Как найти сумму двух рядов

Рассмотрим
некоторые приемы нахождения суммы

функционального
ряда и области его сходимости к этой
сумме.

Нахождение
суммы ряда почленным интегрированием.

  1. Пусть
    дан ряд вида

    .
    По признаку Коши или

признаку
Даламбера область
сходимости определяется
неравенством

.
Если

,
то ряд

— расходящийся.

Если

,
то ряд

сходится условно (по признаку Лейбница).
Следовательно, область сходимости
находится из неравенства

.
Затем делаем
замену

в исходном ряде; получаем степенной ряд

с областью сходимости

.
Используем формулу для вычисления суммы
членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии со знаменателем

(12)

и
очевидное равенство

(13)

Учитывая,
что степенной ряд можно почленно
интегрировать по любому отрезку

,
целиком принадлежащему интервалу
сходимости, и используя формулу (13),
получаем


Заметим,
что так как ряд (12) сходится в граничной
точке t=-1,
то сумма ряда непрерывна в этой точке
(справа) и

.
Далее вычисляем интеграл (с переменным
верхним пределом), заменяем t
на

и получаем ответ.

  1. Если
    дан ряд вида

    ,
    то следует либо

применить
теорему о почленном интегрировании
степенного ряда дважды, либо разложить
дробь на элементарные

и
вычислить сумму каждого ряда почленным
интегрированием.

Пример.
Найти сумму ряда

и указать область

его
сходимости к этой сумме.

Решение.
Данный ряд степенной. Находим его
интервал сходимости. По признаку Коши
имеем


.
Из неравенства находим

.
Исследуем поведение ряда в граничных
точках. При

—
расходящийся гармонический ряд. При

— условно сходящийся ряд по признаку
Лейбница. Следовательно, данный ряд
сходится при
.
Для нахождения суммы ряда сделаем замену

.
Получим геометрический ряд

,
сходящийся при

.
Используя равенство (13) и почленное
интегрирование степенного ряда, получаем:

Ответ:

для

.

Замечание.
Степенной ряд (10) сходится абсолютно и
равномерно на всяком отрезке, лежащем
внутри его интервала сходимости; ряд
(10) можно почленно интегрировать и
дифференцировать внутри его интервала
сходимости

,
т.е. если

то для

имеем

и

Задание
17. Найти
сумму ряда и указать область сходимости
к этой сумме.

Задача
1.

Решение.

Имеем

.

Найдем
сумму каждого из этих рядов в их области
сходимости. Сначала рассмотрим ряд


.

Используем
формулу для вычисления суммы членов
бесконечно убывающей геометрической
прогрессии


,
где


,

,
и равенство (13).Учитывая, что степенной
ряд можно почленно интегрировать на
любом отрезке

,
целиком принадлежащем интервалу
сходимости, получаем первую сумму:

Т.к.
ряд

сходится в граничной точке х=-1, то его
сумма непрерывна в этой точке:

.Значит,

при
всех

.
(14)

Аналогично
находим вторую сумму с учетом (14):

Таким
образом, сумма исходного ряда

Ответ:

,

Задача
2.

Решение.
Находим область сходимости функционального
ряда, применяя признак Даламбера

Область
сходимости определяется неравенством

,
или

.
Решая его, получаем

или

.
При

имеем

—
расходящийся ряд (т.к.

~
).
Следовательно, ряд сходится при

.
Сделаем замену

.
Получим ряд

с областью сходимости

.
Используя формулу (12):

равенство (13):

и почленное интегрирование на любом
отрезке, принадлежащем области сходимости,
получаем

Заменяя
t
на

,
получаем сумму

Ответ:

,

.

Нахождение
суммы ряда почленным дифференцированием.

I.
Пусть дан ряд вида

.

Сначала
определяем область сходимости ряда,
например, по признаку Коши. Получаем
неравенство

.
Если

,
то ряд расходится, т.к. не выполнено
необходимое

условие
сходимости

.
Следовательно, область

сходимости
определяется неравенством

.
Затем делаем замену

и записываем ряд в виде суммы двух рядов

.
Для нахождения сумм этих рядов используем
формулу суммы членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии и очевидное
равенство


.

Учитывая,
что степенной ряд можно почленно
дифференцировать в любой точке интервала
сходимости, и используя равенство


,
получаем

Далее
вычисляем производную, делаем замену

и
записываем ответ.

II.
Если дан ряд вида

,
то вычисляем сумму трех рядов

,

и

,
причем при вычислении суммы ряда

применяем теорему о почленном
дифференцировании степенного ряда
дважды.

Задание
18. Найти
сумму ряда и указать область

сходимости
ряда к этой сумме.

Задача
3.

Решение.
а). Находим
область сходимости данного ряда по
признаку Даламбера

Отсюда

.
В граничных точках

ряд расходится, т.к. не выполнено
необходимое условие сходимости. Итак,
ряд сходится (и притом абсолютно) в
интервале (-1;1).

б).
Делаем в исходном ряде замену

и записываем в виде суммы двух рядов

Для
нахождения S(t)
достаточно найти суммы рядов

и


.

Учитывая,
что степенной ряд можно почленно

дифференцировать
в любой точке интервала сходимости,

получаем


.

И

в)
Заменяя

на

,
получаем

Ответ:

Задача
4.

Решение.
 По признаку
Коши интервал сходимости

степенного
ряда определяется неравенством

,
т.е. ряд сходится в интервале (-1;1). Для
нахождения суммы ряда достаточно
представить ряд в виде суммы трех рядов

и найти суммы рядов:


,

где
применили один раз почленное
дифференцирование по x;


.

Т.к.
выше найденная на предыдущем шаге сумма
ряда


,
то еще раз применив почленное
дифференцирование по x
к ряду;

,
получаем

.Таким
образом, сумма исходного ряда равна


.

Ответ:

,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #

    01.05.20221.51 Mб0Учебники 60167.doc

  • #

    01.05.20221.53 Mб0Учебники 60168.doc

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

    01.05.20221.56 Mб0Учебники 60172.doc

  • #
  • #
  • #
Источник

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$ frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = frac{A}{2n+1} + frac{B}{2n+3} = frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

$$ begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \ n^1: &3A+B=1 end{cases}Rightarrow begin{cases} A=frac{1}{2} \ B=-frac{1}{2} end{cases} $$

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

$$ a_n =frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2} frac{1}{2n+1} — frac{1}{2} frac{1}{2n+3} $$

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + … + a_n $$

$$ a_1 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) $$

$$ a_2 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) $$

$$ a_3 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) $$

$$ …………………………………. $$

$$ a_{n-1}=frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) $$

$$ a_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Замечание

Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_{n-1} $.

Обратите внимание, чтобы составить $ a_{n-1} $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

Итого, получаем:

$$ S_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) + … $$

$$ … + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

Выносим дробь одну вторую $ frac{1}{2} $ за скобки:

$$ = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9} … + $$

$$ + … frac{1}{2n-1} — frac{1}{2n+1} + frac{1}{2n+1} — frac{1}{2n+3} bigg) = $$

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

$$ S_n = frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

$$ S=lim_{ntoinfty} S_n = lim_{ntoinfty} frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

$$ = frac{1}{2} lim_{ntoinfty} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = frac{1}{2} cdot frac{1}{3} = frac{1}{6} $$

Источник

Содержание:

  1. Понятие суммы ряда
  2. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
  3. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

Понятие суммы ряда

Постановка задачи. Найти сумму ряда

Сумма ряда

где Сумма ряда — целые числа.

План решения. Суммой ряда Сумма ряда называется предел Сумма ряда последовательности его частичных сумм Сумма ряда, т.е.

Сумма ряда

где Сумма ряда

1. По условию задачи

Сумма ряда

Если корни знаменателя различаются на целое число, т.е. Сумма рядаСумма ряда где Сумма ряда — натуральное число, то члены последовательности частичных сумм ряда Сумма ряда легко найти, так как в выражении Сумма ряда многие слагаемые взаимно уничтожаются.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби:

Сумма ряда

и выписываем несколько членов ряда так, чтобы было видно, какие слагаемые сокращаются при вычислении частичных сумм ряда.

3. Находим Сумма ряда-ю частичную сумму ряда:

Сумма ряда,

сократив соответствующие слагаемые.

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1)

Сумма ряда

и записываем ответ.

Сумма ряда

Пример:

Найти сумму ряда

Сумма ряда

Решение:

1. Корни знаменателя Сумма ряда и Сумма ряда различаются на целое число, т.е. Сумма ряда Следовательно, члены последовательности частичных сумм ряда Сумма ряда легко найти, так как в выражении Сумма ряда многие слагаемые взаимно уничтожаются.

2. Разлагаем общий член ряда на элементарные дроби

Сумма ряда

и выписываем несколько членов ряда:

Сумма ряда

Сумма ряда

3. Сокращая все слагаемые, какие возможно, находим Сумма ряда-ю частичную сумму ряда:

Сумма ряда

4. Вычисляем сумму ряда по формуле (1):

Сумма ряда

Ответ: Сумма ряда

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Вычисление суммы ряда почленным интегрированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

Сумма ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

План решения.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Сумма ряда

Если Сумма ряда, ряд расходится. Если Сумма ряда, ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами Сумма ряда

2. Делаем в исходном ряде замену Сумма ряда, получим степенной ряд

Сумма ряда

с областью сходимости Сумма ряда.

3. Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма ряда

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

Сумма ряда

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке Сумма ряда, целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (2), получаем

Сумма ряда

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке Сумма ряда, то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, Сумма ряда

6. Вычисляем интеграл, делаем замену Сумма ряда на Сумма ряда и записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание. Если ряд имеет вид

Сумма ряда

то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды или разлагаем дробь на элементарные:

Сумма ряда

и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.

Пример:

Найти сумму ряда

Сумма ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством Сумма ряда

В граничных точках при Сумма ряда ряд расходится, при Сумма рядаСумма ряда ряд сходится условно.

Следовательно, данный ряд сходится при всех Сумма рядаСумма ряда.

2. Сделаем замену Сумма ряда Получим геометрический ряд (1) с областью сходимости Сумма ряда

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма ряда

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

Сумма ряда

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке Сумма ряда, целиком принадлежащем интервалу сходимости, и используя формулу (4), получаем

Сумма ряда

Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке Сумма ряда, то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, формула (5) справедлива при всех Сумма ряда.

6. Заменяя Сумма ряда на Сумма ряда, получаем при Сумма ряда

Сумма ряда

Ответ. Сумма ряда

Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием

Постановка задачи. Найти сумму функционального ряда вида

Сумма ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

План решения.

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством

Сумма ряда

Если Сумма ряда, ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости). Следовательно, область сходимости определяется неравенствами Сумма ряда.

2. Делаем в исходном ряде замену Сумма ряда и записываем его в виде суммы двух рядов

Сумма ряда

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

Сумма ряда и Сумма ряда

3. Известна формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма ряда

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

Сумма ряда

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (1), получаем

Сумма ряда

6. Вычисляем производную и делаем замену Сумма ряда на Сумма ряда. Записываем ответ: сумму ряда и область его сходимости.

Замечание. Если ряд имеет вид

Сумма ряда

то вычисляем сумму трех рядов, причем при вычислении суммы ряда

Сумма ряда

применяем теорему о почленном дифференцировании степенного ряда дважды.

Пример:

Найти сумму ряда

Сумма ряда

и указать область сходимости ряда к этой сумме.

Решение:

1. Находим область сходимости ряда.

По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенством Сумма ряда. Отсюда Сумма ряда. В граничных точках Сумма ряда ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Следовательно, ряд сходится в интервале Сумма ряда.

2. Делаем в исходном ряде замену Сумма ряда и записываем его в виде суммы двух рядов

Сумма ряда

Следовательно, достаточно найти суммы рядов

Сумма ряда

3. Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Сумма ряда

Следовательно, Сумма ряда при всех Сумма ряда.

4. Кроме того, имеем очевидное равенство

Сумма ряда

5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и используя формулу (2), получаем

Сумма ряда

Таким образом,

Сумма ряда

Заменяя Сумма ряда на Сумма ряда, получим

Сумма ряда

Ответ. Сумма ряда

Сумма ряда

Сумма ряда

Лекции:

  • Метод Якоби
  • Метод интегрирования
  • Свойства функций, имеющих конечный предел
  • Дифференциал длины дуги кривой. Формула парабол
  • Дифференциальное уравнение Бернулли
  • Область сходимости ряда
  • Метод Ритца
  • Разложение в ряд фурье функций
  • Построение графиков функции с помощью производной
  • Формулы двойного угла
Источник

Нахождение суммы числового ряда. Первая часть.

