Все формулы для треугольника
1. Как найти неизвестную сторону треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a , b , c — стороны произвольного треугольника
α , β , γ — противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
a , b — катеты
c — гипотенуза
α , β — острые углы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b — сторона (основание)
a — равные стороны
α — углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b ):
Формулы длины равных сторон , (a):
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
a — сторона, основание
b, c — стороны
β , γ — углы при основании
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
Треугольник
Треугольник является базовой фигурой геометрии, встречающейся повсеместно. Расчет всех геометрических фигур и тел основаны на наличии в них тех или иных треугольников, благодаря чему становится возможным применить множество теорем и формул, несвойственных конкретным фигурам по отдельности. Равносторонние треугольники, равнобедренные треугольники и прямоугольные треугольники составляют каркас решения геометрических задач, и обладая множеством дополнительных построений внутри треугольника, они предоставляют огромное количество значений тех или иных длин. Все биссектрисы, медианы, высоты, радиусы окружностей, вписанных или описанных около таких треугольников, можно рассчитать в этом разделе через геометрический калькулятор. Для этого необходимо ввести любые имеющиеся вводные данные, и калькулятор выдаст не только значения всех остальных параметров треугольника, но и объяснит преобразования формул, использованные для этих расчетов.
Длина стороны треугольника
Вычисление длины стороны треугольника по двум другим и углу между ними согласно теореме косинусов.
После написания калькулятора Длина стороны прямоугольного треугольника по запросу пользователя вдруг вспомнил, что теорема Пифагора есть частный случай теоремы косинусов:
Воистину, тема треугольника неисчерпаема, как атом. На сайте уже был один калькулятор, который использовал теорему косинусов — Нахождение углов треугольника по заданным сторонам, а вот и второй, который просто находит длину противолежащей стороны.
http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle
http://planetcalc.ru/909/
|
���������: 3 ������: 8,9 |
�������� ����������� |
�������
��� ������, ������������ �������� ������� ������������, �������� �� ���� ��� ������������, ���ޣ� �������� �������������� �������������.
������� ����� ������� ��������������, ���� ����� ������ ������������ ����� a, b � c.
�������
����� ������� �������������� ����� x. �� ������������ �������� ������������� �������� ��������� ax/c + x + ax/b = a.
�����
abc/ab+bc+ac.
��������� � ���������� �������������
����� | |
����� | �������� �.�. |
��� ������� | 2001 |
�������� | ������ �� ����������� |
������������ | ����� |
������� | 4* |
����� | |
����� | 1 |
�������� | �������� ������������ |
���� | �������� ������������ |
�������� | |
����� | 7 |
�������� | ������ ��� ���������������� ������� |
���� | �������� ������������ (������) |
������ | |
����� | 01.077 |
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Прямая, параллельная стороне данного треугольника ABC, делит другую сторону в отношении 1:5 (считая от вершины). Вычислите длины сторон …» по предмету 📙 Геометрия, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы
Главная » Геометрия » Прямая, параллельная стороне данного треугольника ABC, делит другую сторону в отношении 1:5 (считая от вершины). Вычислите длины сторон отсеченного треугольника, если длины сторон данного треуголника равны: 9 см; 12 см; 18 см
Подобные треугольники
3 октября 2022
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.
Подобные треугольники — ключевая тема геометрии 8 класса. Они будут преследовать нас до самого конца школы. И сегодня мы разберём всё, что нужно знать о них.
План такой:
- Основное определение
- Лемма о подобных треугольниках
- Свойства подобных треугольников
- Разбор задач
1. Основное определение
Определение. Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNK$:
У них есть равные углы: $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. И пропорциональные стороны:
[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}= frac{AC}{MK}= frac{color{red}{3}}{color{red}{2}}]
Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны. Записывается это так:
[Delta ABCsim Delta MNK]
Число $k={color{red}{3}}/{color{red}{2}};$ называется коэффициентом подобия. К нему мы ещё вернёмся.
Пропорциональные стороны подобных треугольников (например, $AB$ и $MN$, либо $BC$ и $NK$) в некоторых учебниках называют сходственными. На практике этот термин применяется редко. Мы будем говорить просто «соответственные стороны».
Дальше идёт очень важное замечание.
1.1. Обозначение подобных треугольников
В геометрии один и тот же треугольник можно называть по-разному. Например, $Delta ABC$, $Delta BCA$ или $Delta CAB$ — это всё один и тот же треугольник. То же самое касается и углов.
Но в подобных треугольниках есть негласное правило:
При обозначении подобных треугольников порядок букв выбирают так, чтобы равные углы перечислялись в одной и той же последовательности.
Вернёмся к нашим треугольникам $ABC$ и $MNK$:
Поскольку $anglecolor{red}{A}=anglecolor{red}{M}$ и $anglecolor{blue}{B}=anglecolor{blue}{N}$, можно записать $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Deltacolor{red}{M}color{blue}{N}K$. Или $Delta Ccolor{red}{A}color{blue}{B}sim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$. Но никак не $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$.
Да, это негласное правило. И если вы нарушите последовательность букв, это не ошибка. Никто не снизит вам за это баллы. А если снизит — добро пожаловать на апелляцию.
Правильная запись позволяет быстро и безошибочно выписывать пропорциональные стороны треугольников. Рассмотрим два подобных треугольника:
[Delta ABCsim Delta MNK]
Берём две первые буквы из каждого треугольника: ${AB}/{MN};$. Затем две последние буквы: ${BC}/{NK};$. Наконец, вычёркиваем «центральную» букву: ${AC}/{MK};$.
Приравниваем полученные три дроби:
[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]
Вот и всё! Даже рисунок не нужен! Этот приём настолько прост и эффективен, что его в обязательном порядке изучают на моих занятиях, курсах и вебинарах.
В будущем мы увидим, что подобные треугольники чаще всего ищут как раз для составления таких пропорций.
2. Лемма о подобных треугольниках
Подобные треугольники появляются всякий раз, когда прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает его стороны.
Теорема 1. Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает треугольник, подобный исходному.
Доказательство. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть прямая $MNparallel AB$ отсекает треугольник $MNC$:
Докажем, что $Delta ABCsim Delta MNC$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNC$. У них есть общий угол $ACB$.
Углы $ABC$ и $MNC$ — соответственными при $MNparallel AB$ и секущей $BC$. Следовательно, они равны: $angle ABC=angle MNC$.
Аналогично равны углы $BAC$ и $NMC$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNC$ имеют три соответственно равных угла.
Докажем теперь, что соответственные стороны пропорциональны. Т.е. докажем пропорцию
[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]
Рассмотрим угол $ACB$. Параллельные прямые $AB$ и $MN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:
[frac{AC}{MC}=frac{BC}{NC}]
Это равенство — второе в искомом:
[frac{AB}{MN}= color{red}{frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}}]
Осталось доказать первое равенство. Дополнительное построение: прямая $KNparallel AC$:
Поскольку $AMparallel KN$ (по построению) и $AKparallel MN$ (по условию), четырёхугольник $AKNM$ — параллелограмм. Поэтому $AK=MN$.
Рассмотрим угол $ABC$. Параллельные прямые $AC$ и $KN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:
[frac{AB}{AK}=frac{BC}{NC}]
Учитывая, что $AK=MN$, получаем
[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]
Итак, соответственные углы треугольников $ABC$ и $MNC$ равны, а их стороны пропорциональны. Следовательно, по определению подобных треугольников
[Delta ABCsim Delta MNC]
Что и требовалось доказать.
Эта лемма — не признак подобия. Это самостоятельная теорема, которая ускоряет решение многих задач.
Признаки подобия разобраны в отдельном уроке — см. «Признаки подобия треугольников».
Частный случай этой леммы — средняя линия. Она отсекает треугольник со сторонами в два раза меньше, чем у исходного:
Оформляется это так. Поскольку $AM=MC$ и $BN=NC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ параллельны, откуда
[Delta ABCsim Delta MNC]
3. Свойства подобных треугольников
Два важнейших свойства: связь периметров и связь площадей.
3.1. Периметры подобных треугольников
Теорема 2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Доказательство. Рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:
Запишем равенство из определения подобия. Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, стороны этих треугольников пропорциональны:
[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]
Здесь число $color{red}{k}$ — коэффициент подобия. Полученное тройное равенство можно переписать так:
[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}; frac{AC}{MK}=color{red}{k}]
Или, что то же самое:
[begin{align}AB&=color{red}{k}cdot MN \ BC &=color{red}{k}cdot NK \ AC &=color{red}{k}cdot MK \ end{align}]
Периметр треугольника $MNK$:
[{{P}_{Delta MNK}}=MN+NK+MK]
Периметр треугольника $ABC$:
[begin{align}{{P}_{Delta ABC}} &=AB+BC+CD= \ &=color{red}{k}cdot MN+color{red}{k}cdot NK+color{red}{k}cdot MK= \ &=color{red}{k}cdot left( MN+NK+MK right)= \ &=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}} end{align}]
Итого получаем равенство
[{{P}_{Delta ABC}}=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}}]
Обычно именно в таком виде это равенство и применяют. Но можно записать его и как отношение:
[frac{{{P}_{Delta ABC}}}{{{P}_{Delta MNK}}}=color{red}{k}]
В любом случае, мы получили отношение, которое и требовалось доказать.
3.2. Площади подобных треугольников
Теорема 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. Первые шаги очень похожи на доказательство предыдущей теоремы. Вновь рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:
Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, углы $ABC$ и $MNK$ равны. Следовательно, равны синусы этих углов:
[begin{align}angle ABC &=angle MNK=color{blue}{alpha} \ sin angle ABC &=sin angle MNK=sin color{blue}{alpha} end{align}]
Кроме того, стороны подобных треугольников пропорциональны:
[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]
В частности, из этого равенства следует, что
[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}]
Или, что то же самое:
[begin{align}AB &= color{red}{k}cdot MN \ BC &= color{red}{k}cdot NK \ end{align}]
Площадь треугольника $MNK$:
[{{S}_{Delta MNK}}=frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin color{blue}{alpha} ]
Площадь треугольника $ABC$:
[begin{align}{{S}_{Delta ABC}} &=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &=frac{1}{2}cdotcolor{red}{k}cdot MNcdotcolor{red}{k}cdot NKcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin alpha = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}} end{align}]
Получаем равенство
[{{S}_{Delta ABC}}={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}}]
Перепишем в виде отношения:
[frac{{{S}_{Delta ABC}}}{{{S}_{Delta MNK}}}={color{red}{k}^{2}}]
Что и требовалось доказать.
Для доказательства теоремы мы использовали формулу площади треугольника:
[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}absin alpha ]
Тригонометрию проходят после подобия, поэтому мы опираемся на ещё не изученный материал.
Впрочем, ничто не мешает взять уже известную формулу:
[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}ah]
Здесь $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Дело в том, что высоты в подобных треугольниках тоже пропорциональны. И не только высоты. Назовём это Свойством 3.3.:)
3.3. Элементы подобных треугольников
Теорема 4. Отношение высот, биссектрис и медиан, проведённых к соответствующим сторонам подобных треугольников, равно коэффициенту подобия.
Проиллюстрируем это на высотах. Пусть треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны:
В этом случае высоты $CDbot AB$ и $KLbot MN$ относятся как
[frac{CD}{KL}=frac{AB}{MN}= color{red}{k}]
Для доказательства этой теоремы нужно знать признаки подобия. Поэтому оставим его до следующего урока. А сейчас переходим к задачам.
4. Задачи на подобие
Здесь разобрано пять задач на подобие треугольников. Все они довольно простые. За сложными задачами добро пожаловать в задачник.:)
Задача 1. Готовые треугольники
Известно, что треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны, причём $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. Кроме того, стороны $AB=6$, $BC=7$, $AC=10$ и $MN=9$. Найдите стороны $NK$ и $MK$.
Решение. Построим треугольники $ABC$ и $MNK$, отметим известные стороны:
Из условия $Delta ABCsim Delta MNK$ следует, что верно равенство
[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]
Подставим в это равенство всё, что нам известно:
[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}=frac{color{red}{10}}{MK}]
Опустим последнюю дробь и получим пропорцию
[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}]
Найдём сторону $NK$:
[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{7}}{color{red}{6}}=10,5]
Аналогично, убирая среднюю дробь, получим пропорцию
[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{10}}{MK}]
Найдём сторону $MK$:
[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{10}}{color{red}{6}}=15]
Ответ: $NK=10,5$, $MK=15$.
Задача 2. Прямая, параллельная стороне
Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$. Найдите:
а) Отрезок $BD$, если $AB=16$, $AC=20$, $DE=15$.
б) Отрезок $AD$, если $AB=28$, $BC=63$, $BE=27$.
Решение. Для начала построим рисунок. Он будет общий для обоих пунктов.
Из условия следует, что прямая $DE$ пересекает стороны треугольника $ABC$:
Поскольку $DEparallel AC$, по лемме о подобных треугольниках прямая $DE$ отсекает от треугольника $ABC$ новый треугольник, подобный исходному:
[Delta ABCsim Delta DBE]
Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует равенство
[frac{AB}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{AC}{DE}]
Решаем пункт а). Подставляем в это равенство всё, что нам известно:
[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]
Вычёркиваем среднюю дробь и получаем пропорцию
[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]
Отсюда легко найти $DB$ (или, что то же самое, $BD$):
[DB=frac{color{red}{16}cdotcolor{red}{15}}{color{red}{20}}=12]
Аналогично решаем пункт б). Подставляем в исходное равенство известные величины:
[frac{color{red}{28}}{DB}=frac{color{red}{63}}{color{red}{27}}=frac{AC}{DE}]
Первые две дроби образуют пропорцию, из которой вновь легко найти $DB$:
[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=12]
Осталось найти $AD$:
[begin{align}AD &=AB-BD= \ &=color{red}{28}-color{red}{12}=16 end{align}]
Ответ: а) $BD=12$; б) $AD=16$.
Важное замечание по работе с пропорциями. Ни в коем случае не нужно перемножать числа в числителе.
Напротив: нужно разложить их на множители и сократить!
Взгляните:
[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=frac{4cdotcolor{blue}{7}cdot 3cdotcolor{green}{9}}{color{blue}{7}cdotcolor{green}{9}}=12]
Так вы сэкономите время, избежите умножения столбиком и защитите себя от множества ошибок. Никогда не умножайте большие числа, если дальше их нужно будет сокращать.
Задача 3. Доказательство подобия
Точки $M$ и $K$ — середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Докажите, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны.
Решение. Сделаем первоначальный рисунок по условию задачи:
Здесь нет прямых, параллельных сторонам треугольника, поэтому лемма о подобных треугольниках не поможет. Докажем подобие по определению.
Сначала разберёмся с углами. Поскольку $ABCD$ — квадрат, и $KD=MD$ — половина стороны квадрата, треугольники $MDK$ и $BCD$ — прямоугольные и равнобедренные.
Все острые углы треугольников $MDK$ и $BCD$ равны 45°. Можем записать это так:
[begin{align}angle BCD &=angle MDK={90}^circ \ angle CBD &=angle DMK={45}^circ \ angle CDB &=angle DKM={45}^circ \ end{align}]
Дополнительное построение: диагональ квадрата $color{red}{AC}$:
Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KM$ — средняя линия, поэтому $KM={color{red}{AC}}/{2};$. С другой стороны, $AC=BD$ как диагонали квадрата. Поэтому верно равенство
[frac{KM}{BD}=frac{KM}{color{red}{AC}}=frac{1}{2}]
Но тогда выполняется следующее равенство:
[frac{MD}{BC}=frac{DK}{CD}=frac{MK}{BD}=frac{1}{2}]
А это вместе с равенством углов как раз и означает, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны:
[Delta MDKsim Delta BCD]
Доказательство завершено.
Мы доказали подобие треугольников по определению. Если пользоваться признаками подобия, всё будет намного быстрее. Но пока мы не вправе пользоваться этими признаками.
Задача 4. Вписанный ромб
В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEK$ так, как показано на рисунке. Найдите сторону ромба, если $AB=10$, $BC=15$.
