Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами остается неизменной. Эта неизменная разность называется разностью прогрессии.
Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формуле
Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой
Калькулятор n-го члена и суммы n членов:
Арифметическая прогрессия
Первый член прогрессии а1
Показать все члены прогрессии
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Сумма арифметической прогрессии Sn
Онлайн калькулятор. Сумма арифметической прогрессии
Используя этот онлайн калькулятор для вычисления суммы арифметической прогрессии, вы сможете очень просто и быстро найти значение суммы арифметической прогрессии зная значения двух членов арифметической прогрессии, или значения одного члена прогрессии и шага прогрессии или значения первого и последнего члена арифметической прогрессии.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления суммы арифметической прогрессии, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.
Найти сумму арифметической прогрессии
значение первого и последнего членов арифметической прогрессии (a1, an)
значение первого члена арифметической прогрессии и шаг прогрессии (a1, d)
значение одного из членов арифметической прогрессии и шаг прогрессии (ai, d)
значения двух членов арифметической прогрессии (ai, aj)
Введите данные:
Найти значение суммы первых n членов арифметической прогрессии
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Когда речь идет о таком параметре, как сумма арифметической прогрессии, подразумевается всегда сумма первых членов арифметической прогрессии или сумма членов прогрессии с k по n, то есть количество членов, которые берутся для суммы, строго ограничено в заданных условием пределах. В противном случае задание не будет иметь решения, так как вся числовая последовательность именно арифметической прогрессии начинается с конкретного числа — первого члена a1, и продолжается бесконечно.
Бытует мнение, что формула суммы арифметической прогрессии была открыта еще Гауссом, как быстрый и точный способ расчета суммы чисел в определенной последовательности. Он заметил, что такая прогрессия является симметричной, то есть сумма симметрично расположенных с начала и конца членов прогрессии является постоянной для данного ряда.
a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2)=⋯
Соответственно, он нашел данную сумму и умножил ее на половину от общего количества чисел в последовательности, участвующих в расчете суммы. Таким образом, была выведена формула суммы арифметической прогрессии
Пример. Предположим, задано условие: «Найдите сумму первых десяти (10) членов арифметической прогрессии». Для этого понадобится следующие данные: разность прогрессии и первый ее член. Если в задаче дан какой-либо n член арифметической прогрессии вместо первого, тогда сначала нужно воспользоваться разделом, где представлена формула нахождения первого члена прогрессии, и найти его. Затем исходные данные вбиваются в калькулятор и он производит расчеты, складывая первый и десятый члены, и умножая полученную сумму на половину от общего количества складываемых членов – на 5. Аналогично происходит, если нужно найти сумму первых шести членов или любого другого количества.
В случае, когда необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии, начинающихся не с первого, а с пятого члена, к примеру, тогда среднее арифметическое остается тем же, а общее количество членов берется как увеличенная на единицу разность между порядковыми номерами взятых членов.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Смотрите также
Сумма арифметической прогрессии, формула.
Сумма арифметической прогрессии выражается формулой:
[s_n = frac{(a_1+a_n)n}{2} = frac{(a_1+(a_1+d(n-1)))n}{2}]
(a1 — первый член прогрессии; d — разность прогрессии; n — номер члена прогрессии)
Вычислить, найти сумму арифметической прогрессии по формуле (1).
| a1 | d | n |
Вычислить
нажмите кнопку для расчета
Сумма арифметической прогрессии |
стр. 81 |
|---|
Калькулятор суммы членов арифметической прогрессии поможет найти сумму членов по двум формулам. Первая формула применяется если вам известны первый член прогрессии, n-й член и количество суммируемых элементов. Вторая формула используется если вы знаете первый член, разность и количество элементов для суммирования.
Формулы суммы членов арифметической прогрессии
Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии, можно воспользоваться одной из нижеприведенных формул:
1) {S_n=dfrac {a_1+a_n}{2} cdot n},
2) {S_n=dfrac {2a_1+d(n-1)}{2} cdot n}
a1 — первый член прогрессии,
an — член прогрессии под номером n,
d — разность прогрессии (разница между членами прогрессии),
n — номер члена
Примеры нахождения суммы арифметической прогрессии
Задача 1
Дана арифметическая прогрессия: -4; -2; 0… Найдите сумму первых десяти ее членов.
Решение
Первый член прогрессии a1 = -4.
Чтобы найти разность прогрессии, нужно вычесть из второго члена первый. В нашем случае d = a2 — a1 = -2 — (-4) = 2.
Количество суммируемых членов равно 10, т. е. n = 10. Подставим значения во вторую формулу и получим результат:
S_n=dfrac {2a_1+d(n-1)}{2} cdot n = dfrac {2 cdot -4+2(10-1)}{2} cdot 10 = dfrac {-8+18}{2} cdot 10 = 50
Ответ: 50
Используем калькулятор для проверки.
Задача 2
Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии -23; -20;…
Решение
Первый член прогрессии a1 = -23.
Найдем шаг прогрессии: d = a2 — a1 = -20 — (-23) = 3.
Найдем десятый член прогрессии по формуле: a_n=a_1+(n-1)cdot d = -23 + (10-1) cdot 3 = -23 + 27 = 4
Чтобы найти разность прогрессии, нужно вычесть из второго члена первый. В нашем случае d = a2 — a1 = -2 — (-4) = 2.
Подставим значения в первую формулу и получим результат:
S_n=dfrac {a_1+a_n}{2} cdot n = dfrac {-23+4}{2} cdot 10 = dfrac {-19}{2} cdot 10 = -9.5 cdot 10 = -95
Ответ: -95
Проверим ответ на калькуляторе .