Формула суммы кубов
Возьмём формулу куба суммы (см. §23 данного справочника):
$$ (a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$
и найдём из неё сумму двух кубов:
$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$
$$= (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) =$$
$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$
Скобка $(a^2-ab+b^2 )$ называется неполным квадратом разности.
Полный квадрат разности – это $ (a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2 $
Мы получили формулу для разложения суммы двух кубов на множители:
$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$
Формула разности кубов
Возьмём формулу куба разности (см. §23 данного справочника):
$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$
и найдём из неё разность двух кубов:
$$ a^3-b^3 = (a-b)^3+3a^2 b-3ab^2 = (a-b)^3+3ab(a-b) = $$
$$ = (a-b)((a-b)^2+3ab) = (a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab) = $$
$$ = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$
Скобка $(a^2+ab+b^2 )$ называется неполным квадратом суммы.
Полный квадрат суммы – это $(a^2+2ab+b^2 ) = (a+b)^2$
Мы получили формулу для разложения разности двух кубов на множители:
$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 ) $$
Примеры
Пример 1. Разложите на множители:
а) $ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2 )$
б) $ m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2 ) $
в) $ 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) $
г) $125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2 )$
д) $ frac{1}{8} k^6-8 = ( frac{1}{2} k^2 )^3-2^3=(frac{1}{2} k^2-2)(frac{1}{4} k^4+k^2+4) $
е) $27+ frac{m^3}{125} = 3^3+(frac{m}{5})^3 = (3+frac{m}{5})(9-frac{3m}{5}+frac{m^2}{25})$
Пример 2. Докажите что выражения $19^3-11^3$ кратно 8
$$ frac{19^3-11^3}{8} = frac{(19-11)(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = frac{8(19^2+19cdot11+11^2 )}{8} = $$
$ = 19 ^2+19cdot11+11^2 $
Что и требовалось доказать.
Пример 3*. Дайте геометрическое объяснение формуле суммы кубов (аналогичная задача – см. Пример 5 §23 данного справочника).
Рассмотрим куб со стороной (a+b), в противоположные углы которого вписаны кубы со сторонами a и b.
Объемы кубов: $V_{a+b} = (a+b)^3, V_a = a^3, V_b = b^3$
Объём фигуры, закрашенной оранжевым: $V_{ор} = a(a+b)^2-V_a = a(a^2+2ab+b^2 )-a^3$ $= 2a^2 b+ab^2$
Объём фигуры, закрашенной синим: $V_{син} = b(a+b)^2-V_b = b(a^2+2ab+b^2 )-b^3$ $= a^2 b+2ab^2$
Общий объём:
$$ V_{a+b} = V_a+V_b+V_{ор}+V_{син} $$
$$ (a+b)^3 = a^3+b^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 $$
$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$
$$ = (a+b)((a+b)^2-3ab) = (a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab) = $$
$$ = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$$
Мы получили формулу суммы кубов.
Онлайн калькулятор поможет найти сумму кубов двух выражений, которая равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Формула суммы кубов: a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2)
Формула суммы кубов онлайн |
| a = |
| b = |
|
|
Разделитель групп разрядов
Округлить до
Число прописью
Скачать калькулятор
Рейтинг: 2.8 (Голосов 18)
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Сообщить об ошибке
Смотрите также
| Формулы сокращенного умножения | Квадрат суммы | Квадрат разности | Разность квадратов |
| Куб суммы | Куб разности | Сумма кубов | Разность кубов |
Сумма кубов
Определение.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:
a3 + b3 = (a + b)·(a2 — ab + b2)
Вывод формулы суммы кубов
Для доказательства справедливости формулы суммы кубов достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:
(a + b)·(a2 — ab + b2) =
= a3 — a2b + ab2 + ba2 — ab2 + b3 = a3 + b3
Применение формулы суммы кубов
Формулу суммы кубов удобно использовать:
- для разложения на множители
- для упрощения выражений
Примеры задач на применение формулы суммы кубов
Пример 1.
Разложить на множители x3 + 27.
Решение:
x3 + 27 = x3 + 33 = (x + 3)·(x2 — 3x + 9)
Пример 2.
Разложить на множители 8x3 + 27y6.
Решение:
8x3 + 27y6 = (2x)3 + (3y2)3 =
= (2x + 3y2)·(4x2 — 6xy2 + 9y4)
Пример 3.
Упростить выражение
27x3 + 13x + 1
.
Решение:
Можно заметить, что для выражения в числителе можно применить формулу суммы кубов
27x3 + 13x + 1 = (3x + 1)·(9x2 — 3x +1)3x + 1 = 9x2 — 3x +1
В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – сумма кубов, с помощью которой выполняется раскладывание выражения на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.
- Формула суммы кубов
- Доказательство формулы
- Примеры задач
Формула суммы кубов
Сумма кубов чисел/выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Полный квадрат разности выглядит так: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. В нашем случае во второй скобке вместо удвоенного произведения стоит одинарное, поэтому выражение называется неполным.
Формула справедлива и справа-налево:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Примечание: a3 + b3 ≠ (a + b)3
Доказательство формулы
Убедиться в правильности выражения можно, просто перемножив скобки, соблюдая правила арифметики при их раскрытии. Давайте так и сделаем:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3.
Примеры задач
Задание 1
Разложите на множители выражение: 63 + (4x)3.
Решение
63 + (4x)3 = (6 + 4x)(62 – 6 ⋅ 4x + (4x)2) = (6 + 4x)(36 – 24x + 16x2)
Задание 2
Разложите выражение на произведение множителей: (7x)3 + (3y2)3.
Решение
(7x)3 + (3y2)3 = (7x + 3y2)((7x)2 – 7x ⋅ 3y2 + (3y)2) = (7x + 3y2)(49x2 – 21xy2 + 9y2)
Задание 3
Представьте выражение 64x3 + 125 в виде суммы кубов и разложите его на множители.
Решение
64x3 + 125 = (4x)3 + 53 = (4x + 5)((4x)2 – 4x ⋅ 5 + 52) = (4x + 5)(16x2 – 20x + 25)