Найдём значения выражений (3+(-7)) и (-3+7),
определим знаки слагаемых и их сумм, модули слагаемых и их сумм, разность модулей слагаемых и сравним знак суммы со знаками слагаемых.
1. (3+(-7)=-4).
|
Знаки слагаемых |
Знак суммы |
Модули слагаемых |
Модуль суммы |
Разность модулей слагаемых |
Сравнение знака суммы со знаками слагаемых |
|
Разные |
(«-») |
3=3−7=7 |
−4=4 |
−7−3=47−3=4 |
Знак результата ((-4)) такой же, как и у числа, большего по модулю ((-7)) |
2. (-3+7=4).
|
Знаки слагаемых |
Знак суммы |
Модули слагаемых |
Модуль суммы |
Разность модулей слагаемых |
Сравнение знака суммы со знаками слагаемых |
|
Разные |
(«+») |
−3=37=7 |
4=4 |
7−−3=47−3=4 |
Знак результата (4) такой же, как и у слагаемого с большим модулем (7) |
Видим, что знаки слагаемых и их сумм в обоих случаях разные, а в результате получается разность модулей слагаемых: из большего по модулю числа вычли меньшее по модулю число. Результат имеет такой же знак, что и число с большим модулем.
Чтобы сложить числа с разными знаками, надо:
- из большего модуля вычесть меньший модуль;
- в результате поставить знак слагаемого с большим модулем.
План урока:
Сложение отрицательных чисел
Сложение чисел с разными знаками
Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками
В субботу, ученики 6 класса договорились встретиться и погулять в парке. Утром Юля выглянула в окошко, ярко светит солнышко, но при этом морозно. Девочка взглянула на термометр. Он показывал -10˚C. Мама попросила Юлю пойти на улицу немного позже, когда на улице потеплеет. Юля расстроилась и стала ждать. Через два часа девочка снова взглянула на термометр. Он показал -3. Ого! Всего два часа, а так потеплело – обрадовалась девочка и стала одеваться, чтобы идти гулять. В это время в комнату вошла мама и удивленно спросила «Уже потеплело? На сколько градусов?» Дочь не знала, что сказать и как правильно узнать, на сколько градусов стало теплее. Мама пришла на помощь и сообщила, что достаточно от -10 отнять -3, и мы узнаем, на сколько градусов изменилась температура воздуха за окном. Иначе, можно сказать, что шкала термометра поднялась вверх на 7 делений, значит, на улице стало теплее на 7 градусов. Запомнив все, что рассказала мама, Юля побежала в парк делиться новыми знаниями с друзьями.
Сложение и вычитание отрицательных чисел
Давайте вспомним любимую многими сказку «Буратино» и разберем задачу с участием любимых персонажей.
В театре Карабаса-Барабаса актерам жилось очень сложно, все куклы мечтали жить на свободе. Актеры тяжело работали, но долги перед хозяином росли с каждым днем. Злой владелец пообещал отпустить Буратино и Мальвину из своего театра только тогда, когда кукольные герои вернут ему долг. Сколько монет нужно собрать героям, чтобы оказаться на свободе, если у Буратино было -15 монет, а у Мальвины -6?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам нужно понимать, о чем идет речь. Изучив условие, возникает вопрос «Как может быть -15 и -6 монет?». В данном случае выходит, что Буратино и Мальвина должны вернуть Карабасу-Барабасу 15 и 6 монет, поэтому перед данными числами и стоит знак «минус». Получается, кукольные персонажи смогут покинуть театр, когда полностью вернут долг. Для этого необходимо узнать общий размер долга Буратино и Мальвины. Чтобы узнать размер долга, суммируем монеты персонажей -15 и -6. Но как их сложить, когда перед слагаемыми стоит «минус»? В подобных ситуациях применяют правило сложения отрицательных чисел.
Возвращаемся к решению задачи.
Теперь, правильно запишем и суммируем известные данные.
Получается, что герои имеют -21 монету, следовательно, они должны собрать 21 монету и вернуть долг, только тогда появится возможность покинуть театр Карабаса-Барабаса.
Источник
Рассмотрим еще одно задание.
Найдите результат сложения -24 и -16.
Чтобы вычислить сумму двух значений со знаком «минус», достаточно суммировать их модули, и перед полученной цифрой записать «-».
-24+(-16)=-(24+16)=-40.
Запомни! Если складываем два отрицательных числа, то суммируем их модули, а перед результатом сложения записываем «-».
Сложение чисел с разными знаками
Рассмотрим ситуацию.
Мишин папа навещал бабушку в деревне, обещал привезти гостинец сыну – яблоки. Во дворе Миша рассказал мальчишкам про папино обещание, и решил угостить яблоком, каждого из трех друзей, то есть, у него уже стало -3 яблока. Папа привез сыну 10 яблок и мальчик с радостью поделился фруктами с друзьями. Сколько яблок осталось у мальчика?
Чтобы найти количество яблок у мальчика, нам нужно узнать, чему равна сумма яблок –тех которые были у мальчика(-3), и тех, которые дал папа(10). То есть, чтобы ответить на главный вопрос задачи, достаточно сложить -3 и 10. Но слагаемые имеют разные знаки «+» и «-». Как же выполнить сложение положительного и отрицательного чисел? Запомнив алгоритм сложения положительных и отрицательных чисел сделать это, будет очень просто.
Используем рассмотренный алгоритм при выполнении действий.
Суммируем-3 и 10. Для этого:
- определяем модули: -3=|3|, 10=|10|;
- сравниваем модули, определяя больший: |3|<|10|;
- от большего отнимаем меньший: 10 – 3=7;
- так как по условию 10 – число положительное, то и результат будет числом положительным.
Записывается в таком виде:
-3+10=10 – 3=7.
Выходит, у мальчика стало 7 яблок.
Рассмотрим еще один пример сложения чисел с разными знаками.
Вычислите сумму -28 и 11.
Известные слагаемые имеют разные знаки, то есть -28 является значением отрицательным, а 11–положительным. Чтобы суммировать слагаемые, необходимо воспользоваться ранее рассмотренным алгоритмом. Вначале, определяем модули и сравниваем их.
-28=|28|;
11=|11|;
28>11.
Помним, что большее значение модуля имеет отрицательное слагаемое (-28), поэтому перед результатом нужно будет поставить знак «минус». Теперь, находим разность большего и меньшего значения модуля (28-17) и записываем математическое выражение:
-28+11=-(28-11)=-17.
Учитывая рассмотренные примеры, можно сказать, что:
любое числовое значение от прибавления к нему положительного числа, всегда становится больше, а от прибавления отрицательного числа только меньше.
Докажем справедливость данного правила, вычислив выражение и сравнив уменьшаемое с полученной суммой:-150+50.
Чтобы найти значение выражения нужно определить модули (150 и 50), оставив знак«-» модуля большего слагаемого, от большего значения отнимаем меньшее:
-150+50=-(150-50)=-100.
Сравним найденное значение выражения (-100) с уменьшаемым (-150), используя правило сравнения чисел с отрицательным знаком:
При сравнении цифровых значений со знаком «минус», меньшим будет то, чей модуль больше.
-150=|150|;
-100=|100|.
150>100;
-150<-100.
Действительно, при сложении с отрицательным числом уменьшаемое стало только меньше.
Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками
Мы уже знаем, как выполнять сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, но хочется сказать, что именно в этом разделе математики, большую роль играют противоположные числа. Для тех, кто забыл, напоминаем, какие числовые значения называются противоположными:
Если два числа отличаются только знаком, то они являются противоположными:-13 и 13, 141 и -141, 1000 и -1000.
Чтобы понять, какие правила необходимо соблюдать при выполнении вычитания чисел с разными знаками, давайте разберем задание.
Определите, чему будет равно значение выражения: от -510 отнять +210.
На первый взгляд задание очень простое и не вызывает никаких проблем. Но стоит записать разность в виде выражения:
-510-(+210)
Сразу возникает вопрос «Как вычитать, если уменьшаемое со знаком «минус», а вычитаемое со знаком «плюс»?».Чтобы решение подобных выражений не вызывало у вас трудностей, возьмите на заметку правило:
Чтобы выполнить вычитание чисел с разными знаками, нужно уменьшаемое оставить без изменений и прибавить к нему число, противоположное вычитаемому.
Например: -5-(+2).
Минус пять оставляем без изменений. Вычитаемое +2, а противоположное ему -2. Складываем уменьшаемое(-5) и число противоположное вычитаемому(-2): -5+(-2).
По правилу сложения отрицательных чисел, складываем модули(5+2) и ставим знак «-»:
-5+(-2)=-(5+2)=-7
Учитывая данное правило, получается, что к уменьшаемому(-510) необходимо прибавить значение,противоположное вычитаемому(210), таким числом будет -210:
Запишем выражение:
-510-(+210)=-510+(-210). Чтобы вычислить полученное выражение нужно сложить отрицательные значения, согласно правилу сложения отрицательных чисел:
-510-(+210)=-510+(-210)=-(510+210)=-720.
Вычисления окончены.
Источник
Рассмотрим следующее задание.
Найдите значение выражения: -248+248.
Используем правило сложения значений с разными знаками.
-248=|248|;
248=|248|;
248 – 248=0.
Следовательно, при сложении противоположных числовых значений в результате всегда будет 0.
Зная правило вычитания отрицательных чисел, можем сделать вывод, что знаки, стоящие перед скобками, могут менять знак числа, находящегося в скобках.
К примеру, в выражении 19-(-4), при вычислении используем правило, согласно которого, к уменьшаемому прибавляем, число противоположное вычитаемому, то есть знак вычитаемого «-» меняем на противоположный «+». Получим:
Запомни! Если перед скобкой в математическом выражении стоит знак «минус», то знак числа в скобках меняется на противоположный.
Ну а сейчас, разберем задание, в котором перед скобкой стоит знак «плюс».
Вычисли: -36+(-7).
В этом задании воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел– сложим модули числовых значений, а перед суммой поставим знак «минус»:
Мы видим, что «плюс» перед скобкой никак не повлиял на знак числа, стоящего в скобках. Запомни! Если перед скобками стоит «плюс», то знак числового значения, стоящего в скобках никак не меняется.
В выполнении рассматриваемых действий нет ничего сложного. Главное запомнить основные требования и придерживаться их в процессе любых вычислений! Если сразу запомнить все правила не получается, заходи на сайт 100уроков.ru и мы всегда с удовольствием напомним нужное правило или алгоритм.
Минутка истории
История математики утверждает, что человечество длительное время не принимало ряд отрицательных числовых значений. Данный вид чисел, казался непонятным и ненужным. Привычных нам знаков «плюс» и «минус» просто не существовало. Если возникала необходимость в записи отрицательно числа, то его записывали следующим образом «долг в 30 монет». И лишь математики Древней Индии и Китая, выполняли записи отрицательных чисел без употребления слова «долг», а просто использовали черные чернила, вместо синих.
Только в 3 веке греческий ученый Диофант, стал обозначать знак «минус» вот таким символом .
Привычные нам знаки «+» и «-» появились в Германии в конце 15 века. Чешский ученый Ян Видман, отразил данные знаки в своей книге-пособии, помогающей подсчитывать прибыль и убытки чешским купцам. Стоит заметить, что данная книга была написана от руки и имела огромную популярность среди богатых людей того времени.
В одном из прошлых уроков мы научились складывать и вычитать числа с помощью координатной прямой.
Сегодня же мы разберемся как складывать числа с разными знаками, не прибегая к координатной прямой. Также проанализируем, чему может оказаться равна сумма чисел с разными знаками.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Допустим, у Василия есть 30 тысяч рублей на счету в банке, но при этом у него есть долг в размере 13 тысяч рублей.
Первая величина положительная, вторая — отрицательная по своей сути.
Сложив 30 и -13, мы получим ту сумму, которой Василий может свободно распоряжаться.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Это можно сделать с помощью координатной прямой. Но с большими числами работать по такому алгоритму некомфортно, поэтому есть более простой способ.
Чтобы сложить два числа с разными знаками, необходимо:
1) посчитать их модули
2) из большего модуля вычесть меньший модуль
3) поставить перед полученным числом знак слагаемого с наибольшим модулем
Пример:
1) Модуль 30 равен 30, модуль -13 равен 13
2) (mathbf{30>13}), следовательно вычитаем из 30-ти 13, (mathbf{30-13=17})
3) Число с наибольшим модулем в данном случае 30, оно положительное, значит, и перед ответом поставим знак «+», но можем просто не ставить ничего.
Получили: (mathbf{30+(-13)=17})
17 тысячами рублей может распоряжаться Василий.
Также покажем на примере, как может получиться отрицательное число:
Есть другой клиент банка Олег, у него на счету 5500 рублей, а должен он 9300.
Тогда, чтобы понять, сколько у Олега свободных денег, мы должен сложить 5500 и -9300.
1) Считаем модули:
(mathbf{mid5500mid=5500})
(mathbf{mid-9300mid=9300})
2) Вычитаем из наибольшего модуля наименьший:
(mathbf{9300-5500=3800})
3) (mathbf{9300>5500}), значит, ответ та кже, как и число -9300, будет числом отрицательным.
Если убрать промежуточные действия, то получится: (mathbf{5500+(-9300)=-3800})
То, что у Олега получилось отрицательное количество свободных денег показывает, что даже если он отдаст все деньги со счета на погашение долга, он останется должен банку еще 3800 рублей.
Нельзя не упомянуть случай, когда результатом сложения двух чисел с разными знаками является нуль.
Сложим 5 и -5.
1) Точно также считаем модули:
(mathbf{mid5mid=5})
(mathbf{mid-5mid=5})
2) Считаем разность модуле -, они равны, поэтому нам неважно, что из чего вычитать.
(mathbf{5-5=0})
3) У нас получился нуль в прошлом действии, поэтому можно даже не думать о знаке, ибо нуль это и есть нуль.
Тогда получаем: (mathbf{5+(-5)=0})
Заметим: чтобы получился нуль, у чисел должны быть равные модули. И чтобы это был случай со сложением чисел с разными знаками, одно должно быть отрицательным, а другое положительным.
Тогда получаем, что сумма двух чисел с разными знаками равна нулю тогда и только тогда, когда это противоположные числа.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Сейчас мы потренируемся отдельно делать некоторые заключения про сумму двух чисел, не считая ее.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Мы уже сказали, что если сумма двух чисел с разными знаками равна нулю, то эти числа являются взаимно обратными.
Это же верно и в обратную сторону. В самом деле, если взять два противоположных числа а и -а, то их модули будут равны а и а соответственно, а значит, их разность будет равна нулю.
Получается, что, если нас просят сложить два числа с разными знаками, мы можем сразу посмотреть, что они противоположны, то есть вдобавок к тому, что у них разные знаки, у них еще и равны модули, и сделать вывод, что их сумма будет равна нулю.
Примеры:
(mathbf{-13+13=0})
(mathbf{184frac{1}{123543}+(-184frac{1}{123543})=0})
Мы можем использовать это в промежуточных действиях, чтобы не считать сложные части выражения, если они все равно равны нулю:
(mathbf{5-7+58468456231+(-58468456231)=5-7+(58468456231+(-58468456231))=})
(mathbf{=5-7+0=5-7=-2})
Да, конечно, посчитать тоже несложно, особенно используя калькулятор, но не считать еще проще и быстрее!
В случаях с числами, которые не являются противоположными, мы, может быть, не сможем так красиво угадать ответ, как это нам только что удавалось выше.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Посмотрев на числа, а если быть точным, только сравнив их модули, можно сказать про знак результата.
В самом деле, в правиле подсчета суммы чисел с разными знаками мы приписываем к разности модулей знак слагаемого с наибольшим модулем.
Значит, если сравним модули чисел, то уже будем знать, какой знак будет у ответа.
Например, какой будет знак у суммы 3-х и (mathbf{-68458456})-ти?
Очевидно, модуль второго числа будет больше модуля первого числа, потому что у второго числа больше значащих разрядов.
Значит, у результата будет знак второго слагаемого.
Перед ним стоит минус, значит, оно отрицательное, а это значит, что и результат будет числом отрицательным.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Теперь, когда мы знаем, как складывать числа с разными знаками, то можем подумать о том, как применить наши знания для решения задач.
Главным образом, отрицательные числа очень удобны, когда мы говорим о долгах.
Суммируя, сколько в месяц приходит денег (зарплата, деньги за аренду квартиры, доход по процентам с денег, лежащих в банке), а также, сколько мы должны заплатить кому-либо (налоги, коммунальные услуги, подписки на интернет-сервисы), мы можем посчитать, сколько свободных денег у нас останется на прочие нужды.
Для этого мы должны считать любой наш доход со знаком «плюс», а любой расход или долг со знаком «минус».
Пример:
Александр работает на заводе и получает 40 тысяч рублей в месяц зарплатой, также он сдает одну из своих квартир за 20 тысяч рублей, при этом он должен платить 5 тысяч рублей за коммунальные услуги в своей квартире и 169 рублей за подписку на музыкальный сервис.
Сколько денег у Александра остается после уплаты обязательных платежей?
Решение:
Для начала нам нужно понять, с каким знаком суммировать те или иные пункты.
Зарплата и доход от сдачи квартиры являются статьями дохода. Они увеличивают количество денег у Александра, следовательно, должны считаться со знаком «+».
При записи мы не будем писать излишний знак «+», так как он и так подразумевается, если другого знака не стоит.
Коммунальные услуги и оплата за интернет-подписку являются статьями расхода и должны считаться со знаком «-».
Также необходимо привести все единицы измерения к одному виду.
Цена на интернет-подписку в этой задаче измеряется в рублях, а остальные величины — в тысячах рублей.
Значит, мы должны либо домножить зарплату, аренду и коммунальные платежи на тысячу, либо же на тысячу разделить плату за интернет-подписку.
Для примера выберем первый путь и приводим к одним единицам величины:
(mathbf{40cdot1000=40000}) (рублей)- зарплата Александра
(mathbf{20cdot1000=20000}) (рублей)- Александр получает от сдачи квартиры в аренду
(mathbf{5cdot1000=5000}) (рублей)- плата за коммунальные услуги
Тогда у нас получается такое выражение для количества оставшихся денег:
(mathbf{40000+20000-5000-169=54831}) (рубль) у Александра остается на прочие расходы.
Ответ: 54831 рубль
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В этом уроке мы затронули тему долгов и кредитов. Давайте узнаем историю этого явления в мире.
Свое начало кредитование берет еще в Древнем Египте, Вавилоне, Ассирии.
Тогда все было довольно строго, и, если человек не мог вернуть долг, он становился рабом кредитора.
В то время одалживать могли даже не деньги, а, например, зерно, чтобы вырастить больше урожая.
В Древней Греции кредиторами являлись в основном храмы, так как они накапливали в себе богатства и могли помогать в случае неурожая.
Тогда появилось понятие долговая яма: должник помещался в яму до оплаты кредита или, опять же, до перехода в рабство.
В Средние века кредитной системе было несколько сложно, так как церковь, имевшая тогда значительную власть, запретила зарабатывать на процентах, что лишило дохода ростовщиков и банкиров того времени.
Но, к счастью, для прогресса, люди нашли обход и одалживали через ценные бумаги — векселя. Заемщик покупал их у банкира по одной цене, а продавал по другой, естественно, в убыток себе, но этот убыток служил доходом банкира.
Затем в XVI веке запрет на заработок от процентов отменяется и появляются профессиональные банки. Однако власть продолжала их регулировать, не давая сделать процент по кредиту слишком высоким.
Современный вид кредиты начали принимать во время промышленной революции. У банков начала появляться широкая сеть отделений, и кредиты стали доступны обычным людям, а не только высшим слоям общества, как это могло быть раньше.
Несмотря на доступность кредитов в современном мире, нужно всегда просчитывать экономические решения, а в этом деле как раз помогает математика.
Читайте также
Сложение целых чисел. Часть 2
Сумма чисел с разными знаками
Необходимо запомнить
ВАЖНО!
Чтобы сложить числа разных знаков, нужно из большего модуля вычесть меньший и полученную разность взять со знаком того слагаемого, модуль которого больше.
Прибавить к числу $а$ число $b$ – значит изменить число $a$ на $b$ единиц.
Любое число от прибавления положительного числа увеличивается, а от прибавления отрицательного числа уменьшается.
Это интересно
На прошлом уроке мы договорились положительные целые числа считать прибылью, а отрицательные – убытками или долгами. Это позволило нам понять, как складывать целые отрицательные числа. Теперь рассмотрим сложение положительного и отрицательного числа. Сумма положительного и отрицательного числа – это результат сложения прибыли и долга, который показывает, что останется от прибыли после вычета долга (если прибыль изначально больше), или какой долг останется после вычета прибыли (если долг изначально больше).
Сложение и вычитание целых чисел
- Сложение
- Вычитание
Сложение
При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.
Примеры:
(+3) + (+7) = 10,
(-3) + (-7) = -10.
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.
При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.
Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:
Примеры:
(-4) + (+11) = 7, так как 11 — 4 = 7;
(-5) + (+2) = -3, так как 5 — 2 = 3.
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
Примеры:
(-7) + 7 = 0,
(+12) + (-12) = 0.
Вычитание
Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным.
Примеры:
(+6) — (+5) = (+6) + (-5) = 1,
(+6) — (-5) = (+6) + (+5) = 11,
(-6) — (-5) = (-6) + (+5) = -1,
(-6) — (+5) = (-6) + (-5) = -11.
Из данных примеров следует, что, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
При решении выражений, содержащих и сложение, и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.
Пример.
12 — 18 + 41 — 9.
Решение: Заменим вычитание на сложение:
12 + (-18) + 41 + (-9),
сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа:
(12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27).
Теперь осталось только найти сумму двух получившихся результатов:
53 + (-27) = 26, значит 12 — 18 + 41 — 9 = 26.