Как найти сумму комплексных чисел калькулятор

Онлайн калькулятор. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

Используя этот онлайн калькулятор с комплексными числами, вы сможете сложить, вычесть, умножить или разделить между собой два комплексных числа соответственно найдя их сумму, разность, произведение или частное.

Воспользовавшись онлайн калькулятором комплексных чисел, вы получите детальное решение вашей примера, которое позволит понять алгоритм решения задач с комплексными числами и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для cложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
3. Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

• Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
• Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
• Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
• Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

• Арифметические операции: +, -, *, /, ^
• Получение абсолютного значения числа: abs
• Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
• Получение действительной и мнимой частей: re, im
• Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
• Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
• Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
• Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

• (2+3i)*(5-7i)
• sh(i)
• (4+i) / (3 — 4i)
• sqrt(2i)
• (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy, где x, y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i2 = -1).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi² = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление: = = + i

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i:
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом:5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i:
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом:12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом:2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом:75-50i / (3+4i) = 1 - 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получение действительной части числа: Re(z) = a
• Получение мнимой части числа: Im(z) = b
• Модуль числа: |z| = √(a2 + b2)
• Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
• Экспонента: ez = ea·cos(b) + i·ea·sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4² + (-3)²) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

• Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
• Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
• Показательная форма — запись вида r·eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

Решение:

• Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1² + 1²) = √2
• Найдём аргумент числа: φ = arctan() = = 45°
• Запишем результат в тригонометрической форме: √2·(cos(45°) + isin(45°))
• Запишем результат в показательной форме: √2·eπi/4

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам.

Также универсальный калькулятор умеет производить действия с комплексными числами (сложение, вычитание, умножение и пр).

Онлайн калькулятор комплексных чисел

---

---

Перенос?

left(1-iright)^3+left(1+iright)^3

$$textbf{Действия над комплексными числами: } newline 4e^{ipi} =newline -2^2 =newline -4$$

Пояснения к калькулятору

1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
3. ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
4. C — очистить поле ввода.
5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками a^b и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

.

---

Теория

Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.

Сложение вещественного и комплексного числа, представленного в алгебраической форме.

Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.

Вычитание комплексного числа из вещественного числа.

Вычитание вещественного числа из комплексного числа.

Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение вещественного и комплексного числа, записанного в алгебраической форме.

Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.

Деление комплексного числа, представленного в алгебраической форме на вещественное число.

Деление вещественного числа на комплексное число, представленного в алгебраической форме.

Сложение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Вычитание комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Сложение комплексных чисел, представленных в показательной форме.

Вычитание комплексных чисел, представленных в показательной форме.

Умножение комплексных чисел, представленных в показательной форме.

Деление комплексных чисел, представленных в показательной форме.

Модуль комплексного числа.

Аргумент комплексного числа.

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в тригонометрической форме.

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в показательной форме.

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в алгебраической форме.

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в показательной форме.

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в тригонометрической форме.

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в алгебраической форме.

Сопряженное число комплексного числа, записанного в алгебраической форме.

Сопряженное число комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Сопряженное число комплексного числа, записанного в показательной форме.

Обратная величина комплексного числа, записанного в алгебраической форме.

Обратная величина комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Обратная величина комплексного числа, записанного в показательной форме.

Аддитивная инверсия комплексного числа.

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в алгебраической форме.

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме.

Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Приведем примеры:

Пример 1. Сложим два комплексных числа 2 + 3i и 1.6 + 7i

(2 + 3i) + (1.6 + 7i) = (2 + 1.6) + (3 + 7)i = 3.6 + 10i

Пример 2. Сложим два комплексных числа 3 + 4i и 8 − 6i

(3 + 4i) + (8 − 6i) = (3 + + (4 − 6i) = 11 − 2i

Сложение вещественного и комплексного числа, представленного в алгебраической форме

Приведем примеры:

Пример 1. Сложим комплексное число 2 + 3i и вещественное число 10

(2 + 3i) + 10 = (2 + 10) + 3i = 12 + 3i

Пример 2. Сложим комплексное число −6 + 3i и вещественное число -23

(−6 + 3i) + (−23) = (−6 + (−23)) + 3i = −29 + 3i

Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Приведем примеры:

Пример 1. Вычтем два комплексных числа 3 + 9i и 5 + 6i

(3 + 9i) − (5 + 6i) = (3 − 5) + (9 − 6)i = −2 + 3i

Пример 2. Вычтем два комплексных числа 6 + 23i и 57 + 68i

(6 + 23i) − (57 + 68i) = (6 − 57) + (23 − 68)i = −51 − 45i

Вычитание комплексного числа из вещественного числа

Приведем примеры:

Пример 1. Вычтем из вещественного числа 6 комплексное число 1 + 7i

6 − (1 + 7i) = (6 − 1) + 7i = 5 − 7i

Пример 2. Вычтем из вещественного числа -15 комплексное число 1 + (−7)i

−15 − (1 + (−7)i) = (−15 − 1) − (−7)i = −16 + 7i

Вычитание вещественного числа из комплексного числа

Приведем примеры:

Пример 1. Вычтем из комплексного числа 5 + 12i вещественное число 8

(5 + 12i) − 8 = (5 − + 12i = −3 + 12i

Пример 2. Вычтем из комплексного числа −1 + (−5)i вещественное число −3

(−1 + (−5)i) − (−3) = (−1 − (−3)) + (−5)i = 2 − 5i

Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Приведем примеры:

Пример 1. Умножим два комплексных числа 2 + 5i и 3 + 7i

Решение 1
(2 + 5i) × (3 + 7i) = ((2 × 3) − (5 × 7)) + ((5 × 3) + (2 × 7))i = (6 − 35) + (15 + 14)i = −29 + 29i
Решение 2
(2 + 5i) × (3 + 7i) = (2 × 3) + (2 × 7i) + (5i × 3) + (5i × 7i) = 6 + (14i) + (15i) + (35i²) = 6 + (29i) + (35 × (−1)) = −29 + 29i

Пример 2. Умножим два комплексных числа 0.4 + (−2)i и 3.023 + 0.25i

Решение 1
(0.4 + (−2)i) × (3.023 + 0.25i) = ((0.4 × 3.023) − (−2 × 0.25)) + (((−2) × 3.023) + (0.4 × 0.25))i = (1.2092 − (−0.5)) + (−6.046 + 0.1)i = 1.7092−5.946i
Решение 2
(0.4 + (−2)i) × (3.023 + 0.25i) = (0.4 × 3.023) + (0.4 × 0.25i) + ((−2)i × 3.023) + ((−2)i × 0.25i) = 1.2092 + (0.1i) + (−6.046i) + (−0.5i²) = 1.2092 + (−5.946i) + ((−0.5 × (−1))) = 1.7092 − 5.946i

Умножение вещественного и комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Приведем примеры:

Пример 1. Умножим комплексное число 3 + 4i и вещественное число 1

1 × (3 + 4i) = (1 × 3) + (1 × 4)i = 3 + 4i

Пример 2. Умножим комплексное число −5 + 4i и вещественное число −74

−74 × (−5 + 4i) = (−74 × (−5)) + (−74 × 4)i = 370 − 296i

Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Приведем примеры:

Пример 1. Разделим комплексное число 4 + 3i на комплексное число 5 + 8i

	(4 + 3i) × (5 − 8i)	=
(5 + 8i) × (5 − 8i)

	(4 × 5) + (3 ×	+
(52 + 82)

= 0.49438202247191−0.191011235955056i

Пример 2. Разделим комплексное число 6 + (−2)i на комплексное число −4 + 7i

	(6 + (−2)i) × (−4 − 7i)	=
(−4 + 7i) × (−4 − 7i)

	(6 × (−4)) + (−2 × 7)	+
(−42 + 72)

	(−24 + (−14))	+
(16 + 49)

= −0.584615384615385−0.523076923076923i

Деление комплексного числа, представленного в алгебраической форме на вещественное число

Приведем пример:

Разделим комплексное число 3 + 6i на вещественное число 7

= 0.428571428571429 + 0.857142857142857i

Деление вещественного числа на комплексное число, представленного в алгебраической форме