В теме про основные понятия числовых рядов было указано определение суммы ряда. Вот оно:

Если существует конечный предел $S=lim_{ntoinfty}S_n$, то его называют суммой ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ и сам ряд именуют сходящимся. Если же $lim_{ntoinfty}S_n=infty$ или $lim_{ntoinfty}S_n$ не существует, то ряд называют расходящимся.

Если понятие «частичная сумма» вызывает вопросы, то советую посмотреть раздел про частичную сумму ряда, обратив внимание на пример №4. В этом примере подробно раскрывается суть частичной суммы и остатка.

В данной теме нас будет интересовать вопрос нахождения сумм числовых рядов по определению. Определение суммы ряда опирается на значение $lim_{ntoinfty}S_n$, поэтому для нахождения суммы нам нужно выполнить два шага:

  1. Составить n-ю частичную сумму $S_n$;
  2. Найти $lim_{ntoinfty}S_n$ (если он существует).

Если конечный $lim_{ntoinfty}S_n$ существует, то его значение и будет суммой рассматриваемого ряда, а сам ряд будет именоваться сходящимся. Если же $lim_{ntoinfty}S_n=infty$ или $lim_{ntoinfty}S_n$ не существует, то ряд будет расходиться. Есть несколько стандартных приёмов, которые применяются для нахождения суммы числовых рядов. Например, для нахождения суммы ряда, общий член которого имеет вид рациональной дроби $u_n=frac{P(n)}{Q(n)}$, вполне подходит такой алгоритм:

  1. Разложить дробь $frac{P(n)}{Q(n)}$ на элементарные дроби (процедура разложения описана тут).
  2. Записать выражение для частичной суммы $S_n$, используя результаты предыдущего пункта.
  3. Перегруппировать слагаемые в выражении для $S_n$, приведя их к удобному для сокращения виду.
  4. Используя результат предыдущего пункта, найти $lim_{ntoinfty}S_n$.

Для нахождения суммы ряда нередко удобно использовать и такое свойство:

Пусть общий член ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ можно представить в виде $u_n=b_{n+1}-b_n$. Если существует конечный предел $lim_{ntoinfty}b_n=b$, то ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится. При этом частичная сумма ряда равна $S_{n}=b_{n+1}-b_1$, а сумма ряда $S=b-b_1$.

Доказательство этого свойства может быть интересно не всем читателям, поэтому я скрою его под примечание.

Доказательство свойства: показатьскрыть

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Пример №1

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=(-1)^{n+1}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=\=(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+(-1)^5+ldots+(-1)^{n+1}=1-1+1-1+ldots+(-1)^n.
$$

Вопрос в следующем: чему равна эта сумма? Если в частичных суммах мы станем брать чётное количество слагаемых, они попарно сократятся:

begin{aligned}
& S_2=1-1=0;\
& S_4=1-1+1-1=0;\
& S_6=1-1+1-1+1-1=0;\
& S_8=1-1+1-1+1-1+1-1=0.
end{aligned}

Итак, частичная сумма, содержащая чётное количество слагаемых, равна 0. Т.е. если $n$ – чётное число, то $S_n=0$. Фразу «n – чётное число» можно записать так: $n=2k$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1=2$, $n=2cdot 2=4$, $n=2cdot 3=6$, $n=2cdot 4=8$ и так далее. Итак, $S_{2k}=0$.

Если мы станем брать нечётное количество слагаемых (1, 3, 5 и т.д.), то сумма станет равна 1:

begin{aligned}
& S_1=1;\
& S_3=1-1+1=1;\
& S_5=1-1+1-1+1=1;\
& S_7=1-1+1-1+1-1+1=1.
end{aligned}

Таким образом, если $n$ – нечётное число, то $S_n=1$. Фразу «n – нечётное число» можно записать так: $n=2k-1$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1-1=1$, $n=2cdot 2-1=3$, $n=2cdot 3-1=5$, $n=2cdot 4-1=7$ и так далее. Итак, $S_{2k-1}=1$.

Формально равенство $S_{2k-1}=1$ можно доказать с помощью формулы $S_{2k}=S_{2k-1}+u_{2k}$. Так как $S_{2k}=0$, то $S_{2k-1}+u_{2k}=0$, т.е. $S_{2k-1}=-u_{2k}$. Так как $u_{2k}=(-1)^{2k+1}=left((-1)^2right)^kcdot (-1)^1=-1$, то $S_{2k-1}=-(-1)=1$.

Возникает вопрос: как быть с пределом $lim_{ntoinfty}S_n$? Ведь если $n$ – чётное число, т.е. $n=2k$, то:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ktoinfty}S_{2k}=lim_{ktoinfty}0=0.
$$

С другой стороны, если $n$ – нечётное число, то:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ktoinfty}S_{2k-1}=lim_{ktoinfty}1=1.
$$

Что мы получили? А получили мы следующее: последовательность частичных сумм ${S_n}$ имеет две подпоследовательности: ${S_{2k-1}}$ и ${S_{2k}}$, пределы которых различны. Следовательно, последовательность ${S_n}$ не имеет предела. Вывод: ряд не имеет суммы, т.е. расходится.

Здесь стоит обратить внимание вот на что: следует различать случаи, когда предел равен бесконечности (см. следующий пример №2), и когда предела попросту не существует. Хотя и в том и в другом случаях ряд будет расходиться.

Ответ: ряд расходится.

Пример №2

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}(3n+1)$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=3n+1$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=4+7+10+13+ldots+3n+1.
$$

Эту сумму можно записать в более коротком виде. Дело в том, что последовательность 4, 7, 10, 13 и т.д. есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен 4, а разность равна 3. Сумма первых n членов этой прогрессии такова:

$$
4+7+10+13+ldots+3n+1=frac{4+3n+1}{2}cdot n=frac{3n+5}{2}cdot{n}.
$$

Итак, $S_n=frac{3n+5}{2}cdot n$. Найдем $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{3n+5}{2}cdot nright)=+infty.
$$

Так как $lim_{ntoinfty}S_n=+infty$, то ряд расходится.

Если немного выйти за рамки данной темы, то стоит отметить, что расходимость этого ряда легко доказывается с помощью необходимого признака сходимости.

Ответ: ряд расходится.

Пример №3

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Почему я пишу именно $frac{2}{3cdot 5}$, а не $frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $lim_{ntoinfty}S_n$, но если мы просто запишем:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}right),
$$

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:

$$
frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{A}{2n+1}+frac{B}{2n+3}=frac{Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

$$
2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1).
$$

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем – будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

$$
2=2An+3A+2Bn+B;\
2=(2A+2B)n+3A+B.
$$

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

$$
left{begin{aligned}
& A+B=0;\
& 3A+B=2.
end{aligned}right.
$$

Можно решать эту систему методом Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы. Однако проще всего банально выразить из первого уравнения $A=-B$ и подставить во второе:

$$
3cdot (-B)+B=2;; -2B=2; ; B=-1.
$$

Так как $B=-1$, то $A=-B=1$. Подставляя найденные значения $A=1$ и $B=-1$ в формулу $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{A}{2n+1}+frac{B}{2n+3}$, будем иметь:

$$
frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2n+1}+frac{-1}{2n+3}=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}.
$$

Итак, $u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}$. Используем полученное разложение для того, чтобы упростить формулу частичной суммы ряда. Покажу сначала решение стандартным путём, принятым в большинстве решебников и методичек.

Первый способ упрощения формулы для частичной суммы.

Мы получили разложение общего члена ряда на две дроби: $u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}$. Чтобы этот результат был более наглядным, я распишу несколько первых членов ряда по этой формуле:

begin{aligned}
& u_1=frac{2}{3cdot 5}=frac{1}{3}-frac{1}{5};\
& u_2=frac{2}{5cdot 7}=frac{1}{5}-frac{1}{7};\
& u_3=frac{2}{7cdot 9}=frac{1}{7}-frac{1}{9};\
& u_4=frac{2}{9cdot 11}=frac{1}{9}-frac{1}{11}.
end{aligned}

Давайте распишем частичную сумму, учитывая полученное разложение каждого элемента:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}.
$$

Как видите, все слагаемые этой суммы сокращаются, – кроме первого и последнего:

Сумма

Итак, $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Этот способ упрощения формулы для частичной суммы имеет простую суть: разложить общий член ряда на элементарные дроби, а потом сократить слагаемые.

Однако можно ли считать вышеуказанные рассуждения строгим доказательством? Полагаю, что в общем случае нет, и поясню почему. Дело в том, что мы должны «увидеть» (как любят писать некоторые авторы – «легко увидеть»), что слагаемые сокращаются. А если мы «увидим» не все слагаемые, которые останутся после сокращения? Где гарантии, что мы сократим именно то, что нужно? Нет гарантий. Понятно, что в случае рассматриваемой конкретной задачи всё тривиально и очевидно, но далеко не все частичные суммы рядов имеют такую простую структуру.

Формулу $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$ можно принять в качестве гипотезы, которую ещё нужно доказать. Доказательство удобнее всего проводить методом математической индукции. Так как доказательством заинтересуются не все читатели, то я его скрыл под примечание.

Доказательство формулы $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$: показатьскрыть

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются «вычёркиванием» сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.
$$

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Этот способ основан на свойстве, записанном в начале страницы. По сути, он схож с предыдущим, – разница лишь в применении уже готовой теоремы, доказанной нами ранее. Вернёмся к записи общего члена ряда:

$$
u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}
=frac{-1}{2n+3}-frac{-1}{2n+1}
$$

Обозначим $b_n=frac{-1}{2n+1}$, тогда $b_{n+1}=frac{-1}{2(n+1)+1}=frac{-1}{2n+3}$. Таким образом, $u_{n}=b_{n+1}-b_{n}$. При этом $lim_{ntoinfty}b_n=0$. Согласно упомянутому свойству, ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится. При этом его сумма равна $S=0-b_1=frac{1}{3}$. Если есть необходимость, можно записать и частичную сумму ряда:

$$
S_n
=b_{n+1}-b_1
=frac{-1}{2n+3}-left(-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Третий способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю большей частью именно этот способ :) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}.
$$

Мы получили ранее, что $u_k=frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}$, поэтому:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right).
$$

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

$$
S_n
=frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}=\
=frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+1}-left(frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+3}right).
$$

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство оформим более компактно:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}.
$$

Теперь преобразуем выражения $frac{1}{2k+1}$ и $frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Приведём, например, дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$. Выражение в знаменателе дроби $frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:

$$
frac{1}{2k+3}=frac{1}{2k+2+1}=frac{1}{2(k+1)+1}.
$$

И сумму $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2(k+1)+1}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Если равенство $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показатьскрыть

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Заметьте, что суммы $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}$ и $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. Начнём с первой суммы.

Сделаем так, чтобы верхний предел суммирования стал равен $n+1$. Если $k=n+1$, то $frac{1}{2k+1}=frac{1}{2n+3}$. Прибавляя и вычитая из первой суммы $frac{1}{2n+3}$, получим:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}+frac{1}{2n+3}-frac{1}{2n+3}
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}
$$

Для второй суммы $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ сделаем так, чтобы нижний предел суммирования был равен 1. Если $k=1$, то $frac{1}{2k+1}=frac{1}{3}$. Прибавляя и вычитая $frac{1}{3}$, получим:

$$
sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}
=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}+frac{1}{3}-frac{1}{3}
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}
$$

С учётом полученных результатов, выражение для $S_n$ примет такой вид:

$$
S_n
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}-left(sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}
=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=\

=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}=\

=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}-left(sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Напомню, что мы приводили дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $frac{1}{2k+1}$ в виде $frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показатьскрыть

Итак, $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Находим предел $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.
$$

Заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Ответ: $S=frac{1}{3}$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Проблемы при сканировании частоты 11766 как исправить
  • Как найти формулу углеводорода по объему
  • Как найти длину вписанной окружности в многоугольник
  • Как найти сумму цифр в массиве питон
  • Как исправить код 19 windows не удается запустить устройство