Как найти сумму комплексных чисел онлайн - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Онлайн калькулятор. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

Используя этот онлайн калькулятор с комплексными числами, вы сможете сложить, вычесть, умножить или разделить между собой два комплексных числа соответственно найдя их сумму, разность, произведение или частное.

Воспользовавшись онлайн калькулятором комплексных чисел, вы получите детальное решение вашей примера, которое позволит понять алгоритм решения задач с комплексными числами и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для cложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Источник

Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

—

(

)

sin

cos

ctg

√

cth

abs

Скрыть клавиатуру

С решением

Тригонометрическая форма

Показательная форма

Десятичных знаков:

Вычислить

Вычислено выражений:

Как пользоваться калькулятором

Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

Арифметические операции: +, -, *, /, ^
Получение абсолютного значения числа: abs
Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
Получение действительной и мнимой частей: re, im
Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

(2+3i)*(5-7i)
sh(i)
(4+i) / (3 — 4i)
sqrt(2i)
(-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy, где x, y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i² = -1).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
-2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
i — действительная часть = 0, мнимая = 1
-i — действительная часть = 0, мнимая = -1
10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi² = (ac — bd) + (bc + ad)i
деление: = = + i

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i:
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом:5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i:
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом:12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом:2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом:75-50i / (3+4i) = 1 - 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

Получение действительной части числа: Re(z) = a
Получение мнимой части числа: Im(z) = b
Модуль числа: |z| = √(a² + b²)
Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
Экспонента: e^z = e^a·cos(b) + i·e^a·sin(b)
Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4² + (-3)²) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
Показательная форма — запись вида r·e^iφ, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

Решение:

Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1² + 1²) = √2
Найдём аргумент числа: φ = arctan() = = 45°
Запишем результат в тригонометрической форме: √2·(cos(45°) + isin(45°))
Запишем результат в показательной форме: √2·e^πi/4

Источник

С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа.
Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение
с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода действительной и мнимой части

Комплексное число состоит из двух частей — действительной и мнимой.
Первое поле ввода — для действительной части, второе — для мнимой.
Для правильного ввода комплексного числа нужно ввести как минимум одну часть — действительную или мнимую.

Числа в действительную или мнимую части можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так
+
i

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: +
i
Результат: ( -frac{2}{3} — frac{7}{5} cdot i )

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: +
i
Результат: ( -1frac{2}{3} + 5frac{8}{3} cdot i )

Примеры подробного решения >>

Введите действительную и мнимую части чисел ( z_1 ) и ( z_2 ).
У каждого числа нужно ввести как минимум одну часть — действительную или мнимую.

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Понятие комплексного числа

Определение.
Комплексными числами называют выражения вида (а + bi) где (a) и (a) — действительные числа, а (i) — некоторый символ, для которого
по определению выполняется равенство ( i^2=-1 ).

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения (а + bi). Число (а) называется действительной частью
комплексного числа (а + bi), а число (b) — его мнимой частью. Число (i) называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа (2-3i) равна (2), мнимая часть равна (-3).
Запись комплексного числа в виде (а + bi) называют алгебраической формой комплексного числа.

Равенство комплексных чисел

Определение.
Два комплексных числа (a + bi) и (c + di) называются равными тогда и только тогда, когда (a =c) и (b =d), т. е. когда равны
их действительные и мнимые части.

Сложение и умножение комплексных чисел

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения.
Суммой двух комплексных чисел (a+ bi) и (c + di) называется комплексное число ( (a+c) + (b+d)i ), т.е.
( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ).

Произведением двух комплексных чисел (a + bi) и (c + di) называется комплексное число ( (ac — bd) + (ad + bc)i ), т. е.
( (a + bi)(с + di) = (aс-bd) + (ad + bc)i ).

Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами.
Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что ( i^2=-1 ).

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. Переместительное свойство
( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 ),
( z_1z_2 = z_2z_1 )

2. Сочетательное свойство
( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) ),
( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) )

3. Распределительное свойство
( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 )

Комплексно сопряженные числа

Определение.
Сопряженным с числом (z = a + bi) называется комплексное число (a -bi), которое обозначается ( overline{z} ), т. е.
( overline{z} = overline{a+bi} = a-bi )

Например :
( overline{3 + 4i} = 3-4i ),
( overline{-2-5i} = -2+5i ),
( overline{i} = -i )

Отметим, что ( overline{a-bi} = a+bi ), поэтому для любого комплексного числа (z) имеет место равенство
( overline{(overline{z})} = z )
Равенство ( overline{z} = z ) справедливо тогда и только тогда, когда (z) — действительное число.

Модуль комплексного числа

Определение.
Модулем комплексного числа (z = a + bi) называется число ( sqrt{a^2+b^2} ), т.е.
( |z|=|a+bi| = sqrt{a^2+b^2} )

Из данной формулы следует, что ( |z| geqslant 0 ) для любого комплексного числа (z), причем (|z|=0) тогда и только тогда,
когда (z=0), т.е. когда (a=0) и (b=0).

Вычитание комплексных чисел

Определение.
Комплексное число ( (-1)z ) называется противоположным комплексному числу (z) и обозначается (-z).
Если (z = a + bi), то (-z = -a — bi)
Например : ( -(3-5i) = -3+5i )
Для любого комплексного числа (z) выполняется равенство
( z+(-z) = 0 ).

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел (z_1) и
(z_2) существует, и притом только одно, число (z), такое, что
( z + z_2 = z_1 ),
т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел ( z_1 ) и
( z_2 neq 0 ) существует, и притом только одно, число ( z ), такое, что ( z cdot z_2=z_1 ) т.е. это уравнение
относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел ( z_1 ) и ( z_2 ) и обозначается
( z_1:z_2 ), или ( frac{z_1}{z_2} ), т.е. ( z=z_1:z_2 = frac{z_1}{z_2} )

Комплексное число нельзя делить на ноль.

Частное комплексных чисел ( z_1 ) и ( z_2 neq 0 ) можно найти по формуле
$$ frac{z_1}{z_2} = frac{z_1 cdot overline{z_2}}{|z_2|^2} $$

Каждое комплексное число (z), не равное нулю, имеет обратное ему число (w), такое, что (z cdot w = 1), где
$$ w= frac{1}{z} = frac{a}{a^2+b^2}-frac{b}{a^2+b^2}i $$

Если ( z_1 = a_1 + b_1i ; , ; z_2 = a_2 + b_2i ), то формулу частного
комплексных чисел можно представить в виде
$$ frac{z_1}{z_2} = frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}= frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{a^2_2+b^2_2} =
frac{a_1a_2+b_1b_2}{a^2_2+b^2_2}+ frac{a_2b_1-a_1b_2}{a^2_2+b^2_2}i $$

Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число (a + bi) можно рассматривать как пару
действительных чисел ((a; b)). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число (z = a + bi) изображается точкой плоскости с
координатами ((a; b)), и эта точка обозначается той же буквой (z).

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу (a + bi)
соответствует одна точка плоскости с координатами ((a; b)) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами ((a; b)) соответствует
одно комплексное число (a + bi). Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо
слов «точка, изображающая число (1 + i)» говорят «точка (1 + i)». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках (i, ; 1+i, ; -i )».

При такой интерпретации действительные числа (a), т.е. комплексные числа (a+0i), изображаются точками с координатами ((a; 0)),
т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью.
Чисто мнимые числа (bi = 0+bi) изображаются точками с координатами ((0; b)), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют
мнимой осью. При этом точка с координатами ((0; b)) обозначается (bi).
Например, точка ((0; 1)) обозначается (i), точка ((0; -1)) — это (-i) , точка ((0; 2)) — это точка (2i).
Начало координат — это точка (O).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки (z) и (-z) симметричны относительно точки (O) (начала координат), а точки ( z ) и ( overline{z} ) симметричны
относительно действительной оси.

Комплексное число (z = a+bi) можно изображать вектором с началом в точке (O) и концом в точке (z). Этот вектор будем обозначать той
же буквой (z), длина этого вектора равна (|z|).

Число ( z_1 + z_2 ) изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов ( z_1 ) и ( z_2 )
а вектор ( z_1 — z_2 ) можно построить как сумму векторов ( z_1 ) и ( -z_2 ).

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа (|z|).
Пусть (z = a+bi). Тогда по определению модуля ( |z|= sqrt{a^2+b^2} ). Это означает, что (|z|) — расстояние от точки (O) до точки (z).

Например, равенство (|z| = 4) означает, что расстояние от точки (O) до точки (z) равно (4). Поэтому множество всех точек (z),
удовлетворяющих равенству (|z| = 4), является окружностью с центром в точке (O) радиуса (4). Уравнение (|z| = R) является уравнением
окружности с центром в точке (O) радиуса (R), где (R) — заданное положительное число.

Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. ( |z_1-z_2| ).
Пусть ( z_1 = a_1+b_1i, ; z_2 = a_2+b_2i )
Тогда ( |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_1-b_2)i| = sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2} )

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами ( (a_1;b_1) ) и ( (a_2;b_2) ).

Итак, ( |z_1-z_2| ) — расстояние между точками ( z_1 ) и ( z_2 ).

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа

Определение
Аргумент комплексного числа ( z neq 0 ) — это угол ( varphi ) между положительным направлением действительной оси и
вектором (Oz). Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой
стрелке.

Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа (z = a + bi), его модулем (r=|z|) и аргументом ( varphi ) выражается
следующими формулами:
( left{ begin{array}{l} a=r cos varphi \ b=r sin varphi end{array} qquad (1) right. )

$$ left{ begin{array}{l} cos varphi =frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} \ sin varphi =frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} end{array} qquad (2) right. $$

Аргумент комплексного числа (z = a+bi) ( ( z neq 0 ) ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений
вида ( varphi =varphi_0+2kpi ), где ( kinmathbb{Z} , ;; varphi_0 ) — одно из решений системы (1), т.е. аргумент комплексного
числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента комплексного числа (z = a+bi) ( ( zneq 0 ) ) можно воспользоваться формулой
( tg varphi = large frac{b}{a} normalsize qquad (3) )

При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка (z = a+bi).

Запись комплексного числа в тригонометрической форме

Из равенства (1) следует, что любое комплексное число (z = a+bi), где ( zneq 0 ), представляется в виде
( z = r(cosvarphi +isinvarphi ) qquad (4) )
где ( r=|z|=sqrt{a^2+b^2} ) — модуль комплексного числа (z), ( varphi ) — его аргумент. Запись комплексного числа в
виде (4), где (r>0), называют тригонометрической формой комплексного числа (z).

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел
(z_1) и (z_2). Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме :
( z_1 = r_1(cosvarphi_1 +isinvarphi_1), quad z_2 = r_2(cosvarphi_2 +isinvarphi_2) )
то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:
( z_1z_2 = r_1r_2(cos(varphi_1+varphi_2) +isin(varphi_1+varphi_2)) )

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел:
$$ frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2}(cos(varphi_1-varphi_2) +isin(varphi_1-varphi_2)) $$

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность
аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Формула Муавра

Для любого ( n in mathbb{Z} ) справедлива формула
$$ z^n = r^n(cos varphi + i sin varphi)^n = r^n(cos (nvarphi) + i sin (nvarphi) ) $$
которую называют формулой Муавра.

Источник

Онлайн калькулятор. Действия над комплексными числами.

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам.

Также универсальный калькулятор умеет производить действия с комплексными числами (сложение, вычитание, умножение и пр).

Онлайн калькулятор комплексных чисел

Перенос?

frac{left(1+iright)left(3+iright)}{3-i}-frac{left(1-iright)left(3-iright)}{3+i}

$$textbf{Действия над комплексными числами: } newline {{4i}over{i+3}}-{{2}over{i+3}}+{{4i}over{3-i}}+{{2}over{3-i}} =newline {{14e^{{{ipi}over{2}}}}over{5}} =newline -{{28i}over{left(i-3right)left(i+3right)}} =newline {{14i}over{5}}$$

Пояснения к калькулятору

Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
C — очистить поле ввода.
При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками a^b и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

Источник

Теория

Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.

Сложение вещественного и комплексного числа, представленного в алгебраической форме.

Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.

Вычитание комплексного числа из вещественного числа.

Вычитание вещественного числа из комплексного числа.

Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение вещественного и комплексного числа, записанного в алгебраической форме.

Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме.

Деление комплексного числа, представленного в алгебраической форме на вещественное число.

Деление вещественного числа на комплексное число, представленного в алгебраической форме.

Сложение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Вычитание комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Сложение комплексных чисел, представленных в показательной форме.

Вычитание комплексных чисел, представленных в показательной форме.

Умножение комплексных чисел, представленных в показательной форме.

Деление комплексных чисел, представленных в показательной форме.

Модуль комплексного числа.

Аргумент комплексного числа.

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в тригонометрической форме.

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в показательной форме.

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в алгебраической форме.

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в показательной форме.

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в тригонометрической форме.

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в алгебраической форме.

Сопряженное число комплексного числа, записанного в алгебраической форме.

Сопряженное число комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Сопряженное число комплексного числа, записанного в показательной форме.

Обратная величина комплексного числа, записанного в алгебраической форме.

Обратная величина комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Обратная величина комплексного числа, записанного в показательной форме.

Аддитивная инверсия комплексного числа.

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в алгебраической форме.

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме.

Сложение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Для того, чтобы сложить два комплексных числа представленных в алгебраической форме, нужно сложить их вещественные и мнимые части:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Приведем примеры:

Пример 1. Сложим два комплексных числа 2 + 3i и 1.6 + 7i

(2 + 3i) + (1.6 + 7i) = (2 + 1.6) + (3 + 7)i = 3.6 + 10i

Пример 2. Сложим два комплексных числа 3 + 4i и 8 − 6i

(3 + 4i) + (8 − 6i) = (3 + + (4 − 6i) = 11 − 2i

Сложение вещественного и комплексного числа, представленного в алгебраической форме

Чтобы сложить комплексное число a + bi и вещественное число c, необходимо прибавить к вещественной части комплексного числа вещественное число:

