Как найти сумму бесконечно убывающей последовательности

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

1. Предел последовательности
2. Свойства сходящихся последовательностей
3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
4. Примеры

п.1. Предел последовательности

Рассмотрим последовательность с $a_n$ = $frac{3n + 1}{n + 1}$ Выделим целую часть у дроби: $$ mathrm{ a_n=frac{(3n+3)-2}{n+1}=frac{3(n+1)}{n+1}-frac{2}{n+1}=3-frac{2}{n+1} } $$ Заполним таблицу:

Чем больше n, тем ближе a_n к 3.
Этот факт записывают следующим образом: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=lim_{{n}rightarrowinfty}frac{3n+1}{n+1}=3 } $$ и говорят, что число 3 является пределом последовательности {a_n}.

Число (mathrm{binmathbb{R}}) называют пределом последовательности {a_n}, если последовательность {a_n – b} является бесконечно малой, т.е. все её элементы, начиная с некоторого, меньше по модулю любого заранее взятого положительного числа: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=bLeftrightarrow forallvarepsilon gt 0 exists N_{varepsilon}inmathbb{N}: ngeq NRightarrow |a_n-b|lt varepsilon } $$

Раскроем модуль из определения: $$ mathrm{ |a_n-b|lt varepsilon Rightarrow -varepsilon lt a_n-bltvarepsilon Rightarrow b-varepsilonlt a_nlt b-varepsilon } $$ Т.е., начиная с некоторого индекса n, все члены последовательности a_n (бесконечное множество) попадают в интервал (b – ε; b + ε) – этот промежуток называют ε–окрестностью точки b. Вне этого промежутка находится только первые {a₁, a₂, …, a_N} членов последовательности.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Если предел последовательности (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=0}) последовательность называется бесконечно малой.

Например:
1. Последовательность {a_n} c (mathrm{ a_n=frac{4n}{n+2}=frac{4(n+2)-8}{n+2}=4-frac{8}{n+2}}) имеет предел (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}a_n=4}), значит, является сходящейся.
2. Последовательность {a_n} c (mathrm{ a_n=4n+2}) при (mathrm{ nrightarrow infty}) также стремится к бесконечности. Предела нет, последовательность расходящаяся.
3. Последовательность {a_n} c (mathrm{ a_n=frac{1}{n}}) имеет предел (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}frac{1}{n}=0}), т.е. является бесконечно малой.

п.2. Свойства сходящихся последовательностей

Свойство 1. Если последовательность имеет предел, то он – единственный.
Свойство 2. Если последовательность имеет предел, то она – ограничена.
Свойство 3. Если все члены последовательности равны a_n=b, то её предел равен b.
Свойство 4. Предел суммы двух последовательностей равен сумме пределов: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}(a_n+b_n)=lim_{{n}rightarrowinfty}a_n+lim_{{n}rightarrowinfty}b_n } $$ Свойство 5. Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}(a_ncdot b_n)=lim_{{n}rightarrowinfty}a_ncdot lim_{{n}rightarrowinfty}b_n } $$ Свойство 6. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов: $$ mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}left(frac{a_n}{b_n}right)=frac{lim_{{n}rightarrowinfty}a_n}{lim_{{n}rightarrowinfty}b_n} } $$

п.3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию с (mathrm{b_1=1, q=frac12}).
Сумма её первых n членов (см.§27 данного справочника) равна: $$ mathrm{ S_n=b_1frac{1-q^n}{1-q}=1cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=2left(1-frac{1}{2^n}right)=2-frac{1}{2^{n-1}} } $$ Чем больше будет n, тем меньше будет второе слагаемое (mathrm{frac{1}{2^n-1}}). В пределе (mathrm{ lim_{{n}rightarrowinfty}frac{1}{2^{n-1}}=0, lim_{{n}rightarrowinfty}S_n=2}). Удивительно, но мы нашли сумму бесконечного количества слагаемых; и эта сумма конечна.
Обобщим результат для любого |q| < 1: $$ mathrm{ S=lim_{{n}rightarrowinfty}S_n=lim_{{n}rightarrowinfty}left(b_1frac{1-q^n}{1-q}right)=frac{b_1}{1-q}cdot lim_{{n}rightarrowinfty}left(1-underbrace{q^n}_{rightarrow 0}right)=frac{b_1}{1-q} } $$

Например:
Представим периодическую десятичную дробь 0,(16) в виде обыкновенной.
Данную дробь можно записать в виде суммы

0,16161616… = 0,16 + 0,0016 + 0,000016 + …=
= 0,16 + 0,16 · 0,01 + 16 · 0,01²+…

Это – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с b₁ = 0,16, q = 0,01, она равна: (mathrm{S=frac{0,16}{1-0,01}=frac{0,16}{0,99}=frac{16}{99}}), т.е.
(mathrm{0,(16)=frac{16}{99}})

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите число в виде обыкновенной дроби:
а) 2,(3) begin{gather*} mathrm{ 2,(3)=2+(0,3+0,03+0,003+…)=2+(0,3+0,3cdot 0,1+0,3cdot 0,1^2+…) }\ mathrm{ b_1=0,3, q=0,1 }\ mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{0,3}{1-0,1}=frac{0,3}{0,9}=frac13, 2,(3)=2+frac13=2frac13 } end{gather*}

б) 5,(17) begin{gather*} mathrm{ 5,(17)=5+(0,17+0,0017+0,000017+…)= }\ mathrm{ =5+(0,17+0,17cdot 0,01+0,17cdot 0,01^2+…) }\ mathrm{ b_1=0,17, q=0,01 }\ mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{0,17}{1-0,01}=frac{0,17}{0,99}=frac{17}{99}, 5,(17)=5+frac{17}{99}=5frac{17}{99} } end{gather*}

Пример 2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
a) (mathrm{1, frac{1}{sqrt{2}}, frac12,…})
(mathrm{b_1=1, q=frac{1}{sqrt{2}}}) begin{gather*}mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{1}{frac{1}{sqrt{2}}}=frac{sqrt{2}}{sqrt{2}-1}=frac{sqrt{2}(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}-1)(sqrt{2}+1)}=frac{2+sqrt{2}}{2-1}=2+sqrt{2} } end{gather*}

б) 1,   π – 3,   (π – 3)², …
b₁ = 1,   q = π – 3 begin{gather*} mathrm{ S=frac{b_1}{1-q}=frac{1}{1-(pi-3)}=frac{1}{4-pi} } end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение begin{gather*} mathrm{ 1+2x+x^2-x^3+x^4-x^5+…=frac{13}{6}, text{если} |x|lt 1 } end{gather*} Выделим геометрическую прогрессию: begin{gather*} mathrm{ 3x+(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+…)=frac{13}{6} }\ mathrm{ b_1=1, q=-x, S=frac{b_1}{1-q}=frac{1}{1+x} } end{gather*} Получаем: begin{gather*} mathrm{ 3x+frac{1}{1+x}=frac{13}{6}Rightarrow frac{3x(1+x)+1}{1+x}=frac{13}{6}Rightarrow 6(3x^2+3x+1)=13(1+x)Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 18x^2+5x-7=0 }\ mathrm{ D=5^2-4cdot 18cdot (-7)=25+504=529=23^2, x=frac{-5pm 23}{36}= left[ begin{array}{ l } mathrm{x_1=-frac79} & \ mathrm{x_2=frac12} & end{array}right. } end{gather*} Оба ответа удовлетворяют ограничению |x| < 1.
Ответ: (mathrm{x_1=-frac79; x_2=frac12})

Пример 4. В квадрат со стороной a вписан второй квадрат так, что его вершины являются серединами сторон первого квадрата. А во второй квадрат точно так же вписан третий квадрат, и т.д. Найдите 1) сумму периметров всех квадратов; 2) сумму площадей всех квадратов.

Сторона первого квадрата b₁ = a. Сторона второго квадрата равна половине диагонали первого квадрата (mathrm{b_2=frac{1sqrt{2}}{2}=frac{a}{sqrt{2}}}). Сторона третьего квадрата равна половине стороны первого квадрата (mathrm{b_3=frac{a}{2}}), и т.д.
Получаем геометрическую прогрессию со знаменателем (mathrm{q=frac{1}{sqrt{2}}}).
Периметры квадратов линейно зависят от длин сторон: $$ mathrm{ p_1=4a, p_2=4cdotfrac{a}{sqrt{2}}=2sqrt{2}a, p_3=4cdotfrac{a}{2}=2a,… } $$ Для геометрической прогрессии периметров знаменатель будет тем же: (mathrm{q=frac{1}{sqrt{2}}}).
$$ mathrm{ S_p=frac{p_1}{1-q}=frac{4a}{1-frac{1}{sqrt{2}}}=frac{4sqrt{2}a}{sqrt{2}-1}=frac{4sqrt{2}a(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}-1)(sqrt{2}+1)}=frac{4a(2+sqrt{2})}{2-1}=4a(2+sqrt{2}) } $$ Площади квадратов имеют квадратичную зависимость от длин сторон: $$ mathrm{ s_1=a^2, s_2=left(frac{a}{sqrt{2}}right)^2=frac{a^2}{2}, s_3=left(frac{a}{2}right)^2=frac{a^2}{4},… } $$ Для геометрической прогрессии площадей знаменатель будет равен квадрату знаменателя для прогрессии сторон: (mathrm{q_s=q^2=left(frac{1}{sqrt{2}}right)^2=frac12}).
Сумма всех площадей: begin{gather*} mathrm{ S_s=frac{s_1}{1-q_s}=frac{a^2}{1-frac12}=2a^2} end{gather*} Интересно, что сумма площадей всех(!) квадратов внутри самого большого равна площади этого самого большого квадрата.
Ответ: (mathrm{S_p=4a(2+sqrt{2}), S_s=2a^2})

Пример 5*. В окружность радиуса r вписан правильный треугольник, в треугольник вписана другая окружность, в которую снова вписан правильный треугольник, и т.д. Найдите сумму периметров всех треугольников и сумму длин всех окружностей.

Сторона правильного треугольника, вписанного в первую окружность: (mathrm{a_1=2rcdot sin 60^{circ}=sqrt{3}r}).
Радиус второй окружности, вписанной в первый треугольник: (mathrm{r_2=frac{a_1}{2}tg30^{circ}=frac{a_1}{2sqrt{3}}=frac{sqrt{3}r}{2sqrt{3}}=frac{r}{2}})
Сторона правильного треугольника, вписанного во вторую окружность: (mathrm{a_2=sqrt{3}r_2=frac{sqrt{3}r}{2}}).
Радиус третьей окружности, вписанной во второй треугольник: (mathrm{r_3=frac{r_2}{2}=frac{r}{4}}).
Получаем геометрическую прогрессию для сторон треугольников: $$ mathrm{ a_1=sqrt{3}r, a_2=frac{sqrt{3}r}{2}, a_3=frac{sqrt{3}r}{4}=,…, q=frac12 } $$ и геометрическую прогрессию для радиусов окружностей: $$ mathrm{ r_1=r, r_2=frac{r}{2}, r_3=frac{r}{4},…, q=frac12 } $$ Геометрическая прогрессия для периметров треугольников: $$ mathrm{ p_1=3a_1=3sqrt{3}r, p_2=frac{3sqrt{3}r}{2}, p_3=frac{3sqrt{3}r}{4},…, q=frac12 } $$ Сумма всех периметров: begin{gather*} mathrm{ S_p=frac{p_1}{1-q}=2p_1=6sqrt{3}r} end{gather*} Геометрическая прогрессия для длин всех окружностей: $$ mathrm{ L_1=2pi r_2=2pi r, L_2=pi r, L_3=frac{pi r}{2},…, frac12 } $$ Сумма всех длин окружностей: $$ mathrm{ S_L=frac{L_1}{1-q}=2L_1=4pi r } $$ Ответ: (mathrm{S_p=6sqrt{3}r, S_L=4pi r})