Решение. Пусть искомая сторона ромба равна $color{red}{x}$. Из условия задачи получим такой рисунок:
Зная, что $AB=10$ и $BC=15$, выразим $AK$ и $CD$:
[begin{align}AK &=10-color{red}{x} \ CD &=15-color{red}{x} \ end{align}]
Далее рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $BDEK$ — ромб, то $KEparallel BC$. По лемме о подобных треугольниках имеем:
[Delta ABCsim Delta AKE]
В подобных треугольниках подобные стороны пропорциональны, поэтому
[frac{AB}{AK}=frac{BC}{KE}=frac{AC}{AE}]
Подставим в это равенство всё, что нам известно или выражено через $color{red}{x}$:
[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}=frac{AC}{AE}]
Последняя дробь оказалась бесполезной. Вычеркнем её и получим пропорцию:
[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}]
Применяем основное свойство пропорции и уравнение:
[begin{align}10cdotcolor{red}{x} &=15cdot left( 10- color{red}{x} right) \ 2cdotcolor{red}{x} &=3cdot left( 10- color{red}{x} right) \ &cdots\ color{red}{x} &=6 end{align}]
Это и есть искомая сторона ромба. Она равна $color{red}{x}=6$.
Ответ: $BD=6$.
Задача 5. Свойства биссектрисы
В треугольнике $ABC$ стороны $AB=8$, $BC=12$, угол $ABC={120}^circ $. Отрезок $BD$ — биссектриса. Найдите длину $BD$.
Решение. Из условия задачи можно сделать вот такой рисунок:
Поскольку $BD$ — биссектриса угла в треугольнике, точка $D$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные сторонам $AB$ и $BC$. Это можно записать так:
[frac{AD}{CD}=frac{AB}{CB}=frac{color{red}{8}}{color{red}{12}}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]
Обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $AD=color{blue}{2x}$, $CD=color{blue}{3x}$.
Дополнительное построение: прямая $DMparallel AB$:
Рассмотрим угол $ACB$. Поскольку $DMparallel AB$, по теореме о пропорциональных отрезках получаем, что
[frac{BM}{CM}=frac{AD}{CD}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]
Вновь обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $BM=color{blue}{2y}$, $CM=color{blue}{3y}$. Но тогда
[BC=BM+MC=color{blue}{5y}=color{red}{12}]
Получаем, что $color{blue}{y}=color{red}{2,4}$. Отсюда легко найти длину $BM$:
[BM=color{blue}{2y}=2cdotcolor{red}{2,4}= color{red}{4,8}]
Далее заметим, что если угол $ABC$ равен 120°, то
[angle ABD=angle CBD={60}^circ ]
С другой стороны, прямые $AB$ и $MD$ параллельны по построению. Прямая $BD$ — секущая для этих параллельных прямых.
Следовательно, углы $ABD$ и $BDM$ — внутренние накрест лежащие, поэтому
[angle BDM=angle ABD={60}^circ ]
Рассмотрим треугольник $BDM$. В нём есть два угла по 60°. Следовательно, это равносторонний треугольник:
[BD=BM=color{red}{4,8}]
Мы нашли длину отрезка $BD$. Задача решена.
Ответ: $BD=4,8$.
Итак, с определением разобрались. В следующем уроке разберём признаки подобия.:)
Смотрите также:
- Как применяется теорема косинусов и подобие треугольников для решения широкого класса задач в планиметрии.
- Теорема менелая
- Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
- Введение системы координат
- Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
- Нестандартная задача B5 на площадь круга
Утверждение
Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.
Дано: ∆ ABC,
Доказать:
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1BC1
1) ∠BAC=∠BA1C1 (как соответственные при AC ∥ A1C1 и секущей AB)
2) ∠B — общий.
Следовательно, треугольники подобны:
(по двум углам).
Что и требовалось доказать.
Задача.
Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции пересекаются в точке M. Большее основание трапеции AD равно 24 см, МС=5 см, CD=7см. Найдите меньшее основание трапеции.
Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,
AD=24 см, BM=12 см, AB=6 см
Найти: BC.
Решение:
В треугольнике AMD BC — прямая, параллельная стороне AD и пересекающая две другие его стороны AM и DM. Следовательно, она отсекает от него подобный треугольник:
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
AM=AB+MB=6+12=18 см.
Ответ: 16 см.
Замечание.
Если бы в задаче вместо AD и BC была задействована зависимость между MC и MD, достаточно было бы применить обобщенную теорему Фалеса для угла AMD: