Как найти сумму арифметической прогрессии через разность - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

На этой странице вы узнаете

Как правильно расставить шары для бильярда в начале игры?
Как Карл Гаусс удивил своего учителя по математике?

Считаем ли мы овец перед сном, добавляем по монетке в копилку или достаем сухарик из упаковки — каждый раз мы интуитивно применяем законы математики, которые рассмотрим в этой статье.

Понятие арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия является видом «Числовых последовательностей».

У арифметической прогрессии есть особенность: каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. В последовательности 1, 2, 3, 4 и так далее — члены отличаются друг от друга на единицу.

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и разности прогрессии.

Разность прогрессии — то число, на которое отличаются члены прогрессии друг от друга. Разность прогрессии обозначается буквой d.

Арифметическую прогрессию можно задать формулой.

a_n+1 = a_n + d

Например, если мы хотим найти третий член арифметической прогрессии, то нужно воспользоваться формулой: a₃ = a₂ + d

Однако бывает, что известны только первый член прогрессии и ее разность. Как быть в этом случае?

Разберемся на примере. Допустим, мы читаем книгу. Количество прочитанных страниц может быть задано с помощью арифметической прогрессии, в которой разность прогрессии и первый ее член равны 1.

Мы прочитали 10 страниц. Десятая страница будет десятым членом прогрессии. Это 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 страниц, если считать их по отдельности.

Выделим первую страницу отдельно: 1 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 1 + 9 = 1 + 1 * 9

Теперь заменим десятый член прогрессии, первый член прогрессии и ее разность на буквенные обозначения: a₁₀ = a₁ + 9 * d.

Заметим, что множитель перед d на один меньше, чем порядковый номер искомого члена прогрессии. Тогда получаем: a₁₀ = a₁ + (10 — 1) * d

Мы можем вывести формулу для n-го члена прогрессии. А выглядит она так.

a_n = a₁ + d(n — 1)

Как правильно расставить шары для бильярда в начале игры?

Вспомним расстановку шаров в бильярде. Они ставятся в пять рядов, причем в первом ряду один шар, а в пятом — пять.

Тогда, чтобы правильно разместить 15 шаров, нужно воспользоваться арифметической прогрессией. В каждом следующем ряду будет на один шар больше, следовательно, во втором ряду имеем 1 + 1 = 2 шара, в третьем ряду 2 + 1 = 3 шара, а в четвертом 3 + 1 = 4.

Расставленные таким образом шары образуют форму треугольника.

Допустим, мы хотим купить джинсы. В магазине представлены три ценовых категорий, которые отличаются друг от друга на одинаковую сумму. Мы знаем, что самые дешевые джинсы стоят 1000 рублей, а самые дорогие 3000 рублей. Как найти, сколько стоят джинсы во второй ценовой категории?

Попробуем найти разность арифметической прогрессии.

Джинсы во второй категории будут стоить 1000 + d, а чтобы найти стоимость третьей категории, нужно прибавить разность прогрессии ко второй категории. Получаем 1000 + d + d = 1000 + 2d.

Мы знаем, что самые дорогие джинсы стоят 3000 рублей. Получаем уравнение 1000 + 2d = 3000, откуда можем выразить разность прогрессии:

(d = frac{3000 — 1000}{2} = 1000)

Тогда джинсы во второй ценовой категории будут стоить 1000 + 1000 = 2000 рублей.

Можно ли как-то найти это значение, не прибегая к таким большим рассуждениям? Для этого достаточно найти среднее арифметическое двух соседних членов.

(a_n = frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2})

Докажем это. Если рассмотреть член а_n, то член до него будет равен a_{n — 1} = a_n — d, а член после него a_{n + 1} = a_n + d. Тогда их среднее арифметическое равно (frac{a_{n — 1} + a_{n+1}}{2} = frac{a_n — d + a_n + d}{2} = frac{2a_n}{2} = a_n).

Проверим на нашей задаче.

(a_2 = frac{a_1 + a_3}{2} = frac{1000 + 3000}{2} = frac{4000}{2} = 2000). Все верно.

Чтобы найти разность прогрессии, достаточно вычесть из любого члена прогрессии предыдущий к нему.

d = a_n+1 — a_n

Найдем сумму всех членов арифметической прогрессии. Разумеется, их можно сложить: a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n. Но тогда нужно вычислять все члены прогрессии, а их может быть очень много.

В этом случае используется формула суммы арифметической прогрессии. Ее удобство в том, что используются только первый и последний член прогрессии.

(S_n = frac{a_1 + a_n}{2} * n)

Немного преобразуем формулу:

(S_n = frac{a_1 + a_n}{2} * n = frac{a_1 + a_1 + d(n — 1)}{2} * n = frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} * n) — это формула суммы членов арифметической прогрессии через первый член и ее разность.

Решим небольшую задачу. Марина решила сделать картину из страз. По схеме у нее есть 15 рядов, в каждом из которых страз на три больше, чем в предыдущем. В первом ряду 6 страз. Сколько всего страз понадобится, чтобы выложить эти ряды?

Воспользуемся формулой арифметической прогрессии. Но прежде найдем, сколько страз в последнем, пятнадцатом ряду:

a₁₅ = 6 + 3 * (15 + 1) = 6 + 3 * 14 = 6 + 42 = 48

Тогда по формуле суммы арифметической прогрессии всего Марине понадобится:

(S_{15} = frac{6 + 48}{2} * 15 = frac{54}{2} * 15 = 27 * 15 = 405) страз.

Как Карл Гаусс удивил своего учителя по математике?

Карл Гаусс — немецкий математик, живший в 18–19 веках. На одном из уроков математики учитель задал сложить все цифры от 1 до 100.

Карл Гаусс заметил, что суммы чисел с противоположных сторон одинаковые: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Всего таких сумм получилось 50. Следовательно, быстро вычислить сумму этих цифр можно было как произведение 101 * 50.

Такой способ работает для любой арифметической прогрессии.
Внимательно посмотрим на сумму арифметической прогрессии. Пусть a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100. Тогда получаем:
(S_{100} = frac{1 + 100}{2} * 100 = 101 * 50), то есть Карл Гаусс использовал сумму арифметической прогрессии, сам того не зная.

Виды арифметических прогрессий

Существует всего три вида арифметической прогрессии.

1. Возрастающая арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии — положительное число, то есть d > 0, а каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.

Прогрессия 2, 4, 6, 8 является возрастающей.

2. Убывающая арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии — отрицательное число, то есть d < 0, а каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего.

Примером убывающей арифметической прогрессии может служить 100, 95, 90, 85 и так далее.

3. Стационарная арифметическая прогрессия.

В этой арифметической прогрессии разность будет равна 0, то есть d = 0. Следовательно, члены прогрессии не будут отличаться друг от друга.

Например, прогрессия 3, 3, 3, 3, 3 будет являться стационарной.

Фактчек

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и разности прогрессии.
Разность арифметической прогрессии — это число, на которое отличаются члены прогрессии.
Чтобы найти n-ый член прогрессии, необходимо воспользоваться одной из трех формул: a_n+1 = a_n + d, a_n = a₁ + d(n — 1) или (a_n = frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}).
Чтобы найти разность прогрессии, достаточно из любого члена прогрессии вычесть предыдущий ему член прогрессии.
По формуле (S_n = frac{a_1 + a_n}{2} * n) можно найти сумму n членов прогрессии.
Арифметическая прогрессия может быть убывающей, возрастающей или стационарной.

Проверь себя

Задание 1.
Какая прогрессия является арифметической?

3, 7, 11, 15
1, 1, 2, 3, 5
2, 4, 8, 16
1, 4, 16, 25

Задание 2.
Первый член арифметической прогрессии равен 10, а ее разность равна -5. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии.

Семнадцатого члена такой арифметической прогрессии не существует
0
−70
−75

Задание 3.
Пятый член арифметической прогрессии равен 16, а седьмой член равен 20. Найдите шестой член арифметической прогрессии.

2
18
17,5
Невозможно найти шестой член арифметической прогрессии.

Задание 4.
Каждый день Миша катается на велосипеде, причем с каждым разом увеличивает расстояние на 2 км. В первый день он проехал 3 км. Сколько всего км проедет Миша за пять дней?

Ответы: 1. — 1 2. — 3 3. — 2 4. — 4

Источник

Определение

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из первого добавлением к нему постоянного числа. Данное постоянное число называют разностью арифметической прогрессии.

-ый элемент арифметической прогрессии

Чтобы найти -ый элемент, нужно к элементу прибавить разность арифметической прогрессии.

$[a_n=a_{n-1}+d,]$

где — разность арифметической прогрессии, — -ый элемент арифметической прогрессии.

Выразим -ый элемент арифметической прогрессии через первый член и разность прогрессии.

$[a_{2}=a_{1}+d]$

$[a_{3}=a_{2}+d=a_1+d+d=a_1+2d]$

$[a_{4}=a_{3}+d=a_1+2d+d=a_1+3d]$

Получаем, что

Пример 1. Найти -ый элемент арифметической прогрессии, если её первый элемент равен , а разность .

Решение.

$a_{10}=a_1+d(10-1)=2+0,5(10-1)=2+4,5=6,5.$

Ответ: .

Пример 2. Найти разность арифметической прогрессии, если пятый элемент прогрессии равен , а -ый — -ти.

Решение.

$[a_{10}=a_1+9d]$

Вычтем из второго уравнения первое: $a_{10}-a_5=a_1-a_1+9d-4d.$

$d=frac{a_{10}-a_5}{9-4}=frac{18-15}{5}=frac{3}{5}=0,6.$

Ответ: .

Сумма арифметической прогрессии

Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:

$[S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n;]$

$[S_n=frac{2a_1+d(n-1)}{2}cdot n.]$

Докажем первую формулу.

$[S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+ldots+a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}]$

$[S_n=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+ldots+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}]$

Сложим почленно два последних равенства.

Получаем,

$[S_n+S_n=a_1+a_{n}+a_{2}+a_{n-1}+ldots +a_2+a_{n-1}+a_1+a_n]$

Так как, $a_k+a_{n-(k-1)}=a_1+d(k-1)+a_n-d(k-1)=a_1+a_n,$ то

Следовательно,

$[S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n.]$

Пример 3. Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Решение.

Ответ: .

Пример 4. Первый элемент арифметической прогрессии равен , а разность арифметической прогрессии равна . Найдите сумму первых элементов данной арифметической прогрессии.

Решение.

$S_10=frac{2 cdot 15+2(10-1)}{2}cdot 10 =(30+18)cdot 5=48cdot 5=240.$

Ответ: .

Пример 5. Арине надо решить задач по геометрии. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что в первый день она решила задач, а в последний она запланировала решить задач. Определите за сколько дней она решит все задачи.

Решение. Для решения задачи мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$[S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n.]$

По условии задачи: Надо найти

$[270=frac{10+17}{2}cdot n;]$

$[270=frac{27}{2}cdot n;]$

Ответ:

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

$[a_{n}=frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}]$

Доказательство основывается на том, что

$[a_{n-k}+a_{n+k}=a_n-d cdot k+a_n+d cdot k=2 cdot a_n.]$

Пример 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

Найдите .

Решение.

$x=frac{16+10}{2}=13$

Ответ: .

Источник

Арифметическая прогрессия — коротко о главном

Определение арифметической прогрессии:

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна ( displaystyle d).

Например:

( {{a}_{1}}=3)
( displaystyle {{a}_{2}}=3+d=7~Rightarrow d=7-3=4)
( displaystyle {{a}_{3}}=7+4=11) и т.д.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей (( displaystyle d>0)) и убывающей (( displaystyle d<0)).

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) , где ( displaystyle n)– количество чисел в прогрессии.

Как найти член прогрессии, если известны его соседние члены:

( {{text{a}}_{text{n}}}=frac{{{text{a}}_{text{n}+1}}+{{text{a}}_{text{n}-1}}}{2}) — где ( displaystyle n) – количество чисел в прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии:

1-й способ: ( {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.

2-й способ: ( displaystyle {{s}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: ( displaystyle 4,text{ }7,text{ }-8,text{ }13,text{ }-5,text{ }-6,text{ }0,text{ }ldots )

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их ( displaystyle 7)). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать.

Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

arifmeticheskaya progressiya chisla poryadok

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и ( displaystyle n)-ное число) всегда одно.

Число с номером ( displaystyle n) называется ( displaystyle n)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle {{a}_{1}},text{ }{{a}_{2}},text{ }…,text{ }{{a}_{10}},text{ }…,text{ }{{a}_{n}}).

arifmeticheskaya progressiya chisla poryadkovyj nomer

Арифметическая прогрессия — определения

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна d.

Например:

( begin{array}{l}{{a}_{1}}=3\{{a}_{2}}=3+d=7~~~Rightarrow ~d=7-3=4\{{a}_{3}}=7+4=11end{array})

Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

( displaystyle 3;text{ }6;text{ }9;text{ }12;text{ }15;text{ }17ldots )
( displaystyle 1;text{ }12;text{ }23;text{ }34;text{ }45text{ }ldots )
( displaystyle -5;text{ }-1;text{ }3;text{ }7;text{ }11;text{ }15ldots )
( displaystyle -6;text{ }5;text{ }17;text{ }28;text{ }39ldots )

Разобрался? Сравним наши ответы:

Является арифметической прогрессией – 2, 3.

Не является арифметической прогрессией – 1, 4.

Вернемся к заданной прогрессии (( displaystyle 3;text{ }7;text{ }11;text{ }15;text{ }19ldots )) и попробуем найти значение ее 6-го члена.

Существует два способа его нахождения.

Нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

Способ I

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии ( d=4) , пока не дойдем до ( displaystyle 6)-го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного – всего три значения:

( begin{array}{l}{{a}_{4}}=11+4=15\{{a}_{5}}=15+4=19\{{a}_{6}}=19+4=23end{array})

Итак, 6-ой член описанной арифметической прогрессии равен 23.

Способ II

А что если нам нужно было бы найти значение ( displaystyle 140)-го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.

А теперь очень важно! Чтобы облегчить себе работу, нужно найти закономерность, потом описать ее формулой и потом пользоваться этой формулой, чтобы вычислять в разы быстрее.

Это и есть математика!

Важно научиться находить закономерности, а потом уже запоминать формулы. Потому что, даже если ты забудешь формулу, ты сможешь ее вывести. И, самое главное, ты сможешь проверить подходит та или иная формула для решения задачи, а не просто подставлять их как обезьянка.

Давай попробуем вывести формулу. Это легко и тебе понравится! Чтобы найти закономерности, надо пользоваться тем, что мы знаем.

Что мы знаем?

У нас есть арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, 19 и т.д.
У нас есть номера прогрессии: 1, 2, 3, 4, 5, и т.д.
Мы все время прибавляем 4, значит разница прогрессии d = 4.

Чему равен 2-й член арифметической прогрессии? Попробуй сначала написать числами, а потом в более общем виде, заменив числа буквами.

7=3+4 или 7=3+d

Закономерности пока не видны. Ок. Идем дальше. Чему равен 3-й член арифметической прогрессии?

11=3+4+4 или 11=3+d+d

Похоже что вырисовывается закономерность! Чтобы узнать значение 2-го члена прогрессии, мы прибавляли одно d, а чтобы узнать 3-го — два d! Иными словами, нам надо прибавлять каждый раз на одно d меньше, чем номер члена прогрессии.

Давай проверим? Чему равен 4-й член арифметической прогрессии?

15=3+4+4+4 или 15=3+d+d+d

Бинго! Закономерность подтверждается. Теперь осталось описать закономерность формулой и пользоваться ею!

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером n, мы прибавляем к первому члену арифметической прогрессии число d, которое на одно значение меньше порядкового номера искомого числа.

А теперь запомни эту формулу и используй ее для быстрого счета. А если забудешь — то легко выведешь.

Например, посмотрим, из чего складывается значение ( displaystyle 4)-го члена данной арифметической прогрессии:

( begin{array}{l}{{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right)\{{a}_{4}}=3+4left( 4-1 right)=15end{array})

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена ( displaystyle n=6) данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

( begin{array}{l}{{a}_{6}}={{a}_{1}}+dleft( 6-1 right)\{{a}_{6}}=3+4left( 6-1 right)=3+4cdot 5=3+20=23end{array})

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли ( displaystyle d) к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.

Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) – уравнение арифметической прогрессии.

Кстати, таким образом мы можем посчитать и ( displaystyle 140)-ой член данной арифметической прогрессии (да и ( displaystyle 169)-ый тоже можем, да и любой другой вычислить совсем несложно).

Попробуй посчитать значения ( displaystyle 140)-го и ( displaystyle 169)-го членов, применив полученную формулу.

( begin{array}{l}…\{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=3+4left( 140-1 right)=3+4cdot 139=3+556=559\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=3+4left( 169-1 right)=3+4cdot 168=3+672=675end{array})

Возрастающие и убывающие арифметические прогрессии

Возрастающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.

Например:

( displaystyle begin{array}{l}4;text{ }6;text{ }8;text{ }10;text{ }12\-2;text{ }4;text{ }10;text{ }16;text{ }20end{array})

Убывающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.

Например:

( displaystyle begin{array}{l}12;text{ }10;text{ }8;text{ }6;text{ }4\4;text{ }0;text{ }-4;text{ }-8;text{ }-12.end{array})

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.

Проверим это на практике.

Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: ( displaystyle 13;text{ }8;text{ }4;text{ }0;text{ }-4.)

Проверим, какое получится ( displaystyle 4)-ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

( {{text{a}}_{text{n}}}={{text{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right))

Заметим, что так как арифметическая прогрессия убывающая, то значение ( displaystyle d) будет отрицательным, ведь каждый последующий член меньше предыдущего.

( displaystyle d=8-13=-5)

( {{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right))

Так как ( displaystyle d=-5), то:
( {{a}_{4}}=13-5left( 4-1 right)=13-15=-2)

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.

Попробуй самостоятельно найти ( displaystyle 140)-ой и ( displaystyle 169)-ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

( begin{array}{l}{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=13-5left( 140-1 right)=13-5cdot 139=13-695=-682\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=13-5left( 169-1 right)=13-5cdot 168=13-840=-827end{array})

Свойство арифметической прогрессии (или как найти n-й член прогрессии, зная соседние)

Усложним задачу — выведем свойство арифметической прогрессии.

Допустим, нам дано такое условие:

( displaystyle 4;text{ }x;text{ }12ldots ) — арифметическая прогрессия, найти значение ( displaystyle x).

Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))

Пусть ( displaystyle {{a}_{1}}=4), а ( displaystyle {{a}_{3}}=12), тогда:

( displaystyle begin{array}{l}{{a}_{3}}={{a}_{1}}+dleft( 3-1 right)\12=4+2d~~Rightarrow ~d=frac{12-4}{2}=4\{{a}_{2}}=x={{a}_{1}}+d\{{a}_{2}}=x=4+4=8end{array})

Абсолютно верно.

Получается, мы сначала находим ( displaystyle d), потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое ( displaystyle x).

Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа ( displaystyle 4024;~x;6072)?

Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.

А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы?

Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как ( {{text{a}}_{text{n}}}), формула его нахождения нам известна – это та самая формула, выведенная нами в начале:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)), тогда:

предыдущий член прогрессии это ( {{a}_{n}}-d): ( {{a}_{n-1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d)
последующий член прогрессии это ( {{a}_{n}}+d): ( {{a}_{n+1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)+d)

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d+{{{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right)+text{d}=2left( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right) right)text{ }!!~!!text{ })

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии – это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними.

Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на ( 2).

( {{a}_{n}}=frac{{{a}_{n+1}}+{{a}_{n-1}}}{2}) – свойство членов арифметической прогрессии.

Попробуем посчитать значение ( x), используя выведенную формулу:

( x=frac{4+12}{2}=8)

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал.

Посчитай значение ( x) для прогрессии ( displaystyle 4024;~x;6072) самостоятельно, ведь это совсем несложно.

( x=frac{4024+6072}{2}=5048)

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все!

Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» – Карл Гаусс…

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от ( displaystyle 1) до ( displaystyle 40) (по другим источникам до ( displaystyle 100)) включительно».

Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из ( displaystyle 6)-ти членов: ( displaystyle 6;text{ }8;text{ }10;text{ }12;text{ }14;text{ }16…)

Нам необходимо найти сумму данных ( displaystyle 6) членов арифметической прогрессии.

Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ( displaystyle 100) ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?

Конечно, ровно половина всех чисел, то есть ( frac{6}{2}=3).

Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна ( 22), а подобных равных пар ( 3), мы получаем, что общая сумма равна:

( displaystyle Stext{ }=text{ }22cdot 3text{ }=text{ }66).

Таким образом, формула для суммы первых ( displaystyle n) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.

В некоторых задачах нам неизвестен ( displaystyle n)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу ( displaystyle n)-го члена. ( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))

Что у тебя получилось?

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма ( displaystyle 40) чисел, начиная от ( displaystyle 1)-го, и сумма ( displaystyle 100) чисел начиная от ( displaystyle 1)-го.

Сколько у тебя получилось?

У Гаусса получилось, что сумма ( displaystyle 100 ) членов равна ( displaystyle 5050), а сумма ( displaystyle 40 ) членов ( displaystyle 820).

Так ли ты решал?

( {{S}_{40}}=frac{left( 1+40 right)cdot 40}{2}=frac{41cdot 40}{2}=frac{1640}{2}=820)
( {{S}_{100}}=frac{left( 1+100 right)cdot 100}{2}=frac{101cdot 100}{2}=5050)

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется ( displaystyle 6) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

( displaystyle 6;text{ }5;text{ }4;text{ }3;text{ }2; 1).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\~~{{S}_{6}}=frac{left( 6+1 right)cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=21\~end{array})

Способ 2.

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n)

( {{S}_{n}}=frac{2cdot 6+1left( 6-1 right)}{2}cdot 6=frac{12+5cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=frac{42}{2}=21)

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Сошлось?

Молодец, ты освоил сумму ( displaystyle n)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из ( displaystyle 6) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из ( displaystyle 60)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Справился?

Верный ответ – ( displaystyle 1830) блоков:

( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\{{S}_{60}}=frac{left( 60+1 right)cdot 60}{2}=frac{61cdot 60}{2}=61cdot 30=1830.end{array})

Источник

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разница между двумя соседними числами — постоянна.

Пример:

Последовательность 1, 2, 3, 4,… является арифметической прогрессией с шагом(разностью) прогрессии 1.

Пример:

Последовательность 3, 5, 7, 9, 11,… является арифметической прогрессией с разностью 2.

Пример:

Последовательность 20, 10, 0, -10, -20, -30,… является арифметической прогрессией с разностью -10.

Последовательности

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6, четвертое 8 и т. д. Получим последовательность

2; 4; 6; 8; … .

Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом — число 20, на сотом — число 200. Вообще для любого натурального числа п можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна Так, на шестом месте должна стоять дробь на тридцатом дробь , на тысячном — дробь

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, (читают: «а первое, а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают Саму последовательность будем обозначать так:

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют конечной. Например, конечной является последовательность двузначных чисел:

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, — формулой Приведем другие примеры.

Пример:

Пусть последовательность задана формулой Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., получаем:

Рассматриваемая последовательность начинается так:

Пример:

Пусть последовательность задана формулой Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны —10, а с четными номерами равны 10:

Получаем последовательность

Пример:

Формулой задается последовательность, все члены которой равны 5:

Рассмотрим еще один способ задания последовательности.

Пример:

Пусть первый член последовательности равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т. е.

С помощью формулы можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий, по известному третьему — четвертый и т. д. Получим последовательность

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro — возвращаться).

Определение арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1:

Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической, прогрессии.

Определение:

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность — арифметическая прогрессия, если для любого натурального п выполняется условие

где d — некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Приведем примеры.

Если то получим арифметическую прогрессию

члены которой — последовательные натуральные числа.

Если то получим арифметическую прогрессию

которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Если то получим арифметическую прогрессию

которая является последовательностью отрицательных четных чисел.

Если то имеем арифметическую прогрессию

все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии

Точно так же находим, что и вообще, чтобы найти нужно к прибавить (n — 1) d, т. е.

Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример:

Последовательность — арифметическая прогрессия, в которой с1 = 0,62 и d = 0,24. Найдем пятидесятый член этой прогрессии.

Имеем:

Пример:

Выясним, является ли число —122 членом арифметической прогрессии

В данной арифметической прогрессии и Запишем формулу n-го члена прогрессии:

Число —122 является членом арифметической прогрессии , если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 28,8 — 5,8n равно —122. Решим уравнение 28,8 — 5,8n = 122:

Значит, число —122 является 26-м членом данной арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида

где k и b — некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность , заданная формулой вида

где k и b — некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n + 1)-го и n-го членов последовательности :

Значит, при любом n справедливо равенство и по определению последовательность является арифметической прогрессией, причем разность этой прогрессии равна k.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором — в порядке убывания:

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:

Итак,

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

Обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии через и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна Действительно,

и т. д.

Число таких пар равно n. Поэтому, сложиd почленно равенства (1) и (2), получим:

Разделив обе части последнего равенства на 2, получим формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:

Приведем примеры на вычисление суммы членов арифметической прогрессии.

Пример:

Найдем сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; … .

В данной арифметической прогрессии Тридцатый член прогрессии найдем по формуле n-го члена:

Теперь вычислим сумму первых тридцати членов:

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо выражение получим:

Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (II), то вычисления будут выглядеть так:

Пример:

Найдем сумму первых сорока членов последовательности , заданной формулой

Последовательность является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида и b = — 4.

Найдем первый и сороковой члены этой арифметической прогрессии: Теперь по формуле (I) вычислим S40:

Пример:

Найдем сумму 1 + 2 + 3 + … + n, слагаемыми в которой являются все натуральные числа от 1 до n.

Применив формулу к арифметической прогрессии 1; 2; 3; … получим, что

Пример:

Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных шести и не превосходящих 250.

Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосходит 250, решим неравенство

Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно 41. Имеем:

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник