Как найти сторону треугольника по формуле герона

Содержание:

• Формулировка теоремы Герона
• Примеры решения задач

Формулировка теоремы Герона

где полупериметр

$$p=frac{a+b+c}{2}$$

Треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$.

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника по известным длинам его сторон.

Эта формула содержится в «Метрике» греческого математика и механика Герона Александрийского и названа в его честь.
Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами. Такие треугольники носят название героновых треугольников.
Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник — прямоугольный треугольник со соотношениями сторон
$3 : 4 : 5$ .

Примеры решения задач

Формула Герона

Формула Герона носит такое название в честь греческого математика и инженера Герона Александрийского. Он жил в I веке нашей эры. Герон занимался механикой, оптикой, геометрией и гидростатикой. Учёный интересовался треугольниками с целочисленными сторонами и целочисленными площадями. Такие фигуры получили название Героновых треугольников.

Формулировка теоремы Герона

Формула Герона – это арифметическая формула для вычисления площади треугольника по длинам его сторон. В таком случае площадь равна корню из произведения разностей полупериметра и каждой из его сторон.

Формула и доказательство

Формула Герона выглядит следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(S;=;sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)})

где S – это площадь треугольника; a, b, c – это стороны треугольника; p – это полупериметр треугольника.

Чтобы вычислять полупериметр, нужно пользоваться формулой:

(p;=;frac{a+b+c}2)

Приведем доказательство.

Для этого рассмотрим треугольник ABC.

(left|ABright|=c,;left|BCright|=a,;left|ACright|=b)

CH – высота треугольника.

(left|CHright|=h,;left|AHright|=x,;left|BHright|=y)

Тогда (c=x+y).

По теореме Пифагора из треугольников ACH и BCH получаем:

(h^2=b^2-x^2=a^2-y^2)

Из этого:

(y^2-x^2=a^2-b^2)

((y-x)(y+x)=a^2-b^2)

(x+y=c)

Соответственно:

((y-x)c=a^2-b^2) и (y-x=frac1c (a^2-b^2))

Если сложить последнее равенство с (y+x=c), то получается

(y;=;frac{c^2+a^2-b^2}{2c})

Найдем высоту треугольника.

(h^2;=;a^2-y^2=left(a-yright)left(a+yright)=left(a-frac{c^2+a^2-b^2}{2c}right)left(a+frac{c^2+a^2-b^2}{2c}right)=frac{2ac-c^2-a^2+b^2}{2c}timesfrac{2ac+c^2+a^2-b^2}{2c}=frac{b^2-left(a-cright)^2}{2c}timesfrac{left(a+cright)^2-b^2}{2c}=frac{left(b-a+cright)timesleft(b+a-cright)}{2c}timesfrac{left(a+c-bright)timesleft(a+c+bright)}{2c})

Так как (p=frac12left(a+b+cright)), то ( b+c=2p-a),( a+b=2p-c), (a+c=2p-b), (a+b+c=2p).

С помощью этих равенств найдем высоту.

(h^2=frac{left(2p-2aright)left(2p-2cright)left(2p-2bright)2p}{4c^2}=frac{4pleft(p-aright)left(p-cright)left(p-bright)}{c^2})

А так как (S=frac12ch), то теорема доказана.

Для каких треугольников действует теорема

Применение формулы Герона допустимо для треугольников, у которых известны длины всех их сторон.

Примеры решения задач

Задача 1

Рассчитать площадь треугольника, если a=6, b=8, c=6.

Решение

(p=frac{6+8+6}2=10)

Тогда площадь треугольника равна:

(S=10sqrt{left(10-6right)left(10-8right)left(10-6right)}=320)

Ответ: 320 см².

Задача 2

Вычислить площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.

Решение

Диагонали AC и BD  пересекаются в точке O.

Если  AD = 51,  AC = 40  и  BD = 74,  то  AO = 20,  OD = 37.

По формуле Герона:

(S_{ABCD} = 4S_{AOD} = sqrt{54left(54-51right)left(54-37right)left(54-20right)}=1224)

Ответ: 1224 см². 

Задача 3

В треугольнике ABC три стороны:  AB = 26,  BC = 30  и  AC = 28. Найти часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины B.

Решение

BP и BQ – высота и биссектриса треугольника.

По формуле Герона:

(S=sqrt{42left(42-30right)left(42-28right)left(42-26right)}=336)

(S = ½ AC·BP)

Поэтому  (BP =frac{2S}{AC}=frac{2times336}{28}=24).

По свойству биссектрисы треугольника:

(frac{AQ}{QC}=frac{AB}{BC}=frac{26}{30}=frac{13}{15})

Соответственно (AQ=frac{13}{28}AC = 13).

По теореме Пифагора из треугольника APB получаем:

(AP=sqrt{AP^2-BP^2}=sqrt{26^2-24^2}=sqrt{2times50}=10)

Следовательно,  (PQ = AQ – AP = 13 – 10 = 3)

(S_{BPQ} = ½ PQ·BP = frac{3times24}2=36)

Ответ: 36 см².

В данной публикации мы рассмотрим формулу Герона, пользуясь которой можно найти площадь треугольника. Также разберем примеры решения задач для того, чтобы закрепить представленный материал.

Формула площади

Площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c).

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)

Полупериметр (p) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Для начала найдем полупериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения:
S = √12(12 – 6)(12 – 8)(12 – 10) = √12 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 см².

Задание 2
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение
Пусть гипотенуза – это c, известный катет – a, а неизвестный – b.

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b:
b² = c² – a² = 15² – 9² = 144 см², следовательно, b = 12 cм.

Полупериметр треугольника равен:
p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:
S = √18(18 – 9)(18 – 12)(18 – 15) = √18 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ 3 = 54 см².

Вычисление площади треугольников

Пусть в треугольнике    стороны  ,    и  . Тогда справедлива следующая теорема (формула Герона).

Теорема 1. Площадь вычисляется по формуле

                                                                              ,                 (1)

где  .

Доказательство. При выводе формулы (1) будем использовать известные геометрические формулы

,                 (2)

.                (3)

Из формул (2) и (3) получаем    и . Так как  , то     

,   ,

,

,

,

                        .                   (4)

 Если обозначить  , то из равенства (4) вытекает формула (1). Теорема доказана.

Рассмотрим теперь вопрос о вычислении площади треугольника при условии, что известны три ее высоты ,    и  .

Теорема 2. Площадь вычисляется по формуле

.              (5)

 Доказательство.  Так как   ,    и  ,  то  

,  ,     и  .

В таком случае из формулы (1) получаем

 или   

.

Отсюда вытекает формула (5). Теорема доказана.

Вычисление площади четырехугольников

Рассмотрим обобщение формулы Герона на случай вычисления площади четырехугольников. Однако сразу же необходимо отметить, что такое обобщение возможно только для четырехугольников, которые вписаны в окружность.

Пусть четырехугольник имеет стороны , ,  и  .

Если является четырехугольником, вписанным в окружность, то справедлива теорема 3 (формула Брахмагупты).

Теорема 3. Площадь    вычисляется по формуле

                                 ,              (6)

где  .

Доказательство. В четырехугольнике проведем диагональ и получим два треугольника и . Если к данным треугольникам применить теорему косинусов, которая равносильна формуле (3), то можно записать  

,  ,

                        .               (7)

Так как четырехугольник    вписан в окружность, то сумма  его противоположных углов равна  , т.е.  .

Поскольку    или  , то из (7) получаем

 или  

  .                (8)

Так как  , то  . Однако  и  ,  поэтому

                                                                                             .             (9)

Поскольку   , то из формул (8) и (9) следует

,

,

,

 или

.

Если положить   , то отсюда получаем формулу (6). Теорема доказана.

Если вписанный четырехугольник является одновременно и описанным, то формула (6) значительно упрощается.

Теорема 4. Площадь четырехугольника , вписанного в одну окружность и описанного вокруг другой,  вычисляется по формуле

                                                .             (10)

Доказательство. Так как в четырехугольник вписана окружность, то выполняются равенства

  или   .

В таком случае  ,  ,  ,   и формула (6) легко преобразуется в формулу (10). Теорема доказана.  

Перейдем к рассмотрению примеров задач геометрии, решение которых осуществляется на основе применения доказанных теорем.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти площадь  , если  ,  и  .

Решение. Так как здесь  , то согласно теореме 1 получаем

.

Ответ:  .

Отметим, если стороны треугольника принимают иррациональные значения, то вычисление его площади посредством использования формулы (1), как правило,  является неэффективным. В таком случае целесообразно применять непосредственно формулы (2) и (3).

Пример 2. Найти площадь  , если  ,  и  .

Решение. Принимая во внимание формулы (2) и (3), получаем

,     или  , .

Так как  ,  то     или   .

Ответ:   .

Пример 3. Найти площадь  , если  ,  и  . 

Решение. Поскольку      ,

,

,

,

то из теоремы 2 следует, что   .

Ответ:  .

Пример 4. Треугольник имеет стороны , и . Найти    и  , где  радиусы описанной и вписанной окружностей, соответственно.

Решение. Первоначально вычислим площадь . Так как  , то из формулы (1) получаем  .

Известно, что    и  .  Поэтому    и   .

Ответ:   ,  

Пример 5. Найти площадь четырехугольника , вписанного в окружность, если  , ,  и  .

Решение. Из условия примера следует, что . Тогда, согласно теореме 3, получаем  .

Ответ:  .

Пример 6. Найти площадь четырехугольника , вписанного в окружность, стороны которого  , ,  и  .

Решение. Так как     и   , то в четырехугольнике выполняется равенство  .  Однако известно, что существование такого равенства является необходимым и достаточным условием того, что в данный четырехугольник можно вписать окружность. В этой связи для вычисления площади    можно использовать формулу (10), из которой следует .

Ответ:  .

    Для самостоятельной и качественной подготовки к вступительным испытаниям в области решения задач школьной геометрии можно эффективно использовать учебные пособия, приведенные в списке рекомендованной литературы.  

Рекомендуемая литература

1. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996. – 240 с.

2. Кулагин Е.Д., Федин С.Н. Геометрия треугольника в задачах. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2009. – 208 с.

3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS, 2014. – 216 с. 

Остались вопросы? 

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.