(a + bi) + с = (a + c) + bi

Приведем примеры:

Пример 1. Сложим комплексное число 2 + 3i и вещественное число 10

(2 + 3i) + 10 = (2 + 10) + 3i = 12 + 3i

Пример 2. Сложим комплексное число −6 + 3i и вещественное число -23

(−6 + 3i) + (−23) = (−6 + (−23)) + 3i = −29 + 3i

Вычитание двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Для того, чтобы вычесть два комплексных числа представленных в алгебраической форме, нужно вычесть их вещественные и мнимые части:

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Приведем примеры:

Пример 1. Вычтем два комплексных числа 3 + 9i и 5 + 6i

(3 + 9i) − (5 + 6i) = (3 − 5) + (9 − 6)i = −2 + 3i

Пример 2. Вычтем два комплексных числа 6 + 23i и 57 + 68i

(6 + 23i) − (57 + 68i) = (6 − 57) + (23 − 68)i = −51 − 45i

Вычитание комплексного числа из вещественного числа

Чтобы вычесть из вещественного числа a комплексное число c + di, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:

a − (c + di) = (a − c) − di

Приведем примеры:

Пример 1. Вычтем из вещественного числа 6 комплексное число 1 + 7i

6 − (1 + 7i) = (6 − 1) + 7i = 5 − 7i

Пример 2. Вычтем из вещественного числа -15 комплексное число 1 + (−7)i

−15 − (1 + (−7)i) = (−15 − 1) − (−7)i = −16 + 7i

Вычитание вещественного числа из комплексного числа

Чтобы вычесть из комплексного числа a + bi вещественное число c, необходимо вычесть из действительной части комплексного числа вещественное число:

(a + bi) − с = (a − c) + bi

Приведем примеры:

Пример 1. Вычтем из комплексного числа 5 + 12i вещественное число 8

(5 + 12i) − 8 = (5 − + 12i = −3 + 12i

Пример 2. Вычтем из комплексного числа −1 + (−5)i вещественное число −3

(−1 + (−5)i) − (−3) = (−1 − (−3)) + (−5)i = 2 − 5i

Умножение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Для того чтобы умножить два комплексных числа записанных в алгебраической форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:

(a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac + bdi²) + (bc + ad)i = (ac − bd) + (bc + ad)i

Приведем примеры:

Пример 1. Умножим два комплексных числа 2 + 5i и 3 + 7i

Решение 1
(2 + 5i) × (3 + 7i) = ((2 × 3) − (5 × 7)) + ((5 × 3) + (2 × 7))i = (6 − 35) + (15 + 14)i = −29 + 29i
Решение 2
(2 + 5i) × (3 + 7i) = (2 × 3) + (2 × 7i) + (5i × 3) + (5i × 7i) = 6 + (14i) + (15i) + (35i²) = 6 + (29i) + (35 × (−1)) = −29 + 29i

Пример 2. Умножим два комплексных числа 0.4 + (−2)i и 3.023 + 0.25i

Решение 1
(0.4 + (−2)i) × (3.023 + 0.25i) = ((0.4 × 3.023) − (−2 × 0.25)) + (((−2) × 3.023) + (0.4 × 0.25))i = (1.2092 − (−0.5)) + (−6.046 + 0.1)i = 1.7092−5.946i
Решение 2
(0.4 + (−2)i) × (3.023 + 0.25i) = (0.4 × 3.023) + (0.4 × 0.25i) + ((−2)i × 3.023) + ((−2)i × 0.25i) = 1.2092 + (0.1i) + (−6.046i) + (−0.5i²) = 1.2092 + (−5.946i) + ((−0.5 × (−1))) = 1.7092 − 5.946i

Умножение вещественного и комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Для того чтобы умножить вещественное число a на комплексное число c + di, необходимо вещественную и комплексную части числа c + di умножить на это число:

a × (c + di) = ac + adi

Приведем примеры:

Пример 1. Умножим комплексное число 3 + 4i и вещественное число 1

1 × (3 + 4i) = (1 × 3) + (1 × 4)i = 3 + 4i

Пример 2. Умножим комплексное число −5 + 4i и вещественное число −74

−74 × (−5 + 4i) = (−74 × (−5)) + (−74 × 4)i = 370 − 296i

Деление двух комплексных чисел, представленных в алгебраической форме

Для того чтобы разделить два комплексных числа записанных в алгебраической форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:

	(a + bi) × (c − di)	=
(c + di) × (c − di)

Приведем примеры:

Пример 1. Разделим комплексное число 4 + 3i на комплексное число 5 + 8i

	(4 + 3i) × (5 − 8i)	=
(5 + 8i) × (5 − 8i)

	(4 × 5) + (3 ×	+
(5² + 8²)

	(3 × 5) − (4 ×
(5² + 8²)

= 0.49438202247191−0.191011235955056i

Пример 2. Разделим комплексное число 6 + (−2)i на комплексное число −4 + 7i

	(6 + (−2)i) × (−4 − 7i)	=
(−4 + 7i) × (−4 − 7i)

	(6 × (−4)) + (−2 × 7)	+
(−4² + 7²)

	(−2 × (−4)) − (6 × 7)
(−4² + 7²)

	(−24 + (−14))	+
(16 + 49)

= −0.584615384615385−0.523076923076923i

Деление комплексного числа, представленного в алгебраической форме на вещественное число

Для того чтобы разделить комплексное число a + bi на вещественное число c, необходимо вещественную часть комплексного числа разделить на вещественное число и мнимую часть комплексного числа разделить на вещественное число:

Приведем пример:

Разделим комплексное число 3 + 6i на вещественное число 7

= 0.428571428571429 + 0.857142857142857i

Деление вещественного числа на комплексное число, представленного в алгебраической форме

Для того чтобы разделить вещественное число a на комплексное число c + di, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:

	a × (c − di)	=
(c + di) × (c − di)

Приведем пример:

Разделим вещественное число 5 на комплексное число 2 + 9i

	5 × (2 − 9i)	=
(2 + 9i) × (2 − 9i)

= 0.117647058823529−0.529411764705882i

Сложение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Для того чтобы сложить два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

z1 + z2 = (|z1| × (cos α + i sin α)) + (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) + (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) + (|z2| × sin β)), где

|z1| − модуль комплексного числа z1
α − аргумент комплексного числа z1
|z2| − модуль комплексного числа z2
β − аргумент комплексного числа z2

Приведем пример:

Сложим два комплексных числа √13 (cos 48° + i sin 48°) и √25 (cos 69° + i sin 69°)

√13 (cos 48° + i sin 48°) + √25 (cos 69° + i sin 69°) = ((√13 × cos(48°)) + (√25 × cos(69°))) + i((√13 × sin(48°)) + (√25 × sin(69°))) = (2.41258471120918 + 1.7918397477265) + (2.67944677335447 + 4.667902132486)i = 4.20442445893568 + 7.34734890584047i

Вычитание комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Для того чтобы вычесть два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

z1 − z2 = (|z1| × (cos α + i sin α)) − (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) − (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) − (|z2| × sin β)), где

Приведем пример:

Вычтем из два комплексного числа 1/2 (cos π/2 + i sin π/2) число 1/3 (cos π/3 + i sin π/3)

1/2 (cos π/2 + i sin π/2) − 1/3 (cos π/3 + i sin π/3) = ((1/2 × cos((π/2))) − (1/3 × cos((π/3)))) + i((1/2 × sin((π/2))) − (1/3 × sin((π/3)))) = (0 − 0.166666666666666) + (0.5 − 0.288675134594813)i = −0.166666666666666 + 0.211324865405187i

Умножение комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Для того чтобы умножить два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

z1 × z2 = (|z1| × |z2|) × (cos(α + β) + i × sin(α + β)), где

Приведем пример:

Умножим два комплексных числа 2 (cos π/2 + i sin π/2) и 2 (cos π/3 + i sin π/3)

2 (cos π/2 + i sin π/2) × 2 (cos π/3 + i sin π/3) = (2 × 2) × (cos(π/2 + (π/3)) + i × sin(π/2 + (π/3))) =

× (cos(5π/6) + i × sin(5π/6)) =

× (cos(150°) + i × sin(150°))

Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме

Для того чтобы разделить два комплексных числа записанных в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

z1 ÷ z2 = (|z1| ÷ |z2|) × (cos(α − β) + i × sin(α − β)), где

Приведем пример:

Разделим два комплексных числа 3 (cos 45° + i sin 45°) и 2 (cos 37° + i sin 37°)

3 (cos 45° + i sin 45°) ÷ 2 (cos 37° + i sin 37°) = (3 ÷ 2) × (cos(45° − 37°) + i × sin(45° − 37°)) =

2.25

× (cos(8°) + i × sin(8°))=

2.25

× (cos(2π/45) + i × sin(2π/45))

Сложение комплексных чисел, представленных в показательной форме

Для того чтобы сложить два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

|z1| e^iα + |z2| e^iβ = (|z1| × (cos α + i sin α)) + (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) + (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) + (|z2| × sin β)), где

Приведем пример:

Сложим два комплексных числа 3 × e^(π/2)i и 2 × e^(3π/2)i

3 × e^(π/2)i + 2 × e^(3π/2)i = ((3 × cos((π/2))) + (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin((π/2))) + (2 × sin((3π/2)))) = (0 + 0) + (3 + (−2))i = 0 + 1i

