Как найти стороны треугольника через синус косинус

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.

4cepure.JPG

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: 

asinA=bsinB=csinC

(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).

Теорема синусов используется для вычисления:

  • неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;

  • неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения

sin180°−α=sinα

.

Наиболее часто используемые тупые углы:

sin120°=sin180°−60°=sin60°=32;sin150°=sin180°−30°=sin30°=12;sin135°=sin180°−45°=sin45°=22.

Радиус описанной окружности

Треуг2.jpg

asinA=bsinB=csinC=2R

, где (R) — радиус описанной окружности.

Выразив радиус, получаем

R=a2sinA

, или

R=b2sinB

, или

R=c2sinC

.

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно (2) данных величин (две стороны или сторона и угол).

Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы (3) данных величины.

4cepure.JPG

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:

Теорема косинусов используется для вычисления:

  • неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;

  • вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения

cos180°−α=−cosα

.

Наиболее часто используемые тупые углы:

cos120°=cos180°−60°=−cos60°=−12;cos150°=cos180°−30°=−cos30°=−32;cos135°=cos180°−45°=−cos45°=−22. 

Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.

Источники:

Рис. 1-3. Треугольник, окружность, © ЯКласс.

Источник

Содержание:

Теорема синусов, теорема косинусов:

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описан­ной около треугольника, т. е.
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС = Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

1) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решеният. е. Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из прямоугольного треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр) Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Для Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения справедливость равенства Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения докажите самостоятельно, В силу доказанного Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения позволяет решить две следующие задачи:

  • зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
  • зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияможно решить еще три задачи (рис. 153): 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

  • зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
  • зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
  • зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти два других угла Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения При помощи калькулятора (таблиц). находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то, зная Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вначале мы нашли бы острый угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения А за­тем, используя формулу Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получили бы, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Из формулы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпо теореме Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Используем формулу Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения из которой Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТак как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениято Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — боковая сторона, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — высота, проведенная к основанию Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения 

Заменив Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения в формуле Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По основному тригонометрическому тождеству Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Справедливость теоремы для случаев, когда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения теорема косинусов запишется так:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то по теореме Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует формула

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Для углов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияполучим:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По теореме косинусов

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
 

Так, из формулы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения с учетом того, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует:

  1. если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый;
  2. если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой;
  3. если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
 

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

  1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— острый, откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)
Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку cos Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                   (2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

  • • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
  • • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Утверждение доказано.

Аналогично: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Формула медианы позволяет:

  • зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
  • зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
  • зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения б) Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то есть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениястороны АВ = 6, ВС = 10 и Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 171).
Поскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и по условию Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой, то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим стороны треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана (рис. 172).
По формуле медианы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а также по двум сторонам и углу между ними: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно найти по формуле Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— полупериметр треугольника.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Для Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения синус положительный. Поэтому Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияИз теоремы косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Так какТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
 

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними). 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 184).

Найти : Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Решение:

Рис. 184
1) По теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По следствию из теоремы косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Нахождение угла Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениятребует выяснения того, острый или тупой угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум  прилежащим к ней углам).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 185).

Найти: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(sin Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияили Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(cos Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениянаходим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Дано: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 186).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Найти: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Зная Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 4) Угол Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения затем нахождение по косинусу угла его синуса Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и, наконец, использование теоремы синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениядля нахождения R.

Пример №4

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпоскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №5

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Проведем Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияСН = 8. Площадь трапеции Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 76.
 

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как в четырехугольнике АВМС Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где R — радиус. Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике АВС известно: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Построим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения симметричный Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то вокруг четырехугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вписан в эту окруж­ность, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пусть СО = х. По теореме косинусов из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения.

 Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Способ 3. Достроим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №8

Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Применим формулу Герона:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

С другой стороны, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из уравнения Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения = 2. Откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
 

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По теореме косинусов из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 194) следует:

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения              (2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Сложим почленно полученные равенства:
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из последнего равенства выразим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Разделив сторону Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияс в отношении Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим: 

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме Стюарта Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 196). Нужно доказать, что Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Выразим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и через Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По формуле биссектрисы треугольника Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Из условия Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (второй множитель при положительных Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения больше нуля). Утверждение доказано.

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е.Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 197).

Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (по свойству вписанного четырехугольника) и Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Аналогично из Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда  Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

Запомните:

  1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тиволежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу проти­волежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме ква­дратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  4. Пусть Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — стороны треугольника и с — большая сторона. Если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник тупоугольный, если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник остроугольный, если Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник прямоугольный.
  5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  6. Формула Герона: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  7. Формула медианы: Теорема синусов и теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
Источник

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

  1. Найти все стороны треугольника.
  2. Найти все углы треугольника.
  3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
  4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
  5. Найти радиус (R) описанной окружности.
  6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет



где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам



где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу



где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол



где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними



где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании



где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними



где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании



где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь



где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту



где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности



где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности



где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)



где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)



где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В8 (2014)

Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Противолежащий катет — это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  , 

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет — это тот катет, который является одной из  сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  , 

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  , 

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и  с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Рассмотрим примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

1. Задание В7 (№ 27217)  В треугольнике   угол  равен , . Найдите

рис.1

Решим эту задачу двумя способами.

а. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

б. 

Введем единичный отрезок , тогда , 

По теореме Пифагора .

Тогда 

Ответ: 

2. Задание В7 (№27220)

В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите  

Смотрим на рис.1:

Значит, 

Ответ: 

3.  Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите  

Введем единичный отрезок , тогда , 

По теореме Пифагора 

Ответ: 

4. Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен , ,  . Найдите AC.

Введем единичный отрезок , тогда , 

По теореме Пифагора 

Найдем :  — по условию.

Значит, . Отсюда 

Ответ: 

5. Задание В7 (№27259)

В треугольнике ABC угол C равен , ,  . Найдите AH.

Найдем  из треугольника  

— прилежвщий  к углу  катет, поэтому он связан с  через 

Найдем  с помощью основного тригонометрического тождества:

, отсюда 

Теперь рассмотрим треугольник , в котором  — гипотенуза, а  — катет, связанные между собой через :

, отсюда 

Ответ: AH=15.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»

ege-ok.ru

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

2mb.ru

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Скачать к уроку математики Конспект урока по математике в 6 классе по теме «Параллельные прямые». Методы обучения: словесные (беседа, рассказ), наглядные (презентация, работа с чертежным треугольником), практические (упражнения для коллективного, индивидуального выполнения в.

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015

Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Противолежащий катет — это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет — это тот катет, который является одной из сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:

Решим эту задачу двумя способами.

А. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

2 . Задание В7 (№27220)

Смотрим на рис.1:

3 . Задание В7 (№27221)

4 . Задание В7 (№27221)

5 . Задание В7 (№27259)

Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов ( 7 )

Здравствуйте, Инна. Благодаря Вашему сайту, я белый свет увидела. А то все выходные сижу, выбираю из всех пособий ЕГЭ задачи, естественно решаю их. Учителя математики, работающие в 11 классе, очень хорошо меня понимают. Огромное Вам, Инна, спасибо, очень хороший подбор геометрических задач.

Учась в школе, больше любил геометрию, чем алгебру. Вот и сейчас очень часто приходится «решать» прямоугольные треугольники: то угол нужно вычислить, то длину катета…

У меня вопрос, а почему в задаче номер пять, где вы находите косинус через основное тригонометрическое тождество, равняется корень из пяти деленного на три? А то у меня получилось, что квадрат сокращается остается 1-2/3, и, получается равно 1/3, не как у вас. Обьясните пожалуйста, как вы решили

Добавте плииз задачу где есть гипотенуза и там надо найти меньший из отрезков на которые делит гипотенуза биссектриса прямого угла

А можно условие задачи, или хотя бы номер в банке заданий

Ребята ну что это такое? Это же школьная программа 8 класса, если хотите что то интересное зайдите в квант) все ведь в школе учились?

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие Равенства:

Значит Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение Гипотенузы и Синуса угла, Противолежащего этому катету, либо и Косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить Гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, Гипотенуза будет Частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус Прилежащего к катету Угла.

Значит, Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на Тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на Котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т. к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.

По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

poiskvstavropole.ru

Как найти сторону через синус

Сторону

треугольника дозволено обнаружить не только по периметру и площади, но и по заданной стороне и углам. Для этого применяются тригонометрические функции – синус и косинус . Задачи с их применением встречаются в школьном курсе геометрии, а также в вузовском курсе аналитической геометрии и линейной алгебры.

Инструкция

1. Если знаменита одна из сторон треугольника и угол между ней и иной его стороной, воспользуйтесь тригонометрическими функциями – синус ом и косинус ом. Представьте себе прямоугольный треугольник НBC , у которого угол ? равен 60 градусам. Треугольник НBC показан на рисунке. От того что синус , как знаменито, представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, для решения поставленной задачи воспользуйтесь дальнейшим соотношением между этими параметрами:sin ?=НB/BCСоответственно, если вы хотите узнать катет прямоугольного треугольника, выразите его через гипотенузу дальнейшим образом:НB=BC*sin ?

2. Если в условии задачи, напротив, дан катет треугольника, обнаружьте его гипотенузу, руководствуясь дальнейшим соотношением между заданными величинами:BC=НB/sin ?По аналогии обнаружьте стороны треугольника и с применением косинус а, изменив предыдущее выражение дальнейшим образом:cos ?=НC/BC

3. В элементарной математике существует представление теоремы синус ов. Руководствуясь фактами, которые описывает данная теорема, также дозволено обнаружить стороны треугольника. Помимо этого, она разрешает обнаружить стороны треугольника, вписанного в окружность, если знаменит вестим радиус последней. Для этого воспользуйтесь соотношением, указанным ниже:a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2RЭта теорема применима в том случае, когда знамениты две стороны и угол треугольника, либо дан один из углов треугольника и радиус описанной вокруг него окружности.

4. Помимо теоремы синус ов, существует и аналогичная ей по сути теорема косинус ов, которая, как и предыдущая, также применима к треугольникам всех 3 разновидностей: прямоугольному, остроугольному и тупоугольному. Руководствуясь фактами, которые доказывают эта теорема, дозволено находить неведомые величины, применяя следующие соотношения между ними:c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?

Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не принадлежащих одной прямой называемых вершинами, и трёх попарно соединяющих их отрезков, называемых сторонами, именуется треугольником. Существует уйма задач на нахождение сторон и углов треугольника по ограниченному числу начальных данных, одна из таких задач – нахождение стороны треугольника по одной из его сторон и двум углам .

Инструкция

1. Пускай построен треугольник ?ABC и знамениты – сторона BC и углы ?? и ??.Знаменито, что сумма углов всякого треугольника равна 180?, следственно в треугольнике ?ABC угол ?? будет равен ?? = 180? – (?? + ??).Обнаружить стороны AC и AB дозволено применяя теорему синусов, которая гласитAB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, где R – радиус описанной около треугольника ?ABC окружности,тогда получаемR = BC/sin??,AB = 2 * R * sin??,AC = 2 * R * sin??.Теорему синусов дозволено использовать при всяких данных 2-х углах и стороне.

2. Стороны заданно треугольника дозволено обнаружить, вычислив его площадь по формулеS = 2 * R? * sin?? * sin?? * sin??,где R вычисляется по формулеR = BC/sin??, R – радиус описанной около треугольника ?ABC отсюдаТогда сторону AB дозволено обнаружить, вычислив высоту, опущенную на неёh = BC * sin??,отсель по формуле S = 1/2 * h * AB имеемAB = 2 * S/hАналогичным образом дозволено вычислить сторону AC.

3. Если в качестве углов даны внешние углы треугольника ?? и ??, то обнаружить внутренние углы дозволено с поддержкой соответствующих соотношений?? = 180? – ??,?? = 180? – ??,?? = 180? – (?? + ??).Дальше действуем подобно первым двум пунктам .

Постижение треугольников ведется математиками на протяжении нескольких тысячелетий. Наука о треугольниках – тригонометрия – использует особые величины: синус и косинус.

Прямоугольный треугольник

Изначально синус и косинус появились из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было подмечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается неизменно идентичным.Именно так и были введены представления синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.

Теоремы косинусов и синусов

Но косинусы и синусы могут использоваться не только в прямоугольных треугольниках. Дабы обнаружить значение тупого либо острого угла, стороны всякого треугольника, довольно применить теорему косинусов и синусов.Теорема косинусов достаточно примитивна: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними». Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему зачастую расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».

Производные

Производная – математический инструмент, показывающий, как стремительно меняется функция касательно метаморфозы ее довода. Производные применяются в алгебре, геометрии, экономике и физике, ряде технических дисциплин. При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса – синус, но со знаком «минус».

Применение в математике

Особенно зачастую синусы и косинусы применяются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними. Удобство синусов и косинусов обнаружило свое отражение и в технике. Углы и стороны было примитивно оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая трудные фигуры и объекты на «примитивные» треугольники. Инженеры и архитекторы, зачастую имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили много времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов. Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов различных углов. В советское время некоторые преподаватели принуждали своих подопечных учить страницы таблиц Брадиса назубок.

jprosto.ru

КАК НАЙТИ СТОРОНУ ЧЕРЕЗ СИНУС: Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции

Изначально синус и косинус возникли из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе. В случае известных прочих числовых данных, найти стороны треугольника прямоугольного достаточно по косинусу. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Исторически они возникли как соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, поэтому удобнее всего и вычислять их через прямоугольный треугольник. Было замечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается всегда одинаковым. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны? Вам понадобится Размеры сторон прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные. Чтобы найти значение тупого или острого угла, стороны любого треугольника, достаточно применить теорему косинусов и синусов. Причина в том, что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный.

Еще интересное:

Навигация по записям

callbollonez.ru

Формулы площади треугольника через синус

Определение и формула площади треугольника через синус

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольником называется фигура, состоящая из трех вершин и трех сторон.

Существует много формул для вычисления площади треугольника. Если известны длины двух сторон треугольника и угол между этими сторонами, то для вычисления площади треугольника удобно пользоваться следующей формулой

где – стороны треугольника, – угол между сторонами и .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Найти площадь треугольника со сторонами см и см, если угол между этими сторонами равен .
Решение Площадь треугольника будем искать как полупроизведение сторон треугольника на синус угла между ними:
Ответ см

ПРИМЕР 2

Задание В треугольнике угол , а сторона на см больше стороны . Найти длины сторон и треугольника, если его площадь равна .
Решение Обозначим сторону через , тогда сторона будет равна . Запишем формулу для площади треугольника

и подставим в нее известные данные:

Преобразуем последнее уравнение и получим квадратное уравнение

Корнями полученного уравнения будут и . По смыслу задачи подходит только первый корень. Тогда см, а см.
Ответ см, см.

ru.solverbook.com

Источник

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Проанализируем прямоугольный треугольник ABC в котором обозначим катеты как а, b и гипотенузу как с соответственно.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие равенства:

Значит катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение гипотенузы и синуса угла, противолежащего этому катету, либо и косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, гипотенуза будет частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус прилежащего к катету угла.

Значит, катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a = b = c = 2R
sin α sin β sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

источники:

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти полную поверхность правильной треугольной пирамиды
  • Как найти свои личные цвета
  • Как найти будильник в моем телефоне андроид
  • Как найти радиус квадрата в метрах
  • Как найти длину гипотенузы в прямоугольнике