Как найти сумму дробей в степени

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

8 августа 2011

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
2. Затем — деление и умножение;
3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Смотрите также:

1. Умножение и деление дробей
2. Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
3. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
4. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
5. Формула простого процента: как найти исходное значение
6. Сложная задача B14 на смеси и сплавы

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Возведение дроби в степень

Поддержать сайт

113. Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Возведение дроби в степень.

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

27+37=2+37=57.

Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

ac+bc=a+bc,

где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.

Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

ac-bc=a-bc.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 1. Сложим дроби:

3a-7b15ab+2a+2b15ab=3a-7b+2a+2b15ab=5a-5b15ab=5(a-b)15ab=a-b3ab.

Пример 2. Вычтем дроби:

a2+95a-15-6a5a-15=a2+9-6a5a-15=a-325a-3=a-35.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 3. Сложим дроби x4a3b+56ab4.

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а³b⁴. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны 3b³и 2a².

Имеем

x4a3b+56ab4=x∙3b3+5∙2a212a3b4=3b3x+10a212a3b4.

Пример 4. Преобразуем разность a+3a2+ab-b-3ab+b2.

Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

a+3a2+ab-b-3ab+b2=a+3a(a+b)-b-3b(a+b).

Простейшим общим знаменателем служит выражение ab(a+b). Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем:

a+3a(a+b)-b-3ba+b=a+3b-b-3aaba+b=ab+3b-ab+3aaba+b=3a+baba+b=3ab.

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 5. Упростим выражение a-1-a2-3a+1

Представим выражение a-1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

a-1-a2-3a+1=a-11-a2-3a+1=a-1a+1-a2-3a+1=a2-1-a2+3a+1=2a+1.

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень.

При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например: 23∙45=2∙43∙5=815.

Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:

ab∙cd=acbd,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило умножения рациональных дробей:

чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример 6. Умножим дроби a34b2∙6ba2.

Воспользуемся правилом умножения дробей:

a34b2∙6ba2=a3∙6b4b2∙a2=6a3b4a2b2=3a2b.

Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и более рациональных дробей. Например:

ab∙cd∙mn=acbd∙mn=acmbdn.

Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Рассмотрим выражение abn, являющейся n-й степенью рациональной дроби ab и докажем, что

abn=anbn.

По определению степени имеем

abn=ab·ab∙…∙ab (n раз).

Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим

ab·ab∙…∙ab=a∙a∙…∙ab∙b∙…∙b=anbn.

Следовательно, abn=anbn.

Из доказанного тождества следует правило возведения рациональной дроби в степень:

чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

Пример 7. Возведем дробь 2a2b4 в третью степень.

Воспользуемся правилом возведения в степень:

2a2b43=(2a2)3(b4)3=8a6b12.

Деление дробей

При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например: 38:25=38∙52=1516.

Так же поступают при делении любых рациональных дробей:

ab:cd=ab∙dc=adbc,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

Это равенство выражает правило деления рациональных дробей:

чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 8. Разделим дроби 7a2b3:14ab.

Воспользуемся правилом деления дробей:

7a2b3:14ab=7a2b3·b14a=7a2b14ab3=a2b2.

Возведение дроби в степень

Возведение дроби в степень. Наш онлайн-калькулятор позволяет возводить в степень любую дробь. Чтобы задать смешанную дробь заполните поля, соответствующие целой части, числителю и знаменателю. Если дробь не имеет целой части, то тогда оставьте соответствующее поле незаполненным. Если необходимо задать отрицательную дробь – для этого нажмите кнопку [+/-].После нажатия на кнопку «Вычислить» калькулятор выдаст ответ. Ниже под калькулятором будет приведено подробное решение с последовательностью действий, которые необходимо совершить.

						=
			+/−

Вычислить

Для того, чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень.

При возведение в степень смешанной дроби, сначала нужно эту дробь преобразовать в неправильную, а затем возвести в степень её числитель и знаменатель.

Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками с буквами