Как найти суммарный кпд двух циклов

На этой странице вы узнаете

• В чем прелесть фазовых переходов?
• Что лучше выбрать: Mercedes или BMW?

Люди научились летать в космос, покорять недра Земли и погружаться в глубины океана. Эти и другие достижения возможны благодаря способности извлекать максимум пользы из имеющихся ресурсов,а именно получать тепловую энергию различными доступными способами. Сегодня мы разберем задачи, которые заставят тепловые процессы играть на нашей стороне. 

Тепловые машины и их КПД

Рекомендация: перед тем как приступить к выполнению задач неплохо было бы повторить тему «Уравнение состояния идеального газа» . Но ключевую теорию, на которой основано решение задач, сейчас разберем вместе.

Мы не почувствуем, как испарится капелька у нас на руке, потому что это не требует много тепла от нашего тела. Но мы можем наблюдать, как горят дрова в мангале, когда мы жарим шашлык, потому что выделяется огромное количество теплоты. А зачем мы вообще рассматриваем эти фазовые переходы? Все дело в том, что именно фазовые переходы являются ключевым звеном во всех процессах, где нас просят посчитать КПД, от них нашему рабочему телу и подводится теплота нагревателя.

Человечество придумало такие устройства, которые могут переработать тепловую энергию в механическую.

Тепловые двигатели, или тепловые машины, — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 

Их устройство довольно просто: они на входе получают какую-то энергию (в основном — энергию сгорания топлива), а затем часть этой теплоты расходуется на совершение работы механизмом. Например, в автомобилях часть энергии от сгоревшего бензина идет на движение. Схематично можно изобразить так:

Рабочее тело — то, что совершает работу — принимает от нагревателя количество теплоты Q₁, из которой A уходит на работу механизма. Остаток теплоты Q₂ рабочее тело отдает холодильнику, по сути — это потеря энергии.

Физика не была бы такой загадочной, если б все в ней было идеально. Как и в любом процессе или преобразовании, здесь возможны потери, зачастую очень большие. Поэтому «индикатором качества» машины является КПД, с которым мы уже сталкивались в механике:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.

Мы должны понимать, что КПД на практике никогда не получится больше 1, поскольку всегда будут тепловые потери. 

Полезную работу можно расписать как Q₁ — Q₂ (по закону сохранения энергии). Тогда формула примет вид:

(eta = frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — frac{Q_2}{Q_1})

Цикл Карно

Мы знаем, что потери — это плохо, поэтому должны предотвращать их. Как это сделать? Нам ничего делать не нужно, за нас уже все сделал Сади Карно, французский физик, разработавший цикл, в котором машины достигают наивысшего КПД. Этот цикл носит его имя и состоит из двух изотерм и двух адиабат. Рассмотрим, как этот цикл выглядит в координатах p(V).

• Температура верхней изотермы 1-2 — температура нагревателя (так как теплота в данном процессе подводится).
• Температура нижней изотермы 3-4 — температура холодильника (так как теплота в данном процессе отводится).
• 2-3 и 4-1 — это адиабатические расширение и сжатие соответственно, в них газ не обменивается теплом с окружающей средой.

Цикл Карно — цикл идеальной тепловой машины, которая достигает наивысшего КПД. 

Формула, по которой можно рассчитать ее КПД выражается через температуры:

Приступим к задачам

Задачи на данную тему достаточно часто встречаются в задании 27 из КИМа ЕГЭ. Давайте разберем некоторые примеры.

Задание 1. Одноатомный газ совершает циклический процесс, как показано на рисунке. На участке 1–2 газ совершает работу A₁₂ = 1520 Дж. Участок 3–1 представляет собой адиабатный процесс. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно |Q_хол| = 4780 Дж. Найдите работу газа |A₁₃| на адиабате, если количество вещества постоянно.

Решение:

Шаг 1. Первое, с чего лучше начинать задачи по термодинамике — исследование процессов. 

Посмотрим на участок 1-2 графика: продолжение прямой проходит через начало координат, поэтому график функционально можно записать, как p = aV, где a — какое-то число, константа. Графиком является не изотерма, поскольку график изотермы в координатах p-V — гипербола. Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует: (frac{pV}{T} = const). Отсюда можно сделать вывод, что возрастает температура, так как растут давление и объем.  Температура и объем растут, значит, увеличивается и внутренняя энергия и объем соответственно.

Участок 2-3: процесс изохорный, поскольку объем постоянен, следовательно, работа газом не совершается. Рассмотрим закон Шарля: (frac{p}{T} = const). Давление в этом процессе растет, тогда растет и температура, поскольку дробь не должна менять свое значение. Делаем вывод, что внутренняя энергия тоже увеличивается.

Участок 3-1: адиабата по условию, то есть количество теплоты в этом переходе равна нулю из определения адиабатного процесса. Работа газа отрицательна, так как газ уменьшает объем. 

Оформим все данные в таблицу. 

Определим знаки Q, используя первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.

Из этих данных сразу видно, что количество теплоты, отданное холодильнику — это количество теплоты в процессе 2-3.

Шаг 2. Первый закон термодинамики для процесса 1-2 запишется в виде: 

Q₁₂ = ΔU₁₂ + A₁₂. 

Работа A12 — площадь фигуры под графиком процесса, то есть площадь трапеции: 

(A_{12} = frac{p_0 + 2p_0}{2} * V0 =frac{3p_0V_0}{2}). 

Запишем изменение внутренней энергии для этого процесса через давление и объем. Мы выводили эту формулу в статье «Первое начало термодинамики»:

(Delta U_{12} = frac{3}{2}(2p_0 * 2V_0 — p_0V_0) = frac{9p_0V_0}{2}). 

Заметим, что это в 3 раза больше работы газа на этом участке: 

(Delta U_{12} = 3A_{12} rightarrow Q_{12} = 4A_{12}).

Шаг 3. Работа цикла — площадь фигуры, которую замыкает график, тогда . A = A₁₂ — |A₃₁|. С другой стороны, работа цикла вычисляется как разность между энергиями нагревателя и холодильника: A = Q₁₂ — |Q₃₁|.

 Сравним эти формулы:

Q₁₂ -|Q₃₁| = A₁₂ — |A₃₁|,

подставим выражения из предыдущего пункта:

4A₁₂ — |Q₃₁| = A₁₂ — |A₃₁| (rightarrow) |A₃₁| = -3A₁₂ + |Q₃₁| = -31520 + 4780 = 220 Дж.

Ответ: 220 Дж

Задание 2. Найти КПД цикла для идеального одноатомного газа.

Решение:

Шаг 1. КПД цикла определим по формуле: (eta = frac{A}{Q}), где Q — количество теплоты от нагревателя, а А — работа газа за цикл. Найдем А как площадь замкнутой фигуры: A = (2p₁ — p₁)(3V₁ — V₁) = 2p₁V₁.

Шаг 2. Найдем процесс, который соответствует получению тепла от нагревателя. Воспользуемся теми же приемами, что и в прошлой задаче:

Посмотрим на участок 1-2 графика: давление растет, объем не меняется. По закону Шарля (frac{p}{T} = const) температура тоже растет. Работа газа равна 0 при изохорном процессе, а изменение внутренней энергии положительное.

2-3: давление не меняется, растет объем, а значит, работа газа положительна. По закону Гей-Люссака (frac{V}{T} = const) температура тоже растет, растет и внутренняя энергия.

3-4: давление уменьшается, следовательно, и температура уменьшается. При этом процесс изохорный и работа газа равна 0.

4-1: давление не меняется, объем и температура уменьшаются — работа газа отрицательна и внутренняя энергия уменьшается.

Оформим данные в таблицу: 

Отметим, что  необходимое Q = Q₁₂ + Q₂₃.

