Как найти сумму абсцисс точек графика

• • • 4. Основы математического анализа

google.com/+ВикторЦекунов

Репетитор по математике, физике
(Минск): Виктор Иванович.

Математика,
физика. Профессиональный репетитор (стаж более 20 лет + 6 лет курсы в БГУ).
Подготовка к ЦТ, экзаменам. Бесплатно – проверка знаний. 1-й цикл занятий –
ликвидация пробелов. 2-й цикл – решение тестов ЦТ. Занятия в Серебрянке, 1-2
чел. (90 мин) = 30 руб.
Тел:  +375(29) 127
61 86._______________________________________________________________________________________________

Оказываю
платные услуги: решение задач по математике. Оплата WebMoney.
Заказы направляйте сюда: Платные услуги
_______________________________________________________________________________________________

      4.1.
Производная. Касательная к графику функции.
     
4.2. Исследование функции с помощью производной.

________________________________________________________________________________________________

     4.1. Производная. Касательная к графику функции.

4.1-1.
Через точку (2;-50) проведены две касательные к графику функции f(x) = 7x²-7x-1. Найдите
сумму абсцисс точек
касания.

Решение:

A(2;-50)

f(x) = 7x²-7x-1
x₀₁ + x₀₂ − ?

Уравнение касательной:
y = f(x₀)+fʹ(x₀)(x—x₀),
где x₀ −
абсцисса точки касания, fʹ(x₀) – производная в точке x₀.
Подставим сюда координаты точки А (т.к. касательная проходит через эту точку)
-50 = f(x₀)+fʹ(x₀)(2-x₀).                                         
(1)
Имеем
f(x₀) = 7x₀² — 7x₀ — 1,
fʹ(x₀) =
14x₀ — 7.

Тогда (1) примет вид
-50 = 7x₀²-7x₀-1+(14x₀-7)(2-x₀)
или, после упрощения,
x₀² — 4x₀ — 5
= 0.
Корни этого квадратного уравнения x₀₁ = -1 и x₀₂ = 5.
x₀₁ + x₀₂ =
-1+5 = 4.
Ответ: 4.4.1-2.
Написать уравнение прямой, которая касается графика функции f(x) = x²-|5x-6|-3
в двух точках. В ответе указать ее угловой коэффициент.

Решение:
График функции f(x) состоит из “кусков” графиков двух парабол f₁(x) и f₂(x)
                             |‾   f₁(x) = x²-5x+3,   при x ≥
1,2.           (*)
f(x)=x²-|5x-6|-3
= |
                             |_   f₂(x) = x²+5x-9,   при x <
1,2.         (**)
Касательная к первой и второй параболе соответственно
y = f₁(x₁)+f₁ʹ(x₁)(x—x₁)
y = f₂(x₂)+f₂ʹ(x₂)(x—x₂)
где x₁, x₂ –
абсциссы точек касания;  f₁ʹ(x₁),  f₂ʹ(x₂) – производные.
Тогда эти касательные примут вид
y = x₁²-5x₁+3+(2x₁-5)(x—x₁)
y = x₂²+5x₂-9+(2x₂+5)(x—x₂)
или
y = (2x₁ — 5)x + (3
— x₁²)                                                        (1)
y = (2x₂ + 5)x + (-9
— x₂²).                                                     (2)

Чтобы эти касательные стали одной прямой, приравняем коэффициенты при x, а также

свободные члены в (1) и (2). Получим систему двух уравнений

{2x₁ — 5
= 2x₂ + 5
{3 — x₁² =
-9 — x₂².
Решая эту систему, получим, x₁ = 3,7;   x₂ = -1,3.
Найдём ординаты точек касания y₁ и y₂
y₁ = f₁(3,7)
= 3,7²-5·3,7+3 = -1,81.
y₂ = f₂(-1,3) =
(-1,3)²+5·(-1,3)-9 = -13,81.
Получили A₁
(3,7; -1,81) и A₂ (-1,3; -13,81) – точки касания касательной
соответственно к