The below workout with step by step calculation shows how to find what is the sum of first 27 even numbers by applying arithmetic progression. It’s one of the easiest methods to quickly find the sum of given number series.
step 1 Address the formula, input parameters & values.
Input parameters & values:
The number series 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . . , 54.
The first term a = 2
The common difference d = 2
Total number of terms n = 27
step 2 apply the input parameter values in the AP formula
Sum = n/2 x (a + Tn)
= 27/2 x (2 + 54)
= (27 x 56)/ 2
= 1512/2
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + . . . . + 54 = 756
Therefore, 756 is the sum of first 27 even numbers.
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Найти сумму всех четных чисел до 100. Арифметическая прогрессия …» по предмету 📙 Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы
Главная » Алгебра » Найти сумму всех четных чисел до 100. Арифметическая прогрессия
15
Июл 2013
Категория: Справочные материалы
Арифметическая прогрессия. Сумма n первых членов арифметической прогрессии
2013-07-15
2021-06-27
Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.
Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.
Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат:
А как бы считали вы? + показать
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам
,
где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.
(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу)
Пример 1. Арифметическая прогрессия задана формулой
Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.
Решение: + показать
Пример 2. Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.
Решение: + показать
Пример 3. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?
Решение: + показать
Пример 4. Арифметическая прогрессия задана формулой
Найдите сумму членов данной прогрессии с -го по включительно.
Решение: + показать
Пример 5. Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных
Решение: + показать
Вы можете пойти тест по теме «Сумма арифметической прогрессии».
Автор: egeMax |
комментариев 6
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разница между двумя соседними числами — постоянна.
Пример:
Последовательность 1, 2, 3, 4,… является арифметической прогрессией с шагом(разностью) прогрессии 1.
Пример:
Последовательность 3, 5, 7, 9, 11,… является арифметической прогрессией с разностью 2.
Пример:
Последовательность 20, 10, 0, -10, -20, -30,… является арифметической прогрессией с разностью -10.
Последовательности
Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6, четвертое 8 и т. д. Получим последовательность
2; 4; 6; 8; … .
Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом — число 20, на сотом — число 200. Вообще для любого натурального числа п можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно равно 2n.
Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:
Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна Так, на шестом месте должна стоять дробь на тридцатом дробь , на тысячном — дробь
Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, (читают: «а первое, а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают Саму последовательность будем обозначать так:
Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют конечной. Например, конечной является последовательность двузначных чисел:
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.
Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, — формулой Приведем другие примеры.
Пример:
Пусть последовательность задана формулой Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., получаем:
Рассматриваемая последовательность начинается так:
Пример:
Пусть последовательность задана формулой Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны —10, а с четными номерами равны 10:
Получаем последовательность
Пример:
Формулой задается последовательность, все члены которой равны 5:
Рассмотрим еще один способ задания последовательности.
Пример:
Пусть первый член последовательности равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т. е.
С помощью формулы можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий, по известному третьему — четвертый и т. д. Получим последовательность
Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro — возвращаться).
Определение арифметической прогрессии
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1:
Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической, прогрессии.
Определение:
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
Иначе говоря, последовательность — арифметическая прогрессия, если для любого натурального п выполняется условие
где d — некоторое число.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Приведем примеры.
Если то получим арифметическую прогрессию
члены которой — последовательные натуральные числа.
Если то получим арифметическую прогрессию
которая является последовательностью положительных нечетных чисел.
Если то получим арифметическую прогрессию
которая является последовательностью отрицательных четных чисел.
Если то имеем арифметическую прогрессию
все члены которой равны между собой.
Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.
По определению арифметической прогрессии
Точно так же находим, что и вообще, чтобы найти нужно к прибавить (n — 1) d, т. е.
Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии.
Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.
Пример:
Последовательность — арифметическая прогрессия, в которой с1 = 0,62 и d = 0,24. Найдем пятидесятый член этой прогрессии.
Имеем:
Пример:
Выясним, является ли число —122 членом арифметической прогрессии
В данной арифметической прогрессии и Запишем формулу n-го члена прогрессии:
Число —122 является членом арифметической прогрессии , если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 28,8 — 5,8n равно —122. Решим уравнение 28,8 — 5,8n = 122:
Значит, число —122 является 26-м членом данной арифметической прогрессии.
Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:
Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида
где k и b — некоторые числа.
Верно и обратное: последовательность , заданная формулой вида
где k и b — некоторые числа, является арифметической прогрессией.
Действительно, найдем разность (n + 1)-го и n-го членов последовательности :
Значит, при любом n справедливо равенство и по определению последовательность является арифметической прогрессией, причем разность этой прогрессии равна k.
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.
Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором — в порядке убывания:
Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:
Итак,
С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.
Обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии через и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:
Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна Действительно,
и т. д.
Число таких пар равно n. Поэтому, сложиd почленно равенства (1) и (2), получим:
Разделив обе части последнего равенства на 2, получим формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:
Приведем примеры на вычисление суммы членов арифметической прогрессии.
Пример:
Найдем сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; … .
В данной арифметической прогрессии Тридцатый член прогрессии найдем по формуле n-го члена:
Теперь вычислим сумму первых тридцати членов:
Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо выражение получим:
Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (II), то вычисления будут выглядеть так:
Пример:
Найдем сумму первых сорока членов последовательности , заданной формулой
Последовательность является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида и b = — 4.
Найдем первый и сороковой члены этой арифметической прогрессии: Теперь по формуле (I) вычислим S40:
Пример:
Найдем сумму 1 + 2 + 3 + … + n, слагаемыми в которой являются все натуральные числа от 1 до n.
Применив формулу к арифметической прогрессии 1; 2; 3; … получим, что
Пример:
Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных шести и не превосходящих 250.
Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосходит 250, решим неравенство
Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно 41. Имеем:
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Как найти сумму нескольких четных последовательных натуральных чисел
Автор: Ирина Гайкова
1995
Рассмотрим несколько способов вычисления суммы нескольких четных последовательных натуральных чисел
Интересная статья? Поделитесь ею пожалуйста с другими:
Хотите обучаться математике индивидуально?
Запишитесь на консультацию.
Оставьте свой комментарий:
- на Блоге
- в Вконтакте
- в Фейсбук
-
Добро пожаловать!
Ирина Гайкова — онлайн репетитор по математике.
-
Рубрики
- Алгебра 7 класс (3)
- Алгебра 8 класс (3)
- Алгебра 9 класс (16)
- Без рубрики (3)
- Видеошпаргалки алгебра (15)
- Видеошпаргалки геометрия (10)
- Видеошпаргалки математика (5)
- Видеошпаргалки физика (2)
- Вычислительные фишки (9)
- геометрия (5)
- ЕГЭ 11 класс (20)
- Задание 13 ЕГЭ. Уравнения (15)
- задачи на проценты (2)
- Справочник по началам анализа (1)
- ЕГЭ. Производная и первообразная (31)
- ЕГЭ. Стереометрия (27)
- Задачи ЕГЭ 11 класс (42)
- Движение по кругу (4)
- Задание 1 ЕГЭ математика (15)
- Задачи на арифметическую прогрессию (10)
- Задачи на среднюю скорость (4)
- Задачи на движение по прямой (25)
- Задачи на движение по реке (6)
- Задачи на производительность и работу (18)
- Задачи на сплавы (1)
- Задачи на сплавы и растворы (14)
- ОГЭ 9 класс (70)
- Задание 14 ОГЭ. Арифметическая прогрессия (5)
- Задание 20 ОГЭ. Выражения и уравнения (26)
- Задание 22 ОГЭ. Функции и графики (34)
- Задание 23 ОГЭ. Геометрическая задача на вычисление (5)
- Физика 9 класс (1)
- Финансовая математика (4)
- Задачи на вклады (3)
-
Свежие записи
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из …
Читать далее
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое …
Читать далее
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые …
Читать далее
В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, …
Читать далее
В правильной треугольной пирамиде SABC точка M − середина ребра AB, S − вершина. Известно, …
Читать далее