Вычитание комплексных чисел, представленных в показательной форме

Для того чтобы вычесть два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

|z1| e^iα − |z2| e^iβ = (|z1| × (cos α + i sin α)) − (|z2| × (cos β + i sin β)) = ((|z1| × cos α) − (|z2| × cos β)) + i((|z1| × sin α) − (|z2| × sin β)), где

Приведем пример:

Вычтем из числа 3 × e^(π/2)i число 2 × e^(3π/2)i

3 × e^(π/2)i — 2 × e^(3π/2)i = ((3 × cos((π/2))) − (2 × cos((3π/2)))) + i((3 × sin((π/2))) − (2 × sin((3π/2)))) = (0 − 0) + (3 − (−2))i = 0 + 5i

Умножение комплексных чисел, представленных в показательной форме

Для того чтобы умножить два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

|z1| e^iα × |z2| e^iβ = (|z1| × |z2|) × (cos(α + β) + i × sin(α + β)), где

Приведем пример:

Умножим два комплексных числа 3 × e^(π/2)i и 2 × e^(3π/2)i

(3 × e^(π/2)i) × (2 × e^(3π/2)i) = (3 × 2) × (cos(π/2 + (3π/2)) + i × sin(π/2 + (3π/2))) =

× (cos(360°) + i × sin(360°)) = 6 + 0i

Деление комплексных чисел, представленных в показательной форме

Для того чтобы разделить два комплексных числа записанных в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

|z1| e^iα ÷ |z2| e^iβ = (|z1| ÷ |z2|) × (cos(α − β) + i × sin(α − β)), где

Приведем пример:

Разделим два комплексных числа 3 × e^(π/2)i и 2 × e^(3π/2)i

(3 × e^(π/2)i) ÷ (2 × e^(3π/2)i) = (3 ÷ 2) × (cos(π/2 − (3π/2)) + i × sin(π/2 − (3π/2))) =

2.25

× (cos(−180°) + i × sin(−180°)) =

2.25

× (cos(−π) + i × sin(−π)) = −1.5 + 0i

Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа равен расстоянию от точки на комплексной плоскости до начала координат и обозначается |z|.
Модуль комплексного числа z вычисляется по формуле:

Приведем пример:

Найдем модуль комплексного числа 1 + 3i

|1 + 3i| =

1² + 3²

1 + 9

= 3.16227766016838

Аргумент комплексного числа

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол φ между радиус−вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа z обозначается Arg(z).
Аргумент комплексного числа z вычисляется по формуле:

Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0

Главное значение аргумента, должно принимать такое значение, что −π < arctg(b/a) ⩽ π. Калькулятор вычисляет именно главное значение аргумента.

Приведем пример:

Найдем аргумент комплексного числа −4 + 7i

Arg(−4 + 7i) = arctg(7/(−4)) + π = 2.08994244104142 радиан
Arg(−4 + 7i) = 119.744881296942° градусов

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в тригонометрической форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в алгебраической форме в тригонометрической форме, необходимо найти модуль и аргумент данного комплексного числа.

z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Представим число 2 + 3i в тригонометрической форме

|2 + 3i| =

2² + 3²

4 + 9

= 3.60555127546399

Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0

Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 0.982793723247329 радиан
Arg(2 + 3i) = arctg(3/2) = 56.3099324740202° градусов

Теперь можно записать комплексное число z в тригонометрической форме:

z = 2 + 3i =

× (cos(arctg(3/2)) + sin(arctg(3/2))i) = 3.60555127546399 × (cos(56.3099324740202°) + sin(56.3099324740202°)i)

Представление комплексного числа, записанного в алгебраической форме в показательной форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в алгебраической форме в показательной форме, необходимо найти модуль и аргумент данного комплексного числа.

z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Представим число 2 + 2i в показательной форме

|2 + 2i| =

2² + 2²

4 + 4

= 2.82842712474619

Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0

Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 0.785398163397448 радиан
Arg(2 + 2i) = arctg(2/2) = 45° градусов

Теперь можно записать комплексное число z в показательной форме:

z = 2 + 2i =

× e^{0.785398163397448i} =

× e^45°i =

× e^(π/4)i

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в алгебраической форме

Чтобы представить комплексное число записанное в тригонометрической форме в алгебраической форме z = a + bi, необходимо вещественную часть a представить как cos φ умножить на модуль |z|, а мнимую часть b как sin φ умножить на модуль |z| комплексного числа z.

|z| (cos φ + i sin φ) = (|z| × (cos φ)) + (|z| × (sin φ)i) = a + bi, где

a = |z| × cos φ
b = |z| × sin φ

Приведем пример:

Представим число 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в алгебраической форме

2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × (0.5 + 0.86602540378444i) = (2 × 0.5) + (2 × 0.86602540378444i) = 1 + 1.73205080756888i

Представление комплексного числа, записанного в тригонометрической форме в показательной форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в тригонометрической форме в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

|z| × (cos φ + i sin φ) = |z| e^φi, где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Представим число 2 × (cos(60°) + sin(60°)i) в показательной форме

2 × (cos(60°) + sin(60°)i) = 2 × e^60°i = 2 × e^(π/3)i

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в тригонометрической форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой приведенной ниже:

|z| e^φi = |z| × (cos φ + i sin φ), где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Представим число 2 × e^(π/3)i в тригонометрической форме

2 × e^(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i)

Представление комплексного числа, записанного в показательной форме в алгебраической форме

Для того, чтобы представить комплексное число, записанное в показательной форме в алгебраической форме, следует сначала это число представить в тригонометрической форме.

|z| e^φi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

|z| (cos φ + i sin φ) = (|z| × (cos φ)) + (|z| × (sin φ)i) = a + bi, где
a = |z| × cos φ
b = |z| × sin φ

Приведем пример:

Представим число 2 × e^(π/3)i в алгебраической форме

2 × e^(π/3)i = 2 × (cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2 × (0.5 + 0.86602540378444i) = (2 × 0.5) + (2 × 0.86602540378444i) = 1 + 1.73205080756888i

Сопряженное число комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = a + bi сопряженным число является z = a − bi.

Приведем пример:

Найдём сопряженное число для числа 2 + 3i

2 + 3i = 2 − 3i

Сопряженное число комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = |z| (cos φ + i sin φ) сопряженным число является z = |z| (cos φ − i sin φ).

Приведем пример:

Найдём сопряженное число для числа 2(cos((π/3)) + sin((π/3))i)

2(cos((π/3)) + sin((π/3))i) = 2(cos((π/3)) − sin((π/3))i)

Сопряженное число комплексного числа, записанного в показательной форме

Два комплексно−сопряжённые числа обладают одинаковыми действительными частями и противоположными по знаку мнимыми частями.
Число сопряженное числу z, обозначается как z.
Для z = |z| e^iφ сопряженным число является z = |z| e^−iφ.

Приведем пример:

Найдём сопряженное число для числа 2 × e^(π/3)i

2 × e^(π/3)i = 2 × e^{− (π/3)i}

Обратная величина комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Для каждого комплексного числа, отличного от нуля существует обратное число. Чтобы найти обратное число для числа a + bi, необходимо единицу разделить на это число. Так как в качестве делимого выступает единица, то формула для деления упрощается и принимает вид:

	1 × (a − bi)	=
(a + bi) × (a − bi)

Приведем пример:

Найдём обратную величину для числа 2 + 3i

= 0.153846153846154−0.230769230769231i

Обратная величина комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Чтобы вычислить обратное число для числа, представленного в тригонометрической форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:

1/z = 1/|z| × (cos φ − i sin φ), где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Найдём обратную величину для числа 2(cos((π/2)) + sin((π/2))i)

1/z = 1/2 × (cos (π/2) − i sin π/2) =

0.25

× (cos(π/2) − i × sin(π/2))

Обратная величина комплексного числа, записанного в показательной форме

Чтобы вычислить обратное число для числа, представленного в показательной форме, необходимо воспользоваться формулой, приведенной ниже:

1/z = (1/|z|)e^−iφ, где

|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

Приведем пример:

Найдём обратную величину для числа 2 × e^i(π/2)

1/z = 1/2 × e^{−i (π/2)} =

0.25

× e^{−i (π/2)}

Аддитивная инверсия комплексного числа

Аддитивная инверсия комплексного числа – это такое число, которое при добавлении к нему исходного числа дает ноль. Аддитивная инверсия комплексного числа представляет собой число в котором действительные и мнимые части умножаются на −1. Для того чтобы умножить число −1 на комплексное число a + bi. необходимо вещественную и комплексную части числа a + bi умножить на это число:

−1 × (a + bi) = (−1 × a) + (−1 × bi)

Приведем пример:

Найдём аддитивную инверсию для числа z = 2 + 3i

−z = (−1 × 2) + (−1 × 3)i = −2−3i

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в алгебраической форме

Извлечем корень 3 степени из числа 3 + 2i

Чтобы извлечь корень n−й степени из ненулевого комплексного числа. необходимо сначала данное число представить в тригонометрической форме.

z = a + bi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

|3 + 2i| =

3² + 2²

9 + 4

= 3.60555127546399

Arg(z) = arctg(b/a), a > 0

Arg(z) = arctg(b/a) + π, a < 0

Arg(z) = π/2, b > 0 и a = 0

Arg(z) = −π/2, b < 0 и a = 0

Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 0.588002603547568 радиан
Arg(3 + 2i) = arctg(2/3) = 33.6900675259798° градусов

Теперь можно записать комплексное число z в тригонометрической форме:

z = 3 + 2i =

× (cos(arctg(2/3)) + sin(arctg(2/3))i) = 3.60555127546399 × (cos(33.6900675259798°) + sin(33.6900675259798°)i)

Применим формулу Муавра чтобы извлечь корень n−й степени:

ⁿ√z = ⁿ√|z| × (cos (φ + 2πk)/n + i sin (φ + 2πk)/n)), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z
n – степень корня (количество корней)
k – принимает значения 0, 1, 2, … n−1

z₁ = ³

3.60555127546399

× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 0)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 0)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 11.2300225086599°)) + (1.53340623701639 × (sin 11.2300225086599°))i = 1.50404648119798 + 0.298628314325244i

z₂ = ³

3.60555127546399

× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 360)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 360)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 131.23002250866°)) + (1.53340623701639 × (sin 131.23002250866°))i = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i

z₃ = ³

3.60555127546399

× (cos((33.6900675259798° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((33.6900675259798° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.53340623701639 × (cos((33.6900675259798° + 720)/3) + i sin ((33.6900675259798° + 720)/3)) = (1.53340623701639 × (cos 251.23002250866°)) + (1.53340623701639 × (sin 251.23002250866°))i = −0.493403534104007 − 1.45185661835266i

z₁ = 1.50404648119798 + 0.298628314325244i
z₂ = −1.01064294709398 + 1.15322830402742i
z₃ = −0.493403534104007 − 1.45185661835266i

z₁ = 1.53340623701639 × (cos(11.2300225086599°) + i sin(11.2300225086599°))
z₂ = 1.53340623701639 × (cos(131.23002250866°) + i sin(131.23002250866°))
z₃ = 1.53340623701639 × (cos(251.23002250866°) + i sin(251.23002250866°))

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Извлечем корень 3 степени из числа 3(cos((π/5)) + sin((π/5))i)

Применим формулу Муавра чтобы извлечь корень n−й степени:

z₁ = ³

× (cos((36° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 0)/3) + i sin ((36° + 0)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 12°)) + (1.44224957030741 × (sin 12°))i = 1.41073295685556 + 0.299860546743801i

z₂ = ³

× (cos((36° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 360)/3) + i sin ((36° + 360)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 132°)) + (1.44224957030741 × (sin 132°))i = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i

z₃ = ³

× (cos((36° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((36° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.44224957030741 × (cos((36° + 720)/3) + i sin ((36° + 720)/3)) = (1.44224957030741 × (cos 252°)) + (1.44224957030741 × (sin 252°))i = −0.445679627354959 − 1.37166085196474i

z₁ = 1.41073295685556 + 0.299860546743801i
z₂ = −0.965053329500603 + 1.07180030522094i
z₃ = −0.445679627354959 − 1.37166085196474i

z₁ = 1.44224957030741 × (cos(12°) + i sin(12°))
z₂ = 1.44224957030741 × (cos(132°) + i sin(132°))
z₃ = 1.44224957030741 × (cos(252°) + i sin(252°))

Извлечение корня n−й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме

Извлечем корень 3 степени из числа 2 × e^45°i

Чтобы извлечь корень n−й степени из ненулевого комплексного числа. необходимо сначала данное число представить в тригонометрической форме,

|z| e^φi = |z| × (cos φ + i sin φ), где
|z| − модуль комплексного числа z
φ − аргумент комплексного числа z

2 × e^45°i = 2 × (cos(45°) + sin(45°)i)

Применим формулу Муавра чтобы извлечь корень n−й степени:

z₁ = ³

× (cos((45° + (2 × 180 × 0))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 0))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 0)/3) + i sin ((45° + 0)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 15°)) + (1.25992104989487 × (sin 15°))i = 1.2169902811787 + 0.326091563038355i

z₂ = ³

× (cos((45° + (2 × 180 × 1))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 1))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 360)/3) + i sin ((45° + 360)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 135°)) + (1.25992104989487 × (sin 135°))i = −0.890898718140328 + 0.89089871814034i

z₃ = ³

× (cos((45° + (2 × 180 × 2))/3) + i sin ((45° + (2 × 180 × 2))/3)) = 1.25992104989487 × (cos((45° + 720)/3) + i sin ((45° + 720)/3)) = (1.25992104989487 × (cos 255°)) + (1.25992104989487 × (sin 255°))i = −0.326091563038355 − 1.2169902811787i

z₁ = 1.2169902811787 + 0.326091563038355i
z₂ = −0.890898718140328 + 0.89089871814034i
z₃ = −0.326091563038355 − 1.2169902811787i

z₁ = 1.25992104989487 × (cos(15°) + i sin(15°))
z₂ = 1.25992104989487 × (cos(135°) + i sin(135°))
z₃ = 1.25992104989487 × (cos(255°) + i sin(255°))

Источник