We will discuss here how
to find the sum of the cubes of first n natural numbers.
Let us assume the required sum = S
Therefore, S = 1(^{3}) + 2(^{3}) + 3(^{3}) + 4(^{3}) + 5(^{3}) +
………………. + n(^{3})
Now, we will use the below identity to find the value of S:
n(^{4}) — (n — 1)(^{4}) = 4n(^{3}) — 6n(^{2}) + 4n — 1
Substituting, n = 1, 2, 3, 4, 5, …………., n in the
above identity, we get
1(^{4}) — 0(^{4}) = 4 ∙ 1(^{3}) — 6 ∙ 1(^{2}) + 4 ∙ 1 — 1
2(^{4}) — 1(^{4}) = 4 ∙ 2(^{3}) — 6 ∙ 2(^{2}) + 4 ∙ 2 — 1
3(^{4}) — 2(^{4}) = 4 ∙ 3(^{3}) — 6 ∙ 3(^{2}) + 4 ∙ 3 — 1
4(^{4}) — 3(^{4}) = 4 ∙ 4(^{3}) — 6 ∙ 4(^{2}) + 4 ∙ 4 — 1
…….. ……………….. ……………
n(^{4}) — (n — 1)(^{4}) = 4 . n(^{3}) — 6 ∙ n(^{2}) + 4 ∙ n — 1
Adding we get, n(^{4}) — 0(^{4}) = 4(1(^{3}) + 2(^{3}) + 3(^{3}) + 4(^{3}) + ………..
+ n(^{3})) — 6(1(^{2}) + 2(^{2}) + 3(^{2}) + 4(^{2}) + …….. + n(^{2})) + 4(1 + 2 + 3 + 4 + ……..
+ n) — (1 + 1 + 1 + 1 + ……… n times)
⇒ n(^{4}) = 4S — 6 ∙ (frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}) + 4 ∙ (frac{n(n + 1)}{2}) — n
⇒ 4S = n(^{4}) + n(n + 1)(2n + 1) — 2n(n + 1) + n
⇒ 4S = n(^{4}) + n(2n(^{2}) + 3n + 1) – 2n(^{2}) — 2n + n
⇒ 4S = n(^{4}) + 2n(^{3}) + 3n(^{2}) + n — 2n(^{2}) — 2n + n
⇒ 4S = n(^{4}) + 2n(^{3}) + n(^{2})
⇒ 4S = n(^{2})(n(^{2}) + 2n + 1)
⇒ 4S = n(^{2})(n + 1)(^{2})
Therefore, S = (frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}) = {(frac{n(n + 1)}{2})}(^{2}) = (Sum of the
first n natural numbers)(^{2})
i.e., 1(^{3}) + 2(^{3}) + 3(^{3}) + 4(^{3}) + 5(^{3}) + ………………. +
n(^{3}) = {(frac{n(n + 1)}{2})}(^{2})
Thus, the sum of the cubes of first n natural numbers = {(frac{n(n + 1)}{2})}(^{2})
Solved examples to find the sum of the cubes of first n natural numbers:
1. Find the sum of the cubes of first 12 natural numbers.
Solution:
Sum of the cubes of first 12 natural numbers
i.e., 1(^{3}) + 2(^{3}) + 3(^{3}) + 4(^{3}) + 5(^{3}) + ………………. + 12(^{3})
We know the sum of the cubes of first n natural numbers (S) = {(frac{n(n + 1)}{2})}(^{2})
Here n = 12
Therefore, the sum of the cubes of first 12 natural numbers = {(frac{12(12 + 1)}{2})}(^{2})
= {(frac{12 × 13}{2})}(^{2})
= {6 × 13}(^{2})
= (78)(^{2})
= 6084
2. Find the sum of the cubes of first 25 natural numbers.
Solution:
Sum of the cubes of first 25 natural numbers
i.e., 1(^{3}) + 2(^{3}) + 3(^{3}) + 4(^{3}) + 5(^{3}) + ………………. + 25(^{3})
We know the sum of the cubes of first n natural numbers (S) = {(frac{n(n + 1)}{2})}(^{2})
Here n = 25
Therefore, the sum of the cubes of first 25 natural numbers = {(frac{25(25 + 1)}{2})}(^{2})
= {(frac{12 × 26}{2})}(^{2})
= {25 × 13}(^{2})
= (325)(^{2})
= 105625
● Arithmetic Progression
- Definition of Arithmetic Progression
- General Form of an Arithmetic Progress
- Arithmetic Mean
- Sum of the First n Terms of an Arithmetic Progression
- Sum of the Cubes of First n Natural Numbers
- Sum of First n Natural Numbers
- Sum of the Squares of First n Natural Numbers
- Properties of Arithmetic Progression
- Selection of Terms in an Arithmetic Progression
- Arithmetic Progression Formulae
- Problems on Arithmetic Progression
- Problems on Sum of ‘n’ Terms of Arithmetic Progression
11 and 12 Grade Math
From Sum of the Cubes of First n Natural Numbers to HOME PAGE
Didn’t find what you were looking for? Or want to know more information
about Math Only Math.
Use this Google Search to find what you need.
Последовательные числа — это члены натурального ряда, идущие друг за другом. Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов. 1, 2, 3, 4 — последовательные элементы натурального ряда.
Числовые последовательности
Последовательность — упорядоченный набор чисел, который образуется по определенному закону. Существует множество самых разных числовых наборов, самым простым и понятным из которых считается натуральный ряд. Первые числа, которые дети учат в начальных классах, это члены натуральной последовательности:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … n
Буквой n обозначается общий член последовательность, а для натурального ряда n считается и законом образования ряда. Закон последовательности — это форма записи принципа, по которому образуются члены ряда. Простой закон n означает, что номер элемента числового набора соответствует его значению. Первый элемент равен 1, второй — 2, десятый — 10. Для последовательности четных чисел, которая задается законом 2n, первый элемент набора будет равен 2, второй — 4, а десятый — 20. Набор нечетных чисел задается формулой 2n – 1, и в этом случай первый член ряда будет равен 1, второй — 3, десятый — 19.
Работа с числовыми наборами и законами их образования позволила математикам вывести формулы для определения сумм последовательных чисел натурального ряда.
Сложение последовательных чисел
Сумма первых n последовательных элементов натурального набора выражается следующей формулой:
∑ = 0,5 n × (n + 1)
Данная формула позволяет вычислить сумму натурального ряда от 1 до n. При сложении последовательных чисел не с первого элемента существует несколько хитростей, среди которых:
- для суммирования четырех последовательных чисел достаточно умножить наибольшее число на 4 и из результата отнять 6;
- для сложения любых пяти последовательных чисел достаточно умножить третий элемент набора на 5;
- для вычисления суммы шести последовательных чисел следует умножить наибольшее число на 6 и из результата вычесть 15.
Рассмотрим пару примеров:
- Сумма ряда от 1 до 10 вычисляется по формуле и равна 0,5 × 10 × 11 = 55.
- Сумма ряда 5 + 6 + 7 + 8 + 9 определяется как 7 × 5 = 35.
- Сумма ряда 57 + 58 + 59 + 60 вычисляется как 60 × 4 — 6 = 234.
- Сумма ряда 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 определяется как 26 × 6 — 15 = 141.
Правильность расчетов при помощи хитростей вы можете проверить на калькуляторе.
Сложение квадратов последовательных чисел
Более сложная задача состоит в суммирования последовательных чисел, возведенных в квадрат. Начало набора квадратов последовательных чисел выглядит как:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…
Такой набор чисел задается простой формулой n2. Для определения суммы первых n членов квадратного ряда используется формула:
∑ = (n × (n + 1) × (2n + 1)) / 6
Для подсчета суммы первых пяти членов квадратной ряда 1 + 4 + 9 + 16 + 25, то есть n = 5, расчеты будут выглядеть как:
∑ = (5 × 6 × (2 × 5 + 1)) / 6 = 55
Используя данную формулу легко подсчитать общую сумму квадратов первых n квадратов.
Сложение кубов последовательных чисел
Ряд последовательных чисел можно модифицировать и представить его в виде последовательности кубов. Это означает, что каждый член числового набора 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … n возводится в куб, и в результате мы получаем последовательность кубов:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 … n3
Для нахождения суммы первых n членов кубического ряда используется выражение:
∑ = (0,5 × n × (n+1))2
Например, для нахождения значения ряда при n = 5, то есть выражения 1 + 8 + 27 + 64 + 125, расчеты будут выглядеть следующим образом:
∑ = (0,5 × 5 × 6)2 = 152 = 225
При помощи этой простой формулы легко вычислить сумму кубов для сколь угодно большого n.
Наш калькулятор использует выше приведенные формулы для вычисления сумм квадратов или кубов натурального ряда для его первых n членов. Для расчетов вам необходимо выбрать тип калькулятора «Квадраты» или «Кубы», после чего ввести в ячейку количество элементов ряда. В теоретической части мы рассматривали сумму ряда из 5 членов, а при помощи онлайн-калькулятора легко рассчитать большие суммы.
Примеры использования
Рассчитаем сумму квадратов для 250 членов натурального ряда, то есть решим выражение 1 + 4 + 9 + … + 62 500. Для этого введем в форму калькулятора число 250 и получим мгновенный результат, равный 5 239 625.
Теперь вычислим сумму кубов для 250 членов натурального ряда, что будет равнозначно решению выражения 1 + 8 + 27 + … + 15 625 000. Изменим тип калькулятора и выберем «Куб», после чего введем в ячейку программу число 250. Наш результат не заставит себя ждать, и мы увидим 984 390 625.
Заключение
Для подсчета конечных сумм последовательных рядов используются простые формулы, которые, однако, не всегда удобно применять при повседневных расчетах. Используйте нашу программу для мгновенного подсчета значения квадратных и кубических рядов.
| Search | ||
| Дом | математика ↺ | |
| математика | Последовательность и серия ↺ | |
| Последовательность и серия | Общие серии ↺ | |
| Общие серии | Сумма кубов ↺ |
|
✖Значение N — это общее количество членов от начала ряда до места, где вычисляется сумма ряда.ⓘ Значение N [n] |
+10% -10% |
|
✖Сумма кубов первых N натуральных чисел — это сумма кубов натуральных чисел, начиная с 1 и заканчивая n-м натуральным числом n.ⓘ Сумма кубов первых N натуральных чисел [Sn3(Natural)] |
⎘ копия |
Сумма кубов первых N натуральных чисел Решение
ШАГ 0: Сводка предварительного расчета
ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок
Значение N: 5 —> Конверсия не требуется
ШАГ 2: Оцените формулу
ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода
225 —> Конверсия не требуется
2 Сумма кубов Калькуляторы
Сумма кубов первых N натуральных чисел формула
Сумма кубов первых N натуральных чисел = ((Значение N*(Значение N+1))^2)/4
Sn3(Natural) = ((n*(n+1))^2)/4
Что такое общая серия?
Предположим, что a1, a2, a3, …, an — последовательность такая, что выражение a1 a2 a3 ,… an называется рядом, ассоциированным с данной последовательностью.
Где используются серии?
Ряды используются в большинстве областей математики, даже для изучения конечных структур (например, в комбинаторике) с помощью производящих функций. В дополнение к их повсеместному распространению в математике, бесконечные ряды также широко используются в других количественных дисциплинах, таких как физика, информатика, статистика и финансы.
Краткое описание
В алгебре большим спросом пользуются различные формулы и соответствующие правила сокращённого умножения. При правильном подходе ученик может максимально быстро и правильно решать большие уравнения. Универсальные формулы были получены специалистами для умножения и вычитания сразу нескольких многочленов. Только подготовленные ученики могут максимально быстро решать поставленные задачи, существенно упростив используемое выражение. Базовые правила востребованных преобразований позволяют выполнять определённые манипуляции с уравнениями.
Если максимально придерживаться основных рекомендаций, то можно будет получить в левой части примера равенство выражения, расположенное с правой стороны. Ученик должен хорошо владеть теми формулами, которые применяются для сокращённого умножения, используемого во время решения задач, а также уравнений. Но даже в этом случае нужно соблюдать ряд нюансов, чтобы можно было избежать допущения грубых ошибок.
Интересным фактом является то, что некоторые формулы для быстрого умножения были выведены экспертами ещё в конце четвёртого тысячелетия до нашей эры. Именно целеустремлённые греки максимально развили идеи своих предшественников, из-за чего им удалось разработать сразу несколько важных и полезных правил. Но в те времена математики мыслили совершенно иначе, так как они стремились воссоздать числа с помощью подручных материалов или геометрических фигур. К примеру: специально обтёсанные камни на счётной доске из дерева.
Ещё несколько лет назад формулы для определения суммы различных величин выводились исключительно геометрическим методом. Эксперты практиковали рассечение квадрата на разные фрагменты. Настоящий подъём науки пришёлся на времена Ньютона и других учёных. Именно эти целеустремлённые люди смогли внести огромный вклад в развитие формул для алгебры, представив обществу усовершенствованный вариант.
Сумма и разность кубов
Для изучения этой темы должно быть отведено достаточно времени, так как только после изучения всех нюансов ученик сможет должным образом применить свои знания. Основная формула суммы кубов двух чисел выглядит следующим способом: w3 + y3 = (w + y) (w2 — wy + y2). Стоит отметить, что задействованное выражение w2 — wy + y2 отличается от правой части только присутствующим коэффициентом при y. Именно поэтому такое выражение называют неполным квадратом разности.
Обязательно нужно усвоить правило, что итог двух кубических (ударение падает на слог с первой буквой «и») корней будет соответствовать произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Нужно понимать, что каждая математическая задача обладает определёнными характеристиками, которые нельзя оставить без внимания.
Элементарную формулу сумму кубов получают следующим образом:
- (w + y)3 = w3 +3w2y +3 wy2 + y3.
- Из описанного выше примера можно выразить w3+ y3; w3 +y3 =(w+y)3−3w2y-3wy2 =(w+y)3−3wy (w+y)=(w+y)((w+y)2−3wy)=(w+y)(w2 -wy+y2).
Определение разности кубов сопряжено с некоторыми нюансами. Если в элементарной формуле попробовать заменить суммы кубов y на -y. После выполненных манипуляций можно правильно отобразить не только равнозначность, но и разность кубов: w3 — y3 = (w — y) (w2 + wy + y2). Эксперты утверждают, что для неполного квадрата суммы свойственно следующее выражение: w2 + wy + y2. Самостоятельный анализ поставленной задачи позволяет раскрыть больше ценной информации, которая нужна для получения необходимых навыков.
Зафиксированная сумма кубов раскладывается по специальной технологии, так как разность кубов двух уравнений равна произведению разности этих уравнений на неполный квадрат их суммы. В качестве примера можно изучить следующую задачу:
- Нужно разложить на отдельные множители многочлен 27х 3−8у 6.
- Следует заметить, что 27х 3 =(3х) 3. А вот 8у 6 =(2у 2) 3.
- По действующей формуле разности геометрических кубов можно получить — 27х 3−8у 6 =(3х-2у 2)(9х 2 +6 ху 2 +4у 4).
По описанному примеру можно понять, что решать поставленные задачи можно быстро и без ошибок, но это только в том случае, если заранее изучить все правила. Ученику необходимо решить минимум три задачи, чтобы увидеть разницу между уравнениями и выполнить полное раскрытие темы.
Основное доказательство ФСУ
Во время изучения математики перед учениками неизбежно возникает необходимость определить сумму кубов. Примеры решения элементарных и более сложных задач позволяют лучше усвоить тему. Основное доказательство ФСУ отличается своей простотой и элементарностью. Базируясь на свойствах умножения можно правильно выполнять сложение цифр из всех частей формул в скобках. В качестве примера можно рассмотреть формулу квадрата разности: d — r2= d−2dr + r2.
Чтобы иметь возможность возвести пример во вторую степень, необходимо задействованное выражение умножать само на себя:
- d — r2= d — rd — r.
- Скобки раскрываются следующим образом: d — rd — r = d2- dr — rd + r2= d2−2 dr + r2.
После этого можно считать, что формула полностью доказана. Все остальные ФСУ описываются подобным образом.
Основная цель применения математических приёмов — максимально быстрое и правильное умножение, а также возведение в степень имеющихся выражений. Но это далеко не все способы использования ФСУ. Распространённые методы сокращённого умножения применяются для упрощения выражений, разложение задействованных многочленов на множители, а также для работы с различными дробями.
Пример: нужно попробовать упростить выражение 9y -(1 +3у)2. Если прибегнуть к формуле, которая касается суммы квадратов, то в итоге получится следующий результат — 9у-(1+3у)2=9у-(1+6у+9у2)=9у-1−6у-9у2=3у-1−9у2. Более сложный пример задачи связан с сокращением дробей: 8*3-с64*2-с4. В числителе присутствует разность кубов, а в знаменателе это утверждение касается квадратов. После всех манипуляций формула примет следующий вид: 8*3-с64*2-с4=2х -с (4*2+2 *с+с4) 2х-с2х+с. На третьем этапе остаётся только выполнить финальный переход: 8*3-с64*2-с4 =(4*2+2 *с+с4)2х+с.
При правильном подходе ФСУ позволяет даже вычислить значения математических выражений. Главная задача — иметь достаточно навыков, чтобы заметить, где именно будет уместна формула. Если по условиям задачи нужно возвести в квадрат любое число (к примеру: 79), тогда вместо громоздких вычислений можно прибегнуть к более лаконичным и понятным записям: 79=80−1; 792=80−12=6400−160+1=6241.
Формулы умножения с упрощённой схемой и специальные таблицы позволяют гораздо быстрее выполнить все необходимые вычисления. Определённые сложности могут возникнуть с выделением квадрата двучлена, так как в этом случае можно допустить много ошибок.
Математическое выражение 4х2+4х-3 можно легко преобразовать. В этом случае можно получить следующий результат: 2х2 +2*2*х *1 +12−4=2х+12−4. Интересным является то, что именно такое преобразование активно используется в интегрировании.
Вспомогательная информация
Именно сумма сразу двух геометрических кубов получила большой спрос в алгебре для кардинального упрощения многочленов. Лучше всего рассматривать конкретные примеры, которые относятся к категории сложных уравнений. Без наставлений учителя решать такие задачи при помощи универсального тригонометрического аппарата будет крайне сложно, особенно для неподготовленного школьника.
Грубые ошибки допускают те, кто плохо знаком со свойствами синусов и косинусов. На помощь может прийти правило суммы двух кубов, так как все описанные примеры максимально повторяют разложение на отдельные множители выражения a 2 + b 2. Но в этом случае вместо а — sinx, а b заменил cosy.
Если следовать правилам, то многоуровневое тригонометрическое выражение может легко превратиться в лаконичную запись, где sin3x + cos3y. После этого остаётся применить эту универсальную формулу во время подсчёта. Многие люди практически на память знают все квадраты к используемым в повседневной жизни натуральным числам до пятнадцати. А ученики, которые занимаются арифметикой на постоянной основе, владеют большим количеством квадратов. Гораздо сложнее работать с кубами. Если по условиям задачи нужно посчитать сумму двух таких кубов, то гораздо практичнее и быстрее применить формулу разложения на отдельные множители.
В качестве примера можно посчитать следующее выражение: 153 -123. Без предварительной подготовки вычислить кубы этих чисел просто невозможно (если ученик не посещает специальный математический кружок). Лучше всего прибегнуть к следующей формуле: 15 3 + 12 3 = (15 + 12) x (15 2−15×12 + 12 2). Дополнительно все действия можно проверить при помощи калькулятора. В кубе 15 даёт число 3375, а вот 12 — это 1728. Если всё просуммировать (3375+1728), то в итоге получим 5103. Ранее полученный результат оказался правильным, но работать с меньшими числами гораздо проще и удобнее.
На просторах интернета много различных программ, которые считают сумму двух кубов с различными иллюстрациями промежуточных вкладов. Эта разработка программистов пригодится школьникам, стремящимися проверить результаты выполненных работ, а также взрослым, которые хотят возобновить в памяти школьный курс алгебры.
Особенности использования уравнений
Для лучшего усвоения этой темы следует более подробно изучать приведённые примеры. В качестве основы следует взять элементарную формулу для квадрата суммы двух чисел: h+ hl = h2+2 hl + l2. Этот математический пример необходимо читать только таким образом: квадрат суммы для двух выражений h и l соответствует квадрату первого выражения, удвоенного произведения уравнения, а также квадрату второго выражения. Точно таким образом математики читаются все остальные формулы.
Если нужно записать квадрат разности h — l2= h2−2hl + l2. Запись такого уравнения выглядит только так: квадрат математической разности двух примеров максимально соответствует конечной сумме, которая была получена от квадрата этих утверждений. Но также перед учеником может возникнуть необходимость правильно прочитать более сложную формулу: h + l3= h3+3h2l +3hl 2+ l3. Задействованный куб суммы двух математических уравнений соответствует итоговым данным этого примера. В этом уравнении присутствует утроенное произведение квадрата первого выражения на второе.
Ключевые нюансы
Чтобы правильно посчитать квадрат разности, нужно определить сумму, которая состоит из квадрата первого числа, удвоенного произведением первого числа на второе. В виде стандартного математического выражения это правило будет выглядеть так: (g — v) 2 = g 2 -2 gv + v 2. А вот формула установленной разности двух чисел, которые предварительно были возведены в квадрат, максимально соответствует произведению суммы этих элементов на их разность. Уравнение имеет такой вид: f 2 — j 2 =(f + j)*(f — j).
Если есть необходимость самостоятельно вычислить куб суммы двух слагаемых, тогда первым делом определяют сумму, которая включает в себя куб первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого и второго слагаемого. В алгебре это выражение выглядит так: (d+e) 3 = d 3 +3 d 2 e +3 de 2 + e 3.
Специальные формулы сокращённого умножения являются неотъемлемой темой в школьной программе по алгебре, так как она обязательно пригодится во время решения многоуровневых задач. Это своеобразная основа, на которой строятся решения интегральных исчислений. Онлайн-калькуляторы помогают лучше освоить технологию применения формулы двух кубов, которые можно свернуть, а потом снова открыть для приведения уравнения в нужный вид.