Как найти сумму функциональных рядов

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Решение функциональных рядов

Область сходимости

Функциональным рядом называется ряд

членами которого являются функции определенные на некотором множестве Е числовой оси. Например, члены ряда

определены на интервале а члены ряда

определены на отрезке

Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке если сходится числовой ряд Если ряд (1) сходится в каждой точке х множества и расходится в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится ряд

В случае сходимости ряда (1) на множестве D его сумма S будет являться функцией, определенной на D,

Область сходимости некоторых функциональных рядов можно найти с помощью известных достаточных признаков, установленных для рядов с положительными членами, например, признака Даламбера, признака Коши.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Так как числовой ряд

сходится при р > 1 и расходится при р 1, то, полагая р = lg x, получим данный ряд, который будет сходиться при Ig x > 1, т.е. если x > 10, и расходиться при Ig x 1, т.е. при 0 < х 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч

Пример:

Найти область сходимости ряда

Рассмотрим ряд

Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем

При т. е. при х < 0, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале

При х > 0 ряд расходится, так как Расходимость ряда при x = 0 очевидна.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Члены данного ряда определены и непрерывны на множестве Применяя признак Коши, найдем

для любого Следовательно, ряд расходится при всех значениях x.

Обозначим через (x) n-ю частичную сумму функционального ряда (1). Если этот ряд сходится на множестве D и его сумма равна S(x), то ее можно представить в виде

где есть сумма сходящегося на множестве D ряда

который называется n-м остатком функционального ряда (1). Для всех значений имеет место соотношение

и поэтому.

т. е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю при каково бы ни было .

Равномерная сходимость

Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые равномерно сходящиеся ряды.

Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд

сумма которого равна S(x). Возьмем его n-ю частичную сумму

Определение:

Функциональный ряд

называется равномерно сходящимся на множестве если для любого числа найдется число N > 0 такое, что неравенство

будет выполняться для всех номеров n > N и для всех х из множества

Замечание:

Здесь число N является одним и тем же для всех т. е. не зависит от х, однако зависит от выбора числа так что пишут

Равномерную сходимость функционального ряда к функции S(x) на множестве часто обозначают так:

Определение равномерной сходимости ряда на множестве можно записать короче с помощью логических символов:

Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда. Возьмем в качестве множества отрезок [а, b] и построим графики функций у = S(x), Неравенство выполняющееся для номеров n > N и для всех можно записать в следующем виде

Полученные неравенства показывают, что графики всех функций с номерами n > N будут целиком заключены внутри полосы, ограниченной кривыми

Пример:

Показать, что функциональный ряд

равномерно сходится на отрезке

Данный ряд является знакочередующимся, удовлетворяет условиям признака Лейбница при всяком и, следовательно, сходится на отрезке Пусть S(x) — его сумма, a Sn(x) — его n-я частичная сумма. Остаток ряда

по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины своего первого члена:

а поскольку и для всех n = 1, 2, … . Возьмем любое Тогда неравенство будет выполняться, если Отсюда находим, что Если взять число

(Здесь через [а] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее а), то неравенство |S(x) — будет выполняться для всех номеров n > N и для всех Это означает, что данный ряд равномерно сходится на отрезке [-1,1].

Замечание:

Не всякий сходящийся на множестве D функциональный ряд является равномерно сходящимся на D.

Пример:

Покажем, что ряд

сходится на отрезке но не равномерно.

Вычислим n-ю частичную сумму Sn(x) ряда. Имеем

Откуда

Данный ряд сходится на отрезке [0,1] и его сумма

Абсолютная величина разности (остатка ряда) равна

Возьмем число Пусть

Разрешим неравенство относительно n. Имеем откуда

(так как 0 < х < 1, то In х < 0, и при делении на In х знак неравенства меняется на обратный). Неравенство будет выполняться при

Поэтому такого не зависящего от х числа N(e), чтобы неравенство

выполнялось для каждого n > N(e) сразу для всех х из отрезка не существует.

Если же заменить отрезок меньшим отрезком то на последнем данный ряд будет сходиться к функции S(x) = 0 равномерно. В самом деле,

и поэтому

сразу для всех

Признак Вейерштрасса

Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда дается теоремой Вейерштрасса.

Теорема:

Признак Вейерштрасса. Пусть для всех х из множества члены функционального ряда

по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда

с положительными членами, т. е.

для всех Тогда функциональный ряд (1) на множестве сходится абсолютно и равномерно.

Тек как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем множестве , то по признаку сравнения ряд сходится при любом следовательно, ряд (1) сходится на абсолютно

Докажем равномерную сходимость ряда (1). Пусть

Обозначим через частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Имеем

для всех

Возьмем любое (сколь угодно малое) число Тогда из сходимости числового ряда (2) следует существование номера и, следовательно, для всех номеров ряд (1) сходится равномерно на множестве

Замечание:

Числовой ряд (2) часто называют мажорирующим, или мажорантным, для функционального ряда (1).

Пример:

Исследовать на равномерную сходимость ряд

Неравенство

выполняется для всех n = 1, 2, … и для всех Числовой ряд

сходится. В силу признака Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на всей оси.

Пример:

Исследовать на равномерную сходимость ряд

Члены ряда определены и непрерывны на отрезке [-2,2]. Так как

на отрезке [-2,2] для любого натурального n, то

Таким образом, неравенство

выполняется для n = 1, 2, … и для всех Так как числовой ряд

сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [-2,2].

Замечание:

Функциональный ряд (1) может сходится равномерно на множестве и в том случае, когда не существует числового мажорантного ряда (2), т.е. признак Вейерштрасса является лишь достаточным признаком для равномерной сходимости, но не является необходимым.

Пример:

Как было показано выше (пример 1 в § 2), ряд

равномерно сходится на отрезке [-1,1 ]. Однако для него мажорантного сходящегося числового ряда (2) не существует. В самом деле, для всех натуральных n и для всех выполняется неравенство

причем равенство достигается при х = — 1 и х = 1. Поэтому члены искомого мажорантного ряда (2) непременно должны удовлетворять условию

но числовой ряд

расходится. Значит, будет расходиться и ряд

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают рядом важных свойств.

Теорема:

Если все члены ряда

равномерно сходящегося на отрезке [а, b], умножить на одну и ту же функцию g(х), ограниченную на [а, b], то полученный функциональный ряд

будет равномерно сходиться на [а, b].

Пусть на отрезке [а, b] ряд равномерно сходится к функции S(x), а функция g(х) ограничена, т. е. существует постоянная С > 0 такая, что

По определению равномерной сходимости ряда для любого числа существует номер N такой, что для всех n > N и для всех [а,b] будет выполняться неравенство

где Sn(x) — частичная сумма рассматриваемого ряда. Поэтому будем иметь

для n > N и для любого [a,b], т. е. ряд

равномерно сходится на [а, b] к функции g(x) S(x).

Теорема:

Пусть все члены fn(x) функционального ряда

непрерывны и ряд сходится равномерно на отрезке [a, b]. Тогда сумма S(x) ряда непрерывна на этом отрезке.

Возьмем на отрезке [a,b] две произвольные точки Так как данный ряд сходится на отрезке [а, b] равномерно, то для любого числа > 0 найдется номер N = N() такой, что для всех n > N будут выполняться неравенства

где Sn(х) — частичные суммы ряда Эти частичные суммы Sn(x) непрерывны на отрезке [а, b] как суммы конечного числа непрерывных на [a, b] функций fn(х). Поэтому для фиксированного номера и взятого числа найдется число такое, что для приращения удовлетворяющего условию будет иметь место неравенство

Приращение можно представить в следующем виде:

Учитывая неравенства (1) и (2), для приращений удовлетворяющих условию получим

Это означает, что непрерывна в точке х. Так как х является произвольной точкой отрезка [а,b], то S(x) непрерывна на [а,b].

Замечание:

Функциональный ряд

члены которого непрерывны на отрезке [a, b], но который сходится на [а, b] неравномерно, может иметь суммой разрывную функцию.

Пример:

Рассмотрим функциональный ряд

на отрезке [0,1]. Вычислим его n-ю частичную сумму

т.е. сумма ряда

Она разрывна на отрезке [0, 1], хотя члены ряда непрерывны на нем. В силу доказанной теоремы данный ряд не является равномерно сходящимся на отрезке [0,1].

Пример:

Рассмотрим ряд

Как было показано выше, этот ряд сходится при ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса, так как

и числовой ряд

сходится. Следовательно, для любого х > 1 сумма этого ряда непрерывна.

Замечание:

Функция

называется функцией Римана (эта функция играет большую роль в теории чисел).

Теорема:

О почленном интегрировании функционального ряда. Пусть все члены fn(x) ряда

непрерывны, и ряд сходится равномерно на отрезке [а, b] к функции S(х). Тогда справедливо равенство

т. е. данный ряд можно почленно интегрировать в пределах от до х при любых х и [а, b]. Полученный ряд будет сходиться равномерно по х на отрезке [а, b], каково бы ни было [а, b].

В силу непрерывности функций fn(x) и равномерной сходимости данного ряда на отрезке [а, b] его сумма S(x) непрерывна и, следовательно, интегрируема на [а, b]. Рассмотрим разность

где

Из равномерной сходимости ряда на [a,b] следует, что для любого > 0 найдется число N() > 0 такое, что для всех номеров n > N() и для всех будет выполняться неравенство

Но тогда

для любого n > N(). Иными словами,

Если ряд не является равномерно сходящимся, то его, вообще говоря, нельзя почленно интегрировать, т. е.

Теорема:

О почленном дифференцировании функционального ряда. Пусть все клены fn(x) сходящегося ряда

имеют непрерывные производные и ряд

составленный из этих производных, равномерно сходится на отрезке [а, b]. Тогда в любой точке справедливо равенство

т. е. данный ряд можно почленно дифференцировать.

Положим

Возьмем две любые точки Тогда в силу теоремы 4 будем иметь

Функция непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Поэтому, дифференцируя равенство

т.е.

Дополнение к функциональным рядам

Смотрите также:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат