Как найти сумму бином ньютона

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

18 декабря 2021

Сегодня мы детально разберём Бином Ньютона. Это формула, по которой можно раскрыть скобки ${{left( a+b right)}^{n}}$ и получить готовый многочлен. Сама формула выглядит так:

[{{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}]

где $C_{n}^{k}$ — биноминальные коэффициенты (они же — «число сочетаний из $n$ по $k$»), которые считаются по формуле

[C_{n}^{k}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}]

Вот и всё. На этом можно было бы закончить, но есть одно но: большинство начинающих учеников не понимают эту формулу, не умеют пользоваться её, а уж чтобы доказать её — об этом даже речи не идёт.

Сегодня мы всё это исправим. Вы узнаете буквально всё, что нужно знать про Бином Ньютона:

1. Постановка задачи — в чём вообще проблема?
2. Формула бинома Ньютона — что значат все эти значки?
3. Знак суммы — чрезвычайно полезный материал для всех, кто хочет понять математику.
4. Биноминальные коэффициенты — минутка комбинаторики.
5. Треугольник Паскаля — лайфхак для быстрых вычислений.
6. Доказательство Бинома Ньютона — для тех, кто хочет познать Истину.:)

Материала много, но всё будет максимально понятно и — главное — чрезвычайно полезно. Погнали!

1. Постановка задачи

Итак, мы хотим быстро раскрывать скобки в конструкциях вида ${{left( a+b right)}^{n}}$. Начнём с того, что мы и так знаем. Например:

[{{left( a+b right)}^{1}}=a+b]

Спасибо, кэп. Теперь вспомним формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы:

[{{left( a+b right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}]

И куб суммы:

[{{left( a+b right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}]

Видим, что с ростом степени растёт и количество слагаемых-одночленов: их всегда на одно больше, чем степень. Но это не проблема. Проблема в другом: у этих одночленов появляются некие коэффициенты, принцип вычисления которых не ясен. Пока не ясен…

Именно для нахождения этих коэффициентов придумали бином Ньютона.

2. Бином Ньютона

Пусть $nin mathbb{N}$. Тогда верно равенство

[{{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}]

где $sum{left( … right)}$ — краткая запись суммы, $C_{n}^{k}$ — биноминальный коэффициент, который считается по формуле

[C_{n}^{k}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}]

В этой формуле прекрасно всё. Одних пугает знак суммы. Другие не понимают, что за $C_{n}^{k}$ такое (ещё раз: это объект из мира комбинаторики, читается «число сочетаний из $n$ по $k$»). Третьи более-менее понимают, о чём речь, но применить эту формулу на практике не могут.

Сегодня мы решим все эти проблемы. Начнём со знака суммы.

3. Знак суммы

Знак суммы — это краткая запись суммы нескольких однотипных слагаемых:

[sumlimits_{k=a}^{k=b}{fleft( k right)}]

Формула $fleft( k right)$ задаёт общий вид однотипных слагаемых, а нижний и верхний индексы $k=a$ и $k=b$ (сверху вместо $k=b$ обычно пишут просто $b$) определяют диапазон значений, которые «пробегает» $k$ и которые нужно подставить в $fleft( k right)$. Например:

[sumlimits_{k=3}^{5}{2k}=2cdot 3+2cdot 4+2cdot 5]

Более привычный формат:

[sumlimits_{k=1}^{n}{fleft( k right)=fleft( 1 right)+fleft( 2 right)+…+fleft( n right)}]

То же самое с индексами:

[sumlimits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}]

Обратите внимание: если $k$ пробегает значения от $k=a$ до $k=b$, то всего таких слагаемых будет ровно $b-a+1$:

[sumlimits_{k=a}^{b}{fleft( k right)=underbrace{fleft( a right)+fleft( a+1 right)+ldots +fleft( b right)}_{b-a+1text{ слагаемых!}}}]

Кроме того, полезно потренироваться и с обратным переходом — от полной записи к краткой:

[frac{1}{1}+frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}=sumlimits_{n=1}^{5}{frac{1}{2n-1}}]

[frac{2}{3}+frac{4}{9}+frac{6}{27}+frac{8}{81}=sumlimits_{n=1}^{4}{frac{2n}{{{3}^{n}}}}]

В приложении к уроку — куча задач для самостоятельной тренировки.