Приведем пример:

Разделим вещественное число 5 на комплексное число 2 + 9i

	5 × (2 − 9i)	=
(2 + 9i) × (2 − 9i)

= 0.117647058823529−0.529411764705882i

Сложение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Приведем пример:

Сложим два комплексных числа √13 (cos 48° + i sin 48°) и √25 (cos 69° + i sin 69°)

√13 (cos 48° + i sin 48°) + √25 (cos 69° + i sin 69°) = ((√13 × cos(48°)) + (√25 × cos(69°))) + i((√13 × sin(48°)) + (√25 × sin(69°))) = (2.41258471120918 + 1.7918397477265) + (2.67944677335447 + 4.667902132486)i = 4.20442445893568 + 7.34734890584047i

Вычитание комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Приведем пример:

Вычтем из два комплексного числа 1/2 (cos π/2 + i sin π/2) число 1/3 (cos π/3 + i sin π/3)

1/2 (cos π/2 + i sin π/2) − 1/3 (cos π/3 + i sin π/3) = ((1/2 × cos((π/2))) − (1/3 × cos((π/3)))) + i((1/2 × sin((π/2))) − (1/3 × sin((π/3)))) = (0 − 0.166666666666666) + (0.5 − 0.288675134594813)i = −0.166666666666666 + 0.211324865405187i

Умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Приведем пример:

Умножим два комплексных числа 2 (cos π/2 + i sin π/2) и 2 (cos π/3 + i sin π/3)

2 (cos π/2 + i sin π/2) × 2 (cos π/3 + i sin π/3) = (2 × 2) × (cos(π/2 + (π/3)) + i × sin(π/2 + (π/3))) =

16

× (cos(5π/6) + i × sin(5π/6)) =

16

× (cos(150°) + i × sin(150°))

Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Приведем пример:

Разделим два комплексных числа 3 (cos 45° + i sin 45°) и 2 (cos 37° + i sin 37°)

3 (cos 45° + i sin 45°) ÷ 2 (cos 37° + i sin 37°) = (3 ÷ 2) × (cos(45° − 37°) + i × sin(45° − 37°)) =

2.25

× (cos(8°) + i × sin(8°))=

2.25

× (cos(2π/45) + i × sin(2π/45))

Сложение комплексных чисел, представленных в показательной форме

Приведем пример:

Сложим два комплексных числа 3 × e^(π/2)i и 2 × e^(3π/2)i

3 × e^(π/2)i + 2 × e^(3π/2)i = ((3 × cos((π/2))) + (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin((π/2))) + (2 × sin((3π/2)))) = (0 + 0) + (3 + (−2))i = 0 + 1i

Вычитание комплексных чисел, представленных в показательной форме

Приведем пример:

Вычтем из числа 3 × e^(π/2)i число 2 × e^(3π/2)i

3 × e^(π/2)i — 2 × e^(3π/2)i = ((3 × cos((π/2))) − (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin((π/2))) − (2 × sin((3π/2)))) = (0 − 0) + (3 − (−2))i = 0 + 5i

Умножение комплексных чисел, представленных в показательной форме

Приведем пример:

Умножим два комплексных числа 3 × e^(π/2)i и 2 × e^(3π/2)i

(3 × e^(π/2)i) × (2 × e^(3π/2)i) = (3 × 2) × (cos(π/2 + (3π/2)) + i × sin(π/2 + (3π/2))) =

36

× (cos(360°) + i × sin(360°)) = 6 + 0i

Деление комплексных чисел, представленных в показательной форме

Приведем пример:

Разделим два комплексных числа 3 × e^(π/2)i и 2 × e^(3π/2)i

(3 × e^(π/2)i) ÷ (2 × e^(3π/2)i) = (3 ÷ 2) × (cos(π/2 − (3π/2)) + i × sin(π/2 − (3π/2))) =

2.25

× (cos(−180°) + i × sin(−180°)) =

2.25

× (cos(−π) + i × sin(−π)) = −1.5 + 0i

Модуль комплексного числа

Приведем пример:

Найдем модуль комплексного числа 1 + 3i

|1 + 3i| =

1² + 3²

=

1 + 9

=

10

= 3.16227766016838

Аргумент комплексного числа

Приведем пример:

Найдем аргумент комплексного числа −4 + 7i

Arg(−4 + 7i) = arctg(7/(−4)) + π = 2.08994244104142 радиан
Arg(−4 + 7i) = 119.744881296942° градусов

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в тригонометрической форме

Приведем пример:

Представим число 2 + 3i в тригонометрической форме

|2 + 3i| =

2² + 3²

=

4 + 9

=

13

= 3.60555127546399

Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 0.982793723247329 радиан
Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 56.3099324740202° градусов

Теперь можно записать комплексное число z в тригонометрической форме:

z = 2 + 3i =

13

× (cos(arctg(3/2)) + sin(arctg(3/2))i) = 3.60555127546399 × (cos(56.3099324740202°) + sin(56.3099324740202°)i)

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в показательной форме

Приведем пример:

Представим число 2 + 2i в показательной форме

|2 + 2i| =

2² + 2²

=

4 + 4

=

8

= 2.82842712474619

Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 0.785398163397448 радиан
Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 45° градусов

Теперь можно записать комплексное число z в показательной форме:

z = 2 + 2i =

8

× e^{0.785398163397448i} =

8

× e^45°i =

8

× e^(π/4)i

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в алгебраической форме

Приведем пример:

Представим число 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в алгебраической форме

2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × (0.5 + 0.86602540378444i) = (2 × 0.5) + (2 × 0.86602540378444i) = 1 + 1.73205080756888i

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в показательной форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в тригонометрической форме в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

Приведем пример:

Представим число 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в показательной форме

2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × e^60°i = 2 × e^(π/3)i

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в тригонометрической форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

Приведем пример:

Представим число 2 × e^(π/3)i в тригонометрической форме

2 × e^(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i)

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в алгебраической форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в алгебраической форме, следует сначала это число представить в тригонометрической форме.

|z| e^φi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Представим число 2 × e^(π/3)i в алгебраической форме

2 × e^(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2 × (0.5 + 0.86602540378444i) = (2 × 0.5) + (2 × 0.86602540378444i) = 1 + 1.73205080756888i

Сопряженное число комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = a + bi сопряженным число является z = a − bi.

Приведем пример:

Найдём сопряженное число для числа 2 + 3i

2 + 3i = 2 − 3i

Сопряженное число комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = |z| (cos φ + i sin φ) сопряженным число является z = |z| (cos φ − i sin φ).

Приведем пример:

Найдём сопряженное число для числа 2(cos((π/3)) + sin((π/3))i)

2(cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2(cos((π/3)) − sin((π/3))i)

Сопряженное число комплексного числа, записанного в показательной форме

Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = |z| e^iφ сопряженным число является z = |z| e^−iφ.

Приведем пример:

Найдём сопряженное число для числа 2 × e^(π/3)i

2 × e^(π/3)i = 2 × e ^{− (π/3)i}

Обратная величина комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Приведем пример:

Найдём обратную величину для числа 2 + 3i

= 0.153846153846154−0.230769230769231i

Обратная величина комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Приведем пример:

Найдём обратную величину для числа 2(cos((π/2)) + sin((π/2))i)

1/z = 1/2 × (cos (π/2) − i sin π/2) =

0.25

× (cos(π/2) − i × sin(π/2))

Обратная величина комплексного числа, записанного в показательной форме

Приведем пример:

Найдём обратную величину для числа 2 × e^i(π/2)

1/z = 1/2 × e^{−i (π/2)} =

0.25

× e^{−i (π/2)}

Аддитивная инверсия комплексного числа

Приведем пример:

Найдём аддитивную инверсию для числа z = 2 + 3i

−z = (−1 × 2) + (−1 × 3)i = −2−3i

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Извлечем корень 3 степени из числа 3 + 2i

|3 + 2i| =

3² + 2²

=

9 + 4

=

13

= 3.60555127546399

Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 0.588002603547568 радиан
Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 33.6900675259798° градусов

Теперь можно записать комплексное число z в тригонометрической форме:

z = 3 + 2i =

13

× (cos(arctg(2/3)) + sin(arctg(2/3))i) = 3.60555127546399 × (cos(33.6900675259798°) + sin(33.6900675259798°)i)

z₁ = ³

3.60555127546399

× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 0)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 0)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 11.2300225086599°)) + (1.53340623701639 × (sin 11.2300225086599°))i = 1.50404648119798 + 0.298628314325244i

z₂ = ³

3.60555127546399

× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 360)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 360)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 131.23002250866°)) + (1.53340623701639 × (sin 131.23002250866°))i = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i

z₃ = ³

3.60555127546399

× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 720)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 720)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 251.23002250866°)) + (1.53340623701639 × (sin 251.23002250866°))i = −0.493403534104007 − 1.45185661835266i

z₁ = 1.50404648119798 + 0.298628314325244i
z₂ = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i
z₃ = −0.493403534104007 − 1.45185661835266i

z₁ = 1.53340623701639 × (cos(11.2300225086599°) + i sin(11.2300225086599°))
z₂ = 1.53340623701639 × (cos(131.23002250866°) + i sin(131.23002250866°))
z₃ = 1.53340623701639 × (cos(251.23002250866°) + i sin(251.23002250866°))

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Извлечем корень 3 степени из числа 3(cos((π/5)) + sin((π/5))i)

z₁ = ³

3

× (cos((36° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 0)/3) + i sin ((36° + 0)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 12°)) + (1.44224957030741 × (sin 12°))i = 1.41073295685556 + 0.299860546743801i

z₂ = ³

3

× (cos((36° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 360)/3) + i sin ((36° + 360)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 132°)) + (1.44224957030741 × (sin 132°))i = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i

z₃ = ³

3

× (cos((36° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 720)/3) + i sin ((36° + 720)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 252°)) + (1.44224957030741 × (sin 252°))i = −0.445679627354959 − 1.37166085196474i

z₁ = 1.41073295685556 + 0.299860546743801i
z₂ = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i
z₃ = −0.445679627354959 − 1.37166085196474i

z₁ = 1.44224957030741 × (cos(12°) + i sin(12°))
z₂ = 1.44224957030741 × (cos(132°) + i sin(132°))
z₃ = 1.44224957030741 × (cos(252°) + i sin(252°))

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме

Извлечем корень 3 степени из числа 2 × e^45°i

|z| e^φi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

2 × e^45°i = 2 × (cos(45°) + sin(45°)i)

z₁ = ³

2

× (cos((45° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 0)/3) + i sin ((45° + 0)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 15°)) + (1.25992104989487 × (sin 15°))i = 1.2169902811787 + 0.326091563038355i

z₂ = ³

2

× (cos((45° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 360)/3) + i sin ((45° + 360)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 135°)) + (1.25992104989487 × (sin 135°))i = −0.890898718140328 + 0.89089871814034i

z₃ = ³

2

× (cos((45° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 720)/3) + i sin ((45° + 720)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 255°)) + (1.25992104989487 × (sin 255°))i = −0.326091563038355 − 1.2169902811787i

z₁ = 1.2169902811787 + 0.326091563038355i
z₂ = −0.890898718140328 + 0.89089871814034i
z₃ = −0.326091563038355 − 1.2169902811787i

z₁ = 1.25992104989487 × (cos(15°) + i sin(15°))
z₂ = 1.25992104989487 × (cos(135°) + i sin(135°))
z₃ = 1.25992104989487 × (cos(255°) + i sin(255°))

Комплексные числа по-шагам

Примеры комплексных выражений

Что умеет?

• Простые операции с комплексными числами
• Выполнять деление с подробным решением
• Находить разные формы комплексных чисел:
  1. Алгебраическую
  2. Тригонометрическую
  3. Показательную
• Модуль и аргумент комплексного числа
• Комплексно-сопряжённое к данному
• Геометрическую интерпретацию комплексного числа

Подробнее про Комплексное число.

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности