Как найти сумму коэффициентов в разложении бинома

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

18 декабря 2021

Сегодня мы детально разберём Бином Ньютона. Это формула, по которой можно раскрыть скобки ${{left( a+b right)}^{n}}$ и получить готовый многочлен. Сама формула выглядит так:

[{{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}]

где $C_{n}^{k}$ — биноминальные коэффициенты (они же — «число сочетаний из $n$ по $k$»), которые считаются по формуле

[C_{n}^{k}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}]

Вот и всё. На этом можно было бы закончить, но есть одно но: большинство начинающих учеников не понимают эту формулу, не умеют пользоваться её, а уж чтобы доказать её — об этом даже речи не идёт.

Сегодня мы всё это исправим. Вы узнаете буквально всё, что нужно знать про Бином Ньютона:

1. Постановка задачи — в чём вообще проблема?
2. Формула бинома Ньютона — что значат все эти значки?
3. Знак суммы — чрезвычайно полезный материал для всех, кто хочет понять математику.
4. Биноминальные коэффициенты — минутка комбинаторики.
5. Треугольник Паскаля — лайфхак для быстрых вычислений.
6. Доказательство Бинома Ньютона — для тех, кто хочет познать Истину.:)

Материала много, но всё будет максимально понятно и — главное — чрезвычайно полезно. Погнали!

1. Постановка задачи

Итак, мы хотим быстро раскрывать скобки в конструкциях вида ${{left( a+b right)}^{n}}$. Начнём с того, что мы и так знаем. Например:

[{{left( a+b right)}^{1}}=a+b]

Спасибо, кэп. Теперь вспомним формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы:

[{{left( a+b right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}]

И куб суммы:

[{{left( a+b right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}]

Видим, что с ростом степени растёт и количество слагаемых-одночленов: их всегда на одно больше, чем степень. Но это не проблема. Проблема в другом: у этих одночленов появляются некие коэффициенты, принцип вычисления которых не ясен. Пока не ясен…

Именно для нахождения этих коэффициентов придумали бином Ньютона.

2. Бином Ньютона

Пусть $nin mathbb{N}$. Тогда верно равенство

[{{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}]

где $sum{left( … right)}$ — краткая запись суммы, $C_{n}^{k}$ — биноминальный коэффициент, который считается по формуле

[C_{n}^{k}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}]

В этой формуле прекрасно всё. Одних пугает знак суммы. Другие не понимают, что за $C_{n}^{k}$ такое (ещё раз: это объект из мира комбинаторики, читается «число сочетаний из $n$ по $k$»). Третьи более-менее понимают, о чём речь, но применить эту формулу на практике не могут.

Сегодня мы решим все эти проблемы. Начнём со знака суммы.

3. Знак суммы

Знак суммы — это краткая запись суммы нескольких однотипных слагаемых:

[sumlimits_{k=a}^{k=b}{fleft( k right)}]

Формула $fleft( k right)$ задаёт общий вид однотипных слагаемых, а нижний и верхний индексы $k=a$ и $k=b$ (сверху вместо $k=b$ обычно пишут просто $b$) определяют диапазон значений, которые «пробегает» $k$ и которые нужно подставить в $fleft( k right)$. Например:

[sumlimits_{k=3}^{5}{2k}=2cdot 3+2cdot 4+2cdot 5]

Более привычный формат:

[sumlimits_{k=1}^{n}{fleft( k right)=fleft( 1 right)+fleft( 2 right)+…+fleft( n right)}]

То же самое с индексами:

[sumlimits_{k=1}^{n}{{{a}_{k}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}}]

Обратите внимание: если $k$ пробегает значения от $k=a$ до $k=b$, то всего таких слагаемых будет ровно $b-a+1$:

[sumlimits_{k=a}^{b}{fleft( k right)=underbrace{fleft( a right)+fleft( a+1 right)+ldots +fleft( b right)}_{b-a+1text{ слагаемых!}}}]

Кроме того, полезно потренироваться и с обратным переходом — от полной записи к краткой:

[frac{1}{1}+frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}=sumlimits_{n=1}^{5}{frac{1}{2n-1}}]

[frac{2}{3}+frac{4}{9}+frac{6}{27}+frac{8}{81}=sumlimits_{n=1}^{4}{frac{2n}{{{3}^{n}}}}]

В приложении к уроку — куча задач для самостоятельной тренировки.

Но вернёмся к биному Ньютона. Распишем его без знака суммы:

[begin{align} {{left( a+b right)}^{n}} & =C_{n}^{0}cdot {{a}^{n}}{{b}^{0}}+C_{n}^{1}cdot {{a}^{n-1}}{{b}^{1}}+ \ & +ldots +C_{n}^{k}cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+ldots + \ & +C_{n}^{n-1}cdot {{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}cdot {{a}^{0}}{{b}^{n}} end{align}]

В целом, всё понятно: степени буквы $a$ уменьшаются с ${{a}^{n}}$ до ${{a}^{0}}$; одновременно степени буквы $b$ растут с ${{b}^{0}}$ до ${{b}^{n}}$. Сумма степеней этих букв в каждом одночлене равна $n$. Но что такое $C_{n}^{k}$?

4. Биноминальные коэффициенты

Немного комбинаторики.

Определение. Число сочетаний из $n$ по $k$ — это число способов, которыми можно выбрать $k$ элементов среди $n$ элементов, если порядок выбора не имеет значения. Обозначается $C_{n}^{k}$ и считается по формуле

[C_{n}^{k}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}]

Обратите внимание: в числителе и знаменателе стоят факториалы. Стандартное определение: $n!$ — это произведение всех чисел от единицы до $n$:

[n!=1cdot 2cdot 3cdot …cdot n]

У факториалов много интересных свойств. Чуть позже мы рассмотрим их и даже введём более корректное определение самого факториала. А пока просто потренируемся считать биноминальные коэффициенты.

Пример. На пруду плавают 5 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?

Очевидно, порядок кормления уток неважен. Покормить сначала утку №1, а затем №2 — это то же самое, что покормить сначала утку №2, затем №1. Результат один и тот же: накормлены лишь эти две утки, а остальные три — нет. Поэтому считаем $C_{5}^{2}$:

[begin{align} C_{5}^{2} & =frac{5!}{2!cdot 3!} \ & =frac{5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{2cdot 1cdot 3cdot 2cdot 1}= \ & =10 end{align}]

Вот и всё. Однако при больших $n$ и $k$ посчитать число сочетаний напрямую становится затруднительно. Тут на помощь приходит сокращение дробей.

Пример. На пруду 150 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?

Порядок вновь неважен, просто уток стало больше. Поэтому считаем $C_{150}^{2}$:

[begin{align} C_{150}^{2} & =frac{150!}{2!cdot 148!}= \ & =frac{150cdot 149cdot 148cdot …cdot 1}{2cdot 1cdot 148cdot …cdot 1}= \ & =frac{150cdot 149}{2cdot 1}= \ & =11175 end{align}]

Видим, что факториалы образуют «длинные хвосты» в числителе и знаменателе, которые легко сокращаются. Однако для корректной работы с биномом Ньютона нам потребуется расширить определение факториала.

4.1. Новое определение факториала

Стандартное определение мы уже привели выше:

[n!=1cdot 2cdot 3cdot …cdot n,quad nin mathbb{N}]

Но как посчитать, например, факториал нуля? И как сокращать «длинные хвосты», не расписывая факториалы? Здесь нам поможет более грамотное определение.

Определение. Пусть $nin mathbb{N}bigcup left{ 0 right}$ — целое неотрицательное число. Тогда факториал считается по формуле:

[n!=left{ begin{align} & 1,quad n=0 \ & ncdot left( n-1 right)!,quad n gt 0 \ end{align} right.]

В частности, $0!=1$ по определению.

Простейшие коэффициенты:

[begin{align} C_{n}^{0} & =frac{n!}{0!left( n-0 right)!}=frac{n!}{1cdot n!}=1; \ C_{n}^{1} & =frac{n!}{1!left( n-1 right)!}=frac{ncdot left( n-1 right)!}{1cdot left( n-1 right)!}=n; \ end{align}]

А вот ещё парочка весёлых примеров:

[begin{align} C_{7}^{3} & =frac{7cdot 6cdot 5cdot 4cdot ldots cdot 1}{3cdot 2cdot 1cdot 4cdot ldots cdot 1}=35 \ C_{8}^{2} & =frac{8cdot 7cdot 6cdot ldots cdot 1}{2cdot 1cdot 6cdot ldots cdot 1}=28 \ C_{64}^{3} & =frac{64cdot 63cdot 62cdot 61cdot ldots cdot 1}{3cdot 2cdot 1cdot 61cdot ldots cdot 1}= \ & =41664 end{align}]

5. Треугольник Паскаля

Посчитаем бином Ньютона для $n=0$, $n=1$, $n=2$, $n=3$:

[begin{align} & {{left( a+b right)}^{0}}=1 \ & {{left( a+b right)}^{1}}=1cdot a+1cdot b \ & {{left( a+b right)}^{2}}=1cdot {{a}^{2}}+2cdot ab+1cdot {{b}^{2}} \ & {{left( a+b right)}^{3}}=1cdot {{a}^{3}}+3cdot {{a}^{2}}b+3cdot a{{b}^{2}}+1cdot {{b}^{3}} \ end{align}]

Составим таблицу:

[begin{matrix} 1 \ 1quad 1 \ 1quad 2quad 1 \ 1quad 3quad 3quad 1 \ 1quad 4quad 6quad 4quad 1 \ end{matrix}]

Получили треугольник, который в народе называют «Треугольник Паскаля»: по бокам единицы, а внутри каждое число равно сумме двух ближайших, стоящих этажом выше:

[begin{align} & 3=1+2 \ & 4=1+3 \ & 6=3+3 \ end{align}]

И это не случайность. Перед нами важнейшее свойство биноминальных коэффициентов, которое мы оформим в виде теоремы и докажем.

Теорема. Биноминальные коэффициенты вычисляются по формуле

[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}]

Доказывается напролом.

Распишем доказательство детально:

[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=frac{n!}{k!left( n-k right)!}+frac{n!}{left( k+1 right)!left( n-k-1 right)!}]

[begin{align} & C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}= \ = & frac{n!}{k!left( n-k right)!}+frac{n!}{left( k+1 right)!left( n-k-1 right)!} \ end{align}]

Заметим, что по определению факториала

[begin{align} & left( k+1 right)!=left( k+1 right)cdot k! \ & left( n-k right)!=left( n-k right)cdot left( n-k-1 right)! end{align}]

Поэтому знаменатели биноминальных коэффициентов можно переписать:

[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=frac{n!}{k!left( n-k right)left( n-k-1 right)!}+frac{n!}{left( k+1 right)k!left( n-k-1 right)!}]

[begin{align} C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1} & =frac{n!}{k!left( n-k right)left( n-k-1 right)!}+ \ & +frac{n!}{left( k+1 right)k!left( n-k-1 right)!} end{align}]

Приведём к общему знаменателю:

[begin{align} C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1} & =frac{left( k+1 right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}+frac{left( n-k right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}= \ & =frac{left( k+1+n-k right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}= \ & =frac{left( n+1 right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!} end{align}]

[begin{align} & C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}= \ = & frac{left( k+1 right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}+frac{left( n-k right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}= \ = & frac{left( k+1+n-k right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}=frac{left( n+1 right)cdot n!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!} \ end{align}]

Окончательно получим:

[begin{align} C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1} & =frac{left( n+1 right)!}{left( k+1 right)!left( n-k right)!}= \ & =frac{left( n+1 right)!}{left( k+1 right)!left( n+1-left( k+1 right) right)!}= \ & = C_{n+1}^{k+1} end{align}]

Теорема доказана. Теперь мы знаем, как формируется треугольник Паскаля. Осталось доказать сам Бином Ньютона.

6. Доказательство Бинома Ньютона

Итак, нужно доказать, что

[{{left( a+b right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}cdot {{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}]

где $C_{n}^{k}$ — биноминальные коэффициенты с теми чудесными свойствами, которые мы рассмотрели и доказали выше.

Будем доказывать по индукции.

6.1. База индукции

Рассмотрим $n=1$. Формула Бинома Ньютона для него:

[begin{align} {{left( a+b right)}^{1}} & =sumlimits_{k=0}^{1}{C_{1}^{k}{{a}^{1-k}}{{b}^{k}}}= \ & =C_{1}^{0}{{a}^{1}}{{b}^{0}}+C_{1}^{1}{{a}^{0}}{{b}^{1}}= \ & =a+bend{align}]

Очевидно, для $n=1$ формула верна. Переходим к индуктивному предположению.

6.2. Индуктивное предположение

Пусть Бином Ньютона верен для некоторого $n=t$:

[{{left( a+b right)}^{t}}=sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}]

Используя этот факт, докажем верность и для $n=t+1$, т.е. выполним индуктивный переход.

6.3. Индуктивный переход

Докажем, что бином Ньютона верен для $n=t+1$:

[{{left( a+b right)}^{t+1}}=sumlimits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}]

Для этого сначала заметим, что

[{{left( a+b right)}^{t+1}}={{left( a+b right)}^{t}}cdot left( a+b right)]

Однако согласно индуктивному предположению, ${{left( a+b right)}^{t}}$ допускает разложение по Биному Ньютона, поэтому

[begin{align} left( a+b right)cdot {{left( a+b right)}^{t}} & =left( a+b right)cdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \ & =acdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}+bcdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \ & =sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}} end{align}]

[begin{align} & left( a+b right)cdot {{left( a+b right)}^{t}}= \ = & left( a+b right)cdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \ = & acdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}+bcdot sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k}}}= \ = & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}} \ end{align}]

Запишем отдельно первое слагаемое первой суммы и учтём, что $C_{t}^{0}=C_{t+1}^{0}=1$:

[begin{align} sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} & = C_{t}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \ & = C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} end{align}]

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}= \ = & C_{t}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \ = & C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \ end{align}]

И последнее слагаемое последней второй суммы и учтём, что $C_{t}^{t}=C_{t+1}^{t+1}=1$:

[begin{align} sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}} & =sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t}^{t}cdot {{b}^{t+1}} \ & =sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} end{align}]

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}= \ = & sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t}^{t}cdot {{b}^{t+1}} \ = & sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

Сейчас будет самая нетривиальная операция. Меняем индекс суммирования в последней сумме: выполняем подстановку $k=m-1$. При этом меняются и пределы суммирования:

[left[ begin{align} k & =m-1 \ k & =0Rightarrow m=1 \ k & =t-1Rightarrow m=t \ k+1 & =m \ t-k & =t+1-m \ end{align} right]]

В итоге последняя сумма перепишется так:

[sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}=sumlimits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}]

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t-1}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}= \ = & sumlimits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

Объединяем суммы вместе:

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}= \ = & C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

[begin{align} & sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+sumlimits_{k=0}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t-k}}{{b}^{k+1}}}= \ = & C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+ \ + & sumlimits_{m=1}^{t}{C_{t}^{m-1}cdot {{a}^{t+1-m}}{{b}^{m}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

Заметим, что два знака суммы различаются лишь названием индекса и биноминальными коэффициентами. Всё остальное — диапазоны суммирования, степени буквы $a$ и буквы $b$ — всё идеально совпадает и никак не меняется, если написать вместо $k$ индекс $m$ или наоборот.

Такие суммы можно записать под единым знаком:

[C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{left( C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} right)}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}]

[begin{align} & C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+ \ + & sumlimits_{k=1}^{t}{left( C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} right)}+ \ + & C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}} \ end{align}]

Выражение под знаком суммы легко раскладывается на множители:

[begin{align} C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} & =left( C_{t}^{k}+C_{t}^{k-1} right)cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}= \ & =C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} end{align}]

[begin{align} & C_{t}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}+C_{t}^{k-1}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}= \ = & left( C_{t}^{k}+C_{t}^{k-1} right)cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}= \ = & C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}} \ end{align}]

Здесь в последнем шаге мы использовали свойство биноминальных коэффициентов, доказанное выше:

[C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}]

Или, что то же самое

[C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}]

Таким образом, всю сумму можно переписать более компактно, а затем внести под знак суммы первое и последнее слагаемое:

[ C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}}+sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}=sumlimits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}]

[begin{align} C_{t+1}^{0}cdot {{a}^{t+1}} & +sumlimits_{k=1}^{t}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}+C_{t+1}^{t+1}cdot {{b}^{t+1}}= \ & =sumlimits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}} \ end{align}]

Сопоставляя исходное выражение и конечное, получим

[{{left( a+b right)}^{t+1}}=sumlimits_{k=0}^{t+1}{C_{t+1}^{k}cdot {{a}^{t+1-k}}{{b}^{k}}}]

Именно это и требовалось доказать. Следовательно, исходная формула Бинома Ньютона верна.

Смотрите также:

1. Схема Горнера
2. Теорема Безу и корни многочленов
3. Знаки тригонометрических функций
4. Уравнение касательной к графику функции
5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
6. Сложные задачи B2 на проценты: вычисление полной стоимости

Биномиальными коэффициентами
являются величины

,

которые выражают число сочетаний
из nэлементов поk.
Эти величины обладают следующими
свойствами.

Свойство
симметрии.

.

В формуле бинома
это означает, что коэффициенты, стоящие
на одинаковых местах от левого и правого
концов формулы, равны, например:

Действительно,
—
это количество подмножеств, содержащихkэлементов, множества, содержащегоnэлементов. А—
количество дополнительных к ним
подмножеств. Сколько подмножеств,
столько и дополнений.

Свойство
Паскаля.

Пусть
.
Число—
это количество подмножеств из k
элементов множестваX.
Разделим все подмножества на два класса:

1) подмножества,
не содержащие элемент
,
— их будет;

2) подмножества,
содержащие элемент
,
— их будет.

Т.к. эти классы
не пересекаются, то по правилу суммы
количество всех k-элементных
подмножеств множестваXбудет равно

На этом свойстве
основано построение треугольника
Паскаля (рис. 2.2), в n-ой
строке которого стоят коэффициенты
разложения бинома.

Свойство
суммы.

Подставим в
формулу бинома Ньютона

значения
.
Получим

Заметим, что с
точки зрения теории множеств сумма
выражает количество всех подмножествn-элементного
множества. По теореме о мощности булеана
(см. 1.4.4) это количество равно.

Свойство
разности.

Положим в формуле
бинома Ньютона
.
Получим в левой части,
а в правой – биномиальные коэффициенты
с чередующимися знаками, что и доказывает
свойство.

Последнее
свойство удобнее записать, перенеся
все коэффициенты с отрицательными
знаками в левую часть формулы:

тогда свойство легко запоминается
в словесной формулировке: “ сумма
биномиальных коэффициентов с нечетными
номерами равна сумме биномиальных
коэффициентов с четными номерами”.

Задача.
Найти член разложения биномане содержащийx,
если сумма биномиальных коэффициентов
с нечетными номерами равна 512.

Решение. По
свойству разности сумма биномиальных
коэффициентов с четными номерами также
равна 512, значит, сумма всех коэффициентов
равна 512+512=1024. Но по свойству суммы это
число равно.
Поэтому.
Запишем общий член разложения бинома
и преобразуем его:

при
получим:

Член разложения
не содержитx,
если
,
т.е..
Итак, девятый член разложения не содержит xи равен

Свойство
максимума. Если степень биномаn– четное число, то среди биномиальных
коэффициентов есть один максимальный
при.
Если степень бинома нечетное число, то
максимальное значение достигается для
двух биномиальных коэффициентов прии

Так, при
максимальным
является коэффициент,
а примаксимальное значение равно(рис.
2.2).

2.1.13. Приближенные вычисления с помощью бинома Ньютона

Положим в формуле
бинома Ньютона
:

Эту формулу
удобно применять для приближенных
вычислений при малых значениях x().

Пример 1.
Используя формулу бинома Ньютона,
вычислитьс
точностью до.

По приведенной
выше формуле имеем:

Оценим третье
слагаемое в этой сумме.

остальные слагаемые еще меньше.
Поэтому все слагаемые, начиная с третьего,
можно отбросить. Тогда

Пример 2.
Вычислитьс
точностью до 0,01.

Оценим третье
слагаемое:

.

Оценим четвертое
слагаемое:

Значит все
слагаемые, начиная с четвертого, можно
отбросить. Получим

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #