Как найти сумму квадратов трех чисел

Sum of squares refers to the sum of the squares of the given numbers, i.e., it is the addition of squared numbers. The squared terms could be two terms, three terms, or “n” number of terms, the first “n” odd or even terms, a series of natural numbers or consecutive numbers, etc. In statistics, the value of the sum of squares tells the degree of dispersion in a dataset. For this, we need to first find the mean of the given data, then the variation of each data point from the mean, square them, and finally, add them. In algebra, we use the (a + b)2 identity to determine the sum of the squares of two numbers. The formula that determines the sum of the squares of the first “n” natural numbers is derived with the help of the sum of the squares of the first “n” natural numbers. We perform these fundamental arithmetic operations, which are necessary for both algebra and statistics. There are various methods to determine the sum of squares of given numbers.

Sum of Squares Formula

The sum of the square formula is appliable for two, three, and up to n terms which are explained below:

Sum of squares for two numbers

Let a and b be two real numbers, then the formula for the addition of squares of the two numbers is given as follows:

 a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab

Proof:

From the algebraic identities, we have,

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Now, subtract 2ab on both sides.

(a + b)2 − 2ab = a2 + 2ab + b2 − 2ab

a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab

Hence, proved.

Sum of squares for three numbers

Let a, b, and c be three real numbers, then the formula for the addition of squares of the three numbers is given as follows:

a2 + b2 + c2 = (a +b + c)2 − 2ab − 2bc − 2ca

Proof:

From the algebraic identities, we have,

(a + b + c)2 = a2 +  b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

By subtracting 2ab, 2bc, and 2ca on both sides, we get,

a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2ab − 2bc − 2ca

Hence, proved

Sum of squares for “n” Natural Numbers

Natural numbers are also known as positive integers and include all the counting numbers, starting from 1 to infinity. If 1, 2, 3, 4,… n are n consecutive natural numbers, then the sum of squares of “n” consecutive natural numbers is represented by 12 + 22 + 32 +… + n2 and symbolically represented as Σn2.

The formula for the sum of squares of the first “n” natural numbers is given as follows:

∑n2 = [n(n+1)(2n+1)]/6

Sum of Squares of First “n” Even Numbers

The formula for the sum of squares of the first “n” even numbers, i.e., 22 + 42 + 62 +… + (2n)2 is given as follows:

∑(2n)2 = 22 + 42 + 62 +… + (2n)2

∑(2n)2 = [2n(n+1)(2n+1)]/3

Sum of Squares of First “n” Odd Numbers

The formula for the sum of squares of the first “n” odd numbers, i.e., 12 + 32 + 52 +… + (2n – 1)2, can be derived using the formulas for the sum of the squares of the first “2n” natural numbers and the sum of squares of the first “n” even numbers.

∑(2n-1)2 = 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2

∑(2n-1)2 = [n(2n+1)(2n-1)]/3

Proof:

∑(2n –1)2 = [12 + 22 + 32 + … + (2n – 1)2 + (2n)2] – [22 + 42 + 62 + … + (2n)2]

Now, apply the formula for the addition of squares of “2n” natural numbers and “n” even natural numbers, and we get;

∑(2n–1)2 = 2n/6 (2n + 1)(4n + 1) – (2n/3) (n+1)(2n+1)

∑(2n–1)2 = n/3 [(2n+1)(4n+1)] – 2n/3 [(n+1)(2n+1)]

Now, take out the common terms.

∑(2n–1)2 = n/3 (2n+1) [4n + 1 – 2n – 2]

∑(2n–1)2 = [n(2n+1)(2n–1)]/3

Hence, proved.

Sum of Squares in Statistics

Sum of squares of n data points = ∑ni=0 (xi – x̄)2

∑ = represents sum
xi = each value in the set
x̄ = mean of the values
xi – x̄ = deviation from the mean value
(xi – x̄)2 = square of the deviation
n = number of terms in the series

In statistics, the value of the sum of squares tells the degree of dispersion in a dataset. It evaluates the variance of the data points from the mean and aids in a better understanding of the data. The large value of the sum of squares indicates that there is a high variation of the data points from the mean value, while the small value indicates that there is a low variation of the data from its mean. Follow the steps given below to find the total sum of squares in statistics.

  • Step 1: Count the number of data points in the given dataset.
  • Step 2: Now, calculate the mean of the given data.
  • Step 3: Subtract each data point from the mean calculated in step 2.
  • Step 4: Now, determine the square of the difference obtained in step 3.
  • Step 5: Finally, add the squares that we have determined in step 4.

Solved Examples based on Sum of Squares

Example 1: Find the sum of the given series: 12 + 22 + 32 +…+ 552.

Solution:

To find the value of 12 + 22 + 32 +…+ 552.

From the sum of squares formula for n terms, we have

∑n2 = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = [n(n+1)(2n+1)] / 6

Given, n = 55

= [55(55+1)(2×55+1)] / 6

= (55 × 56 × 111) / 6

= 56,980‬

Thus, the sum of the given series is 56,980‬.

Example 2: Find the value of (32 + 82), using the sum of squares formula.

Solution:

To find the value of 32 + 82

Given: a = 3 and b = 8.

From the sum of squares formula, we have

a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab

⇒ 32 + 82 = (3 + 8) 2 − 2(3)(8)

= 121 – 2(24)

= 121 − 48

= 73.

Hence, the value of (32 + 82) is 73.

Example 3: Find the sum of squares of the first 25 even natural numbers.

Solution:

To find the value of 22 + 42 + 62 +… + 482+ 502.

= 22( 12 + 22 + 32 +…+252)

From the sum of squares formula for n terms, we have

∑n2 = [n(n+1)(2n+1)]/6

Here, n = 25

22( 12 + 22 + 32 +…+252) = 4[25(25+1)(2(25)+1)/6]

= (2/3) × (25) × (26) × (51)

= 22,100

Hence, the sum of squares of the first 25 even natural numbers is 22,100.

Example 4:  A dataset has points 2, 4, 13, 10, 12, and 7. Find the sum of squares for the given data.

Solution: 

Given: We have 6 data points 2, 4, 13, 10, 12, and 7.

The sum of the given data points = 2 + 4 + 13 + 10 + 12 + 7 = 48. 

The mean of the given data is given by,

Mean, x̄ = Sum / Number of data points

= 48 / 6

= 8

So, the sum of squares is given by,

∑ni=0 (xi – x̄)2 = (2 – 8) 2 + (4 – 8) 2 + (13 – 8) 2 + (10 – 8) 2 + (12 – 8) 2 + (7 – 8) 2

= (–6)2 + (–4)2 + (5)2 + (2)2 + (4)2 + (–1)2

= 36 + 16 + 25 + 4 + 14 + 1

= 96

Hence, the sum of squares for the given data is 96.

Example 5: Calculate the sum of the squares of 4, 9, and 11 using the sum of squares formula for three numbers.

Solution: 

To find the value of 4, 9, and 11.

Given, a = 4, b = 9, and c = 11.

From the sum of squares formula, we have

a2 + b2 + c2 = (a + b +c)2 − 2ab − 2bc − 2ca

42 + 92 + 112 = (4 + 9 + 11)2 −(2×4×9) − (2×9×11) − (2×11×4)

= 576 − 72 − 198 − 88

= 218

Hence, the value of (42 + 92 + 112) is 218.

Example 6: Find the sum of squares of the first 10 odd numbers.

Solution:

The sum of squares of the first 10 odd numbers: 12 + 32 + 52 +… +172 + 192

We know that,

The sum of squares of first “n” Odd Numbers ∑(2n–1)2 = [n(2n+1)(2n–1)]/3

Here, n is 10.

= [10×(2×10 + 1)(2×10 – 1)]/3

= [10 × 21 × 19]/3

= 10 × 7 × 19 = 1,330

Hence, the value of the sum of squares of the first 10 odd numbers is 1330.

FAQs based on Sum of Squares

Question 1: What is the Sum of Squares Error?

Answer:

Sum of squares error, also known as the residual sum of squares, is the difference between the actual value and the predicted value of the data.

Question 2: What Is the Expansion of Sum of Squares Formula?

Answer:

a2 + b2 formula is known as the sum of squares formula in algebra and it is read as a square plus b square. Its expansion is expressed as a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab.

Question 3: Write the Sum of Squares Formula used in Algebra.

Answer: 

The sum of squares formula used in algebra are:

  • a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
  • a2 + b2 + c2 = (a +b + c)2 − 2ab − 2bc − 2ca

Question 4: Write the sum of squares of the first five even numbers.

Answer:

The sum of squares of the first five even numbers is given by:

∑(2n)2 = [2n(n+1)(2n+1)]/3

putting n = 5

∑(2×5)2 = [2×5×(5+1)×(2×5+1)]/3

             = 220

Источник

Сумма квадратов чисел — математическое выражение, для которого не существует формулы сокращенного умножения. На практике иногда требуется быстро прикинуть сумму нескольких квадратов, однако без математических хитростей такое выражение подсчитать достаточно трудно.

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения расчетов в математике используются специальные формулы сокращенного умножения, которые, по сути, представляют собой частные случаи бинома Ньютона. При помощи таких формул легко вручную подсчитать, например, квадрат суммы или разности вида:

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Существует множество формул для решения подобных выражений, и дело не ограничивается квадратами. При помощи формул легко подсчитать куб разности или сумму многочленов n-ной степени. Мы легко можем подсчитать даже выражение (a + b + c)3, однако формулы сокращенного умножения для простого выражения как:

a2 + b2

в учебниках по математике вы не найдете. Естественно, она есть для комплексных чисел, тех самых, с которыми мы знакомимся в университетском курсе математического анализа. Выглядит эта формула достаточно жутко:

a2 + b2 = (a + ib) × (a — ib),

где i – легендарная мнимая единица, которая рассчитывается как квадратный корень из минус единицы.

В школьных примерах продвинутые ребята негласно используют формулу, которая не входит в пантеон формул сокращенного умножения:

a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab.

Эта формула идеально подходит только для вычисления суммы квадратов двух целых чисел. Но что делать, если на практике требуется сложить сумму нескольких квадратов или рациональных чисел? Здесь на сцене появляется наша программа.

Наша программа позволяет сложить сколько угодно квадратов целых и рациональных чисел. Для вычислений вам потребуется ввести числа в ячейку, отделив их пробелом. Десятичные дроби записываются и с точкой, и с запятой. Рациональные числа записываются через / (слэш). Итак, вы можете подсчитать сумму нескольких квадратных чисел, но для чего это вообще нужно?

Рассмотрим примеры работы калькулятора

Разложение на квадраты

Зачем складывать квадраты целых чисел? Почему бы не складывать их кубы или 33-е степени? Эти вопросы встают перед каждым математиком, занимающимся теорией чисел. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов — классическая задача теории чисел, за которой стоит исследование делимости. В целом задача эта обратна теме данной статьи: вопрос ставится таким образом, что математик должен вычислить, раскладывается ли данное число на сумму двух квадратов. Некоторые ученые идут дальше и пытаются раскладывать числа на суммы квадратов последовательных чисел. Мы же просто попробуем сложить некоторые квадраты и посмотрим, что получится в результате. Итак, введем в калькулятор следующие пары чисел:

  • 5 и 0 = 25;
  • 1 и 4 = 25;
  • 8 и 1 = 64;
  • 4 и 7 = 64.

Как видите, разные пары чисел дают один и тот же результат. Кроме того, сами числа 25 и 64 являются квадратами 5 и 8 соответственно. Магия теории чисел, которую трудно применить в каких-нибудь бытовых расчетах.

Гипотенуза 5-мерного тетраэдра

Представим еще менее реальную задачу. Пятимерный тетраэдр или 5-мерный симплекс — это обобщение треугольника для пятимерного пространства. Такие причудливые идеи используются в квантовой физике, теории относительности и барицентрическом исчислении, но для решения некоторых задач от вас не потребуется глубоких знаний высшей математики. К примеру, гипотенуза пятимерного тетраэдра рассчитывается по достаточно простой формуле:

f2 = a2 + b2 + c2 + d2,

где a, b, c, d – стороны симплекса.

Для решения такой задачки достаточно ввести четыре значения в форму онлайн калькулятора и вычислить квадратный корень из результата. Допустим, стороны симплекса в условных единицах имеют следующие значения: 1, 2.3, 3/5, 0,85. Введем этим данные в ячейку через пробел и получим 7,3725. Теперь вычислим квадратный корень и выясним, что гипотенуза пятимерного симплекса равна 2,715.

Заключение

Сумма квадратов нескольких чисел — нестандартная задача, которая вряд ли встретится в обычных бытовых расчетах, как-то вычисление диаметра дачного ограждения или площади пиццы. Для нетривиальных математических расчетов вам пригодится наша программа, которая быстро вычислит сумму квадратов сколько угодно большого количества целых и рациональных чисел.

Источник

Сумма трех квадратов

Задача.

Известно,
что число n является суммой
квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число n2 тоже является суммой квадратов трёх натуральных
чисел.

Решение.

Для трех натуральных чисел, суммой квадратов которых является число n, выберем обозначения a,b,c так,
чтобы соблюдалось условие a ≥ b ≥ c. Тогда: 

1) n = a2 + b2 + c2  ;

2) a2 + b2
– c2 > 0, т.е. a2 + b2 – c2 также является натуральным числом.  

Можно
n2 преобразовать
следующим образом:

 n2 = (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 = (a4
+ b4 + c4 + 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2) + 4b2c2 + 4a2c2 = (a2
+ b2 – c2)2 + (2bc)2 + (2ac)2.

Ресурсы:

Задача 107978

Источник

Сумма квадратов




Сумма квадратов встречается в ходе преобразования числовых и буквенных выражений. Как с ней работать?

Поскольку сумма квадратов является составной частью формул полного квадрата суммы и разности, можно попробовать применить одну из этих формул.

Формула полного квадрата суммы состоит из трёх слагаемых — сумма квадратов двух слагаемых плюс удвоенное произведение этих слагаемых. Следовательно, для получения полного квадрата к сумме квадратов двух выражений следует прибавить удвоенное произведение этих выражений, и, чтобы выражение не изменилось, вычесть это произведение:

    [{a^2} + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} - 2ab = ]

    [ = {(a + b)^2} - 2ab.]

Аналогично, для получения полного квадрата разности следует из суммы квадратов двух выражений вычесть удвоенное произведение этих выражений и тут же прибавить его:

    [{a^2} + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2} + 2ab = ]

    [ = {(a - b)^2} + 2ab.]

Рассмотрим, как эти рассуждения могут быть применены на практике.

Дано:

    [{x^2} + frac{9}{{{x^2}}} = 10]

Найти:

    [x + frac{3}{x}]

Решение:

    [{x^2} + frac{9}{{{x^2}}} = {x^2} + 2 cdot x cdot frac{3}{x} + {(frac{3}{x})^2} - 2 cdot x cdot frac{3}{x} = ]

    [ = {(x + frac{3}{x})^2} - 6]

Теперь используем данные условия:

    [{(x + frac{3}{x})^2} - 6 = 10]

    [{(x + frac{3}{x})^2} = 16]

Получили неполное квадратное уравнение.Отсюда

    [x + frac{3}{x} = 4;x + frac{3}{x} = - 4]

Ответ:-3;-1; 1; 3.

Эти рассуждения применяются, например, в приложении теоремы Виета, когда не решая квадратного уравнения, требуется найти сумму квадратов его корней и т.п.

Источник
Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Вспомним формулу квадрата суммы двух чисел:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов двух выражений плюс удвоенное произведение первого на второе.

Математическая запись будет выглядеть так ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Алгоритм нахождения квадрата суммы двух выражений

  1. Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.

    Если одно из слагаемых является одночленом, то необходимо воспользоваться формулой возведения в степень произведения $степень$

    Если выражение является одночленом, степень которого больше первой так же необходимо воспользоваться и правилом возведения степени в степень: при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степени перемножаются

  2. Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

  3. Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пример 1

${({3а}^2+5)}^2$

Решение: воспользуемся алгоритмом нахождения квадрата суммы двух выражений

1.Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.

[{(3а^2)}^2=3^2cdot {(a^2)}^2=9a^4][5^2=25]

2.Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

[2cdot 3acdot 5=30a]

3.Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.

[{({3а}^2+5)}^2=9a^4+30a+25]

Переход к квадрату суммы трех чисел

Пример 2

Преобразовать $ {({2а}^2+3a+5)}^2$

Решение: Сгруппируем второе и третье слагаемое многочлена, тогда получим выражение:$ {({2а}^2+(3a+5))}^2$

Теперь для преобразования нам уже надо возвести в квадрат суммы двух выражений, а не трех, как было в исходном задании. Воспользуемся алгоритмом

1.Возвести первое и второе слагаемое в квадрат.

[{{(2а}^2)}^2=2^2cdot ({a^2)}^2=4a^4][{(3a+5)}^2=9a^2+30a+25]

2.Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

$2cdot {2а}^2cdot left(3a+5right)=4а^2cdot left(3a+5right)=4а^2cdot 3a+4а^2cdot 5=12а^3+20а^2$

В данных преобразованиях был применен прием умножения одночлена на число и умножение одночлена на многочлен.

3.Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.

[{({2а}^2+(3a+5))}^2=4a^4+ 12а^3+20а^2+9a^2+30a+25]

Тогда в итоге получим:

[{({2а}^2+3a+5)}^2=4a^4+9a^2+25+12а^3+20а^2+30a]

Проанализируем полученный результат сопоставив каждый член полученного многочлена с исходными.

[4a^4={{(2а}^2)}^2 9a^2={(3a)}^2 25=5^2 12а^3=2* {2а}^2*3a] [20а^2=2cdot {2а}^2cdot 5 30a=2cdot 3acdot 5]

Значит полученный результат мы можем записать в виде:

[{left({2а}^2+3a+5right)}^2={{(2а}^2)}^2+{left(3aright)}^2+5^2+2cdot {2а}^2cdot 3a+2cdot {2а}^2cdot 5+2cdot 3acdot 5]

Отсюда выведем формулу для возведения в квадрат суммы трех слагаемых. Математическая запись будет выглядеть так:

${left(a+b+cright)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2textit{ac}+2 textit{bc}$

Т.е квадрат суммы трех слагаемых равен сумме квадратов данных выражений плюс удвоенные попарные произведения этих слагаемых

Сформулируем алгоритм возведения в квадрат суммы трех слагаемых:

1.Возвести в квадрат каждое слагаемое, входящее в состав исходного многочлена

2.Найти попарные произведения всех слагаемых

3.Составить сумму выражений, входящих найденных в п.1,2

«Квадрат суммы нескольких слагаемых» 👇

Пример 3

Преобразовать $ {({8x}^2+7y+5z)}^2$

Решение: Воспользуемся алгоритмом возведения в квадрат суммы трех слагаемых

Возведем в квадрат каждый одночлен, входящий в состав исходного многочлена

[{{(8x}^2)}^2={64x}^4][({7y)}^2=49y^4] [{(5z)}^2={25z}^2]

Обратите внимание, что для того чтобы возвести в квадрат мы воспользовались свойствами степеней:

1) возведением произведения в степень $при$

возведения в степень произведения $и$

переменную возводили в квадрат

2) возведение степени в степень ${{(a}^n)}^m=a^{ncdot m}$- т.е. при возведении степени в степень основание остается, а показатели перемножаются. Поэтому =$x^4$

Найдем попарные произведения всех слагаемых

Первого и второго: $2cdot {8x}^2cdot 7y=112x^2y$

Первого и третьего: $2cdot {8x}^2cdot 5z={80x}^2z$

Второго и третьего: $2cdot 7ycdot 5z= 70yz$

Составить сумму выражений, входящих найденных в п.1,2

${({8x}^2+7y+5z)}^2={{(8x}^2)}^2+({7y)}^2+{left(5zright)}^2+2cdot {8x}^2cdot 7y+2cdot {8x}^2cdot 5z+2cdot 7ycdot 5z={64x}^4+49y^4+{25z}^2+112x^2y +{80x}^2z+70yz$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти административное право
  • Как в вайбере найти контакт группы
  • Как найти скорость звука в чугуне
  • Как найти радиус зная площадь шестиугольника
  • Как составить заявление в суд об отмене мер по обеспечению иска