Как найти сумму многочленов 7 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Сложение и вычитание многочленов

Поддержать сайт

При сложении и вычитании многочленов важно уметь использовать правила раскрытия скобок.

Рассмотрим два случая раскрытия скобок:

когда перед скобками стоит знак «+»;
когда перед скобками стоит знак «−».

Правила раскрытия скобок

Запомните!

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно просто опустить скобки.

Все знаки у одночленов внутри сохраняются.

Рассмотрим пример. Раскрыть скобки:

3x² − 5xy − 7x²y + (5xy − 3x² + 8x²y) =
3x² − 5xy − 7x²y + 5xy − 3x² + 8x²y

Запомните!

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «−»,
нужно опустить скобки и заменить все знаки одночленов
внутри скобок на противоположные.

Рассмотрим пример. Раскрыть скобки:

7t³ − 4p − (2t − tn + t) =
7t³ − 4p − 2t + tn − t

Обратите внимание, так как в этом примере перед скобками стоит знак «−»,
при раскрытии скобок все одночлены поменяли знаки на противоположные.

Как складывать и вычитать многочлены

Важно!

Чтобы сложить или вычесть многочлены нужно:

раскрыть скобки по правилам раскрытия скобок;
максимально привести подобные.

Результат суммы и разности двух многочленов является многочленом.

Рассмотрим пример. Найти разность многочленов.
3a² + 8a − 4 и 3 + 8a − 5a²

Запишем пример. Не забудем заключить весь второй многочлен в скобки.
3a² + 8 a − 4 − (3 + 8a − 5a²) =
3a² + 8 a − 4 − 3 − 8 a + 5a²
Теперь подчеркнем и приведем подобные.

3a² +
8a
− 4

− 3−
8a +
5a² =

3a² + 5a² +

8a − 8a
− 4 − 3 =
8a² − 7
Запишем окончательное решение.

3a² + 8 a − 4 − (3 + 8a − 5a²) =

3a² +
8a
− 4

− 3−
8a +
5a² =

3a² + 5a² +

8a − 8a
− 4 − 3 =
8a² − 7

Примеры сложения и вычитания многочленов

Найти сумму многочленов
4x − 1 и 5 − 3x

4x − 1 + (5 − 3x) =
4x − 1 + 5 −
3x =
4x − 3x − 1 + 5
= x + 4
Найти разность многочленов
2с и −b + с
2с − (−b + c)
= 2c
+ b − с =
2с − с + b = с + b
Найти разность многочленов
−x² и 4ax + x²
−x² − (4ax + x²) =
−x² − 4ax −
x² =
−x² − x² −4ax
= −2x² −
4ax

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Алгебра

7 класс

Урок № 20

Сумма и разность многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

Алгебраические выражения.
Многочлен.
Сумма и разность многочленов.
Стандартный вид многочлена.
Правила раскрытия скобок (заключения в скобки).

Тезаурус.

Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представлен произведением числового множителя и натуральных степеней разных переменных.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из произведения одних и тех же степеней, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, являющийся слагаемым многочлена, называют членом многочлена.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами следующее выражение 123+5 и 45-89. Можем ли между ними поставить знаки «+» или «–» и, соответственно, найти значение полученного выражения?

Конечно, да.

123 + 5 и 45 – 89

(123 + 5) + (45 – 89) = 84

(123 + 5) – (45 – 89) = 172

Оказывается, аналогичные арифметические операции можно выполнять и с многочленами, т.е. найти сумму и разность многочленов.

Посмотрим, как можно выполнить данные действия с многочленами.

Найдём многочлен равный сумме многочленов. Как это сделать?

Оказывается, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, сумма многочленов (а + с) и (k + х) равна многочлену (а + с) + (k + х) или а + с + k + х. Последний переход от левой части к правой называют раскрытием скобок.

Найдём многочлен равный разности многочленов. Как это сделать?

Оказывается, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, разность двух многочленов а + с и k + х равна многочлену (а + с) – (k + х) или а + с – k – х. Последний переход от левой части к правой, так же как и при нахождении суммы, называют раскрытием скобок.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых, заключённых в скобки.

Например:

(а + с) + (х – у) = а + с + х – у

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки, на противоположный.

Например:

(а + с) + (х – у) = а + с – х + у

Стоит обратить внимание, что если перед скобками нет никакого знака, то подразумевается, что стоит знак плюс.

Например,

(d + k) – (m + n) = d + k – m –n

Обратный переход от правой части к левой в похожих выражениях называют заключением в скобки.

Рассмотрим правило заключения в скобки:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобки все его члены с теми же знаками.

Например:

а – с – k – х = (а – с) + (-k – х)

А чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками.

Например:

а – с – k – х = (а – с) – (k + х)

Рассмотрим, как использовать эти правила для преобразования многочлена в стандартный вид. Пример:

Преобразуем разность многочленов в многочлен стандартного вида

( 5а– 4х + 15) – (10а + 13х – 14) = 5а- 4х + 15 – 10а – 13х + 14 = -5а – 17х + 29

Для выполнения задания, сначала будем использовать правило раскрытия скобок при нахождении разности многочленов. А затем приведём полученный многочлен к стандартному виду.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как найти сумму и разность многочленов и, используя правило раскрытия скобок, приводить многочлен к стандартному виду.

Задание на сумму и разность многочленов.

Выполним следующее задание по теме: «Сумма и разность многочленов».

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна 9х – 4.

Решение:

Данное задание можно выполнить следующим образом.

Назовем неизвестный многочлен у, тогда можно составить следующее выражение, исходя из условия.

у + (3х + 1) = 9х -4

Найдём отсюда у

у = (9х – 4) – (3х + 1)

Раскроем скобки по правилу раскрытия скобок.

у = 9х – 4 – 3х + 1

Приведём многочлен к стандартному виду.

у = 6х – 3

Это и есть тот многочлен, который удовлетворяет условию задания.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Приведите многочлен к стандартному виду (аt² – 5t²) – (10хt – 4t²) + (5хt + 11аtt).

Решение: Для решения задания, вспомним правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–». Если знак «+», то скобки можно опустить, не меняя знак, а если перед скобкой знак «–», то скобки можно опустить, меняя знак каждого слагаемого в скобках. Далее приведём к стандартному виду полученный многочлен, выделив в нём подобные члены.

(аt² – 5t²) – (10хt – 4t²) + (5хt + 11аtt) = аt² – 5t² – 10хt + 4t² + 5хt +11аt²= 12аt² – t² – 5хt.

Ответ: 12аt² – t² – 5хt

2. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

3x⁴ – 12x³ – 3x²+ 5x – 14

Варианты ответов:

(3x⁴ – 12x³ – 3x²) + (5x – 14)
(3x⁴ – 12x³) – (3x²+ 5x – 14)
(3x⁴ – 12x³) – (3x²– 5x + 14)

Решение:

При выполнении задания можно сначала проанализировать ответы. По условию выражение должно быть составлено в виде разности двучлена и трехчлена. Поэтому первый ответ не подходит, т. к. в нём представлена сумма.

Ответы два и три очень похожи. Для нахождения верного ответа, заключим в скобки исходное выражение, как в ответах 2 и 3. Т. к. мы найдем разность, то по правилу заключения в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками. Поэтому правильный ответ №3.

3x⁴ – 12x³ – 3x²+ 5x – 14 = (3x⁴ – 12x³) – (3x²– 5x + 14)

Ответ: (3x⁴ – 12x³) – (3x²– 5x + 14).

Источник

Сложение многочленов выполняем следующим образом: раскрываем скобки и

приводим подобные члены полученного многочлена.

Обрати внимание!

В итоге получаем многочлен!

Пример:

выполни сложение многочленов

−7a2+2ab+3b2

−4b2−2ab+3a2

Решение:

1) записываем сумму многочленов и раскрываем скобки (перед скобкой нет минуса, поэтому знаки сохраняем):

(()

−7a2+2ab+3b2

()+()

−4b2−2ab+3a2

()=)

−7a2+2ab+3b2−4b2−2ab+3a2

;

2) складываем подобные члены многочлена:

−7a2¯+2ab+3b2¯¯−4b2¯¯−2ab+3a2¯=−4a2−b2

Источник

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Алгебра
Сложение и вычитание многочленов

Советуем посмотреть:

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Функции

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Номер 309,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 324,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 327,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 328,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 332,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 334,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 377,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1152,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1153,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 10,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 204,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Источник

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Сложим многочлены ${3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5$ и ${6b}^6-{ab}^5+{3a}^5$

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

[left({3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5right)+({6b}^6-{ab}^5+{3a}^5)]

Раскроем скобки:

[{3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6-{ab}^5+{3a}^5]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

[{2ab}^5+ {12b}^6+{16a}^5]

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при сложении в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Пример 2

Сложим многочлены ${3ab}^5- {6b}^6+{13a}^5$ и ${6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5$

Запишем эти многочлены как сумму:

[left({3ab}^5- {6b}^6+{13a}^5right)+({6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5)]

Раскроем скобки:

[{3ab}^5- {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

[{4ab}^5]

Получили одночлен.

Разность многочленов

Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример.

Пример 3

Вычтем из многочлена ${3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5$ многочлен ${6b}^6-{ab}^5+{3a}^5$.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

[left({3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5right)-({6b}^6-{ab}^5+{3a}^5)]

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

[{3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5-{6b}^6+{ab}^5-{3a}^5]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

[{4ab}^5+{10a}^5]

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при вычитании одного многочлена из другого в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Пример 4

Вычтем из многочлена ${3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5$ многочлен ${1{3a}^5-6b}^6+3{ab}^5$.

Запишем эти многочлены как разность:

[left({3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5right)-(1{3a}^5+-{6b}^6+3{ab}^5)]

Раскроем скобки:

[{3ab}^5+ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6-3{ab}^5-1{3a}^5]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

[{12b}^6]

Получили одночлен.

«Сумма и разность многочленов» 👇

Примеры задач на сложение и вычитание многочленов

Пример 5

Упростить следующие выражения:

а) $left(x^2-45x+12right)+left(8x^2-12xright)-(16x^2-2x)$

б) $left(a^2-a-3right)-left(a^2+4right)-(2a-7)$

в) $left(6ab-2a^2right)-left(3ab+4a^2+1right)-(-ab-2a^2-1)$

г) $-left(2xy^2-xy+yright)+3xy^2-4y-(5xy-xy^2)$

д) $left({8m}^3-3m^2right)-(7+{8m}^3-2m^2)$

Решение:

а) $left(x^2-45x+12right)+left(8x^2-12xright)-(16x^2-2x)$

Для начала раскроем скобки:

[x^2-45x+12+8x^2-12x-16x^2+2x]

Теперь приведем подобные слагаемые, получим:

[{-7x}^2-55x+12]

б) $left(a^2-a-3right)-left(a^2+4right)-(2a-7)$

Раскроем скобки:

[a^2-a-3-a^2-4-2a+7]

Приведем подобные слагаемые, получим:

[-3a]

в) $left(6ab-2a^2right)-left(3ab+4a^2+1right)-(-ab-2a^2-1)$

Раскроем скобки:

[6ab-2a^2-3ab-4a^2-1+ab+2a^2+1]

Приведем подобные слагаемые, получим:

[4ab-4a^2]

г) $-left(2xy^2-xy+yright)+3xy^2-4y-(5xy-xy^2)$

Раскроем скобки:

[-2xy^2+xy-y+3xy^2-4y-5xy+xy^2]

Приведем подобные слагаемые, получим:

[2xy^2-4xy-5y]

д) $left({8m}^3-3m^2right)-(7+{8m}^3-2m^2)$

Раскроем скобки:

[{8m}^3-3m^2-7-{8m}^3+2m^2]

Приведем подобные слагаемые, получим:

[-m^2-7]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник