Как найти сумму элементов первой строки матрицы

Как найти сумму элементов матрицы

Матрица или массив элементов представляет собой таблицу определенных значений с фиксированным размером в m строк и n столбцов. Множество выполняемых над матрицей и ее элементами операций позволяет решать различные математические задачи. В частности, одной из таких задач является поиск суммы элементов матрицы. Причем рассматриваемые значения могут быть расположенны как по диагонали, так и в других частях заданного математического объекта.

Инструкция

Запишите матрицу размерностью mхn, где m – число строк, а n – число столбцов объекта. В наиболее простом случае поиска суммы всех элементов матрицы выполните последовательное сложение ее значений. В первой строке первый элемент сложите со вторым, к получившемуся результату прибавьте третий и т.д. до последнего значения строки. Далее к сумме элементов первой строки таким же образом прибавляйте значения второй и всех последующих строк матрицы. Причем при сложении чисел учитывайте их знак. Так, значения -4 и 5 дадут в сумме 1, а -5 + -6 = -11.

Определите сумму элементов на главной диагонали заданной матрицы. Главная диагональ матрицы проходит от ее верхнего левого угла до нижнего правого. Все элементы, стоящие на этой «прямой» сложите между собой. Определив сумму всех чисел на главной диагонали, запишите окончательный результат.

Аналогичным образом вычислите сумму элементов на побочной диагонали рассматриваемой матрицы. Побочной диагональю называется «прямая» проходящая от верхнего левого угла матрицы в нижний правый. Все значения объекта, лежащие на данной диагонали, сложите между собой и запишите результат.

Найдите сумму элементов, стоящих ниже главной диагонали. Для этого проведите по главной диагонали матрицы прямую, отсекающую значения самой диагонали и верхней части объекта. Найдите сумму элементов, расположенных ниже прямой. Для этого желательно складывать значения построчно. Из первой строки ниже главной диагонали возьмите единственный стоящий там элемент, сложите его с первым элементом следующей строки, затем к полученной сумме прибавьте значение второго элемента. Далее перейдите к элементам на третьей строке и т.д., пока не будет произведено сложение последнего, не зачеркнутого элемента матрицы ниже главной диагонали.

Для вычисления суммы элементов матрицы, стоящих выше главной диагонали, выполните аналогичные действия, только в качестве слагаемых рассматривайте элементы стоящие выше зачеркнутой диагонали.

Источники:

• как найти элементы побочной диагонали

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы «Матрицы. Виды матриц. Основные термины».

Содержание темы:

1. Сложение и вычитание матриц.
2. Умножение матрицы на число.
3. Произведение двух матриц.
4. Транспонированная матрица.
5. Некоторые свойства операций над матрицами.
6. Возведение матрицы в степень.

Сложение и вычитание матриц.

Суммой $A+B$ матриц $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ и $B_{mtimes n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{mtimes n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ для всех $i=overline{1,m}$ и $j=overline{1,n}$.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью $A-B$ матриц $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ и $B_{mtimes n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{mtimes n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ для всех $i=overline{1,m}$ и $j=overline{1,n}$.

Пояснение к записи $i=overline{1,m}$: показатьскрыть

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Пример №1

Заданы три матрицы:

$$
A=left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \
5 & 9 & -8
end{array} right);;
B=left(begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \
3 & 0 & -14
end{array} right); ;; F=left(begin{array} {cc} 1 & 0 \
-5 & 4
end{array} right).
$$

Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.

Решение

Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы $A$ равен $2times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.

Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

$$
C=A+B=left(begin{array} {ccc}
-1 & -2 & 1 \
5 & 9 & -8
end{array} right)+
left(begin{array} {ccc}
10 & -25 & 98 \
3 & 0 & -14
end{array} right)=\=
left(begin{array} {ccc}
-1+10 & -2+(-25) & 1+98 \
5+3 & 9+0 & -8+(-14)
end{array} right)=

left(begin{array} {ccc}
9 & -27 & 99 \
8 & 9 & -22
end{array} right)
$$

Найдем матрицу $D=A-B$:

$$
D=A-B=left(begin{array} {ccc}
-1 & -2 & 1 \
5 & 9 & -8
end{array} right)-
left(begin{array} {ccc}
10 & -25 & 98 \
3 & 0 & -14
end{array} right)=\=
left(begin{array} {ccc}
-1-10 & -2-(-25) & 1-98 \
5-3 & 9-0 & -8-(-14)
end{array} right)=

left(begin{array} {ccc}
-11 & 23 & -97 \
2 & 9 & 6
end{array} right)
$$

Ответ: $C=left(begin{array} {ccc}
9 & -27 & 99 \
8 & 9 & -22
end{array} right)$, $D=left(begin{array} {ccc}
-11 & 23 & -97 \
2 & 9 & 6
end{array} right)$.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ на число $alpha$ называется матрица $B_{mtimes n}=(b_{ij})$, где $b_{ij}=alphacdot a_{ij}$ для всех $i=overline{1,m}$ и $j=overline{1,n}$.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Пример №2

Задана матрица: $
A=left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)$. Найти матрицы $3cdot A$, $-5cdot A$ и $-A$.

Решение

$$
3cdot A=3cdot left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)
=left(begin{array} {ccc} 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 end{array} right)=
left(begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \ 12& 27 & 0 end{array} right).\

-5cdot A=-5cdot left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)
=left(begin{array} {ccc} -5cdot(-1) & -5cdot(-2) & -5cdot 7 \ -5cdot 4 & -5cdot 9 & -5cdot 0 end{array} right)=
left(begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 end{array} right).
$$

Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:

$$
-A=-1cdot A=-1cdot left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)=
left(begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \ -4 & -9 & 0 end{array} right)
$$

Ответ:
$3cdot A=left(begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \ 12& 27 & 0 end{array} right)$;
$-5cdot A=left(begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 end{array} right)$;
$-A=left(begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \ -4 & -9 & 0 end{array} right)$.

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{ntimes k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{mtimes k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$:

$$c_{ij}=sumlimits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, ;; i=overline{1,m}, j=overline{1,n}.$$

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу $A_{5times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5times 4}$ на матрицу $B_{4times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5times 4}$ и $B_{4times 9}$ будет матрица $C_{5times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Пример №3

Заданы матрицы:
$
A=left(begin{array} {cccc}
-1 & 2 & -3 & 0 \
5 & 4 & -2 & 1 \
-8 & 11 & -10 & -5
end{array} right)$ и

$
B=left(begin{array} {cc}
-9 & 3 \
6 & 20 \
7 & 0 \
12 & -4
end{array} right)$. Найти матрицу $C=Acdot B$.

Решение

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов:

$
C=left(begin{array} {cc}
c_{11} & c_{12} \
c_{21} & c_{22} \
c_{31} & c_{32}
end{array} right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: «Матрицы. Виды матриц. Основные термины», в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$$
c_{11}=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0.
$$

Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

$$
c_{12}=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37.
$$

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

$$
c_{21}=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23.
$$

Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$
c_{22}=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91.
$$

Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$$
c_{31}=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8.
$$

И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$
c_{32}=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216.
$$

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=left(begin{array} {cc}
0 & 37 \
-23 & 91 \
8 & 216
end{array} right)$. Или, если уж писать полностью:

$$
C=Acdot B =left(begin{array} {cccc}
-1 & 2 & -3 & 0 \
5 & 4 & -2 & 1 \
-8 & 11 & -10 & -5
end{array} right)cdot left(begin{array} {cc}
-9 & 3 \
6 & 20 \
7 & 0 \
12 & -4
end{array} right)=left(begin{array} {cc}
0 & 37 \
-23 & 91 \
8 & 216
end{array} right).
$$

Ответ: $C=left(begin{array} {cc}
0 & 37 \
-23 & 91 \
8 & 216
end{array} right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

$$
left(begin{array} {cc}
6 & 3 \
-17 & -2
end{array}right)cdot

left(begin{array} {cc}
4 & 9 \
-6 & 90
end{array} right)

=left(begin{array} {cc}
6cdot{4}+3cdot(-6) & 6cdot{9}+3cdot{90} \
-17cdot{4}+(-2)cdot(-6) & -17cdot{9}+(-2)cdot{90}
end{array} right)

=left(begin{array} {cc}
6 & 324 \
-56 & -333
end{array} right)
$$

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $Acdot Bneq Bcdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $Acdot B=Bcdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза «домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа» означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)cdot A=Ycdot A$.

Транспонированная матрица.

Транспонированной по отношению к матрице $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ называется матрица $A_{ntimes m}^{T}=(a_{ij}^{T})$, для элементов которой $a_{ij}^{T}=a_{ji}$.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_{3times 5}$:

Соответственно, если исходная матрица имела размер $3times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5times 3$.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $alpha$, $beta$ – некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

1. $A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
3. $(alpha+beta)cdot A=alpha A+beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
4. $alphacdot(A+B)=alpha A+alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(alphabeta)A=alpha(beta A)$
7. $Acdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)cdot A=BA+CA$.
8. $Acdot E=A$, $Ecdot A=A$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.
9. $Acdot O=O$, $Ocdot A=O$, где $O$ – нулевая матрица соответствующего размера.
10. $left(A^T right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^Tcdot A^T$
13. $left(alpha A right)^T=alpha A^T$

В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.

Соседние файлы в папке про_Scilab

• #
• #
• #
• #
• #
• #