Как найти сумму длин промежутков возрастания функции

Найди верный ответ на вопрос ✅ «Производная функции f (x) равна f’ (x) = x (4-x). Найдите сумму длин промежутков возрастания функции …» по предмету 📙 Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.

Искать другие ответы

Рассмотрим задания, в которых по данному графику производной функции y=f'(x)нужно найти промежутки возрастания функции y=f(x).

№1

На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-12;9). Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответе указать длину наибольшего из них.

Решение:

На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная y=f'(x) положительна.

Выделяем промежутки, на которых производная принимает положительные значения (то есть график производной расположен выше оси Ox).

В данном примере таких промежутков два: (-11;-7) и (-2;8).  Так как в точках -11, -7, -2 и 8 существует производная f'(x), то функция f(x) непрерывна в этих точках. Поэтому эти точки можно включить в промежутки возрастания и убывания функции. Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутках [-11;-7] и [-2;8]. Они имеют длину 4 и 10 единичных отрезков.

Ответ: 10.

№2

Функция f(x) определена на интервале (-10;2). На рисунке изображён график её производной. Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответ указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная y=f'(x) положительна: f'(x)>0.

Выделяем промежутки, на которых производная принимает положительные значения. В данном примере таких промежутков два: (-9;-7) и (-3;1). Поскольку в точках -9, -7, -3 и 1 существует производная f'(x), то функция f(x) непрерывна в этих точках, а значит, эти точки можно включить в промежутки возрастания функции f(x).

Итак, функция y=f(x) возрастает на промежутках [-9;-7] и [-2;1].

Ищем сумму целых точек, входящих в эти промежутки:

-9+(-8)+(-7)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1=-29.

Ответ: -29.

№3

Функция определена и непрерывна на полуинтервале [-4;6). На рисунке изображён график её производной. Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная f'(x) положительна.

В данном примере производная принимает положительные значения на промежутках (-2;2) и (2;6).

По условию, функция непрерывна на полуинтервале [-4;6). Значит точки -2 и 2, входящие в этот полуинтервал, можно включить в промежутки возрастания. Следовательно, функция y=f(x) возрастает на полуинтервале [-2;6). Ищем сумму целых точек, входящих в промежуток [-2;6):

(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5=12.

Ответ: 12.

15 марта 2011

В задаче 6 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x₀,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x₂ − x₁ и приращение функции Δy = y₂ − y₁.
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = −1 − (−3) = 2; Δy = y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 3 − 0 = 3; Δy = y₂ − y₁ = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 5 − 0 = 5; Δy = y₂ − y₁ = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x).
2. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f’(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x₀) ≥ 0 или f’(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l₁ = − 6 − (−8) = 2;
l₂ = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l₂ = 5.

Смотрите также:

1. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции
2. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции
3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
4. Решение задач B6: №362—377
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

y = x^3-3*x^2+9*x+2
Область существования функции
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3 • x²-6 • x+9
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
3 • x²-6 • x+9 = 0
Для данного уравнения корней нет.

16.Дана функция . Тогда

(Укажите интервал выпуклости вверх (вниз) функции).

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
f»(x) = 6 • x-6
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
6 • x-6 = 0
Откуда точки перегиба:
x₁ = 1

(-∞ ;1)	(1; +∞)
f»(x) < 0	f»(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

17.Найти наибольшее значение функции в интервале [4,5].

Экстремумы функции

18.Пусть функции — непрерывны на интервале . Тогда (Основные свойства неопределенного интеграла).

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

19.Таблица интегралов. ( ).

Sinx+C

20.Найдите интеграл , , , ,

21.Вычислить , , ,

22.Пусть функции — непрерывны на интервале . Тогда (Основные свойства определенного интеграла, 9 свойств).

Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.

Теорема 1. Если f(x) и g(x) — две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f(x) + g(x), очевидно, будем иметь

после чего остается перейти к пределу при λ → 0.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Если f(x) — непрерывная функция, а c — постоянное число, то

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [a, b] на части включать c в число точек деления. Если c = x_m, то

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [a, b], [a, c] и [c, b]. Остается перейти к пределу при λ → 0.

Доказанную теорему можно высказать в более общей форме. Для этого нам понадобится расширить смысл символа интеграла.

Если f(x) — любая функция, определенная в точке a, то по определению полагаем

(11)

Таким образом, интеграл с совпадающими пределами равен нулю.

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a, b]. Тогда по определению полагаем

(12)

Таким образом, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак.

Теперь можем привести упомянутую более общую форму теоремы 3:

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [A, B]. Если a, b, c суть точки этого промежутка, то

(13)

В самом деле, если из точек a, b и c две (а тем более три) совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть же все эти точки различны. Если a < c < b, то дело сводится к теореме 3. Прочие случаи взаимного расположения точек a, b, c тоже легко свести к той же теореме. Пусть, например, c < b < a. Тогда

откуда

и остается дважды применить формулу (12).

Свойство интеграла, выражаемое теоремами 3 и 4, называется аддитивностью его, как функции промежутка интегрирования.

Теорема 5. Если f(x) — непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что

(14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k+1 > x_k, то m(x_k+1 — x_k) ≤ M(x_k+1 — x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m(b — a) ≤ σ ≤ M(b — a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b — a к новому неравенству

Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет

ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

Теорема 6. Если f(x) — неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего^*, то и сам интеграл будет числом неотрицательным

Действительно, в этом случае оба сомножителя правой части формулы (14) неотрицательны.

___________________________________

^* Если в интеграле будет a ≤ b, то будем говорить, что порядок пределов интегрирования — нормальный.

Последний результат можно несколько уточнить.

Теорема 7. Если a < b, а f(x) — непрерывная неотрицательная функция, которая хотя бы в одной точке [a, b] отлична от нуля, то

В самом деле, пусть x₀ (a < x₀ < b) — такая точка, что f(x₀) > 0. Возьмем столь малое δ > 0, чтобы при | x — x₀ | < δ было f(x) > 0, что, очевидно, возможно, благодаря непрерывности нашей функции. Не ограничивая общности, можно принять, что a ≤ x₀ — δ, x₀ + δ ≤ b. Тогда

Первый и третий интегралы правой части по предыдущей теореме неотрицательны, а второй интеграл по теореме о среднем представим в форме

и потому строго положителен.

Теорему 7 можно, очевидно, формулировать и так:

Теорема 8. Пусть f(x) — неотрицательная непрерывная функция, заданная в [a, b], причем a < b. Если

то f(x) всюду на [a, b] равна нулю.

В обеих теоремах 7 и 8 (в отличие от теоремы 6) нельзя отбросить условия непрерывности подинтегральной функции. Например, функция, которая в конечном числе точек [a, b] равна единице, а в остальных точках этого промежутка равна нулю, будет неотрицательной и нетождественной нулю, а интеграл от нее (как показано в пунктеОпределенный интеграл) равен нулю.

Теорема 9. Если a ≤ b, а f(x) и u·g(x) — две непрерывные функции, которые на [a, b] удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то

(15)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования неравенство можно интегрировать почленно.

Действительно,

Если бы мы допустили, что a < b и что хоть в одной точке оказывается f(x) < g(x), то смогли бы и в (15) исключить знак равенства.

Теорема 10. Если a ≤ b и

f(x) непрерывна на [a, b], то

(16)

т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подинтегральной функции.

В самом деле, интегрируя неравенств

— | f(x) | ≤ f(x) ≤ | f(x) |,

находим:

а это равносильно неравенству (16).

23.Пусть — площадь фигуры, ограниченной линиями , . Тогда значение лежит в интервале

Приводим подобные:

2Решаем уравнение:

3Решаем уравнение:

4Решаем уравнение:

5Графики уравнений:

Ответ:

(Решение уравнения с учётом ОДЗ )

24.Формула для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной явно и параметрически.

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:

, где – значения, определяющие точки и .

25. ,

Частные производные

26. ;

Частные производные

27. ;

∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8−y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8−y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)

или

∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)∂z∂x=−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x)

или

Полный дифференциал функции.

dz=(−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dx+(−3⋅x2⋅z8−2⋅y⋅z3ln(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dydz=(−6⋅x⋅y⋅z8+y2⋅z3x⋅ln2(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dx+(−3⋅x2⋅z8−2⋅y⋅z3ln(x)24⋅x2⋅y⋅z7+3⋅y2⋅z2ln(x))dy

28.Найти производную функции в точке М(1;-2) :

29.Найти градиент функции в точке .

30.Укажите сходящийся несобственный интеграл 1-го рода.

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Тема «Возрастание и убывание квадратичной функции» Найти по

Описание презентации Тема «Возрастание и убывание квадратичной функции» Найти по по слайдам

Тема «Возрастание и убывание квадратичной функции» Найти по графику промежутки возрастания и убывания квадратичной функции

Нахождение по графику промежутков возрастания и убывания квадратичной функции ху 0 11 Функция является убывающей на промежутке, если большему значению х соответствует меньшее значение у , т. е. при движении слева направо график идет вниз (просмотр по щелчку) Функция является возрастающей на промежутке, если большему значению х соответствует большее значение у , т. е. при движении слева направо график идет вверх (просмотр по щелчку)

8 у х0 11 Найти по графику и записать промежутки возрастания и убывания квадратичной функции Обратите внимание, что график квадратичной функции состоит из двух ветвей. Ветви соединяются между собой вершиной параболы. При записи промежутков возрастания и убывания самую главную роль будет играть абсцисса (х) вершины параболы Пример 1. Рассмотрим движение по каждой ветке параболы отдельно: • по левой ветке при движении слева направо график идет вниз, значит функция убывает ; • по правой ветке — график идет вверх, значит функция возрастает. Ответ: промежуток убывания (- ∞; -1 ] ; промежуток возрастания [ -1; +∞)

present5.com

Как найти промежутки возрастания и убывания функции примеры

ЕГЭ, ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ Стереометрия Найдите V/S поверхности МНОГОГРАННИКА, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые)

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Рекомендуем при необходимости обращаться к разделу дифференцирование функции, так как все признаки в этой статье основаны на нахождении производной.

Навигация по странице.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Определение убывающей функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точки минимума и максимума называют Точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют Экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X ; если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

найти область определения функции; найти производную функции; к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Переходим к нахождению производной функции:

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

Находим область определения функции. Находим производную функции на области определения. Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют Точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак). Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала). Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак — они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5 , знаменатель обращается в ноль при x=2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:

Найдем производную функции:

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения прои

poiskvstavropole.ru

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания

Видеоурок: Возрастание и убывание функции

Лекция: Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания

Монотонность функции

Невозможно правильно построить охарактеризовать функцию и построить график без исследования её на монотонность.

Если у функции имеются диапазоны, на которых она постоянно убывает, или возрастает, такие функции называются монотонными.

Функция называется возрастающей, если на некотором промежутке большему значению функции соответствует большее значение аргумента, если же большему аргументы соответствует меньшее значение функции, то она называется убывающей.

Обратите внимание на рисунок: на промежутке от а до х₁ значение функции увеличивается, а значит, данный промежуток функции является возрастающим. На промежутке от х₁ до х₂ функция убывает. А на промежутке от х₂ до b функция снова возрастает.

Постоянство, возрастание, убывание

Для того, чтобы знать, как ведет себя функция необходимо знать некоторые тонкости. В этом нам помогут теоремы:

1. Функция имеет постоянные значения на некотором промежутке в том случае, когда производная в каждой точке данного промежутка равна нулю.

При этом данный промежуток может иметь конечные значения, а может иметь и бесконечные значения аргумента.

2. Достаточным признаком возрастания функции считается то, что производная данной функции на заданном интервале принимает положительные значения.

3. Достаточным признаком убывания функции на некотором промежутке можно считать отрицательное значение производной в точках, выбранных из заданного диапазона.

cknow.ru