Как найти стороны прямоугольника вписанного в эллипс

Не могу найти формулы, как найти ширину и высоту вписанного в эллипс прямоугольника, зная вертикальный и горизонтальный радиусы эллипса и соотношения сторон прямоугольника.

Пример:
горизонтальный радиус = 10
вертикальный радиус = 5
ширина = 2 высоты
нужно найти значения высоты и ширины, если прямоугольника вписан в эллипс

Если есть готовая npm-библиотека с этими формулами или пример на JS, прошу подсказать.
Математиков прошу подсказать сами формулы, гугление предлагает мне только окружности с одним радиусом.
Всем спасибо!

Прямоугольник вписан в эллипс с осями [math]2a[/math] и [math]2b[/math]. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Верно ли мое решение?

Обозначим через x и y половины сторон прямоугольника, тогда площадь прясоугольника вписанного в эллипс равен [math]2xcdot2y[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] находим из уравнения эллипса

[math]frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1[/math], [math]x[/math]-одна стороны прямоугольника; [math]y=bsqrt{1-frac{x^2}{a^2}}[/math] — вторая сторона прямоугольника

тогда площадь прямоугольника [math]=f(x)=2xcdot2y=2xcdotfrac{2b}{a}cdotsqrt{a^2-x^2}[/math]

[math]f'(x)=frac{4b(a^2-2x^2)}{asqrt{a^2-x^2}}[/math]
[math]f'(x)=0[/math]

[math]x_1=asqrt{2}[/math], [math]x_2=-asqrt{2}[/math] (не удовл.)

[math]x=frac{a}{sqrt2}[/math]
[math]y=bsqrt{1-frac{a^2}{2a^2}}=frac{b}{sqrt2}[/math]

т.к. оси эллипса [math]2b[/math] и [math]2a[/math], значит [math]x=asqrt{2}[/math], [math]y=asqrt{2}[/math]

Заранее спасибо огромное!

2

3. Аналитическая геометрия на плоскости

3.5 Эллипс

Выпишем еще раз каноническое уравнение эллипса,
begin{equation}
frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1,
label{ell1}
end{equation}

см. соответствующий рисунок 5.

При каноническом описании полагают, что $a>b>0$. Заметим, что если $a=b$, то эллипс превращается в окружность. Точки $(a,0), , (-a,0), , (0, b),, (0, -b)$ называют вершинами эллипса, параметр $a$ — большая полуось, параметр $b$ — малая полуось. Далее, вводят параметр $c=sqrt{a^2-b^2}$, точки $(c,0), , (-c,0)$ называют фокусами эллипса. Величину $varepsilon = c/a$ называют эксцентриситетом эллипса. Она характеризует вытянутость эллипса. Из определений следует, что для эллипса $0 leq varepsilon leq 1$.

Рис 5: Эллипс и его директрисы.

Опишем сначала элементарные свойства эллипса, следующие непосредственно из канонического уравнения (19).

1. Из этого уравнения следует, что если точка $(x,y)$ принадлежит эллипсу, то выполняются неравенства $|x| leq a $, $|y| leq b$. Таким образом, все точки эллипса лежат в этом прямоугольнике (конечном!).

2. Так как переменные $x,y$ входят в уравнение эллипса только в квадратах, то из того, что $(x,y)$ лежат на эллипсе следует, что точки $(pm x, , pm y)$ также лежат на эллипсе при любом выборе знаков. Это означает, что эллипс симметричен при отражении относительной осей координат и имеет центр симметрии, точку $O$.

Эллипс можно описать как геометрическое место точек. Для этого соединим точку $M$, лежащую на эллипсе, с фокусами. Соответствующие отрезки называются фокальными радиусами точки (см. рис. 5, отрезки $r_1, , r_2$).

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее фокальных радиусов равнялась $2a$,
begin{equation}
r_1+r_2=2a.
label{ell2}
end{equation}

Доказательство.

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы было равно эксцентриситету эллипса,
begin{equation}
r_2/d_2=varepsilon. (21)
label{ell3}
end{equation}
 

Доказательство.

Пример.

Решение типовых задач.

Задачи.

Обозначим через x и y половины сторон прямоугольника, тогда площадь прямоугольника вписанного в эллипс равен 2xcdot2y, где x и y находим из уравнения эллипса

frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1, x-одна стороны прямоугольника; y=bsqrt{1-frac{x^2}{a^2}} — вторая сторона прямоугольника

тогда площадь прямоугольника =f(x)=2xcdot2y=2xcdotfrac{2b}{a}cdotsqrt{a^2-x^2}

f'(x)=frac{4b(a^2-2x^2)}{asqrt{a^2-x^2}}
f'(x)=0

x_1=asqrt{2}, x_2=-asqrt{2} (не удовл.)

x=frac{a}{sqrt2}
y=bsqrt{1-frac{a^2}{2a^2}}=frac{b}{sqrt2}

т.к. оси эллипса 2b и 2a, значит x=asqrt{2}, y=asqrt{2}