Всего: 15 1–15
Добавить в вариант
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−8; 5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 10). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−1; 13). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Всего: 15 1–15
На рисунке изображен график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции 𝑓(𝑥).
Источник: mathege
Решение:
Точки экстремума функции это минимумы и максимумы. Здесь такими точками являются х = 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.
Найдём сумму точек экстремума:
1 + 2 + 4 + 7 + 9 + 10 + 11 = 44
Ответ: 44.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
- Запись опубликована:03.08.2021
- Рубрика записи7. Прототипы темы: «Производная и первообразная»
- Автор записи:Andrei Maniakin
Дата: 2015-07-27
9082
Категория: Производная
Метка: ЕГЭ-№7
27490. На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале (–2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Покажем их:
Поэтому сумма точек экстремумов равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.
Ответ: 44
Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.
Ok
7. Взаимосвязь функции и ее производной
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Связь производной с точками экстремума функции
В данных задачах речь идет о непрерывных функциях (простым языком, функция будет непрерывна на интервале, если ее график можно нарисовать на этом интервале, не отрывая ручку от листа).
(blacktriangleright) (color{royalblue}{text{Точки}}) (локального) (color{royalblue}{text{экстремума}}) функции – это точки (локального) максимума и минимума.
Окрестность – это интервал вокруг точки некоторого радиуса. Например, окрестностью точки (x=0) можно назвать интервал ((-1;1)), или ((-0,1;0,1)), или ((-0,0000001;0,0000001)) и т.д.
(blacktriangleright) (color{royalblue}{text{Точка}}) (color{royalblue}{text{максимума}}) (x_{max}) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: (f(x)leqslant
f(x_{max})) для любого (x) из некоторой окрестности точки (x_{max}).
То есть можно найти такую окрестность, что для любой точки из этой окрестности будет выполнено данное неравенство.
Заметим, что, например, если функция определена на отрезке ([0;2]), то все точки интервала ((0;2)) будут внутренними, а вот точки (0) и (2) – граничными (то есть не внутренними).
(blacktriangleright) (color{royalblue}{text{Точка}}) (color{royalblue}{text{минимума}}) (x_{min}) – такая внутренняя точка области определения функции, для которой выполнено: (f(x)geqslant
f(x_{min})) для любого (x) из некоторой окрестности точки (x_{min}).
Например, для точки (C) за окрестность можно взять интервал ((3;5)) или даже ((2;6)), а можно совсем маленький — ((4-0,01;4+0,01)).
Следующие факты помогают искать точки экстремума функции.
(blacktriangleright) Если производная (f’) в точке (x) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “(+)” на “(-)” , то эта точка является точкой максимума.
Заметим также, что если производная (f’) в точке (x) не существует и меняет свой знак слева направо с “(+)” на “(-)” (но (x) – внутренняя точка области определения функции (f,)!), то эта точка является точкой максимума.
Пример: в точке (A) производная равна нулю и эта точка является точкой максимума; в точке (C) производная не “равна нулю”, а не существует, при этом точка (C) также является точкой максимума.
(blacktriangleright) Если производная в точке (x) равна нулю и меняет свой знак слева направо с “(-)” на “(+)” , то эта точка является точкой минимума.
Также, если производная (f’) в точке (x) не существует и меняет свой знак слева направо с “(-)” на “(+)” (но (x) – внутренняя точка области определения функции (f,)!), то эта точка является точкой минимума.
(blacktriangleright) Заметим, что точки экстремума – это значение абсциссы (x).
(blacktriangleright) Заметим, что существует такое понятие, как критические точки — это все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Таким образом, только часть критических точек является точками экстремума.
Задание
1
#3107
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображен график производной функции (f(x)), определенной на отрезке ([-10;37]). Найдите количество точек максимума функции (f(x)) на отрезке ([0;37]).
Точка максимума – значение (x), в котором производная меняет свой знак с “(+)” на “(-)”. Следовательно, в этой точке ее график пересекает ось абсцисс “сверху вниз” (если двигаться по рисунку слева направо). Отметим отрезок ([0;37]) и увидим, что таких точек 2:
Ответ: 2
Задание
2
#2962
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображен график функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-2,4; 8,7)). Найдите сумму точек экстремума этой функции на отрезке ([1;6]).
Так как на рисунке изображен график функции, то точки экстремума – это точки на графике, в которых функция меняется с возрастания на убывание или наоборот. Эти точки: (x=-1; 0; 2; 4; 5; 8.) Из них на отрезке ([1;6]) лежат только точки (2; 4; 5), следовательно, их сумма равна (2+4+5=11.)
Ответ: 11
Задание
3
#730
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображен график функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-3; 8,5)). Найдите сумму точек экстремума этой функции.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
По рисунку можно определить, что функция (f(x)) достигает локально минимальные значения в точках (0), (4) и (8), а локально максимальные значения в точках (-2), (1) и (6). Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна (0 + 4 + 8 + (-2) + 1 + 6 = 17).
Ответ: 17
Задание
4
#731
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображен график функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-2,4; 8,7)). Найдите сумму точек экстремума этой функции.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
По рисунку можно определить, что функция (f(x)) достигает локально минимальные значения в точках (-1), (2) и (5), а локально максимальные значения в точках (0), (4) и (8). Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна (-1 + 2 + 5 + 0 + 4 + 8 = 18).
Ответ: 18
Задание
5
#732
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображен график функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-3; 9)). Найдите произведение точек экстремума этой функции.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
По рисунку можно определить, что функция (f(x)) достигает локально минимальные значения в точках (-1) и (5), а локально максимальные значения в точках (-2), (4) и (8). Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно ((-1)cdot 5cdot (-2)cdot 4cdot 8 = 320).
Ответ: 320
Задание
6
#733
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображен график функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-2.8; 7.8)). Найдите произведение точек экстремума этой функции.
Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.
По рисунку можно определить, что функция (f(x)) достигает локально минимальные значения в точках (1) и (4), а локально максимальные значения в точках (-2), (3) и (7). Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно (1cdot 4cdot (-2)cdot 3cdot 7 = -168).
Ответ: -168
Задание
7
#734
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-1; 8)). В какой точке отрезка ([2; 5]) функция (y = f(x)) принимает наибольшее значение?
По рисунку можно определить, что функция (y = f'(x)) на отрезке ([2; 5]) принимает неположительные значения, при этом (f'(2) = 0). Так как на полуинтервале ((2; 5]) производная функции (f(x)) отрицательна, то сама функция (f(x)) на ((2; 5]) убывает, тогда (y = f(x)) на отрезке ([2; 5]) принимает наибольшее значение при (x = 2).
Ответ: 2
Итоговый экзамен по математике для выпускников 11-х классов обязательно включает задания на поиск точек максимума и минимума функциональных зависимостей. Их решение проводится аналитически – методом дифференцирования. Применение производной для исследования функции на экстремум сокращает время анализа и позволяет представить общий вид графика зависимости еще до выполнения построений.
Обучающий ресурс «Школково» позволит учащимся освежить в памяти главные моменты темы – уточнить теоретические знания и отработать их в решении ряда задач. Наш подход к обучению в отношении поиска точек экстремума функции через производную в типовых заданиях ЕГЭ основан на принципе глубокой взаимосвязи теории и практики. Сначала ученик читает правила «Теоретической справки», потом смотрит видео с объяснениями учителя, а затем работает с реальным педагогом. В процессе просмотра предлагаемых на сайте вебинаров можно задать интересующие вопросы и получить помощь в решении конкретных задач.
В разделе «Каталог» имеются подборки тематических заданий на нахождение точек экстремума функции с помощью производной, а также нахождения производной угла наклона касательной. Каждый пример содержит готовое решение и правильный ответ, с которыми можно ознакомиться после окончания самостоятельной работы. «Конструктор» примерных вариантов ЕГЭ позволит провести исследование экстремумов функций с помощью производных в ходе пробного выполнения экзаменационной работы.
УСТАЛ? Просто отдохни
Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).
Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.
Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.
Ответ: (11.)
Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.