Шаг 3. Запишем первый закон термодинамики для процессов 1-2 и 2-3:

(Q_{12} = U_{12} + A_{12} = Delta U_{12} = frac{3}{2}(2p_1V_1 -p_1V_1) = frac{3}{2}p_1V_1).
(Q_{23} = Delta U_{23} + A_{23}), работу газа найдем как площадь под графиком: A₂₃ = 2p₁(3V₁ — V₁) = 4p₁V₁.
(Delta U_{12} = frac{3}{2}(2p_1 * 3V_1 — 2p_1V_1) = 6p_1V_1).
(Q_{23} = Delta U_{23} + A_{23} = 10p_1V_1).

Шаг 4. Мы готовы считать КПД: (eta = frac{A}{Q} = frac{A}{Q_{12} + Q_{23}} = frac{2p_1V_1}{frac{3}{2}p_1V_1 + 10p_1V_1} = frac{4}{23} approx 0,17).

Ответ: 17%

Теперь вас не должно настораживать наличие графиков в условиях задач на расчет КПД тепловых машин. Продолжить обучение решению задач экзамена вы можете в статьях «Применение законов Ньютона» и «Движение точки по окружности».

Фактчек

• Тепловые двигатели — устройства, способные преобразовывать внутреннюю энергию в механическую. 
• Тепловая машина принимает тепло от нагревателя, отдает холодильнику, а рабочим телом совершает работу.
• Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины — это отношение полезной работы двигателя к энергии, полученной от нагревателя.
  (eta = frac{A}{Q_1} = frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} = 1 — frac{Q_2}{Q_1})  
• Цикл Карно — цикл с максимально возможным КПД: (eta = frac{T_1 — T_2}{T_1} = 1 — frac{T_2}{T_1})
• Не забываем, что работа считается, как площадь фигуры под графиком.

Проверь себя

Задание 1. 
1 моль идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2, а потом — в состояние 3 так, как это показано графике. Начальная температура газа равна T₀ = 350 К. Определите работу газа при переходе из состояния 2 в состояние 3, если k = 3, а n = 2.

1. 5672 Дж
2. 4731 Дж
3. 5817 Дж
4. 6393 Дж

Задание 2. 
1 моль идеального одноатомного газа совершает цикл, который изображен на pV-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры, изобары. Модуль отношения изменения температуры газа при изобарном процессе ΔT₁₂ к изменению его температуры ΔT₃₄ при изохорном процессе равен 1,5. Определите КПД цикла.

1. 0,6
2. 0,5
3. 0,8
4. 1

Задание 3.
В топке паровой машины сгорело 50 кг каменного угля, удельная теплота сгорания которого равна 30 МДж/кг. При этом машиной была совершена полезная механическая работа 135 МДж. Чему равен КПД этой тепловой машины? Ответ дайте в процентах.

1. 6%
2. 100%
3. 22%
4. 9%

Задание 4.
С двумя молями одноатомного идеального газа совершают циклический процесс 1–2–3–1 (см. рис.). Чему равна работа, совершаемая газом на участке 1–2 в этом циклическом процессе?

1. 4444 Дж
2. 2891 Дж
3. 4986 Дж
4. 9355 Дж

Ответы:1 — 3; 2 — 1; 3 — 4; 4 — 3.

Речь в статье пойдет о КПД различных циклов, проводимых с газом. При этом давайте помнить, что внутренняя энергия изменяется тогда, когда изменяется температура, а в адиабатном процессе передачи тепла не происходит, то есть для совершения работы в таком процессе газ «изыскивает внутренние резервы». Кроме того, работа численно равна площади под кривой процесса, а работа за цикл — площади внутри цикла.

Задача 1.

На рисунке представлена диаграмма цикла с одноатомным идеальным газом. Участки и — адиабаты.  Вычислите КПД данной тепловой машины и максимально возможный КПД .

КПД тепловой машины можно вычислить как

Машина получает тепло только на участке AB, и, так как работы здесь не совершается, то можно вычислить количество теплоты, полученное газом, как увеличение его внутренней энергии:

Работа численно равна площади, ограниченной циклом. Поэтому

Участк и по условию – адиабаты, то есть передачи тепла газу на этих участках не происходит, следовательно, работа будет совершена за счет «внутренних резервов» — то есть внутренней энергии. Нужно, следовательно, найти, как она изменилась.

Задачу можно решить двумя способами. Во-первых, просто определить температуры в точках и , и , это легко сделать из данных графика с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона, и затем посчитать . Но, так как , а ,то изменение внутренней энергии будет равно

Определим максимальный КПД. Посчитаем его как КПД цикла Карно. Максимальная температура газа будет достигнута в точке , а минимальная – в точке :

Ответ: , .

Задача 2.

Над идеальным одноатомным газом проводят цикл, включающий изобару, изохору, изотерму, при этом работа газа за цикл равна кДж.  В процессе изотермического сжатия (3-1) внешние силы совершают над газом положительную работу кДж. Найдите КПД данной тепловой машины.

Работа газа в процессе 1-2– площадь под линией процесса 1-2. Работа внешних сил – площадь под циклом (под линией 3-1). Поэтому полная работа за цикл – это разность работы газа и работы внешних сил, площадь, ограниченная линиями цикла. Она будет равна 5 кДж.

Работа газа в процессе 1-2, таким образом, равна 8 кДж. А поскольку процесс изобарный, то кДж. Тогда КПД

Ответ: .

Задача 3.

КПД  тепловой машины, работающей по циклу, включающему изотермический (1-2) и адиабатный (3-1) процессы, равен , причем работа, совершенная 2 моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе кДж. Найдите разность максимальной и минимальной  температур  газа в цикле.

Полная площадь под кривой процесса 1-2 равна кДж. При этом, так как КПД машины 25%, то площадь внутри цикла равна , а под кривой 3-1  — .  В процессе 1-2 изменения внутренней энергии не было, так как температура не менялась, а в процессе 3-1 газу не передавали тепло, следовательно, работа совершена за счет внутренней энергии. Т.е.

Ответ: 500 K.

Максимальный кпд тепловых машин (теорема Карно)

Главное значение
полученной Карно формулы (5.12.2) для КПД
идеальной машины состоит в том, что она
определяет максимально возможный КПД
любой тепловой машины.

Карно
доказал, основываясь на втором законе
термодинамики*, следующую теорему: любая
реальная тепловая машина, работающая
с нагревателем температуры Т₁
и
холодильником температуры Т₂,
не может иметь коэффициент полезного
действия, превышающий КПД идеальной
тепловой машины.

* Карно фактически
установил второй закон термодинамики
до Клаузиуса и Кельвина, когда еще первый
закон термодинамики не был сформулирован
строго.

Рассмотрим
вначале тепловую машину, работающую по
обратимому циклу с реальным газом. Цикл
может быть любым, важно лишь, чтобы
температуры нагревателя и холодильника
были Т₁
и
Т₂.

Допустим,
что КПД другой тепловой машины (не
работающей по циклу Карно) η’
> η.
Машины
работают с общим нагревателем и общим
холодильником. Пусть машина Карно
работает по обратному циклу (как
холодильная машина), а другая машина —
по прямому циклу (рис. 5.18). Тепловая
машина совершает работу, равную согласно
формулам (5.12.3) и (5.12.5):

(5.12.11)

Рис. 5.18

Холодильную
машину всегда можно сконструировать
так, чтобы она брала от холодильника
количество теплоты Q₂
= ||

Тогда согласно
формуле (5.12.7) над ней будет совершаться
работа

(5.12.12)

Так
как по условию η’
> η,
то
А’
> А. Поэтому
тепловая машина может привести в действие
холодильную машину, да еще останется
избыток работы. Эта избыточная работа
совершается за счет теплоты, взятой от
одного источника. Ведь холодильнику
при действии сразу двух машин теплота
не передается. Но это противоречит
второму закону термодинамики.

Если
допустить, что η
> η‘,
то
можно другую машину заставить работать
по обратному циклу, а машину Карно — по
прямому. Мы опять придем к противоречию
со вторым законом термодинамики.
Следовательно, две машины, работающие
по обратимым циклам, имеют одинаковые
КПД: η‘
= η.

Иное
дело, если вторая машина работает по
необратимому циклу. Если допустить η‘
> η,
то
мы опять придем к противоречию со вторым
законом термодинамики. Однако допущение
т|’ < г| не противоречит второму закону
термодинамики, так как необратимая
тепловая машина не может работать как
холодильная машина. Следовательно, КПД
любой тепловой машины η‘
≤
η,
или

Это и есть основной
результат:

(5.12.13)

Кпд реальных тепловых машин

Формула
(5.12.13) дает теоретический предел для
максимального значения КПД тепловых
двигателей. Она показывает, что тепловой
двигатель тем эффективнее, чем выше
температура нагревателя и ниже температура
холодильника. Лишь при температуре
холодильника, равной абсолютному нулю,
η
= 1.

Но температура
холодильника практически не может быть
намного ниже температуры окружающего
воздуха. Повышать температуру нагревателя
можно. Однако любой материал (твердое
тело) обладает ограниченной теплостойкостью,
или жаропрочностью. При нагревании он
постепенно утрачивает свои упругие
свойства, а при достаточно высокой
температуре плавится.

Сейчас
основные усилия инженеров направлены
на повышение КПД двигателей за счет
уменьшения трения их частей, потерь
топлива вследствие его неполного
сгорания и т. д. Реальные возможности
для повышения КПД здесь все еще остаются
большими. Так, для паровой турбины
начальные и конечные температуры пара
примерно таковы: Т₁
= 800
К и Т₂
= 300
К. При этих температурах максимальное
значение коэффициента полезного действия
равно:

Действительное
же значение КПД из-за различного рода
энергетических потерь приблизительно
равно 40%. Максимальный КПД — около 44% —
имеют двигатели внутреннего сгорания.

Коэффициент
полезного действия любого теплового
двигателя не может превышать максимально
возможного значения
,
где
Т₁
—
абсолютная
температура нагревателя, а Т₂
—
абсолютная
температура холодильника.

Повышение
КПД тепловых двигателей и приближение
его к максимально возможному —
важнейшая
техническая задача.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Привет, Вы узнаете про второе начало термодинамики, Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
второе начало термодинамики, кпд тепловых машин, цикл карно, двигатель внутреннего сгорания, двс, тепловой двигатель , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Молекулярная физика и термодинамика.

В этой главе мы продолжим изучение термодинамических свойств систем. Основная наша цель сейчас — понять, каким образом тепло может быть преобразовано в работу механизмов. Как мы видели, тепловая энергия — это в конечном итоге энергия хаотического движения молекул. Полезная же работа, извлекаемая из различных устройств, имеет упорядоченный характер. Тепловые машины вращают генераторы на электростанциях, приводят в движение транспортные средства. Каким же образом происходят превращения одного вида энергии в другие? Интуитивно ясно, что различные виды энергии чем-то разнятся, даром что все они подчиняются закону сохранения энергии или первому началу термодинамики. В самом деле, очень легко превратить механическую работу в тепло: достаточно потереть друг о друга два деревянных бруска, и они нагреются (говорят, таким образом удается даже зажечь огонь). Упорядоченное периодическое движение брусков превращается при этом в хаотическое движение составляющих их молекул. Но сможете ли вы заставить нагретые бруски истратить часть своей тепловой энергии на возбуждение упорядоченного периодического движения? Словом, в этой главе мы займемся вопросом, с какой эффективностью порядок может быть организован из хаоса.

5.1. Циклы и
кпд тепловых машин

Среди всех возможных термодинамических процессов, изображаемых на диаграммах состояний, особое место занимают процессы, соответствующие замкнутым кривым (рис. 5.1). В этих процессах физическая система проходит через ряд состояний и возвращается в исходное. Этим и обусловлена важность замкнутых процессов (циклов).

Рис. 5.1. Пример условного замкнутого цикла (направление процесса показано стрелками). Площадь под верхней кривой равна работе, совершаемой системой, а площадь под нижней кривой — работе внешних сил над системой (показана коричневой штриховкой). Разность площадей (показана зеленой штриховкой) равна полной работе, совершенной системой за цикл

Рассмотрим подробнее процесс на рис. 5.1. При расширении газа по «пути» 1-3-2 от минимального (V₁) до максимального (V₂) объема система совершает положительную работу А₁₃₂, численно равную площади под верхней кривой. При возвращении системы в исходное состояние по другому пути 2—4—1 paбота А₂₄₁ совершается над системой. Работа системы отрицательна и по абсолютной величине равна площади под нижней кривой. Алгебраическая сумма этих работ

есть полная работа, совершенная системой за цикл. Ее численная величина равна разности упомянутых площадей, то есть площади, заключенной между верхней и нижней кривыми. Иными словами, полная работа за цикл равна площади, ограниченной данным циклом на диаграмме (р, V), если процесс совершается по часовой стрелке; в противном случае полная работа отрицательна, но ее модуль также равен этой площади.

В ходе осуществления цикла система взаимодействовала с внешней средой, получала и отдавала теплоту. Если обозначить через Q₁ количество теплоты, полученное системой, то коэффициент полезного действия (КПД) естественно определить как отношение

где А_Ц — работа за цикл.

КПД часто выражают также в процентах, для чего величину надо умножить на 100 %. Если обозначить через Q₂ > 0 количество теплоты, возвращенное системой во внешнюю среду, то разность Q₁ – Q₂ равна совершенной работе А_Ц. Это следует из первого начала термодинамики и из того факта, что при возвращении системы в исходное состояние ее внутренняя энергия также принимает исходное значение, то есть

Тогда КПД тепловой машины записывается в виде

Отсюда видно, что КПД тепловой машины не может быть больше единицы. Это утверждение можно сформулировать как невозможность вечного двигателя первого рода:

Существование такого двигателя противоречило бы закону сохранения энергии. Поскольку ни количество теплоты, ни совершенная системой работа не являются функциями состояния, КПД зависит от данного конкретного цикла, по которому работает тепловая машина.

До сих пор мы рассматривали процесс, соответствующий работе именно тепловой машины. Если повернуть процесс вспять (пустить его против часовой стрелки на рис. 5.1), то мы получим модель холодильной установки. Все стрелки на этом рисунке меняют направления на обратные, система получает от холодильника количество теплоты Q₂, и за счет работы внешней силы (электромотора) передает нагревателю большее количество теплоты Q₁. Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) требует выполнения равенства

Эффективность холодильной установки можно определить аналогично КПД тепловой машины. Надо только учесть, что полезным теперь является количество отнимаемого тепла Q₂, для чего мы совершаем работу А_Ц. Поэтому в литературе часто определяют холодильный коэффициент ’ как отношение отнимаемой теплоты к совершаемой при этом работе:

Заметим, что холодильный коэффициент может быть больше единицы. Если мы хотим пользоваться привычным коэффициентом полезного действия, то для холодильной установки естественно определить его как отношение отнятого тепла к переданному во внешнюю среду:

Такое определение соответствует традиционным взглядам на КПД установок. Действительно, в холодильнике со 100 %-й эффективностью (если бы он был возможен) все количество отнятой теплоты передавалось бы без совершения работы во внешнюю среду. Тогда мы имели бы Q₂ = Q₁ и _хол = 1. Наоборот, когда мы совершаем какую-то работу, но не отнимаем никакой теплоты, то Q₂ = 0 и _хол = 0.

5.2.
цикл карно

Для работы любой тепловой машины по замкнутому циклу необходима внешняя среда, которую условно можно представить себе как два тела — нагреватель, находящийся при температуре Т_mах, и холодильник, находящийся при температуре T_min (T_min < Т_mах). Предполагается, что при контакте с нашей системой температуры нагревателя и холодильника не меняются. При контакте с нагревателем система получает тепло, при контакте с холодильником — отдает его.

В термодинамике существует теорема Карно (рис. 5.2):

Рис. 5.2. Леонар Сади Карно (французский физик и военный инженер)

Реализация максимально возможного КПД достигается в так называемом цикле Карно, когда идеальный газ проходит замкнутый цикл, составленный из двух адиабат и двух изотерм (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Цикл Карно (обходится по часовой стрелке) — комбинация двух изотерм 1—2, 3—4 и двух адиабат 2—3 и 4—1; теплообмен со средой осуществляется на изотермических участках цикла: на участке 1—2 газ получает теплоту Q₁, а на участке 3—4 отдает теплоту Q₂

Убедимся, что показанный замкнутый процесс действительно имеет КПД, соответствующий формуле (5.5). Температура системы равна T₁ в точках 1, 2 и T₂ в точках 3, 4. Значения остальных термодинамических параметров (р, V) будут иметь в качестве индекса номер соответствующей точки на диаграмме. Нам надо вычислить количества полученной Q₁, и отданной Q₂ теплоты, найти совершенную газом работу А_Ц = Q₁ – Q₂ и определить КПД цикла. Сразу заметим, что на участках 2-3 и 4-1 система не обменивается теплом с внешней средой. Следовательно, теплоту Q₁ газ получает на участке 1-2, а теплоту Q₂ отдает на участке 3-4. Рассмотрим подробнее различные участки цикла.

См. анимацию «Цикл Карно»

Изотерма 1—2. На этом участке газ находится в контакте с нагревателем и происходит изотермическое расширение от объема V₁ до объема V₂. Температура Т₁ не меняется, следовательно, не изменяется внутренняя энергия, а вся полученная теплота расходуется на совершение газом работы:

Величину работы газа при изотермическом процессе мы уже вычисляли ранее, так что с учетом формулы (2.13) находим

Адиабата 2—3. Здесь система отсоединяется от нагревателя и не обменивается теплом с внешней средой: Q₂₃ = 0. Газ продолжает расширяться, но уже адиабатно. Работа совершается за счет внутренней энергии газа, и его температура падает до значения Т₂. На этом участке цикла нам нужна информация, доставляемая уравнением адиабаты:

Изотерма 3—4. Система подключается к холодильнику, и газ начинает сжиматься. Внутренняя энергия остается неизменной, над газом совершается работа (А₃₄ < 0), а выделяющееся

тепло

передается холодильнику. Имеем аналогично (5.6)

Адиабата 4—1. Система отключена от внешней среды и продолжает сжиматься изотермически, что приводит к повышению ее температуры до Т₁. В конечном итоге система возвращается в первоначальное состояние. Поскольку точки 4 и 1 лежат на адиабате, получаем связь объемов и температур, аналогичную (5.7):

Из уравнений (5.7) и (5.9) находим отношения объемов

откуда следует, что

Поэтому отдаваемую холодильнику теплоту Q₂ (см. уравнение (5.8)) можно записать как

Используя выражение (5.6) для теплоты, полученной системой, находим совершенную в ходе цикла работу

Из проведенного анализа следует также, что максимальная температура в цикле равна Т_mах = Т₁, а минимальная — Т_min = Т₂. Если разделить (5.12) на (5.6), то немедленно получим выражение (5.5) для КПД цикла Карно, из которого выпадают все параметры, кроме температур холодильника и нагревателя.

Пример 1. Котел тепловой станции работает при температуре около t₁ = 550 °С. Отработанное тепло отводится к реке при температуре около t₂ = 20 °С. Найдем максимально возможный КПД этой станции (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Схема работы тепловой машины Карно

Поскольку в формуле для КПД цикла Карно используются абсолютные температуры, надо перейти от шкалы Цельсия к шкале Кельвина: Т₁ = 550 + 273 = 823 К, Т₂ = 20 + 273 = 293 К. Теперь находим КПД тепловой станции:

Конечно, реальный КПД станции заметно ниже.

Если цикл Карно осуществить в обратном направлении, то есть против часовой стрелки на рис. 5.2, то для определения эффективности холодильной установки надо использовать формулы (5.3), (5.4) и выражения (5.6), (5.11). Получаем тогда

Печально, но чем ниже температура внешней среды Т₁, тем меньше мы нуждаемся в холодильнике, и тем эффективнее он работает.

Рис. 5.5. Схема работы холодильной установки

Приведем численный пример. Если кондиционер поддерживает в комнате температуру t₂ = 20 °С, а температура наружного воздуха равна t₁ = 30 °С, то для холодильного коэффициента имеем

а для КПД холодильника

Конечно, на самом деле температура тепловыделяющего элемента больше наружной температуры на 20–30 градусов, так что разность температур может достигать 30–40 градусов, что приводит к значениям

Напомним, что речь идет об идеальных установках, работающих по циклу Карно. Реальный типичный кондиционер потребляет мощность 750 Вт, перекачивая за час около 5 МДж тепловой энергии. Это значит, что за секунду кондиционер совершает работу А = 750 Дж и отнимает у воздуха в комнате теплоту

Отсюда находим

Мы видим, что реальный кондиционер гораздо менее эффективен, нежели идеальный холодильник Карно.

Пример 2. Пусть в домашнем холодильнике поддерживается температура t₂ = –3 °С (Т₂ = 270 К), а температура в кухне равна t₁ = 27 °С (T₁ = 300 К). Пусть далее мотор холодильника потребляет мощность N = 200 Вт. Предполагая, что холодильник работает по циклу Карно и что тепловыделяющий элемент имеет температуру окружающего воздуха, определим мощность потока тепловой энергии, перекачиваемой из камеры холодильника в кухню.

За время t мотор совершит работу

КПД холодильника равен

откуда находим количество теплоты, поступающее в кухню в единицу времени:

Обратите внимание, что холодильник работает как весьма эффективный обогреватель помещения. Надо только оплачивать потребляемую мотором мощность 200 Вт, а в кухню поступит в 10 раз большая энергия, 90 % которой перекачивается из камеры холодильника (90 % — КПД холодильника в этом примере). Любопытно, что если бы вместо холодильника был включен обогреватель той же мощности, то он нагревал бы помещение в 10 раз слабее.

Наши численные оценки можно рассматривать как пример теплового загрязнения окружающей среды, свойственного технической цивилизации.

5.3.
второе начало термодинамики

Конечно, сравнение лишь двух циклов с циклом Карно не может служить доказательством максимальной (по КПД) эффективности последнего. Но даже если мы переберем все мыслимые циклы, то все равно искомого доказательства не получим. Ведь в цикле Карно в качестве рабочего тела используется идеальный газ. Быть может, если заставить работать какое-либо другое вещество, мы сумеем превзойти КПД цикла Карно? Вообразим, что такая тепловая машина X принципиально возможна, и посмотрим, к каким последствиям это приведет. Используя эту гипотетическую тепловую машину с КПД _х, соорудим новую установку: соединим машину X с холодильной установкой Карно и подсоединим их к одному и тому же нагревателю (находящемуся при температуре Т₁) и холодильнику (находящемуся при температуре Т₂). Схема установки изображена на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Гипотетическая тепловая машина, позволяющая обосновать невозможность вечного двигателя второго рода

Как будет работать наш агрегат? Машина X забирает теплоту Q₁ от нагревателя, часть ее превращает в полезную работу

а остаток

передает холодильнику. Вся полезная работа А (предполагается, что исключены потери энергии) используется для приведения в действие холодильной установки Карно, КПД которой равен

а холодильный коэффициент

(см . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . выражения (5.13)). Это значит, что установка Карно забирает из холодильника теплоту

и передает нагревателю теплоту

где, напомним, _С — КПД тепловой машины Карно.