Но вернёмся к биному Ньютона. Распишем его без знака суммы:

[begin{align} {{left( a+b right)}^{n}} & =C_{n}^{0}cdot {{a}^{n}}{{b}^{0}}+C_{n}^{1}cdot {{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+ \ & +ldots +C_{n}^{k}cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+ldots + \ & +C_{n}^{n-1}cdot {{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}cdot {{a}^{0}}{{b}^{n}} end{align}]

В целом, всё понятно: степени буквы $a$ уменьшаются с ${{a}^{n}}$ до ${{a}^{0}}$; одновременно степени буквы $b$ растут с ${{b}^{0}}$ до ${{b}^{n}}$. Сумма степеней этих букв в каждом одночлене равна $n$. Но что такое $C_{n}^{k}$?

4. Биноминальные коэффициенты

Немного комбинаторики.

Определение. Число сочетаний из $n$ по $k$ — это число способов, которыми можно выбрать $k$ элементов среди $n$ элементов, если порядок выбора не имеет значения. Обозначается $C_{n}^{k}$ и считается по формуле

[C_{n}^{k}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}]

Обратите внимание: в числителе и знаменателе стоят факториалы. Стандартное определение: $n!$ — это произведение всех чисел от единицы до $n$:

[n!=1cdot 2cdot 3cdot …cdot n]

У факториалов много интересных свойств. Чуть позже мы рассмотрим их и даже введём более корректное определение самого факториала. А пока просто потренируемся считать биноминальные коэффициенты.

Пример. На пруду плавают 5 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?

Очевидно, порядок кормления уток неважен. Покормить сначала утку №1, а затем №2 — это то же самое, что покормить сначала утку №2, затем №1. Результат один и тот же: накормлены лишь эти две утки, а остальные три — нет. Поэтому считаем $C_{5}^{2}$:

[begin{align} C_{5}^{2} & =frac{5!}{2!cdot 3!} \ & =frac{5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{2cdot 1cdot 3cdot 2cdot 1}= \ & =10 end{align}]

Вот и всё. Однако при больших $n$ и $k$ посчитать число сочетаний напрямую становится затруднительно. Тут на помощь приходит сокращение дробей.

Пример. На пруду 150 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?

Порядок вновь неважен, просто уток стало больше. Поэтому считаем $C_{150}^{2}$:

[begin{align} C_{150}^{2} & =frac{150!}{2!cdot 148!}= \ & =frac{150cdot 149cdot 148cdot …cdot 1}{2cdot 1cdot 148cdot …cdot 1}= \ & =frac{150cdot 149}{2cdot 1}= \ & =11175 end{align}]

Видим, что факториалы образуют «длинные хвосты» в числителе и знаменателе, которые легко сокращаются. Однако для корректной работы с биномом Ньютона нам потребуется расширить определение факториала.

4.1. Новое определение факториала

Стандартное определение мы уже привели выше:

[n!=1cdot 2cdot 3cdot …cdot n,quad nin mathbb{N}]

Но как посчитать, например, факториал нуля? И как сокращать «длинные хвосты», не расписывая факториалы? Здесь нам поможет более грамотное определение.

Определение. Пусть $nin mathbb{N}bigcup left{ 0 right}$ — целое неотрицательное число. Тогда факториал считается по формуле:

[n!=left{ begin{align} & 1,quad n=0 \ & ncdot left( n-1 right)!,quad n gt 0 \ end{align} right.]

В частности, $0!=1$ по определению.

Простейшие коэффициенты:

[begin{align} C_{n}^{0} & =frac{n!}{0!left( n-0 right)!}=frac{n!}{1cdot n!}=1; \ C_{n}^{1} & =frac{n!}{1!left( n-1 right)!}=frac{ncdot left( n-1 right)!}{1cdot left( n-1 right)!}=n; \ end{align}]

А вот ещё парочка весёлых примеров:

[begin{align} C_{7}^{3} & =frac{7cdot 6cdot 5cdot 4cdot ldots cdot 1}{3cdot 2cdot 1cdot 4cdot ldots cdot 1}=35 \ C_{8}^{2} & =frac{8cdot 7cdot 6cdot ldots cdot 1}{2cdot 1cdot 6cdot ldots cdot 1}=28 \ C_{64}^{3} & =frac{64cdot 63cdot 62cdot 61cdot ldots cdot 1}{3cdot 2cdot 1cdot 61cdot ldots cdot 1}= \ & =41664 end{align}]

5. Треугольник Паскаля

Посчитаем бином Ньютона для $n=0$, $n=1$, $n=2$, $n=3$:

[begin{align} & {{left( a+b right)}^{0}}=1 \ & {{left( a+b right)}^{1}}=1cdot a+1cdot b \ & {{left( a+b right)}^{2}}=1cdot {{a}^{2}}+2cdot ab+1cdot {{b}^{2}} \ & {{left( a+b right)}^{3}}=1cdot {{a}^{3}}+3cdot {{a}^{2}}b+3cdot a{{b}^{2}}+1cdot {{b}^{3}} \ end{align}]

Составим таблицу:

[begin{matrix} 1 \ 1quad 1 \ 1quad 2quad 1 \ 1quad 3quad 3quad 1 \ 1quad 4quad 6quad 4quad 1 \ end{matrix}]

Получили треугольник, который в народе называют «Треугольник Паскаля»: по бокам единицы, а внутри каждое число равно сумме двух ближайших, стоящих этажом выше:

[begin{align} & 3=1+2 \ & 4=1+3 \ & 6=3+3 \ end{align}]

И это не случайность. Перед нами важнейшее свойство биноминальных коэффициентов, которое мы оформим в виде теоремы и докажем.

Теорема. Биноминальные коэффициенты вычисляются по формуле

[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}]

Доказывается напролом.

Распишем доказательство детально:

[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}+frac{n!}{left( k+1 right)!left( n-k-1 right)!}]

[begin{align} & C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}= \ = & frac{n!}{k!left( n-k right)!}+frac{n!}{left( k+1 right)!left( n-k-1 right)!} \ end{align}]

Заметим, что по определению факториала

[begin{align} & left( k+1 right)!=left( k+1 right)cdot k! \ & left( n-k right)!=left( n-k right)cdot left( n-k-1 right)! end{align}]

Поэтому знаменатели биноминальных коэффициентов можно переписать:

[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=frac{n!}{k!left( n-k right)left( n-k-1 right)!}+frac{n!}{left( k+1 right)k!left( n-k-1 right)!}]

[begin{align} C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1} & =frac{n!}{k!left( n-k right)left( n-k-1 right)!}+ \ & +frac{n!}{left( k+1 right)k!left( n-k-1 right)!} end{align}]

Приведём к общему знаменателю:

[begin{align} C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1} & =frac{left( k+1 right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}+frac{left( n-k right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}= \ & =frac{left( k+1+n-k right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}= \ & =frac{left( n+1 right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!} end{align}]

[begin{align} & C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}= \ = & frac{left( k+1 right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}+frac{left( n-k right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}= \ = & frac{left( k+1+n-k right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}=frac{left( n+1 right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!} \ end{align}]

Окончательно получим:

[begin{align} C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1} & =frac{left( n+1 right)!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}= \ & =frac{left( n+1 right)!}{left( k+1 right)!left( n+1-left( k+1 right) right)!}= \ & = C_{n+1}^{k+1} end{align}]

Теорема доказана. Теперь мы знаем, как формируется треугольник Паскаля. Осталось доказать сам Бином Ньютона.

6. Доказательство Бинома Ньютона

Итак, нужно доказать, что

[{{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}]

где $C_{n}^{k}$ — биноминальные коэффициенты с теми чудесными свойствами, которые мы рассмотрели и доказали выше.

Будем доказывать по индукции.

6.1. База индукции

Рассмотрим $n=1$. Формула Бинома Ньютона для него:

[begin{align} {{left( a+b right)}^{1}} & =sumlimits_{k=0}^{1}{C_{1}^{k}{{a}^{1-k}}{{b}^{k}}}= \ & =C_{1}^{0}{{a}^{1}}{{b}^{0}}+C_{1}^{1}{{a}^{0}}{{b}^{1}}= \ & =a+bend{align}]

Очевидно, для $n=1$ формула верна. Переходим к индуктивному предположению.

6.2. Индуктивное предположение

Пусть Бином Ньютона верен для некоторого $n=t$:

[{{left( a+b right)}^{t}}=sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}]

Используя этот факт, докажем верность и для $n=t+1$, т.е. выполним индуктивный переход.

6.3. Индуктивный переход

Докажем, что бином Ньютона верен для $n=t+1$:

[{{left( a+b right)}^{t+1}}=sumlimits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}]

Для этого сначала заметим, что

[{{left( a+b right)}^{t+1}}={{left( a+b right)}^{t}}cdot left( a+b right)]

Однако согласно индуктивному предположению, ${{left( a+b right)}^{t}}$ допускает разложение по Биному Ньютона, поэтому

[begin{align} left( a+b right)cdot {{left( a+b right)}^{t}} & =left( a+b right)cdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \ & =acdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}+bcdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \ & =sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}} end{align}]

[begin{align} & left( a+b right)cdot {{left( a+b right)}^{t}}= \ = & left( a+b right)cdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \ = & acdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}+bcdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \ = & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}} \ end{align}]

Запишем отдельно первое слагаемое первой суммы и учтём, что $C_{t}^{0}=C_{t+1}^{0}=1$:

[begin{align} sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} & = C_{t}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \ & = C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} end{align}]

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}= \ = & C_{t}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \ = & C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \ end{align}]

И последнее слагаемое последней второй суммы и учтём, что $C_{t}^{t}=C_{t+1}^{t+1}=1$:

[begin{align} sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}} & =sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t}^{t}cdot {{b}^{t+1}} \ & =sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} end{align}]

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}= \ = & sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t}^{t}cdot {{b}^{t+1}} \ = & sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

Сейчас будет самая нетривиальная операция. Меняем индекс суммирования в последней сумме: выполняем подстановку $k=m-1$. При этом меняются и пределы суммирования:

[left[ begin{align} k & =m-1 \ k & =0Rightarrow m=1 \ k & =t-1Rightarrow m=t \ k+1 & =m \ t-k & =t+1-m \ end{align} right]]

В итоге последняя сумма перепишется так:

[sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}=sumlimits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}]

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}= \ = & sumlimits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

Объединяем суммы вместе:

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}= \ = & C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}= \ = & C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+ \ + & sumlimits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

Заметим, что два знака суммы различаются лишь названием индекса и биноминальными коэффициентами. Всё остальное — диапазоны суммирования, степени буквы $a$ и буквы $b$ — всё идеально совпадает и никак не меняется, если написать вместо $k$ индекс $m$ или наоборот.

Такие суммы можно записать под единым знаком:

[C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{left( C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} right)}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}]

[begin{align} & C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+ \ + & sumlimits_{k=1}^{t}{left( C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} right)}+ \ + & C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

Выражение под знаком суммы легко раскладывается на множители:

[begin{align} C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} & =left( C_{t}^{k}+C_{t}^{k-1} right)cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}= \ & =C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} end{align}]

[begin{align} & C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}= \ = & left( C_{t}^{k}+C_{t}^{k-1} right)cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}= \ = & C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} \ end{align}]

Здесь в последнем шаге мы использовали свойство биноминальных коэффициентов, доказанное выше:

[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}]

Или, что то же самое

[C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}]

Таким образом, всю сумму можно переписать более компактно, а затем внести под знак суммы первое и последнее слагаемое:

[ C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}=sumlimits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}]

[begin{align} C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}} & +sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}= \ & =sumlimits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \ end{align}]

Сопоставляя исходное выражение и конечное, получим

[{{left( a+b right)}^{t+1}}=sumlimits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}]

Именно это и требовалось доказать. Следовательно, исходная формула Бинома Ньютона верна.

