8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи по теме «Правильная и прямоугольная пирамиды»
(blacktriangleright) Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер ((SR)) перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).
Грани, образованные этим ребром, будут представлять собой прямоугольные треугольники ((triangle SMR, triangle SPR)).
(blacktriangleright) Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:
(sim) боковые ребра равны;
(sim) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
(sim) боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.
(blacktriangleright) Заметим, что у правильных многоугольников центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
(blacktriangleright) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Высота этих треугольников, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.
Задание
1
#2854
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана правильная треугольная пирамида (SABC) с вершиной (S). Известно, что сторона основания пирамиды равна (3sqrt3), а угол между ее высотой и боковым ребром равен (60^circ). Найдите объем пирамиды.
Пусть (SH) – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис).
Пусть (CC_1) – высота (а значит и медиана) основания. Тогда [CC_1=dfrac{sqrt3}2AB.] Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то [CH=dfrac23CC_1=dfrac{sqrt3}3AB.] Из прямоугольного (triangle SHC): [mathrm{tg},60^circ=dfrac{CH}{SH}quadRightarrowquad
SH=dfrac{CH}{sqrt3}=dfrac13AB.] Следовательно, объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SHcdot S_{ABC}=dfrac13cdot
dfrac13cdot 3sqrt3cdot dfrac12cdot 3sqrt3cdot
dfrac{sqrt3}2cdot 3sqrt3=dfrac{27}4=6,75.]
Ответ: 6,75
Задание
2
#2856
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана правильная четырехугольная пирамида (SABCD) с вершиной (S). Угол между боковым ребром и стороной основания равен (60^circ), а (AB=sqrt[4]3). Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Так как пирамида правильная, то все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники. Так как у них угол при основании равен (60^circ), то они являются равносторонними, то есть все боковые ребра пирамиды равны стороне основания. Площадь правильного треугольника со стороной (a) вычисляется по формуле (dfrac{sqrt3}4a^2), следовательно, площадь боковой поверхности [S_{text{бок. пов-ти}}=4cdot dfrac{sqrt3}4AS^2=sqrt3AS^2=sqrt3cdot sqrt3=3.]
Ответ: 3
Задание
3
#2858
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана прямоугольная пирамида (SABCD), причем (SA) – высота пирамиды, а (ABCD) – ромб. Диагональ (BD) ромба равна (8sqrt3), а боковое ребро (SC) равно (5). Найдите объем пирамиды, если также известно, что угол между (SC) и плоскостью основания равен (30^circ).
Так как (SA) – высота, то она перпендикулярна плоскости основания, следовательно, по определению (AC) является проекций (SC) на плоскость основания. А так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, то (angle SCA) – угол между (SC) и основанием.
Так как (SA) перпендикулярна основанию, то она перпендикулярна любой прямой из основания, следовательно, (triangle SAC) прямоугольный. Значит, (AS) как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине (SC), то есть (AS=2,5).
По теореме Пифагора из этого же треугольника [AC=sqrt{SC^2-SA^2}=2,5sqrt3.] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем [V=dfrac13cdot SAcdot dfrac12cdot ACcdot BD=25.]
Ответ: 25
Задание
4
#1865
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В прямоугольной пирамиде (SABCD): (SB) – высота пирамиды, (ABCD) – прямоугольная трапеция с прямыми углами (angle BAD) и (angle ABC). Найдите объем пирамиды, если (angle SAB = 60^circ), (angle SCB = 30^circ), (AD = 2cdot AB), а (AB = sqrt3).
(triangle ABS) и (triangle CBS) – прямоугольные треугольники (Rightarrow) (SB = ABcdotmathrm{tg},60^circ = sqrt3cdotsqrt3 = 3) (Rightarrow) (BC = SBcdot mathrm{ctg},30^circ = 3sqrt3) (Rightarrow) (S_{ABCD} = frac{1}{2}cdot(AD + BC)cdot AB = frac{1}{2}cdot(2sqrt3 + 3sqrt3)cdotsqrt3 = 7,5) (Rightarrow) [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot SBcdot S_{ABCD} = frac{1}{3}cdot3cdot7,5 = 7,5]
Ответ: 7,5
Задание
5
#3113
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана правильная четырехугольная пирамида, объем которой равен (7). Найдите объем пирамиды, вершина которой совпадает с вершиной исходной пирамиды, а вершины основания совпадают с серединами сторон основания исходной пирамиды.
Рассмотрим рисунок. Пусть (SABCD) – исходная пирамида, (A’, B’, C’,
D’) – середины отрезков (AB, BC, CD, DA) соответственно. (SO) – высота пирамиды (SABCD). [V_{SABCD}=dfrac13cdot SOcdot AB^2] Заметим, что (SO) – также высота пирамиды (SA’B’C’D’).
Так как (ABC) – прямоугольный треугольник, то (AC=sqrt{AB^2+BC^2}=sqrt2AB). Так как (A’B’) – средняя линия в (triangle ABC), то [A’B’=frac12AC=dfrac{sqrt2}2AB] Так как (A’B’parallel AC, A’D’parallel BD), а (ACperp BD), то (A’B’perp
A’D’), следовательно, (A’B’C’D’) – квадрат. Следовательно, [V_{SA’B’C’D’}=dfrac13cdot SOcdot A’B’^2=dfrac13cdot SOcdot
dfrac12AB^2=
dfrac12V_{SABCD}=3,5.]
Ответ: 3,5
Задание
6
#2857
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана прямоугольная пирамида (SABCD), в основании которой лежит параллелограмм со сторонами (AD) и (AB), соответственно равными (2) и (3), и углом между ними (arcsin dfrac{sqrt3}4), а боковое ребро (SA) перпендикулярно основанию. Найдите объем пирамиды, если (SD=4).
Пусть (angle DAB=arcsin dfrac{sqrt3}4), следовательно, (sinangle DAB=dfrac{sqrt3}4).
Так как (SA) перпендикулярно основанию, то оно перпендикулярно любой прямой из основания, следовательно, (triangle SAD) – прямоугольный. Также по определению (SA) является высотой пирамиды. Следовательно, по теореме Пифагора [SA=sqrt{SD^2-AD^2}=2sqrt3.] Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними, следовательно, объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SAcdot ABcdot ADcdot sinangle DAB=3.]
Ответ: 3
Задание
7
#2853
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана правильная треугольная пирамида (SABC) с основанием (ABC), сторона которого равна (sqrt{18}). Найдите объем пирамиды, если угол (SAB) равен (60^circ).
Пусть (SH) – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то высота падает в центр основания, то есть в точку пересечения медиан (высот, биссектрис). Также боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники. Так как в равнобедренном (triangle
ASB) угол при основании равен (60^circ), то треугольник равносторонний, следовательно, (AS=AB=sqrt{18}).
Пусть (AA_1) – высота основания. Следовательно, [AA_1=dfrac{sqrt3}2AB.] Так как (AA_1) – медиана, а медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то [AH=dfrac23AA_1=dfrac{sqrt3}3AB.] Следовательно, по теореме Пифагора [SH=sqrt{AS^2-AH^2}=dfrac{sqrt6}3AB.] Тогда объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SHcdot S_{ABC}=
dfrac13cdot dfrac{sqrt6}3ABcdot dfrac12cdot ABcdot dfrac{sqrt3}2AB=9.]
Ответ: 9
Задания из раздела «Геометрия в пространстве» по теме «Правильная и прямоугольная пирамида» являются обязательной частью ЕГЭ по математике. Понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки. Школьники, которые знают принцип решения задач с правильной треугольной и четырехугольной пирамидой, смогут выполнять задания с любым количеством действий и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи аттестационного испытания.
Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной сдачи единого государственного экзамена!
Часто во время подготовки к аттестационному испытанию учащиеся сталкиваются с проблемой поиска подходящего источника. Школьный учебник далеко не всегда присутствует под рукой, когда это необходимо. А поиск требуемых формул для вычисления, к примеру, объема прямоугольной пирамиды, бывает достаточно сложным даже в Интернете в онлайн-режиме.
Для того чтобы подобные задания не вызывали затруднений, готовьтесь к единому государственному экзамену вместе с математическим порталом «Школково». Мы предлагаем принципиально новый подход к построению занятий с выпускниками. Наш портал помогает учащимся выявить наиболее сложные разделы и улучшить собственные знания.