В результате действия агрегата из двух машин получился следующий итог. Никакой работы не произведено, так как вся работа от действия тепловой машины X потрачена на приведение в действие холодильной установки Карно. От холодильника отнято количество теплоты

Точно такое же количество теплоты передано нагревателю: как следует из (5.15),

Так что с законом сохранения энергии у нас все в порядке, но если _Х > _С, то

Это значит, что наш агрегат без всякой работы внешних сил передал какое-то количество теплоты от холодильника к нагревателю. Казалось бы, что беспокоиться не о чем, раз закон сохранения энергии не нарушен. Но никто в природе не наблюдал таких процессов передачи тепла от холодных тел к горячим, при которых в окружающей среде не происходило каких-либо изменений. В конечном итоге на основе опытных фактов было сформулировано второе начало термодинамики:

Не следует думать, что второе начало термодинамики запрещает передачу тепла от холодного тела к горячему. Отнюдь нет, в холодильной установке так и происходит. Но ключевое слово в формулировке второго начала — это слово единственный. Передача тепла от холодного тела к нагретому — не единственный результат действия холодильной установки, она связана с внешним источником, за счет работы которого и функционирует.

Многочисленные опыты и наблюдения привели ко второму началу термодинамики и пониманию, что оно является фундаментальным законом природы. Коль скоро это так, то из второго начала следует вывод: КПД любой гипотетической тепловой машины X не превосходит КПД машины Карно, работающей в том же интервале температур:

Последнее означает, что минимальная температура рабочего тела машины Х не меньше температуры холодильника машины Карно и максимальная температура рабочего тела машины Х не больше температуры нагревателя машины Карно. Если эти неравенства не выполнены, то соотношение между КПД двух машин может быть любым. Данное обстоятельство явно учтено в комбинированной машине, изображенной на рис. 5.3: у машины Х и машины Карно общие нагреватель и холодильник.

У второго начала термодинамики есть и другая формулировка:

Иными словами, нельзя построить установку, где все тепло Q₁, полученное от нагревателя, преобразовывалось бы в полезную работу А_ц = Q₁. Тогда КПД такой установки (ее называют вечным двигателем второго рода) равнялся бы единице и превысил бы КПД цикла Карно. Таким образом, второе начало термодинамики запрещает существование вечного двигателя второго рода: какое-то количество полученного тепла обязательно должно быть передано другим телам (холодильнику). Изобретателям остается только пожалеть об этом. Как было бы здорово, если бы можно было использовать огромную тепловую энергию, накопленную, скажем, в Мировом океане! Увы, мы вынуждены сжигать топливо, что приводит и к расходованию природных ресурсов, и к выбросу углекислого газа и прочих продуктов сгорания, и к тепловому загрязнению окружающей среды вследствие принципиальной необходимости отводить часть теплоты в атмосферу или водоемы, играющие роль холодильника.

Вопрос о КПД тепловых машин тесно связан с проблемой обратимости термодинамических процессов.

Обратимость процессов в термодинамике сродни отсутствию трения в механике. Так же как в механике наилучшим механизмом является механизм без трения, так и здесь наилучшей тепловой машиной является обратимая машина. Чтобы показать это, снова обратимся к нашему агрегату на рис. 5.3. Мы не предполагали, что машина X обратима, но получили, что ее КПД не может превышать КПД тепловой машины Карно, работающей в паре с ней в обратном направлении:

Пусть теперь машина X будет обратимой. Запустим наш агрегат в обратном направлении: машина Карно производит полезную работу, и она используется для запуска машины X как холодильной установки. Но тогда с помощью таких же аргументов мы получим противоположное неравенство

Из двух противоположных неравенств следует единственный вывод: КПД обеих машин равны:

Таким образом, все обратимые тепловые машины имеют одинаковый КПД, совпадающий с КПД машины Карно. Необратимые же машины имеют меньший КПД.

Какие машины в принципе могут быть обратимыми? Мы видели, что тепло может течь только от нагретых тел к холодным. Это и создает необратимость и неравновесность подобных процессов. Есть два исключения. В адиабатном процессе вообще не происходит передачи тепла. Медленно сжимая поршнем газ в теплоизолированном сосуде, мы совершаем работу, нагревая при этом газ. Если отпустить поршень, то газ адиабатно расширится, охладившись до прежней температуры и совершив то же количество работы за счет своей внутренней энергии. Мы имеем дело с обратимым процессом. Другой обратимый процесс — это передача тепла от одного тела к другому при одинаковой температуре тел. Тогда тоже нет выделенного направления переноса тепловой энергии, и такой (изотермический) процесс также будет обратим, он должен происходить бесконечно медленно и поэтому будет равновесным. Таким образом, обратимыми могут быть адиабатный и изотермический процессы и любой цикл, построенный из таких процессов. С одним из них — циклом Карно — мы уже знакомы.

Но если тепло переносится при разных температурах контактирующих тел и тем более, если в системе есть трение или иные потери энергии, если в газе возникают ударные волны, вихри, турбулентности и т. п., то процесс будет неравновесным и необратимым. Так, взрыв паров бензина в цилиндре автомобильного двигателя не является обратимым процессом: движение поршня в обратном направлении никогда не приводит к рекомбинации продуктов взрыва обратно в пары бензина.

Следствием второго начала термодинамики является утверждение:

5.4. Энтропия системы

В классической механике и электродинамике мы привыкли к тому, что невозможность какого-то процесса, как правило, связана с каким-то законом сохранения (энергии, импульса, электрического заряда и т. п.). Почему же невозможен вечный двигатель второго рода? Казалось бы, он не нарушает никаких законов сохранения? Чтобы понять это, надо обратиться еще к одной функции состояния системы — к энтропии.

Путь к этой новой для нас функции состояния недолог: надо взять уравнение первого начала термодинамики

и разделить его обе части на температуру. Прежде всего учтем, что

Далее в формуле для элементарной работы

выразим объем через давление и температуру из уравнения состояния (1.7) идеального газа:

Получим в итоге с использованием соотношения Майера между молярными теплоемкостями

следующее выражение

Правая часть (5.34) представляет собой дифференциал некоторой функции S состояния системы:

где S₀ — постоянная интегрирования, не зависящая от термодинамических параметров системы (давления, объема, температуры). Эта функция S называется энтропией. Получилось так, что величина dQ, не являющаяся дифференциалом какой-либо функции состояния, при делении на T стала таковым:

При замкнутом обратимом цикле изменение любой функции состояния (в частности, энтропии) равно нулю:

Кружок на знаке интеграла означает, что интегрирование ведется по замкнутому контуру.

Проверим выполнение (5.19) на примере цикла Карно. Поскольку в этом цикле тепло получается системой и отдается только на изотермах (Т_1,2 = const), температуру можно вынести из-под знака интеграла, и тогда интегрирование даст просто количество теплоты, поделенное на температуру, при которой оно получается или отдается. И действительно, выше было найдено, что на изотермических ветвях цикла при температуре Т₁ газ получает теплоту

а при температуре Т₂ — отдает теплоту

Выполнение равенства

теперь очевидно. Напомним, что получаемое тепло имеет положительный знак, а отдаваемое — отрицательный; мы же определили ранее Q₂ как абсолютную величину отдаваемого тепла, поэтому в формуле появился знак «–».

Проделаем теперь похожие выкладки с произвольным обратимым циклом. Выделим в нем две части: знаком «+» обозначим те фазы процесса, когда система получает тепло, а знаком «–» фазы, когда система отдает тепло. Поскольку полный интеграл равен нулю, аналогичные интегралы по двум частям цикла равны между собой:

Если обозначить через Т₁ максимальную температуру в первой части цикла, то неравенство Т < Т₁ влечет за собой неравенство

где Q₁ как и прежде означает полное количество теплоты, полученное системой. Если ввести минимальную температуру Т₂ во второй части цикла, то из Т > Т₂ следует

где Q₂ — количество теплоты, отданное системой. Из этих неравенств и соотношения (5.20) следует, что

Наконец получаем неравенство для КПД цикла

С помощью понятия энтропии мы получили иным путем тот же результат: КПД любого цикла не превышает КПД цикла Карно с температурой нагревателя равной максимальной температуре рабочего тела и с температурой холодильника равной минимальной температуре рабочего тела рассматриваемого цикла. В дальнейшем мы будем опускать указание на то, что сравниваются КПД тепловых машин, работающих в одном и том же интервале температур.

Таким образом, мы убедились, что новая функция состояния — энтропия — связана со вторым началом термодинамики. До сих пор мы ограничивались равновесными (обратимыми) процессами. Рассмотрим пример неравновесного процесса. Пусть в начальном состоянии имеются два одинаковых идеальных газа с равными массами m при одинаковой температуре Т, но разных давлениях р₁ и р₂. Определим изменение энтропии при соединении сосудов с газом.

В первый момент после соединения сосудов, когда газы еще не смешались, энтропия системы равна сумме энтропии газов в отдельных сосудах:

Найдем теперь объемы сосудов:

После соединения сосудов масса газа становится равной 2m, а объем — V = V₁ + V₂. Значит, давление р после соединения сосудов равно

Поэтому энтропия газа после соединения сосудов равна

Приращение энтропии находится из (5.23) и (5.25):

Под знаком логарифма стоит величина, всегда большая единицы. Стало быть, энтропия увеличилась: > 0.

Цель этого примера, прежде всего, состоит в том, чтобы на частном случае продемонстрировать, как работает закон возрастания энтропии:

После того как мы соединили сосуды и, тем самым, открыли возможность перемешивания газов, мы получили неравновесное состояние с энтропией, равной сумме энтропий, газы стали перемешиваться, давления выравниваться, система перешла в равновесное состояние с большей, чем ранее энтропией. В результате перехода (благодаря внутренним процессам в системе) из первоначально неравновесного состояния в конечное равновесное состояние энтропия системы возрастает.

Закон возрастания энтропии является иной формулировкой второго начала термодинамики. Как мы сейчас убедимся, его смысл сводится к тому, что система стремится к более вероятному состоянию. Вспомним задачу о смешивании газов с разными давлениями. Вообще говоря, можно представить себе обратный процесс: газ и сосуде самопроизвольно разделится на две части, так что давления в каждой из частей будут различаться. Никакой закон сохранения не противоречит такому процессу, но он никогда не происходит в реальности, поскольку вероятность его ничтожно мала. Закон возрастания энтропии связан с тем, что данное макроскопическое состояние системы (определяемое параметрами Т, р, V) может быть реализовано множеством способов при различных микроскопических состояниях (определяемых положениями и скоростями молекул). Понятно ведь, что можно поменять импульсы пли положения какой-то пары молекул, и мы получим другое микроскопическое состояние, но термодинамически система не изменится. Число микроскопических состояний, соответствующих некоторому макроскопическому состоянию, определяет вероятность последнего: чем большим числом способов можно его реализовать, тем оно вероятнее. Возрастание энтропии, как уже говорилось, означает лишь то, что система стремится перейти в более вероятное состояние, которое реализуется большим числом микроскопических состояний.

Чтобы убедиться, что энтропия действительно связана с вероятностью, рассмотрим еще один неравновесный процесс. Пусть имеется сосуд объемом V, разделенный на правую и левую половины непроницаемой перегородкой. Пусть идеальный газ из N молекул содержится в левой половине сосуда, в то время как правая половина от молекул свободна. Перегородку делают проницаемой, так что газ может адиабатно расширяться в пустоту, как в эффекте Джоуля — Томсона. Определим изменение энтропии газа. Поскольку при расширении в пустоту не совершается работы против внешней силы, а тепла извне не поступает в силу условия адиабатности, идеальный газ не изменяет свою температуру. Увеличение же в два раза объема, занимаемого молекулами газа, приводит к двукратному уменьшению его давления от начального значения р₁ до конечного р₂ = р₁/2. Поэтому энтропии газа до и после расширения равны, соответственно:

а приращение энтропии дается выражением

Каково же происхождение фактора 2^N под знаком логарифма? Проследим за какой-нибудь молекулой. При непроницаемой перегородке она могла находиться только в левой половине сосуда, а потом ей стали доступны обе половины. Число способов размещения данной молекулы увеличилось в два раза, и так — для каждой из N молекул. Поэтому полное число способов размещения молекул увеличилось в 2^N раз. В такое же число раз вероятность состояния газа, равномерно занимающего полный объем сосуда, больше вероятности состояния, когда при проницаемой перегородке все молекулы сосредоточатся в левой половине, оставив правую свободной. Это не противоречит никаким законам сохранения, но при N = N_A = 6,02·10²³ молекул (один моль вещества) вероятность такого события фантастически, грандиозно, невероятно мала .

Еще один пример на ту же тему. Возьмем тот же сосуд, и пусть в каждой из его половинок находится равное число N/2 молекул при одинаковых температуре и давлении. Мысленно пометим молекулы левой половины черным цветом, а правой — белым, и пусть молекулы слева и справа больше ничем не отличаются. После этого соединим сосуды и определим приращение энтропии . После перемешивания температуры газов не изменятся, а их парциальные давления уменьшатся в два раза, так что полное давление, равное сумме парциальных, останется прежним. Поэтому процесс перемешивания сродни расширению газов черных и белых молекул в пустоту, и мы можем воспользоваться результатом (5.29), учитывая, что число молекул каждого цвета равно теперь N/2. Складывая затем приращения энтропий обоих газов, получаем

(N пробегает теперь только четные значения). Убедимся, что и в данном случае 2^N описывает увеличение числа способов распределения молекул по сосуду.

Рассмотрим рис. 5.7. Пусть у нас есть всего по одной молекуле в каждом из сосудов (N = 2). Раньше желтая молекула могла находиться только в левом сосуде, а после смешивания для нее стали доступны обе части соединенного сосуда. Аналогично расширились возможности для голубой молекулы, которая ранее была ограничена в своих передвижениях правым сосудом.

Рис. 5.7. Возрастание энтропии при смешивании одинаковых порций газа: при подсчете различных способов распределения молекул по частям соединенного сосуда надо различать каждую желтую и каждую голубую молекулу, для чего они снабжены «хвостиками», торчащими налево либо направо

Итак, после смешивания молекулы свободно блуждают по сосудам и мы имеем в четыре (2²) раза больше вариантов их размещения (см. верхнюю часть рис. 5.7). Если у нас имеется N = 4 молекулы, то после соединения у них появляется в 2⁴ = 16 больше возможностей распределиться по объему системы (нижняя часть рисунка). Ясно, что в общем случае N молекул число 2^N действительно есть не что иное, как фактор, в который возрастает число способов распределения молекул по объему системы.

Можно дать статистическое определение энтропии:

где W — число микроскопических способов, которыми можно реализовать данное макроскопическое состояние. Расчет вероятности макроскопических состояний и подстановка их в эту формулу приводит к прежним выражениям для энтропии идеального газа. Использование логарифма в определении энтропии позволяет свести умножение вероятностей к сложению энтропий. В наших примерах энтропия, приходящаяся на одну молекулу, возросла на величину

Двойка под логарифмом — это увеличение в два раза свободного пространства, доступного молекуле. Энтропия идеального газа из N молекул в N раз больше:

В классической статистике энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной S₀. В квантовой статистике, оперирующей дискретными уровнями энергии, эта постоянная может быть определена. Оттуда, в частности, следует теорема Нернста (рис. 5.8), иногда называемая третьим началом термодинамики:

Рис. 5.8. Вальтер Герман Фридрих Нернст

Действительно, при абсолютном нуле температуры всякое тепловое движение прекращается и все молекулы находятся в состоянии с низшей энергией. Поэтому есть только один способ реализации такого состояния (W = 1), так что S = 0. (Это неверно для систем, у которых имеется несколько низших энергетических состояний).

Представим себе, что мы снимаем фильм о смешивании молекул в сосудах. Сначала у нас слева — желтые молекулы, а справа — голубые. Молекулы сталкиваются, путешествуют по сосудам и в конечном итоге равномерно перемешиваются (так сказать, их смесь дает более или менее ровный зеленый цвет). Такое поведение системы большого числа частиц соответствует нашей практике. Запустим теперь фильм в обратном направлении. В каждом отдельном кадре, то есть в конкретном акте соударения молекул, мы не увидим ничего особенного. Законы механики не нарушатся на нашем экране, поскольку они обратимы. Но конечный итог «обратного» фильма поистине чудесен: казалось бы, беспорядочные столкновения молекул привели к разделению зеленого цвета на желтый слева и голубой справа. В таком процессе энтропия уменьшается, а система приходит от беспорядка к порядку. На самом деле каждая молекула имела в точности такие скорости и положения, испытывала именно такие, а не другие столкновения, чтобы в конце концов прийти в ту половину сосуда, где она оказалась. Такое событие в высшей степени невероятно, хотя и не противоречит микроскопическим законам физики. Закон возрастания энтропии утверждает, что система с течением времени имеет тенденцию перейти в менее упорядоченное состояние. Как говорится, «энтропия возрастает, а мир стремится к хаосу». Вопрос же о самоорганизации материи, о возникновении порядка из хаоса — предмет совсем другой науки, синергетики.

5.6.
двигатель внутреннего сгорания (
двс )

Тепловые двигатели разнообразны по конструкции и назначению. К ним относятся паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, реактивные двигатели и т. д. (см. рис. 5.9).

Рис. 5.9. Тепловые двигатели: 1 — паровая машина; 2 — двигатель внутреннего сгорания; 3 — газовая турбина; 4 — ракетный двигатель

Несмотря на многообразие, в основе практически всех тепловых двигателей лежит общий принцип — принцип циклического действия. Основными частями любого теплового двигателя являются: нагреватель, рабочее тело и холодильник.

Рассмотрим в качестве примера работу четырехтактного двигателя внутреннего сгорания. В этом двигателе высокая температура достигается за счет сгорания рабочей смеси (бензина с воздухом) внутри цилиндра двигателя; воспламенение смеси происходит с помощью искрового зажигания. Перечислим основные стадии работы четырехтактного двигателя внутреннего сгорания:

• смесь воздуха с бензином засасывается в цилиндр при движении поршня вниз;
• поршень движется вверх и сжимает газ;
• искра свечи воспламеняет смесь воздуха с бензином, при этом резко возрастает температура смеси;
• газы, находящиеся при высокой температуре и давлении, расширяются, перемещая поршень вниз (рабочий ход двигателя);
• отработанные газы выбрасываются через выпускной клапан в выхлопную трубу, затем весь цикл повторяется.

Работа четырехтактного двигателя внутреннего сгорания показана на рис. 5.10.

Рис. 5.10. Работа четырехтактного двигателя внутреннего сгорания

Рассмотрим идеализированный процесс (цикл Отто), близкий к используемому в четырехтактном двигателе внутреннего сгорания. Цикл Отто изображен на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Идеализированный цикл четырехтактного двигателя внутреннего сгорания (цикл Отто)

Как обычно, термодинамические параметры имеют индексом номер соответствующей точки на рисунке (в данном случае надо будет помнить, что V₃ = V₂; V₄ = V₁).

Изобара А—1. Первый такт цикла. Вследствие движения поршня в цилиндр всасывается горючее. Приближенно можно считать, что это происходит при атмосферном давлении p₁. Объем увеличивается от V₁ до V₂.

Адиабата 1—2. Второй такт цикла. Теплообмена со средой нет. Поршень движется в обратном направлении, адиабатно сжимая смесь от объема V₁ до объема V₂. При этом повышается давление, и температура растет от Т₁ до Т₂. Связь температур и объемов в начале и конце адиабатной части цикла дается соотношением

Изохора 2—3. Начало третьего такта. Под действием электрической искры горючая смесь взрывается: давление почти мгновенно возрастает до значения р₃, а объем еще не успевает измениться. Температура растет от T₂ до Т₃ за счет тепла, выделенного при взрыве. Работа не производится, а количество полученного тепла выражается формулой

Адиабата 3—4. Продолжение третьего такта. Теплообмена со средой нет. Газ адиабатно расширяется до максимального объема цилиндра V₁, падают температура и давление. Связь температур и объемов в начале и конце адиабаты дается уравнением

Изохора 4—l. Конец третьего такта. Открывается клапан, давление падает до атмосферного при постоянном объеме. Температура также падает до значения Т₁.

Изобара 1—А. Четвертый такт. Поршень выталкивает из цилиндра отработанные газы, система возвращается в начальное состояние. Поскольку участок А-1 проходится дважды в разных направлениях, соответствующие вклады в работу и в теплоту сокращаются и могут не приниматься во внимание.

Таким образом, получаем для КПД цикла

Из уравнений (1), (3) следует равенство отношений

откуда находим

Подставляя (6) в (5), приходим к окончательному выражению для КПД цикла

Оно получилось очень похожим на формулу для КПД цикла Карно, но обратим внимание, что максимальной температурой здесь является температура в точке 3 (Т_mах = Т₃), а минимальной — температура в точке 1 (T_min = T₁). Поэтому КПД цикла Карно, работающего между такими температурами, равнялся бы

Разность этих двух выражений отлична от нуля:

поскольку Т₄ > T₁. Мы воочию убедились, что КПД рассмотренного цикла меньше КПД цикла Карно. Заметим также, что КПД цикла Отто можно выразить через отношение объемов:

Величина V₁/V₂ называется сжатием. Получается, что КПД рассмотренного цикла определяется только величиной сжатия горючей смеси и показателем адиабаты.

5.7. Внутреннеобратимая тепловая машина

Помимо цикла Карно и технических циклов, используемых в различных двигателях, представляет интерес так называемая внутреннеобратимая тепловая машина (смысл названия станет ясен позже). Дело в том, что максимальный КПД, соответствующий циклу Карно, никогда не достигается на практике. Более того, если бы это было даже возможно, далеко не очевидно, что такую машину стоило бы создавать. Помимо КПД в реальной жизни немаловажную роль играют также простота устройства и управления, стоимость установки, ее надежность, скорость работы и тому подобные требования, которые зачастую конфликтуют между собой. В цикле Карно контакты рабочего тела с тепловыми резервуарами происходят при одинаковой температуре. Это значит, что тепло перетекает бесконечно медленно, что, конечно, очень непрактично. Представление о реальной производительности используемых установок можно получить, рассматривая внутреннеобратимую тепловую машину.

Предположим снова, что мы имеем два тепловых резервуара при температурах Т_maх и T_min. Предположим также, что работа производится циклом Карно, функционирующим при температурах нагревателя T₁ и холодильника Т₂. Имеется в виду, что выполняется следующая цепочка неравенств: T_mах > T₁ > Т₂ > T_min. Иными словами, мы рассматриваем необратимый в целом процесс, внутри которого есть обратимый цикл. Тепло подается к рабочему телу при постоянной разности температур Т_mах – T₁ и отводится от него при постоянной разности температур Т₂ – Т_min (см. схему на рис. 5.13).

Рис. 5.13. Цикл внутреннеобратимой тепловой машины, имитирующий реальные энергетические установки

В этом и заключается главное отличие от стандартного идеального цикла Карно, где соответствующие разности температур равны нулю.

Предположим, что скорость теплообмена между рабочим телом и тепловыми резервуарами пропорциональна разности температур между ними:

где Q₊, t₊ — получаемое количество теплоты и время его передачи рабочему телу при контакте с нагревателем, a Q_—, t_– — количество теплоты, отдаваемой холодильнику, и время этого процесса. Величины с₊ и с_– — соответствующие коэффициенты теплопередачи. Тогда полное время t теплообмена равно

Время, затрачиваемое машиной на внутренний цикл Карно, определяется временем установления равновесия в рабочем теле, которое существенно меньше, чем время передачи тепла t. Поэтому t можно считать временем совершения полного цикла.

Как обычно, мы предполагаем, что отсутствуют потери тепла на трение и тому подобные процессы. Количества теплоты Q₊ и Q_–, а также совершенная работа А связаны между собой соотношениями, найденными нами при изучении цикла Карно:

Подставляя (3) в (2), находим для времени осуществления цикла выражение

Мощность рассматриваемой машины равна A/t. Представим себе, что мы проектируем такую машину. У нас имеется возможность выбрать оптимальным образом температуры Т₁, Т₂, при которых функционирует внутренний цикл Карно. Выбирая их равными Т_mах и Т_min соответственно, мы добьемся максимального КПД. Но из формулы (4) следует, что при этом

и выходная мощность машины стремится к нулю. Более практично выбрать температуры таким образом, чтобы максимума достигла выходная мощность. Приравнивая нулю производные по Т₁ и Т₂ от выражения (4) для t/A, находим уравнения для этих температур. Опуская детали, приведем лишь конечный результат: максимальная выходная мощность при этих условиях равна

Достигается это значение при температурах внутреннего цикла Карно

где параметр Т₀, имеющий смысл некой средней температуры системы, определен соотношением

Очевидно, что КПД нашей машины равен КПД внутреннего цикла Карно

Поскольку отношение температур внутреннего цикла равно квадратному корню из отношения температур нагревателя и холодильника, находим КПД внутреннеобратимой машины:

Легко убедиться, что КПД меньше максимально возможного

но зато мы выиграли в выходной мощности. Любопытно, что КПД оптимизированной по мощности внутреннеобратимой машины не зависит от коэффициентов с₊ и с_–: как и в цикле Карно, он определяется лишь отношением температур нагревателя и холодильника. Авторы концепции внутреннеобратимой машины (F.L. Curzon and В. Ahlborn, Amer. J. Phys. 43, 22, 1975) приводят следующую таблицу, где сравниваются несколько крупных электростанций. Видно, что формула (8) гораздо лучше соответствует практике, нежели КПД идеального цикла Карно.

Таблица

Сравнение наблюдаемых КПД нескольких электростанций разных типов с КПД цикла Карно h_С и цикла внутреннеобратимой машины h_ВОМ

В заключение этого параграфа приведем численный пример.

Пример. Пусть коэффициенты теплопередачи с₊ одинаковы и таковы, что при разнице температур DТ = 10 К мощность теплового потока между тепловыми резервуарами и рабочим телом составляет 1 кВт. Иными словами,

Пусть далее температуры резервуаров составляют Т_mах = 50 °С = 823 К и Т_min = 20 °С = 293 К. Найдем максимальную выходную мощность внутреннеобратимой тепловой машины и температуры T₁ и Т₂, при которых должно функционировать рабочее тело, использующее цикл Карно.

Из формулы (5.29) следует, что при равенстве коэффициентов теплопроводности «средняя» температура Т₀ определяется как

Используя соотношения (5.28), находим оптимальные температуры

КПД такой установки равен h_BOM = 0,403 (ср. h_С = 0,644). При таким образом выбранных температурах рабочего тела достигается максимальная выходная мощность, определяемая по формуле (5):

В общем, мой друг ты одолел чтение этой статьи об второе начало термодинамики. Работы в переди у тебя будет много. Смело пишикоментарии, развивайся и счастье окажется в ваших руках.
Надеюсь, что теперь ты понял что такое второе начало термодинамики, кпд тепловых машин, цикл карно, двигатель внутреннего сгорания, двс, тепловой двигатель
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Молекулярная физика и термодинамика

2018-10-20   

С одноатомным идеальным газом проводят циклы 1-2-3-4-1 и 1-2-4-1 , показанные на рисунке. Найдите КПД обоих циклов. КПД какого из циклов больше и на сколько?

Молярная теплоёмкость одноатомного идеального газа при постоянном объёме $C_{V} = frac{3}{2}R$.

Решение:

Пусть $nu$ — количество газа, участвующего в циклах, $P_{0} V_{0} = nu R T_{0}$. Рассмотрим цикл 1-2-3-4-1. Работа, совершаемая газом за цикл, равна площади, ограниченной графиком цикла:

$A_{1} = 2P_{0} cdot 2V_{0} = 4P_{0}V_{0}$.

Теплота подводится к газу на участках 1-2 и 2-3. На участке 1-2 к газу подводится количество теплоты

$Q_{12} = C_{V} nu (T_{2} — T_{1}) = frac{3}{2} (3P_{0}V_{0} — P_{0}V_{0}) = 3P_{0}V_{0}$,

а на участке 2-3

$Q_{23} = C_{p} nu (T_{3} — T_{2}) = frac{5}{2} (9P_{0}V_{0} — 3P_{0}V_{0}) = 15P_{0}V_{0}$.

КПД рассматриваемого цикла:

$eta_{1} = frac{A_{1} }{Q_{12} + Q_{23} } = frac{2}{9}$.

Теперь рассмотрим цикл 1-2-4-1. Работа, совершаемая газом за этот цикл, равна

$A_{2} = frac{1}{2}2P_{0} cdot 2V_{0} = 2P_{0}V_{0}$.

Теплота к газу подводится на участке 1-2 ($Q_{12} = 3P_{0}V_{0}$)и, возможно, на участке 2-4. Запишем уравнение участка 2-4:

$frac{P}{P_{0} } = 4 — frac{V}{V_{0} }$.

Запишем первое начало термодинамики для малого участка процесса 2-4:

$Delta Q = Delta U + Delta A = C_{V} nu Delta T + P Delta V = frac{3}{2} nu R Delta T + P Delta V = frac{3}{2} Delta (PV) + P Delta V$.

Считая, что $Delta P$ и $Delta V$ малы, получим, $Delta (PV) = P Delta V + V Delta P$ и

$Delta Q = frac{5}{2} P Delta V + frac{3}{2} V Delta P$.

Для процесса 2-4, где $P = P_{0} left ( 4 — frac{V}{V_{0} } right )$, получаем $Delta P = — frac{P_{0} }{V_{0} } Delta V$, и

$Delta Q = P_{0} left ( frac{5}{2} left ( 4 — frac{V}{V_{0} } right ) — frac{3}{2} frac{V}{V_{0} } right ) Delta V = 2 left ( 5 — frac{2V}{V_{0} } right ) P_{0} Delta V$.

Видно, что при $V = frac{5}{2} V_{0}$ (обозначим это состояние цифрой 5), теплота перестает подводится к газу. В состоянии 5 давление равно $P = frac{3}{2} P_{0}$. Поэтому на участке 2-4 к газу подводится теплота на участке 2-5, а на участке 5-4 теплота от газа отводится. Количество теплоты, подводимое на участке 2-5, равно:

$Q_{24} = frac{3}{2} (1,5P_{0} cdot 2,5V_{0} — 3P_{0}V_{0}) + frac{1}{2} (3P_{0} + 1,5P_{0})(2,5V_{0} — V_{0}) = 4,5P_{0}V_{0}$.

КПД цикла 1-2-4-1

$eta_{2} = frac{A_{2}}{Q_{12} + Q_{24} } = frac{4}{15}$.

Как видно, КПД цикла 1-2-4-1 больше, чем КПД цикла 1-2-3-4-1 на $frac{2}{45}$.