогранник, две грани которого являются равными шестиугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими треугольниками.

Правильная шестиугольная призма — это шестиугольная призма у которой основания правильные шестиугольники (все стороны которых равны, углы между сторонами основания составляют 120 градусов), а боковые грани прямоугольники.

Основания призмы являются равными правильными шестиугольниками.

Боковые грани призмы являются прямоугольниками.

Боковые рёбра призмы параллельны и равны.

Размеры призмы можно выразить через длину стороны a и высоту h.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Формула площади поверхности шестиугольной призмы:

Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания.

Формула объема правильной шестиугольной призмы:

Правильная шестиугольная призма может быть вписана в цилиндр.

Формула радиуса цилиндра вписанной шестиугольной призмы:

Исторически понятие «призма» возникло из латыни и означало — нечто отпиленное.

Анимация демонстрирует как две параллельные плоскости отрезая лишнее формируют два основания призмы. Из одной заготовки можно получить как правильную призму, так и наклонную призму.

Источник

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

$С_1Н$ — высота

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_{осн}$ — периметр основания;

$S_{осн}$ — площадь основания;

$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;

$h$ — высота призмы.

$S_{бок}=P_{осн}·h$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$

$V=S_{осн}·h$

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

$S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
$S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
$S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
$S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.

2. Квадрат

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^2√3}/{4}={3·a^2√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.

Пример:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Решение:

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=P_{осн}·h+2S_{ромба}$

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

$АВ=√{5^2+12^2}=√{25+144}=√{169}=13$

$Р=13·4=52$

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S_{основания}={d_1·d_2}/{2}={10·24}/{2}=120$

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

$S_{п.п}=P_{осн}·h+2S_{ромба}=52·20+2·120=1040+240=1280$

Ответ: $1280$

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

$S_{бок}=P_{осн}·h=2πRh$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=2πRh+2πR^2=2πR(h+R)$

$V=S_{осн}·h=πR^2 h$

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$

$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cos⁡β;$

$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$

Источник

Призма называется правильной если её боковые перпендикулярны основаниям и в основаниях лежит правильный многоугольник. То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

В этой статье для вас задачи на решение призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Особенностей и сложностей в решении нет никаких. В чём суть? Дана правильная шестиугольная призма, требуется вычислить расстояние между двумя вершинами или найти заданный угол. Задачи на самом деле простые, в итоге решение сводится к нахождению элемента в прямоугольном треугольнике.

Используется теорема Пифагора и теорема косинусов. Необходимо знание определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Обязательно посмотрите информацию о правильном шестиугольнике в этой статье (пункт 6). Ещё вам пригодится навык извлечения квадратного корня их большого числа. Можете посмотреть статью на решение многогранников, там тоже вычисляли расстояние между вершинами и углы.

Кратко: что представляет собой правильный шестиугольник?

Известно, что в правильном шестиугольнике стороны равны. Кроме этого, углы между сторонами тоже равны.

*Противолежащие стороны параллельны.

Дополнительная информация

У каждого треугольника угол при его вершине лежащей в центре равен 60⁰ (360:6=60). Так как у треугольника две стороны имеющие общую вершину в центре равны (это радиусы описанной окружности), то каждый угол при основании такого равнобедренного треугольника так же равен 60 градусам.

Рассмотрим задачи:

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁E₁. По теореме Пифагора:

*Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Отрезок АЕ₁является гипотенузой, АА₁и А₁Е₁ катеты. Ребро АА₁ нам известно. Катет А₁Е₁ мы можем найти используя используя теорему косинусов.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Следовательно

По теореме Пифагора:

Ответ: 96

*Обратите внимание, что 48 возводить в квадрат совсем не обязательно.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 35. Найдите расстояние между точками B и E.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

Таким образом,

Ответ: 70

Рассмотрим прямоугольный треугольник BB₁E₁. По теореме Пифагора:

Отрезок B₁E₁ равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а её радиус равен стороне шестиугольника, то есть

Таким образом,

Ответ: 200

273683. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 45. Найдите тангенс угла AD₁D.