Что такое правильная и прямоугольная пирамида, как вычисляются объем и площадь пирамиды, какие базовые теоремы и важные нюансы нужно знать для выполнения заданий — всю эту информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Этот материал систематизирован и изложен нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.
Чтобы задачи ЕГЭ на площадь поверхности правильной пирамиды не вызывали особых сложностей, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Найти подобные задания вы можете в разделе «Каталог».
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Сторона основания пирамиды является стороной правильного многоугольника, исходя из этого, можно найти все параметры пирамиды, связанные с основанием, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников.
P=n(a+b)
S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1)
r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )
Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла. (рис.34.2)
R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )
Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n
Зная боковое ребро в совокупности со стороной основания, можно вычислить высоту пирамиды и ее апофему из прямоугольных треугольников, которые они образуют. (рис.34.5, 35.1)
h=√(b^2-R^2 )=√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 )
l=√(b^2-a^2/4)
Косинус угла между боковым ребром и основанием будет равен отношению радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру пирамиды, а косинус угла между апофемой и основанием – отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме. (рис.34.4,34.5)
cosα=R/b=a/(2b sin〖(180°)/n〗 )
cosβ=r/l=a/(2 tan〖(180°)/n〗 √(b^2-a^2/4))
Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей треугольников, являющихся ее гранями, каждая из которых равна половине произведения апофемы на сторону основания, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания.
S_(б.п.)=lan/2=(√(b^2-a^2/4) an)/2
S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan〖(180°)/n〗 ))=an(√(b^2-a^2/4)/2+a/(4 tan〖(180°)/n〗 ))
Чтобы найти объем пирамиды, необходимо вычислить треть от произведения ее высоты на площадь основания, последовательно подставив выражения для площади и высоты в формулу.
V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan〖(180°)/n〗 )
Радиус сферы, которая может быть вписана в пирамиду, равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а радиус сферы, описанной вокруг пирамиды – квадрату бокового ребра, деленному на две высоты. (рис.34.6,34.7)
r_1=3V/S_(п.п.) =(a√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(tan〖(180°)/n〗 (2√(b^2-a^2/4)+a/tan〖(180°)/n〗 ) )
R_1=b^2/2h=b^2/(2√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))
Как найти сторону основания пирамиды
Задачи на вычисление стороны основания пирамиды составляют в задачнике по геометрии довольно большой раздел. Очень многое зависит от того, какая гемоетрическая фигура лежит в основании, а также от того, что дано в условиях задачи.
Вам понадобится
- — чертежные принадлежности;
- — тетрадь в клетку;
- — теорема синусов;
- — теорема Пифагора;
- — калькулятор.
Инструкция
В школьном курсе геометрии рассматриваются главным образом пирамиды, в основании которых лежит правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны равны. Проекция вершины пирамиды совпадает с центром ее основания. Начертите пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник. В условиях могут быть даны:
— длина бокового ребра пирамиды и угол его с ребром между боковой гранью и основанием;
— длина бокового ребра и высота боковой грани;
— длина бокового ребра и высота пирамиды.
Если известны боковое ребро и угол, задача решается несколько иначе. Вспомните, что собой представляет каждая боковая грань пирамиды, в основании которой лежит равносторонний многоугольник. Это равнобедренный треугольник. Проведите его высоту, которая одновременно является биссектрисой и медианой. То есть половина стороны основания a/2=L*cosA, где а – сторона основания пирамиды, L – длина ребра. Чтобы найти размер стороны основания, достаточно полученный результат умножить на 2.
Если в задаче даны высота боковой грани и длина ребра, найдите сторону основания по теореме Пифагора. Боковая грань в данном случае будет гипотенузой, известная высота –з одним из катетов. Чтобы найти длину второго катета, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат второго катета, то есть (a/2)2=L2-h2, где а – сторона основания, L – длина боковой грани, h – высота боковой грани.
В этом случае нужно выполнить дополнительное построение, чтобы можно было оперировать тригонометрическими функциями. Вам даны боковое ребро L и высота пирамиды H, которая соединяет вершину пирамиды с центром основания. Из точки пересечения высоты с плоскостью основания проведите отрезок, соединив эту точку с одним из углов основания. У вас получился прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковое ребро, одним из катетов – высота пирамиды. По этим данным легко найти второй катет треугольника, для этого достаточно из квадрата бокового ребра L вычесть квадрат высоты H. Дальнейшие действия зависят от того, какая именно фигура лежит в основании.
Вспомните свойства равностороннего треугольника. У него высоты одновременно являются биссектрисами и медианами. В точке пересечения они делятся пополам. То есть получается, что вы нашли половину высоты основания. Для удобства вычислений проведите все три высоты. Вы увидите, что отрезок, квадрат длины которого вы уже нашли, является гипотенузой прямоугольного треугольника. Извлеките квадратный корень. Вам известен и острый угол – 30°, так что найти половину стороны основания не составит особого труда, применив теорему косинусов.
Для пирамиды, в основании которой лежит правильный четырехугольник, алгоритм будет тем же самым. Если вы вычтите из квадрата бокового ребра квадрат высоты пирамиды, получите возведенную в квадрат половину диагонали основания. Извлеките корень, найдите размер диагонали, которая одновременно является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Размер любого из катетов найдите по теореме Пифагора, синусов или косинусов.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
лови-ка
Проведем 
и отрезок MN. Плоскость 
— апофема пирамиды, MN=65 см.
O1O- высота пирамиды, O1O=63 см.
Пусть A1D1 = х, тогда 
ABCD и A1B1C1D1 — квадраты, 
Построим 
Из прямоугольного ΔMEN по т. Пифагора: NE2 = MN2 — ME2 ,
Значит, сторона верхнего основания равна 24 см, тогда сторона нижнего основания будет 
= 56 (см).
Ответ: 24 см, 56 см.
Геометрические фигуры. Прямоугольная пирамида.
Прямоугольная пирамида — это пирамида, в которой одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию.
В этом случае, это ребро и будет высотой пирамиды.
Свойства пирамиды.
1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы;
- кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.
2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- высоты боковых граней имеют равную длину;
- площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.
3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу;
4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.
5. Конус будет вписанным в пирамиду, когда вершины их совпадут, а основание конуса будет вписанным в основание пирамиды. При этом вписать конус в пирамиду можно лишь в том случае, если апофемы пирамиды имеют равные величины (необходимое и достаточное условие);
6. Конус будет описанным около пирамиды, если их вершины совпадут, а основание конуса будет описано около основания пирамиды. При этом описать конус около пирамиды можно лишь в том случае, если все боковые ребра пирамиды имеют одинаковые величины (необходимое и достаточное условие). Высоты у этих конусов и пирамид одинаковы.
7. Цилиндр будет вписанным в пирамиду, если 1-но его основание совпадет с окружностью, которая вписана в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а второе основание будет принадлежать основанию пирамиды.
8. Цилиндр будет описанным около пирамиды, когда вершина пирамиды будет принадлежать его одному основанию, а второе основание цилиндра будет описано около основания пирамиды. При этом описать цилиндр около пирамиды можно лишь в том случае, если основанием пирамиды служит вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).
Формулы для определения объема и площади прямоугольной пирамиды.
V — объем пирамиды,
S — площадь основания пирамиды,
h — высота пирамиды,
Sb — площадь боковой поверхности пирамиды,
a — апофема (не путать с α) пирамиды,
P — периметр основания пирамиды,
n — число сторон основания пирамиды,
b — длина бокового ребра пирамиды,
α — плоский угол при вершине пирамиды.
Пирамида прямоугольным треугольником основании
| Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
ЗадачаВ основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна Соответственно, величина ребра CN будет равна Ответ: 13, 13 , √183 ЗадачаОснование пирамиды прямоугольный треугольник, катеты которого равны 8 и 6 см. высота пирамиды равна 10 см. Вычислить объем пирамиды. Решение. Площадь основания найдем по формуле нахождения площади прямоугольного треугольника: Пирамида. Прямоугольная пирамида. Правильная пирамида. Объем пирамиды. ТетраэдрФакт 1. Про произвольную пирамиду (PA_1A_2. A_n) (bullet) Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины. Факт 2. Про прямоугольную пирамиду Факт 3. Про правильную пирамиду (sim) боковые ребра равны; (bullet) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. источники: http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson244/ http://shkolkovo.net/theory/157 |