Как найти сумму квадратов больших чисел

Sum of squares refers to the sum of the squares of the given numbers, i.e., it is the addition of squared numbers. The squared terms could be two terms, three terms, or “n” number of terms, the first “n” odd or even terms, a series of natural numbers or consecutive numbers, etc. In statistics, the value of the sum of squares tells the degree of dispersion in a dataset. For this, we need to first find the mean of the given data, then the variation of each data point from the mean, square them, and finally, add them. In algebra, we use the (a + b)2 identity to determine the sum of the squares of two numbers. The formula that determines the sum of the squares of the first “n” natural numbers is derived with the help of the sum of the squares of the first “n” natural numbers. We perform these fundamental arithmetic operations, which are necessary for both algebra and statistics. There are various methods to determine the sum of squares of given numbers.

Sum of Squares Formula

The sum of the square formula is appliable for two, three, and up to n terms which are explained below:

Sum of squares for two numbers

Let a and b be two real numbers, then the formula for the addition of squares of the two numbers is given as follows:

 a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab

Proof:

From the algebraic identities, we have,

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Now, subtract 2ab on both sides.

(a + b)2 − 2ab = a2 + 2ab + b2 − 2ab

a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab

Hence, proved.

Sum of squares for three numbers

Let a, b, and c be three real numbers, then the formula for the addition of squares of the three numbers is given as follows:

a2 + b2 + c2 = (a +b + c)2 − 2ab − 2bc − 2ca

Proof:

From the algebraic identities, we have,

(a + b + c)2 = a2 +  b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

By subtracting 2ab, 2bc, and 2ca on both sides, we get,

a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2ab − 2bc − 2ca

Hence, proved

Sum of squares for “n” Natural Numbers

Natural numbers are also known as positive integers and include all the counting numbers, starting from 1 to infinity. If 1, 2, 3, 4,… n are n consecutive natural numbers, then the sum of squares of “n” consecutive natural numbers is represented by 12 + 22 + 32 +… + n2 and symbolically represented as Σn2.

The formula for the sum of squares of the first “n” natural numbers is given as follows:

∑n2 = [n(n+1)(2n+1)]/6

Sum of Squares of First “n” Even Numbers

The formula for the sum of squares of the first “n” even numbers, i.e., 22 + 42 + 62 +… + (2n)2 is given as follows:

∑(2n)2 = 22 + 42 + 62 +… + (2n)2

∑(2n)2 = [2n(n+1)(2n+1)]/3

Sum of Squares of First “n” Odd Numbers

The formula for the sum of squares of the first “n” odd numbers, i.e., 12 + 32 + 52 +… + (2n – 1)2, can be derived using the formulas for the sum of the squares of the first “2n” natural numbers and the sum of squares of the first “n” even numbers.

∑(2n-1)2 = 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2

∑(2n-1)2 = [n(2n+1)(2n-1)]/3

Proof:

∑(2n –1)2 = [12 + 22 + 32 + … + (2n – 1)2 + (2n)2] – [22 + 42 + 62 + … + (2n)2]

Now, apply the formula for the addition of squares of “2n” natural numbers and “n” even natural numbers, and we get;

∑(2n–1)2 = 2n/6 (2n + 1)(4n + 1) – (2n/3) (n+1)(2n+1)

∑(2n–1)2 = n/3 [(2n+1)(4n+1)] – 2n/3 [(n+1)(2n+1)]

Now, take out the common terms.

∑(2n–1)2 = n/3 (2n+1) [4n + 1 – 2n – 2]

∑(2n–1)2 = [n(2n+1)(2n–1)]/3

Hence, proved.

Sum of Squares in Statistics

Sum of squares of n data points = ∑ni=0 (xi – x̄)2

∑ = represents sum
xi = each value in the set
x̄ = mean of the values
xi – x̄ = deviation from the mean value
(xi – x̄)2 = square of the deviation
n = number of terms in the series

In statistics, the value of the sum of squares tells the degree of dispersion in a dataset. It evaluates the variance of the data points from the mean and aids in a better understanding of the data. The large value of the sum of squares indicates that there is a high variation of the data points from the mean value, while the small value indicates that there is a low variation of the data from its mean. Follow the steps given below to find the total sum of squares in statistics.

  • Step 1: Count the number of data points in the given dataset.
  • Step 2: Now, calculate the mean of the given data.
  • Step 3: Subtract each data point from the mean calculated in step 2.
  • Step 4: Now, determine the square of the difference obtained in step 3.
  • Step 5: Finally, add the squares that we have determined in step 4.

Solved Examples based on Sum of Squares

Example 1: Find the sum of the given series: 12 + 22 + 32 +…+ 552.

Solution:

To find the value of 12 + 22 + 32 +…+ 552.

From the sum of squares formula for n terms, we have

∑n2 = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = [n(n+1)(2n+1)] / 6

Given, n = 55

= [55(55+1)(2×55+1)] / 6

= (55 × 56 × 111) / 6

= 56,980‬

Thus, the sum of the given series is 56,980‬.

Example 2: Find the value of (32 + 82), using the sum of squares formula.

Solution:

To find the value of 32 + 82

Given: a = 3 and b = 8.

From the sum of squares formula, we have

a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab

⇒ 32 + 82 = (3 + 8) 2 − 2(3)(8)

= 121 – 2(24)

= 121 − 48

= 73.

Hence, the value of (32 + 82) is 73.

Example 3: Find the sum of squares of the first 25 even natural numbers.

Solution:

To find the value of 22 + 42 + 62 +… + 482+ 502.

= 22( 12 + 22 + 32 +…+252)

From the sum of squares formula for n terms, we have

∑n2 = [n(n+1)(2n+1)]/6

Here, n = 25

22( 12 + 22 + 32 +…+252) = 4[25(25+1)(2(25)+1)/6]

= (2/3) × (25) × (26) × (51)

= 22,100

Hence, the sum of squares of the first 25 even natural numbers is 22,100.

Example 4:  A dataset has points 2, 4, 13, 10, 12, and 7. Find the sum of squares for the given data.

Solution: 

Given: We have 6 data points 2, 4, 13, 10, 12, and 7.

The sum of the given data points = 2 + 4 + 13 + 10 + 12 + 7 = 48. 

The mean of the given data is given by,

Mean, x̄ = Sum / Number of data points

= 48 / 6

= 8

So, the sum of squares is given by,

∑ni=0 (xi – x̄)2 = (2 – 8) 2 + (4 – 8) 2 + (13 – 8) 2 + (10 – 8) 2 + (12 – 8) 2 + (7 – 8) 2

= (–6)2 + (–4)2 + (5)2 + (2)2 + (4)2 + (–1)2

= 36 + 16 + 25 + 4 + 14 + 1

= 96

Hence, the sum of squares for the given data is 96.

Example 5: Calculate the sum of the squares of 4, 9, and 11 using the sum of squares formula for three numbers.

Solution: 

To find the value of 4, 9, and 11.

Given, a = 4, b = 9, and c = 11.

From the sum of squares formula, we have

a2 + b2 + c2 = (a + b +c)2 − 2ab − 2bc − 2ca

42 + 92 + 112 = (4 + 9 + 11)2 −(2×4×9) − (2×9×11) − (2×11×4)

= 576 − 72 − 198 − 88

= 218

Hence, the value of (42 + 92 + 112) is 218.

Example 6: Find the sum of squares of the first 10 odd numbers.

Solution:

The sum of squares of the first 10 odd numbers: 12 + 32 + 52 +… +172 + 192

We know that,

The sum of squares of first “n” Odd Numbers ∑(2n–1)2 = [n(2n+1)(2n–1)]/3

Here, n is 10.

= [10×(2×10 + 1)(2×10 – 1)]/3

= [10 × 21 × 19]/3

= 10 × 7 × 19 = 1,330

Hence, the value of the sum of squares of the first 10 odd numbers is 1330.

FAQs based on Sum of Squares

Question 1: What is the Sum of Squares Error?

Answer:

Sum of squares error, also known as the residual sum of squares, is the difference between the actual value and the predicted value of the data.

Question 2: What Is the Expansion of Sum of Squares Formula?

Answer:

a2 + b2 formula is known as the sum of squares formula in algebra and it is read as a square plus b square. Its expansion is expressed as a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab.

Question 3: Write the Sum of Squares Formula used in Algebra.

Answer: 

The sum of squares formula used in algebra are:

  • a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
  • a2 + b2 + c2 = (a +b + c)2 − 2ab − 2bc − 2ca

Question 4: Write the sum of squares of the first five even numbers.

Answer:

The sum of squares of the first five even numbers is given by:

∑(2n)2 = [2n(n+1)(2n+1)]/3

putting n = 5

∑(2×5)2 = [2×5×(5+1)×(2×5+1)]/3

             = 220

Источник

Сумма квадратов чисел — математическое выражение, для которого не существует формулы сокращенного умножения. На практике иногда требуется быстро прикинуть сумму нескольких квадратов, однако без математических хитростей такое выражение подсчитать достаточно трудно.

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения расчетов в математике используются специальные формулы сокращенного умножения, которые, по сути, представляют собой частные случаи бинома Ньютона. При помощи таких формул легко вручную подсчитать, например, квадрат суммы или разности вида:

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Существует множество формул для решения подобных выражений, и дело не ограничивается квадратами. При помощи формул легко подсчитать куб разности или сумму многочленов n-ной степени. Мы легко можем подсчитать даже выражение (a + b + c)3, однако формулы сокращенного умножения для простого выражения как:

a2 + b2

в учебниках по математике вы не найдете. Естественно, она есть для комплексных чисел, тех самых, с которыми мы знакомимся в университетском курсе математического анализа. Выглядит эта формула достаточно жутко:

a2 + b2 = (a + ib) × (a — ib),

где i – легендарная мнимая единица, которая рассчитывается как квадратный корень из минус единицы.

В школьных примерах продвинутые ребята негласно используют формулу, которая не входит в пантеон формул сокращенного умножения:

a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab.

Эта формула идеально подходит только для вычисления суммы квадратов двух целых чисел. Но что делать, если на практике требуется сложить сумму нескольких квадратов или рациональных чисел? Здесь на сцене появляется наша программа.

Наша программа позволяет сложить сколько угодно квадратов целых и рациональных чисел. Для вычислений вам потребуется ввести числа в ячейку, отделив их пробелом. Десятичные дроби записываются и с точкой, и с запятой. Рациональные числа записываются через / (слэш). Итак, вы можете подсчитать сумму нескольких квадратных чисел, но для чего это вообще нужно?

Рассмотрим примеры работы калькулятора

Разложение на квадраты

Зачем складывать квадраты целых чисел? Почему бы не складывать их кубы или 33-е степени? Эти вопросы встают перед каждым математиком, занимающимся теорией чисел. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов — классическая задача теории чисел, за которой стоит исследование делимости. В целом задача эта обратна теме данной статьи: вопрос ставится таким образом, что математик должен вычислить, раскладывается ли данное число на сумму двух квадратов. Некоторые ученые идут дальше и пытаются раскладывать числа на суммы квадратов последовательных чисел. Мы же просто попробуем сложить некоторые квадраты и посмотрим, что получится в результате. Итак, введем в калькулятор следующие пары чисел:

  • 5 и 0 = 25;
  • 1 и 4 = 25;
  • 8 и 1 = 64;
  • 4 и 7 = 64.

Как видите, разные пары чисел дают один и тот же результат. Кроме того, сами числа 25 и 64 являются квадратами 5 и 8 соответственно. Магия теории чисел, которую трудно применить в каких-нибудь бытовых расчетах.

Гипотенуза 5-мерного тетраэдра

Представим еще менее реальную задачу. Пятимерный тетраэдр или 5-мерный симплекс — это обобщение треугольника для пятимерного пространства. Такие причудливые идеи используются в квантовой физике, теории относительности и барицентрическом исчислении, но для решения некоторых задач от вас не потребуется глубоких знаний высшей математики. К примеру, гипотенуза пятимерного тетраэдра рассчитывается по достаточно простой формуле:

f2 = a2 + b2 + c2 + d2,

где a, b, c, d – стороны симплекса.

Для решения такой задачки достаточно ввести четыре значения в форму онлайн калькулятора и вычислить квадратный корень из результата. Допустим, стороны симплекса в условных единицах имеют следующие значения: 1, 2.3, 3/5, 0,85. Введем этим данные в ячейку через пробел и получим 7,3725. Теперь вычислим квадратный корень и выясним, что гипотенуза пятимерного симплекса равна 2,715.

