Как найти стороны многоугольника зная градус угла

Вот как выглядят выпуклые и невыпуклые многоугольники:

Говоря простым языком, отличие выпуклых многоугольников в том, что:

Если провести отрезок через любые две точки выпуклого многоугольника, то она обязательно окажется в его «пределах» (будет стороной или диагональю).

А в невыпуклом многоугольнике подобный отрезок может оказаться снаружи, вне плоскости многоугольника.

_

Таким образом, зная определение выпуклого многоугольника, нетрудно догадаться, что углы 90 градусов бывают в четырёхугольниках (прямоугольник, квадрат), а углы 60 градусов — в треугольнике, причём равностороннем.

Это можно также посчитать исходя из формулы:

αn = 180°(n-2).

здесь α — величина угла, а n — число сторон.

αn = 180n — 360,

360 = 180n — αn,

360 = n(180 — α),

n = 360 / (180 — α).

Подставив вместо α градусы, которые даны в условии, получим:

1) угол 90: 360 / (180 — 90) = 360 / 90 = 4.

2) угол 60: 360 / (180 — 60) = 360 / 120 = 3.

3) угол 108: 360 / (180 — 108) = 360 / 72 = 5. (пятиугольник)

4) угол 120: 360 / (180 — 120) = 360 / 60 = 6 (шестиугольник)

Зная угол правильного многоугольника, можно по формуле рассчитать количество его сторон, и в совокупности с длиной одной стороны, этот показатель позволяет вычислить все остальные измерения.
α=(n-2) (180°)/n
n=(360°)/(180°-α)

Первое, что можно вычислить через сторону и угол, представленный в виде количества сторон – это периметр правильного многоугольника, который равен длине стороны, умноженной на количество.
P=an=(360°a)/(180°-α)

Чтобы найти площадь правильного многоугольника через сторону и угол, нужно вместо количества сторон подставить преобразованную формулу с внутренним углом α.
S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )=((360°)/(180°-α) a^2)/(4 tan⁡(90°-α/2) )

В формулах, по которым можно найти радиус вписанной окружности в правильный многоугольник и радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, количество сторон, зависящее от угла фигурирует только в тригонометрических отношениях, что упрощает подстановку.
r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )=a/(2 tan⁡(90°-α/2) )
R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )=a/(2 sin⁡(90°-α/2) )

A polygon by definition is any geometric shape that is enclosed by a number of straight sides, and a polygon is considered regular if each side is equal in length. Polygons are classified by their number of sides. For example, a six-sided polygon is a hexagon, and a three-sided one is a triangle.

Regular Polygons

The number of sides of a regular polygon can be calculated by using the interior and exterior angles, which are, respectively, the inside and outside angles created by the connecting sides of the polygon. For a regular polygon the measure of each interior angle and each exterior angle is congruent. For example, a regular octagon has interior angles each equal to 125 degrees.

These relationships only hold true for convex polygons where the measure of each interior angle does not exceed 180 degrees.

Using Interior Angles

Subtract the interior angle from 180; then divide 360 by the difference of the angle and 180 degrees. For example, if the interior angle was 165, subtracting it from 180 would yield 15, and 360 divided by 15 equals 24, which is the number of sides of the polygon. Here is the general formula (it is important to note that this only works for the ‌interior‌ angles of a regular polygon):

text{# of sides}=frac{360^circ}{180^circ-text{interior angle}}

Using Exterior Angles

Divide 360 by the amount of the exterior angle to also find the number of sides of the polygon. For example, if the measurement of the exterior angle is 60 degrees, then dividing 360 by 60 yields 6. Six is the number of sides that the polygon has. This is a hexagon, so we can check this reasoning by finding the interior angle to be 120 degrees, which is the measure of the interior angle of a hexagon.

The general formula using the ‌exterior‌ angles of a regular polygon follows:

text{# of sides}=frac{360}{text{exterior angle}}

Irregular Polygons

Not all polygons have congruent angles and sides. The measure of the internal angles can vary depending on the measures of each side. Regardless of the polygon shape, the sum of exterior angles will always be 360 degrees. We can use this relationship to reason out a formula for an n-sided polygon with any side lengths.

The sum of the interior angles of a polygon can be related to the the number of sides through the polygon formula:

text{# of sides} = frac{text{sum of interior angles}}{180} + 2

We can try this formula with any quadrilateral. We know that the sum of the interior angles of any four sided polygon (like a square, rhombus, parallelogram, or trapezoid) is 360 degrees. Plugging this into the formula we can prove this known relationship:

text{# of sides} = frac{text{360}}{180} + 2 = 4 text{ sides}

Terminology of Polygons

As a helpful guide for reporting calculations, these are the general conventions for discussing polygons in geometry and trigonometry.

‌Naming polygons (3 — 10 sides):‌