Смотрите также:

1. Схема Горнера
2. Теорема Безу и корни многочленов
3. Знаки тригонометрических функций
4. Уравнение касательной к графику функции
5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
6. Сложные задачи B2 на проценты: вычисление полной стоимости

Продолжаем рассказывать о разных формулах и подходах из математики, которые часто применяются в ИТ и в привычных алгоритмах. Сегодня будет про бином Ньютона — про него много кто слышал, но не все представляют, что это и зачем это нужно. Сейчас разложим по полочкам. 

Чтобы понять бином Ньютона, нам понадобится треугольник Паскаля.

Что такое треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — это одно из названий треугольной таблицы чисел. Его назвали в честь математика Блеза Паскаля, но про такой треугольник математики знали тысячу лет назад. 

Работает треугольник так: берём единицу (это будет вершина треугольника), а все остальные числа в каждом ряду получаем сложением левых и правых чисел, которые стоят выше. Если нарисовать, то получится так:

Такой треугольник можно продолжать бесконечно. В математике этот треугольник обладает разными полезными свойствами, но нам он нужен для биномиальных коэффициентов в биноме Ньютона. Вот теперь поговорим про бином.

Что такое бином Ньютона (просто)

Бином Ньютона — это формула, которая помогает посчитать сумму двух чисел, возведенную в какую-то степень.

Разбираем по полочкам: 

Из школьной программы мы помним такую формулу: (a + b)² = a² + 2ab + b² — это частный случай бинома Ньютона для квадрата суммы. 

Может быть, вы помните сумму в кубе: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ — это тоже бином Ньютона. 

А что если нам нужно возвести сумму не в квадрат, не в куб, а в сто сорок шестую степень? Какая тогда будет формула? Вот для этого нам нужна более обобщенная формула, которая опишет вообще все варианты биномов для любой степени.

Исходя из этой адской формулы для расчета бинома на компьютере нам нужно будет много раз посчитать факториал — это произведение всех целых чисел от единицы до заданного числа. Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. А факториалы в силу своей цикличности жрут довольно много оперативной памяти. Может так получиться, что мы не сможем посчитать коэффициенты бинома, потому что закончилась оперативка.

Но, оказывается, необязательно считать факториалы — есть способ проще.

Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля (простая теория в картинках)

Тут нам приходит на помощь треугольник Паскаля. Оказывается, числа в каждом ряду — это биномиальные коэффициенты для каждой степени n:

На практике это работает так: допустим, что по ходу работы алгоритма нам нужно раскрыть скобки и вычислить (x + y)⁴. Применим сюда бином Ньютона и треугольник Паскаля:

Получается, что с помощью этого треугольника можно не считать все эти формулы с факториалами, а быстро находить нужные коэффициенты, подставлять их в формулу бинома и сразу получать ответ. Так можно разложить любой бином и получить ответ гораздо быстрее, чем вычисляя все факториалы подряд.

Где используется бином Ньютона

Кроме математики, где бином нужен для комбинаторики и разных полезных формул, он часто применяется в программировании. Например, с его помощью можно обойти ограничение на размер оперативной памяти при возведении большого числа в степень: его можно разложить на сумму двух чисел поменьше и посчитать слагаемые через бином. 

Также биномиальные коэффициенты часто применяются в матрицах и операциях с векторами — а именно на матрицах построены почти все нейросети. Поэтому если мы сможем быстро находить нужный коэффициент и применять его к матрице, то сможем быстрее создавать дипфейки и генерировать реалистичные пейзажи. Строго говоря, для этого сейчас нужно просто знать команду import, потому что готовых библиотек на эту тему — вагон, без всяких биномов. 

А ещё на биномиальных коэффициентах работает отдельная непозиционная система счисления — её применяют в проектах, где надо быстро перебирать много различных вариантов и их возможных сочетаний.

Что дальше

Дальше мы попробуем применить эти знания и алгоритмы на практике: напишем код, который использует бином Ньютона для решения разных хитрых бытовых задач. 

Пусть
множество,
состоящее изэлементов. Любое подмножество(включая и пустое подмножество), содержащееэлементов, называетсясочетаниемпоэлементов из
(или комбинацией поэлементов из₎,
при этом, разумеется,,
т.е.

сочетанияминазывают комбинации,
составленные изnразличных элементов поmэлементам. Сочетания считаются различными,
если их состав отличаются друг от друга
хотя бы одним элементом.

Теорема 2. Число сочетаний из n
элементов по m
определяется равенством:

(3)
.

Доказательство.Пустьзаданное
множество, состоящее изэлементов,—
какое либо подмножество,
содержащееэлементов. Составим всевозможные
перестановки из элементов,
получимразличных строк длиной.
Если указанную операцию произвести с
каждымэлементным
подмножеством множества,
то получим всегоразличных строк длиной.
Естественно, таким способом должны
получиться без исключения все строки

длиной
без
повторений, которые можно составить из
элементов множества.
Поскольку, по теореме 1, число таких
строк
то имеем равенство,
из которого следует доказательство
теоремы.Подчеркнем, что
числа размещений, перестановок и
сочетаний связаны равенствами

.

т.е.
с учетом равенство (2) получаем (3). В
частности,

_.

Далее,
рассмотрим несколько примеров на
применение комбинаторных понятий.

Пример 7. Сколько трехзначных
чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если
каждая цифра входит в изображение числа
только один раз?

Решение: Искомое число трехзначных
чисел:

.

Выпишите
самостоятельно эти наборы чисел.

Пример 8. Сколько можно составить
сигналов из 6 флажков различного цвета,
взятых

по 2?

Решение: Искомое число сигналов

.

Пример 9. Сколькими способами
можно выбрать две детали из ящика,
содержащего 10 деталей?

Решение: Искомое число способов.

Пример 10. Какое количество партий
сыграли 8 шахматистов, встречаясь с
каждым партнером только один раз.

Решение. В данной задаче набор
пар несущественен.

Двухэлементное
множество можно упорядочить только
2!=2 способами (число
перестановок). Следовательно, общее
число партий (пар) будет в 2! меньше, чем
число размещений.
Поэтому, общее число партий равно.

Решение этой задачи можно изящно
иллюстрировать геометрически (см.
Рис.4). Рассмотрим выпуклый восьмиугольник
.
С каждой любой вершины восьмиугольника
можно провести к другим вершинам семь
отрезков, т.е. количество встреч партий
шахматистов с другими партнерами равно
числу отрезков, соединяющих с остальными.
Общее число вершин (шахматистов) равно
8, а так как отрезкиАВиВАи т.д.
являются равными, то различных отрезков
(партий) будет равно.

Задания. 1.Эту же задачу решите, с
помощью турнирной таблицу встреч.

Бином Ньютона. Пустьитакие величины, для которых имеет место
равенство.
Из школьного курса известны алгебраические
тождества:

,

,

,

,

.

Продолжая, этот процесс, т.е. пользуясь
равенствами
можно написать следующее равенство:

Данное равенство называется
формулой бинома Ньютона. При этом мы
воспользовались равенствами:
=1.
Неотрицательные целые числа(обычно называют их биномиальными
коэффициентами) определены равенствами:

,

если
ипри остальных значениях.
Напомним, что принято 0!=1.

В
частности, имеют место равенства:

,

Обычно
формула бинома Ньютона доказывается
методом математической индукции с
учетом равенств:

;.

Основные свойства бинома Ньютона.

1. В разложении
содержитсяслагаемых.

2. Показатель степени параметра
убывает отnдо 0,
напротив, показатель степенивозрастает от 0 до n,
в любом случае сумма показателей
степени величин (параметров)иравнаn – показателю
степени бинома.

3. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные
от концов разложения, равны между собой,
т.е.
А также верно и другое разложение

(1)

4. Для биномиальных коэффициентов

верно равенство

Некоторые непосредственные выводы.