Заключение

Сумма квадратов нескольких чисел — нестандартная задача, которая вряд ли встретится в обычных бытовых расчетах, как-то вычисление диаметра дачного ограждения или площади пиццы. Для нетривиальных математических расчетов вам пригодится наша программа, которая быстро вычислит сумму квадратов сколько угодно большого количества целых и рациональных чисел.

Источник

Вот моё решение на Питоне, перебирает меньшее из двух чисел в отрезке [1, sqrt(n)] а второе вычисляет по формуле, находит все ответы для максимальной из найденных сумм, для максимального числа 10^9 отрабатывает алгоритм мгновенно.

Вот код на Питоне, можно запустить онлайн:

n = 1000000000
sqrt_n = int(n ** 0.5)
max_sum = 0
result = []

for i in range(1, sqrt_n + 1):
    j = int((n - i * i) ** 0.5)
    if j < i:
        break
    s = i * i + j * j
    if (s > max_sum):
        max_sum = s
        result = []        
    if (s == max_sum):
        result.append((i, j))

print(max_sum, result)

Вот какой вывод для примера 10^9:

1000000000 [(1200, 31600), (7696, 30672), (10000, 30000), (18000, 26000), (19920, 24560)]

Источник


Цитировать:

Мамарахмонов Н.М., Мамарахмонов М.Х. Решение формулы суммы квадратов двух чисел // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. № 8(77). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10642 (дата обращения: 26.05.2023).

АННОТАЦИЯ

В настоящей статье нами впервые предложено решение формулы сокращенного произведения, которая может широко применена в решении различных математических задач, равенств и неравенств, а также для упрощения сложных алгебраических выражений, имеющих широкое практическое применение в науке и технике.

ABSTRACT

In this article, we first proposed a solution to the abbreviated product formula, which can be used in solving various mathematical problems, equalities and inequalities, as well as to simplify complex algebraic expressions that have wide practical applications in science and technology.

Ключевые слова: формулы сокращенного произведения, сумма квадратов двух чисел.

Keywords: formulas of short multiplication, sum of squares two numbers.

Известно, что при решении задач во всех разделах математики очень часто используют формулы сокращенного произведения (ФСУ) [1. 163-182, 2. 115, 3. 134]. Эти формулы удачно используются при упрощении сложных математических выражений, при решении алгебраических, тригонометрических уравнений, неравенств, геометрических задач, учебных и научных проблем различной сложности. Ниже приведены официально всем известные ФСУ в табличном виде, из учебников Алгебры для 7 класса:

Таблица 1.

Формулы сокращенного умножения

Формула

Название

Name

№

(a+b)2=a2+2ab+b2

Квадрат суммы двух чисел

Square of sum

(1)

(a-b)2=a2-2ab+b2

Квадрат разности двух чисел

Square of difference

(2)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Куб суммы двух чисел

Cube of sum

(3)

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

Куб разности двух чисел

Cube of difference

(4)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

Сумма кубов двух чисел

Sum of cubes

(5)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Разность кубов двух чисел

Difference of cubes

(6)

a2-b2=(a-b)(a+b)

Разность квадратов двух чисел

Difference of squares

(7)

a2+b2 = ?

Сумма квадратов двух чисел                              (Примечание: не разлагающаяся на члены) [8]

Sum of squares           (Note: not expands) [8,10]

(8)

Наглядно видно из таблицы 1, что приведенные в ней формулы 1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8 являются формулами-парами, которые отличаются нежели только со знаками у отдельных членов в левой части равенства. Однако, решение для урувнения формулой a2+b2 (8) до настоящего времени ни в официальных источниках, также в учебной и научной литературе не была приведена [1-7]. Тому можно убедиться после ознакомления в электронных интернет учебниках на английском, так и на других языках. В них формула (8) указана как “not expands” – «не разлагающаяся на члены» [8-10]. Также, во всех учебниках для средних образовательных школ по математике, так и в пособиях для ВУЗов Узбекистана, России и Европейских стран, написанные на узбекском, английком, так и на русском языках, формула (8), до настоящего времени обозначается как, “не разлагающаяся на члены”.

В настоящей статье нами впервые предложена конкретное решение для формулы (8), для разложения суммы квадратов двух чисел на многочлены. Она имеет решение следующего вида:

                                       (8)

Доказательство. Результат последовательного произведения многочленов в правой части формулы (8), должны равняться сумме квадратов двух чисел, в левой части равенства. Для этого применяем правила последовательного умножения для многочленов к выражениям в скобках, в правой части равенства:

Примечание. Члены с одинаковыми абсолютными значениями, но с различными знаками взаимно сокращаются, как показано ниже:

;

;

 

В результате упрощения получим результат сумму квадратов двух чисел, идентичный, что в левой части равенства a2+b2.

Конец доказательства.

Предложенная нами формула для суммы квадратов двух чисел (8) является инновационной, новой и имеет в дальнейшем практическое применение как в математике, информатике, ИТ, в точных науках в целом, так и в других отраслях науки и техники.

Список литературы

  1.  Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворов. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений.: под ред. С.А.Теляковского.- М.: «Просвещение». — 2013. — 256 с.
  2. Ш.Алимов,О.Р. Холмухамедов, М.А. Мирзаахмедов. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений.: T.: “Укитувчи”. — 2017. -192 c.
  3. А.У. Абдухамидов, Х.А.Насимов, Ж.Х.Хусанов. Алгебра и основы математического анализа, I-часть, Учебник для Академических лицеев.: T.: “Укитувчи”. — 2008. — 134-с.
  4. Ш.Ш.Ботиров, З.Н.Неъматов, Д.Ф.Орипова. Математика. Сборник тематических вопросов-ответов. Бухара.: “Бухоро”. – 2015. – 24с.
  5. Г. Худойберганов, А.Ворисов, Х.Мансуров, Б.Шоимкулов. Лекции по математическому анализу . T.: “Ворис-нашриёт”. — 2010. — 70 с.
  6. М. Хушвактов. Матемтический анализ. T.: “Янгиюл Полиграф Сервис”.-2008. – 59 с.
  7. П.Е.Данько, А.Г.Паров, Т.Е.Кожевникова. Высшая сатематика в задачах и упражнениях. T.: “Узбек файласуфлари миллий жамияти” – 2007. – 53 с.
  8. Short multiplication formulas/ MathForYou.net [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://www.mathforyou.net/en/formulas/shortmultiplication-formulas/ (Дата обращения 10.08.2020).
  9. Формулы сокращенного умножения многочленов / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://math-https://prosto.ru/?page=pages/fsu/short_multiplication_formula.php
  10. Short multiplication formulas / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: https://www.emathhelp.net/notes/algebra-2/trigonometry/short-multiplication-formulas/ (Дата обращения:10.08.2020).
Источник

Сумма квадратов чисел. Как найти?

пт., 2015-05-29 21:00 — Xobo

Подскажите, как найти сумму квадратов чисел 364^2 + 222^2? Калькулятором пользоваться нельзя. Знаю, что разность квадратов чисел можно разложить по формуле (а-в)(а+в), а формулы для разложения суммы квадратов я не припоминаю.

пт., 2015-05-29 21:48 — солнце

К сожалению, сумму квадратов чисел разложить нельзя, не существует такой формулы. Если калькулятором пользоваться тоже нельзя, то придется перемножать в столбик)))) Каменный век, но ничего не поделаешь.

  • ответить

вс., 2015-05-31 20:05 — turbo19

Согласен, по другому этот пример не решить. Только столбик!

  • ответить

вт., 2015-06-02 21:32 — belost

а^2 + в^2 разложить нельзя. Можно только отдельно 364 и 222 представить как произведение нескольких чисел, каждое возвести в квадрат, а потом перемножить между собой. Но, это сложный процесс.

  • ответить

сб., 2016-02-13 22:21 — Лукас Корсо (не зарегистрирован)

(a+b)^2=(a-b)^2+4ab

364^2+222^2=(332+32)^2+(211+11)^2 = (332-32)^2+4*332*32+(211-11)^2+4*211*11= 90000+4000+4((300+32)*32+(200+11)*11)=… дальше сами.

  • ответить

вс., 2018-07-15 13:38 — Алмазик (не зарегистрирован)

Можно посчитать (364+222)^2, а затем вычесть 2*364*222. Сложно, но в столбик ещё сложнее…

  • ответить

Отправить комментарий

/^^^Вверх^^^^

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти площадь прямоугольника объяснить ребенку
  • Как найти корень уравнения с нулем
  • Как в телеграмме найти адрес своей страницы
  • Как найти сайт киновод
  • Как составить контрольную работу по английскому языку за четверть