Таким образом,

Ответ: 2

Рассмотрим правильный шестиугольник:

В нём углы между сторонами равны 120°. Значит,

Сама длина ребра не имеет значения, на величину угла она не влияет.

Ответ: 60

Рассмотрим прямоугольный треугольник AC₁C:

Найдём AC. В правильном шестиугольнике углы между его сторонами равны 120 градусам, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС :

Таким образом,

Значит, угол AC₁C равен 60 градусам.

Ответ: 60

Рассмотрим треугольник AС₁С, он прямоугольный. Вычислим тангенс указанного в условии угла и определим угол. Известно, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

Катет С₁С = 10. Отрезок АС вычислим по теореме косинусов (это мы уже делали в первой задаче, запишем ещё раз):

В правильном шестиугольнике углы при вершинах равны 120 градусам, то есть

Следовательно

Таким образом:

Ответ: 60

Посмотреть решение

245367. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD₁D.

Посмотреть решение

245368. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Изучением призм занимается пространственная геометрия. Важными их характеристиками являются заключенный в них объем, площадь поверхности и число составляющих элементов. В статье рассмотрим все эти свойства для шестиугольной призмы.

О какой призме пойдет речь?

Призма шестиугольная — это фигура, образованная двумя многоугольниками, имеющими шесть сторон и шесть углов, и шестью параллелограммами, соединяющими отмеченные шестиугольники в единое геометрическое образование.

На рисунке изображен пример этой призмы.

Отмеченный красным цветом шестиугольник называется основанием фигуры. Очевидно, что число ее оснований равно двум, причем оба они идентичны. Желто-зеленоватые грани призмы называются ее боковыми сторонами. На рисунке они представлены квадратами, но в общем случае они являются параллелограммами.

Шестиугольная призма может быть наклонной и прямой. В первом случае углы между основанием и боковыми сторонами не являются прямыми, во втором они равны 90^o. Также эта призма может быть правильной и неправильной. Правильная шестиугольная призма обязательно должна быть прямой и иметь правильный шестиугольник в основании. Приведенная выше призма на рисунке этим требованиям удовлетворяет, поэтому она называется правильной. Далее в статье будем изучать только ее свойства, как общий случай.

Элементы

Для любой призмы главными ее элементами являются ребра, грани и вершины. Шестиугольная призма не является исключением. Приведенный выше рисунок позволяет посчитать количество этих элементов. Так, граней или сторон мы получаем 8 (два основания и шесть боковых параллелограммов), число вершин составляет 12 (по 6 вершин для каждого основания), количество ребер шестиугольной призмы равно 18 (шесть боковых и 12 для оснований).

В 1750-е годы Леонард Эйлер (швейцарский математик) установил для всех полиэдров, к которым относится призма, математическую связь между числами указанных элементов. Эта связь имеет вид:

число ребер = число граней + число вершин — 2.

Указанные выше цифры удовлетворяют этой формуле.

Диагонали призмы

Все диагонали шестиугольной призмы можно разделить на два типа:

те, которые лежат в плоскостях ее граней;
те, которые принадлежат всему объему фигуры.

Рисунок ниже показывает все эти диагонали.

Видно, что D₁ — это диагональ боковой стороны, D₂ и D₃ — диагонали всей призмы, D₄ и D₅ — диагонали основания.

Длины диагоналей боковых сторон между собой равны. Вычислить их легко, используя всем известную теорему Пифагора. Обозначим символом a длину стороны шестиугольника, символом b — длину бокового ребра. Тогда диагональ имеет длину:

D₁ = √(a²+ b²).

Диагональ D₄ также легко определяется. Если вспомнить, что правильный шестиугольник вписывается в окружность радиусом a, то D₄ является диаметром этой окружности, то есть получим следующую формулу:

D₄ = 2*a.

Диагональ D₅ основания найти несколько сложнее. Для этого следует рассмотреть равносторонний треугольник ABC (см. рис.). Для него AB = BC = a, угол ABC равен 120^o. Если из этого угла опустить высоту (она же будет биссектрисой и медианой), тогда половина основания AC будет равно:

AC/2 = AB*sin(60^o) = a*√3/2.

Сторона AC является диагональю D₅, поэтому получаем:

D₅ = AC = √3*a.

Теперь остается найти диагонали D₂ и D₃ правильной шестиугольной призмы. Для этого нужно увидеть, что они являются гипотенузами соответствующих прямоугольных треугольников. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:

D₂ = √(D₄² + b²) = √(4*a² + b²);

D₃ = √(D₅²+ b²) = √(3*a²+ b²).

Таким образом, самой большой диагональю для любых значений a и b является D₂.

Площадь поверхности

Чтобы понять, о чем идет речь, проще всего рассмотреть развертку этой призмы. Она показана на рисунке.

Видно, что для определения площади всех сторон рассматриваемой фигуры необходимо рассчитать отдельно площадь четырехугольника и площадь шестиугольника, затем умножить их на соответствующие целые числа, равные количеству каждого n-угольника в призме, и сложить полученные результаты. Шестиугольников 2, прямоугольников 6.

Для площади прямоугольника получаем:

S₁ = a*b.

Тогда площадь боковой поверхности равна:

S₂ = 6*a*b.

Для определения площади шестиугольника проще всего воспользоваться соответствующей формулой, которая имеет вид:

S_n = n/4*a²*ctg(pi/n).

Подставляя в это выражение число n равное 6, получаем площадь одного шестиугольника:

S₆ = 6/4*a²*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a².

Это выражение следует умножить на два, чтобы получить площадь оснований призмы:

S_os = 3*√3*a².

Остается сложить S_os и S₂, чтобы получить полную площадь поверхности фигуры:

S = S_os + S₂ = 3*√3*a² + 6*a*b = 3*a*(√3*a + 2*b).

Объем призмы

После того как была получена формула для площади шестиугольного основания, вычислить объем, заключенный в рассматриваемую призму, проще простого. Для этого следует лишь умножить площадь одного основания (шестиугольника) на высоту фигуры, длина которой равна длине бокового ребра. Получаем формулу:

V = S₆*b = 3*√3/2*a²*b.

Отметим, что произведение основания на высоту дает значение объема абсолютно любой призмы, включая наклонную. Однако в последнем случае расчет высоты осложняется, поскольку она уже не будет равна длине бокового ребра. Что касается шестиугольной правильной призмы, то значение ее объема является функцией двух переменных: сторон a и b.

Источник

Вы здесь:

Главная
Правильная шестиугольная призма

Правильная шестиугольная призма

Шестиугольная призма — это многогранник, две грани которого являются равными шестиугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими треугольниками.

Основания призмы являются равными правильными шестиугольниками.

Боковые грани призмы являются прямоугольниками.

Боковые рёбра призмы параллельны и равны.

Размеры призмы можно выразить через длину стороны a и высоту h.

Формула площади поверхности шестиугольной призмы:

Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания.

Формула объема правильной шестиугольной призмы:

Правильная шестиугольная призма может быть вписана в цилиндр.

Формула радиуса цилиндра вписанной шестиугольной призмы:

Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.

Исторически понятие «призма» возникло из латыни и означало — нечто отпиленное.

Геометрические размеры готовой призмы (мм):

Длина = 90

Ширина = 78

Высота = 45

Геометрические размеры готовой призмы (мм):

Длина = 73

Ширина = 64

Высота = 73

Геометрические размеры готовой призмы (мм):

Длина = 62

Ширина = 54

Высота = 93

посмотреть другие призмы

Правильная шестиугольная призма

Правильная шестиугольная призма — свойства, признаки и формулы

Общие сведения

Свойства шестигранника

Решение простого примера

Задача высокого уровня

Призма

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

В основании лежит треугольник.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

2. Ромб

3. Трапеция

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

Подобие треугольников

Прямоугольный треугольник и его свойства:

Теорема Пифагора

Теорема синусов

Теорема косинусов

О какой призме пойдет речь?

Элементы

Диагонали призмы

Площадь поверхности

Объем призмы

Правильная шестиугольная призма

Популярное