Как найти сторону треугольника зная cos - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Длина стороны треугольника

Вычисление длины стороны треугольника по двум другим и углу между ними согласно теореме косинусов.

После написания калькулятора Длина стороны прямоугольного треугольника по запросу пользователя вдруг вспомнил, что теорема Пифагора есть частный случай теоремы косинусов:

Воистину, тема треугольника неисчерпаема, как атом. На сайте уже был один калькулятор, который использовал теорему косинусов — Нахождение углов треугольника по заданным сторонам, а вот и второй, который просто находит длину противолежащей стороны.

Теорема косинусов и синусов

О чем эта статья:

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

AD = b × cos α,
DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Теорема косинусов

Теорема косинусов гласит, что в любом произвольном треугольнике можно найти третью сторону, зная две других и угол между ними. a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos⁡α

Доказательство теоремы косинусов проходит через прямоугольный треугольник, полученный внутри заданного дополнительным построением высоты. Предположим, что сторона а неизвестна, тогда проведем высоту на сторону с и найдем проекцию стороны b на сторону c из отношения косинуса в прямоугольном треугольнике. b_c=b cos⁡α

Так как сторона с состоит из двух проекций сторон b и а на нее, следовательно, проекция a_c равна следующей разности: a_c=c-b_c=c-b cos⁡α

Зная все составляющие внутренних прямоугольных треугольников, можем составить теорему Пифагора, для того чтобы выразить через нее высоту, являющуюся общим звеном для обеих фигур. h 2 =b 2 -b_c 2 =b 2 -(b cos⁡α) 2
h 2 =a 2 -a_c 2 =a 2 -(c-b cos⁡α) 2 =a 2 -c 2 +2bc cos⁡α-(b cos⁡α) 2

Приравнивая полученные для высоты выражения друг к другу, приводим подобные слагаемые, и получаем, что неизвестная сторона а во второй степени равна сумме квадратов двух других сторон и разности с их удвоенным произведением на косинус угла между ними, что и требовалось доказать.
b 2 -(b cos⁡α) 2 =a 2 -c 2 +2bc cos⁡α-(b cos⁡α) 2
a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos⁡α

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-kosinusov-i-sinusov

http://geleot.ru/education/math/geometry/theorem/cosine_theorem

Источник

Теорема косинусов

Определение теоремы косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

a²=b²+c²-2*b*c*cos(A)

b²=a²+c²-2*a*c*cos(B)

c²=a²+b²-2*a*b*cos(C)

Расчёт стороны по теореме косинусов

Введите сторону

Введите угол

Формула расчёта стороны по теореме косинусов

Где a, b и c — стороны треугольника,
A — угол между сторонами b и c

Расчёт углов треугольника по теореме косинусов

Введите сторону a

a =

Введите сторону b

b =

Введите сторону c

c =

Формулы расчёта углов по теореме косинусов

Где a, b и c — стороны треугольника,
A, B и C — углы треугольника

Доказательство теоремы косинусов

Дано

Треугольник со сторонами a, b и c.

Доказать

a²=b²+c²-2*b*c*cos(α)

Доказательство

Из вершины B проведём высоту h

Сравним и упростим

Теорема доказана

Источник

Как по косинусу найти сторону треугольника

Знание значения косинуса угла в вершине произвольного треугольника позволяет найти величину этого угла. Но по единственному параметру невозможно узнать длину стороны такой фигуры, нужны какие-либо дополнительные связанные с ней величины. Если они даны в условиях, выбор формулы вычисления будет зависеть от того, какие именно параметры выбраны в качестве дополнения к косинусу угла.

Инструкция

Если кроме значения косинуса угла известны длины пары сторон (b и c), которые образуют этот угол, для вычисления величины неизвестной стороны (a) можно использовать теорему косинусов. Она утверждает, что квадрат длины нужной стороны будет равен сумме квадратов длин двух других, если ее уменьшить на удвоенное произведение длин этих же сторон на известный из условий косинус угла между ними: a² = b² + c² — 2*a*b*cos(α).

Поскольку величина угла α вам неизвестна и вычислять ее нет необходимости, обозначьте данную в условиях переменную (косинус угла) какой-либо буквой (например, f) и подставьте в формулу: a² = b² + c² — 2*a*b*f. Избавьтесь от степени в левой части выражения, чтобы получить в общем виде окончательную формулу вычисления длины искомой стороны: a = √(b²+c²-2*a*b*f).

Чтобы найти длину стороны (a), при условии, что кроме значения косинуса (f = cos(α)) лежащего напротив этой стороны угла, дана величина другого угла (β) и длина лежащей напротив нее стороны (b), можно использовать теорему синусов. Согласно ей отношение искомой длины к синусу противолежащего угла равно отношению длины известной стороны к синусу угла, который тоже дан в условиях: a/sin(a) = b/sin(β).

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице — используйте это тождество, чтобы выразить синус в левой части равенства через заданный в условиях косинус: a/√(1-f²) = b/sin(β). Составьте формулу вычисления длины нужной стороны в общем виде, перенеся знаменатель дроби из левой части тождества в правую: a = √(1-f²)*b/sin(β).

В прямоугольном треугольнике для вычисления величин сторон достаточно дополнить косинус острого угла (f = cos(α)) одним параметром — длиной какой-либо из сторон. Чтобы найти длину катета (b), примыкающего к вершине, косинус угла которой известен, умножьте эту величину на длину гипотенузы (c): b = f*c. Если же нужно вычислить длину гипотенузы, а длина катета известна, трансформируйте эту формулу соответствующим образом: c = b/f.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Загрузить PDF

Теорема косинусов широко применяется в тригонометрии. Ее используют при работе с неправильными треугольниками, чтобы находить неизвестные величины, например стороны и углы. Теорема схожа с теорема Пифагора, и ее довольно легко запомнить. Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2abcos {C}$ .

1
Запишите известные величины. Чтобы найти неизвестную сторону треугольника, нужно знать две другие стороны и угол между ними.^[1]
- Например, дан треугольник XYZ. Сторона YX равна 5 см, сторона YZ равна 9 см, а угол Y равен 89°. Чему равна сторона XZ?
2

Запишите формулу теоремы косинусов. Формула: $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2abcos {C}$ , где — неизвестная сторона, — косинус угла, противоположного неизвестной стороне, и — две известные стороны.^[2]
3
4
Найдите косинус известного угла. Сделайте это с помощью калькулятора. Введите значение угла, а затем нажмите кнопку . Если у вас нет научного калькулятора, найдите онлайн-таблицу значений косинусов, например, здесь.^[4] Также в Яндексе можно ввести «косинус Х градусов» (вместо X подставьте значение угла), и поисковая система отобразит косинус угла.
- Например, косинус 89° ≈ 0,01745. Итак: $c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-2(5)(9)(0,01745)$ .
5

Перемножьте числа. Умножьте на косинус известного угла.
6

Сложите квадраты известных сторон. Помните, чтобы возвести число в квадрат, его нужно умножить на само себя. Сначала возведите в квадрат соответствующие числа, а затем сложите полученные значения.
7

Вычтите два числа. Вы найдете $c^{{2}}$ .
8

Извлеките квадратный корень из полученного значения. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Так вы найдете неизвестную сторону.^[5]

Реклама

1
Запишите известные величины. Чтобы найти неизвестный угол треугольника, нужно знать все три стороны треугольника.^[6]
- Например, дан треугольник RST. Сторона СР = 8 см, ST = 10 см, РТ = 12 см. Найдите значение угла S.
2

Запишите формулу теоремы косинусов. Формула: $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2abcos {C}$ , где — косинус неизвестного угла, — известная сторона, противолежащая неизвестному углу, и — две другие известные стороны. ^[7]
3
4
Перемножьте числа. Умножьте на косинус неизвестного угла.
- Например, $12^{{2}}=8^{{2}}+10^{{2}}-160cos {C}$ .
5
Возведите в квадрат. То есть умножьте число само себя.
- Например, $144=8^{{2}}+10^{{2}}-160cos {C}$
6

Сложите квадраты и . Но сначала возведите соответствующие числа в квадрат.
7

Изолируйте косинус неизвестного угла. Для этого вычтите сумму $a^{{2}}$ и $b^{{2}}$ из обеих частей уравнения. Затем разделите каждую часть уравнения на коэффициент (множитель) при косинусе неизвестного угла.
8
Вычислите арккосинус. Так вы найдете значение неизвестного угла.^[9] На калькуляторе функция арккосинуса обозначается $COS^{{-1}}$ .
- Например, арккосинус 0,0125 равен 82,8192. Итак, угол S равен 82,8192°.
Реклама

1

Найдите неизвестную сторону треугольника. Известные стороны равны 20 см и 17 см, а угол между ними равен 68°.
2

Найдите угол H в треугольнике GHI. Две стороны, прилегающие к углу Н, равны 22 и 16 см. Сторона, противоположная углу H, равна 13 см.
3

Найдите длину тропы. Речная, Холмистая и Болотная тропы образуют треугольник. Длина Речной тропы — 3 км, длина Холмистой тропы — 5 км; эти тропы пересекаются друг с другом под углом 135°. Болотная тропа соединяет два конца других троп. Найдите длину Болотной тропы.

Реклама

Советы

Проще пользоваться теоремой синусов. Поэтому сначала выясните, можно ли применить ее к данной задаче.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 5483 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Теорема косинусов

Теоремы

Треугольник — геометрическая фигура, обладающая 3-мя сторонами и 3-мя углами между ними. Стороны обычно обозначают малыми буквами, совпадающими с обозначениями лежащих напротив вершин. Стороны данной фигуры можно вычислить несколькими способами, в зависимости от исходных данных. Так, одну из сторон треугольника можно рассчитать по теореме косинусов, если известны две другие и угол между ними. Согласно нее квадрат одной его стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: где, a, b, с — стороны, α — угол, лежащий напротив стороны а.

Для расчета стороны треугольника извлекаем корень квадратный из суммы квадратов других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними: Теоремой косинусов можно воспользоваться для расчета косинуса угла треугольника: Т.е. косинус угла равен сумме квадратов двух сторон минус квадрат стороны, противолежащий углу, и все это деленное на удвоенное произведение первых двух сторон. Величину угла находим с помощью тригонометрической таблицы.
Заметим, если b² + c² — a² больше 0, то угол острый; если меньше 0 — тупой; если равен 0 — прямой.

Найти сторону треугольника по теореме косинусов

Источник