5. Из общей формулы (1) непосредственно
выводятся следующие равенства:

а. Если сумма чисел,
то имеет место равенство

В
дальнейшем это равенство играет важную
роль в теории вероятностей.

в. Если
,
то сумма биномиальных коэффициентов
равно,
т.е. верна формула

с. Если
,
то сумма биномиальных коэффициентов
всегда равна нулю.

.

В частности, полагая
,
получим равенство

.

Формулу
(1) можно переписать в виде:

6. Биномиальные коэффициенты сначала
возрастают, а затем, убывают. При этом:

— если показатель степени бинома
четный, то биномиальный коэффициент
среднего слагаемого разложения
наибольший;

— если же показатель степени бинома
нечетный, то биномиальные коэффициенты
двух средних слагаемых равны между
собой и являются наибольшими;

— на основании свойства 4.биномиальные
коэффициентымогут быть вычислены с помощью так
называемого «треугольника Паскаля»

В этих «треугольных» таблицах
легко заметить, что каждое число, кроме
крайних единиц, является суммой двух
вышерасположенных чисел.

7. Поскольку биномиальный коэффициент
начинается с нулевого члена, то в общем
виде принято ()
– ое слагаемоесчитать
–
им членом разложения, и обозначается:

Задача 1. Для выражениянайти
шестое слагаемое.

Решение.Нужно воспользоваться
биномиальной формулой, когда.

Ответ.
.

Задача 2..Найдите наибольший член
разложения

Решение.Для решения этой задачи
необходимо выяснить для каких
выполняется неравенства:

.

Рассмотрим отношение

.

Отсюда
следует, что при

,

т.е.,
при
коэффициенты убывают. Значит, для номеранаибольший
член разложения бинома и он же будетдесятым слагаемым

.

Задача 3. Найти член разложения,
не содержащий положительной степени(т.е. найти слагаемое содержащее).

Решение. Так как,тогда выписывая показатель степени,
после несложных упрощений получим:

Следовательно, четвёртый
член разложения (он же пятое
слагаемое) является
решением задачи.

Ниже предложим некоторые сведения из
теории арифметических функций.

Упражнения:
А. Докажите,
что

1.
При
любом простом

биномиальные
коэффициенты

делятся
на число
.

2.
Докажите
тождества:

3.

,
еслилюбое
нечётное простое число..

В.
Дополнительные сведения. Пусть
—
каноническое представление натурального
числа,
определим классическую функцию Мебиусас помощью комбинаторных коэффициентов

равенством:

(**)

Докажите, что

1. Для
любых взаимно простых натуральных

,
(свойство
мультипликативности)

2.(свойство ортогональности)

где
суммирование ведётся по всем положительным
целым делителям числа
.

3.
Вычислите функцию

Примечание.
Классическая
функция Мебиуса определяется несколько
иначе. По этому поводу можно обратиться,
например, к известным учебникам по
теории чисел
[3;4].
Определение
(**) предложенное здесь выгодно по
многим причинам. Во – первых, функция
определена одной формулой, во – вторых,
легко определяются различные обобщения
(речь идёт о функциях

,

которая
равна 0 или 1, смотря по тому, делится
или не делится число
натую степень числа,
а также других арифметических функций,
связанные с функцией Мебиуса). Подробные
сведения о функции Мебиуса и её свойства
можно найти в учебниках по теории чисел
[3;4].

Читателям
интересующихся более обстоятельно
этими вопросами, рекомендуем обратиться
к фундаментальным источникам по
аналитической теории чисел [5-7].

Рассмотрим ещё
одну тематику,
обобщающую
понятие размещения.

8.
Размещения данного состава. Полиномиальная
формула.

Начнём со следующей
простой задачи

.
Состав строки.
Размещение
данного состава. Рассмотрим
наборы (строки)
и.
Очевидно, что они различны, но имеют
один и тот же «состав»
— в каждую из них входят три буквы
и две буквы.
Далее, уточним понятиесостава
строки.
Пусть
некоторое
членное
множество,
строка длиной,
составленная из элементов множества.
Тогда каждому номеруиз совокупности
будет
соответствовать число
указывающее, на количество участия
элементов
в строке
.
Выписывая по порядку эти числа, получаем
новую строку,
которую и называют составом строки.

Например, если

и
,
то строкаимеет следующий состав.
Следовательно, в строкеэлементучаствует три раза, элементне участвует, элементучаствует два раза, элементучаствует один раз. Две строки, имеющие
один и тот же состав, могут отличаться
друг от друга лишь порядков элементов.
Их называютразмещениями
с повторениями данного состава.

Рассмотрим следующую
комбинаторную задачу:
найти
число размещений, имеющий данный состав
.

Приведём
основное утверждение о числе составов

Теорема
3.
Количество

—
различных
последовательностей (составов),
составленных из элементов
,
в которых
каждый элемент
встречается

раз
(равно

(4)
.

Доказательство.
Обозначим
количество
составов указанных в формулировке
теоремы 1 буквой
.
А так же, положим.
Введём в рассмотрениепроизвольных
различных элементов:

.
Для любой исходной последовательности

строим различные перестановки из
указанных
элементов, заменяя элементы по следующему
правилу. На тех местах исходной
последовательности, где стояло одно и
то же(этот элемент встречалсяраз), записываем какой-нибудь перестановку
изэлементов
.
Согласно
равенству (2) такое действие для одного
можно осуществлять в точностиразличными способами. Проделав такое
действие для каждого(),
мы получим некоторую перестановку изиз указанных выше элементов. На основании
формулы умножения (см. пункт)
для любой последовательности строки
получим всего указанным способом
различных перестановок из
элементов. Для различных исходных
последовательностей вышеуказанным
способом мы, естественно, получаем
различные перестановки из взятыхэлементов.
При этом любая из выбранныхэлементов может быть получена этим
способом, если в качестве начальной
последовательности выбрать ту строку,
которая образуется в результате замены
всех элементов
во
взятой перестановке одним элементом
для кахдого.
Таким образом, с учётом равенства (2)
получаем:,
следовательно,

И с учётом нашего
обозначения
,
теорема доказана.

Пример 1. Количество
различных 6 — значных натуральных чисел,
которые можно записать с помощью цифр
1,2,3 так, чтобы каждая цифра встречалась
в записи по два раза, равно:

Пример 2. В
наличии имеются книги трёх наименований,
причём имеется три экземпляра книг
одного наименования, пять экземпляров
другого и два экземпляра третьего.
Количество различных размещений этих
книг на одной полке составляет:

Если в наличии
имеются книги
различных наименований, причём поэкземпляров книг каждого наименования,
то всеэкземпляров
книг могут быть размещены на полке

способами.

Пример 3. В
одном ряду шахматной доски располагаются:
1 король, 1
ферз, 2 слона, 2 коня, 2 ладьи. Количество
всевозможных расположения этих фигур
в одном ряду равно:

.
Полиномиальная формула. Обобщением
формулы Бинома Ньютона является так
называемая полиномиальная формула,
которую приведём без доказательства.

Пусть
любые
числа (или произвольные комутативные
объекты). Имеет место

следующее утверждение

Теорема 4.
Справедлива
полиномиальная формула

(4)

где
суммирование распространяется на
всевозможные целые числа
,
для которых

.

Следствие.

1) Для
случая
,
получаем формулу

(5)

2) Для случая
имеет
место равенство

Задания:
1. На
основании равенство (5) проверьте
тождество

.

2.
Пусть
,
тогда при целомсправедливо
неравенство

Это
известное неравенство Бернулли.

Указание.
Используйте
метод математической индукции.

В
завершении этого раздела сформулируем
известную формулу Стирлинга без
доказательства.

,

где
основание
натурального логарифма. Эта формула
обычно применяется при больших значениях.
В частности, из неё вытекает, чтос точностью доприближается выражением

.

Другими
словами, справедливо (с учётом свойства
логарифмической функции) неравенство