iSopromat.ru
Правила знаков для моментов и проекций сил на оси координат:
Правило знаков проекций сил
То есть, для уравнений сумм проекций сил на оси:
Проекции сил и нагрузок на координатную ось имеющие одинаковое направление принимаются положительными, а проекции усилий противоположного направления – отрицательными.
Например, для такой схемы нагружения:
уравнение суммы сил имеет вид
А так как суммы проекций разнонаправленных сил равны, то данное уравнение можно записать и так:
Здесь F(q) – равнодействующая от распределенной нагрузки, определяемая произведением интенсивности нагрузки на ее длину.
Правило знаков для моментов
Сосредоточенные моменты и моменты сил стремящиеся повернуть систему относительно рассматриваемой точки по ходу часовой стрелки записываются в уравнения с одним знаком, и соответственно моменты, имеющие обратное направление с противоположным знаком.
Например, для суммы моментов относительно точки A
или, что одно и то же
Здесь m(F) – моменты сил F относительно точки A.
M(q) – моменты распределенных нагрузок q относительно рассматриваемой точки.
При составлении уравнений статики для систем находящихся в равновесии (например при определении опорных реакций) правила знаков могут быть упрощены до следующего вида:
Нагрузки направленные в одну сторону принимаются положительными, а соответственно, нагрузки обратного направления записываются со знаком минус.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Как определить реакции в опорах?
Привет! В этой статье, предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции в опорах, и этому уделяют особое внимание на термехе. А курс термеха, по традиции, читают до сопромата. Для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.
Что такое реакция опоры?
Реакция опоры – это та сила, которая возникает в опоре от действия внешней нагрузки. В зависимости от конструкции опоры и ее назначения, в ней может появляться разное количество реакций, это может быть как сила, так и момент.
В начале этой статьи, расскажу о том, что должен уже уметь читатель, для успешного освоения данного урока. Если у Вас есть проблемы по поднятым вопросам на старте статьи, переходите по ссылкам на другие материалы на нашем сайте, после чего возвращайтесь к нам на чай реакции. Во второй части статьи, посмотрим, как вычисляются реакции на простейшем примере – балки, загруженной по центру сосредоточенной силой. Тут я покажу, как пользоваться уравнениями равновесия статики, как их правильно составлять. Дальше по плану, научу учитывать распределенную нагрузку, на примере той же балки. И завершать данный урок, будет пример определения реакций для плоской рамы, загруженной всевозможными типами нагрузок. Где применим уже все фишки, о которых я буду рассказывать по ходу урока. Что же, давайте начнем разбираться с реакциями!
Что вы должны уже уметь?
В этом блоке статье, я расскажу, как и обещал, что Вы должны УЖЕ уметь, чтобы понять то, что я буду докладывать дальше, про реакции опор.
Должны уметь находить сумму проекций сил
Да, это то, что Вам когда-то рассказывали на термехе, как собственно, и опорные реакции. Если Вы шарите немного в этих проекциях, то можете смело переходить к следующему пункту. Если же нет, то специально на этот случай, у меня есть другая статья, про проекции сил. Переходите, просвещайтесь, после чего, обязательно, возвращайтесь сюда!
Должны уметь составлять сумму моментов относительно точки
Немного теории! Познакомимся для начала с самим понятием момент силы. Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр. Проиллюстрирую написанное:
На изображении показано, как определить момент силы F, относительно точки O.
Так же, для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Сила относительно точки может поворачивать как по часовой стрелке, так и против нее. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:
- Если сила относительно точки крутит ПРОТИВ часовой стрелке, то момент положительный.
- Если она крутит ПО часовой стрелки, то соответственно момент отрицательный.
Причем, это правило условно! Какое правило Вы будете использовать совсем не важно, результат получите тот же самый. В теоретической механике, к примеру, делают также как я рассказываю.
Должны разбираться в основных видах опор
Теперь поговорим о самих опорах. В этой статье, будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.
Шарнирно-подвижная опора препятствует вертикальному перемещению элементу конструкции, в связи с чем, в ней, под действием внешней нагрузки возникает вертикальная реакция. Обозначают ее обычно как Ri, где i — точка крепления опоры.
Шарнирно-неподвижная опора имеет две реакции: вертикальную и горизонтальную. Так как препятствует перемещению в этих двух направлениях.
Вообще-то способов закрепления элементов конструкций и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их рассматривать не будем.
Примеры определения сил реакций опор
Вроде, всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнем с простейшей расчетной схемы балки.
Определение реакций опор для балки
Возьмем балку на двух опорах, длиной 2 метра. Загрузим ее, посередине пролета, сосредоточенной силой:
Для этой расчетной схемы, выгодно записать такое условие равновесия: 
То есть, будем составлять две суммы моментов относительно опорных точек, из которых можно сразу выразить реакции в опорах. В шарнирно-неподвижной опоре горизонтальная реакция будет равна нулю, ввиду того, что горизонтальные силы отсутствуют. Последним уравнением, взяв сумму проекций на вертикальную ось, сможем проверить правильность нахождения опорных реакций, это сумма должна быть равна нулю.
Введем систему координат, пустим ось х вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как RA и RB:
Запишем уравнение моментов, относительно точки А. Сила F поворачивает ПО часовой стрелки, записываем ее со знаком МИНУС и умножаем на плечо. Сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем ее со знаком ПЛЮС и умножаем на плечо. Все это приравниваем к нулю:
Из полученного уравнения выражаем реакцию RB.
Первая реакция найдена! Вторая реакция находится аналогично, только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:
После нахождения реакций, делаем проверку:
Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой
Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:
Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно свернуть до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:
Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:
Определение опорных реакций для плоской рамы
Теперь, после освоения азов по расчету реакций, предлагаю выполнить расчет плоской рамы. Для примера, возьмем раму, загруженную всевозможными видами нагрузок:
Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:
- заменяем опоры на реакции;
- сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
- вводим глобальную систему координат x и y.
Для такой расчетной схемы, лучше использовать следующую форму условий равновесия:
Составив первое уравнение, относительно точки A, сразу найдем реакцию в опоре B:
Записав второе уравнение, сумму проекций на ось х, найдем горизонтальную реакцию HA:
И, наконец, третье уравнение, позволит найти реакцию RA:
Не пугайтесь отрицательного значения реакции! Это значит, что при отбрасывании опоры, мы не угадали с направлением этой силы.
Расчет же показал, что RA, направленна в другую сторону:
В итоге, получили следующие реакции в опорах рамы:
Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумму будет равна нулю, то расчет выполнен верно:
Как видим, расчет реакций выполнен правильно!
На этом заканчиваю данный урок. Если у Вас остались какие-то вопросы по нахождению опорных реакций, смело задавайте их в комментариях к этой статье. Обязательно на все отвечу!
Спасибо за внимание! Если понравилась данная статья, расскажите о ней своим одногруппникам, не жадничайте
Также рекомендую подписаться на наши соц. сети, чтобы быть в курсе обновлений материалов проекта.
Момент силы и правило моментов
теория по физике 🧲 статика
Статика — раздел механики, изучающий условия равновесия тел.
Виды равновесия
Устойчивое равновесие
Если тело вывести из устойчивого равновесия, то появляется сила, возвращающая его в положение равновесия. Устойчивому равновесию соответствует минимальное значение потенциальной энергии (Ep min).
Неустойчивое равновесие
Если тело вывести из неустойчивого равновесия, то возникает сила, удаляющая тело от положения равновесия. Неустойчивому равновесию соответствует максимальное значение потенциальной энергии (Ep max).
Безразличное равновесие
При выведении тела из положения безразличного равновесия дополнительных сил не возникает.
Момент силы
Момент силы — векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо силы:
M — момент силы. Единица измерения — Ньютон на метр (Н∙м). Направление вектора момента силы всегда совпадает с направлением вектора силы. d — плечо силы. Единица измерения — метр (м).
Плечо силы — кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.
Пример №1. Стальной шар массой 2 кг колеблется на нити длиной 1 м. Чему равен момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, в состоянии, представленном на рисунке?
Плечом силы тяжести, или кратчайшим путем от прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, до линии действия силы тяжести, будет отрезок, равный максимальному отклонению шара от положения равновесия. Следовательно:
Момент силы может быть положительным и отрицательным.
Если сила вызывает вращение тела по часовой стрелке, то такой момент считают положительным:
Если сила вызывает вращение тела против часовой стрелки, то такой момент считают отрицательным:
Правило моментов
Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:
Иначе правило моментов можно сформулировать так:
Сумма моментов сил, вызывающих вращение тела по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки.
∑ M п о ч а с . с т р . = ∑ M п р . ч а с . с т р .
Условия равновесия тел
∑ → F i = 0 ; → v o = 0
∑ → F i = 0 ; → v o = 0 и ∑ → F i = 0 ; → v o = 0
Простые механизмы
Простые механизмы — приспособления, служащие для преобразования силы. К ним относится рычаг, наклонная плоскость, блоки, клин и ворот.
Наклонная плоскость
| Тело не участвует в поступательном движении: | |
| Тело не участвует во вращательном движении: | |
| Тело находится в состоянии равновесия (не участвует ни в поступательном, ни во вращательном движении) | |
 |
Дает выигрыш в силе. Чтобы поднять груз на высоту h, нужно приложить силу, равную силе тяжести этого груза. Но, используя наклонную плоскость, можно приложить силу, равную произведению силы тяжести на синус угла уклона плоскости: Рычаг |
 |
Дает выигрыш в силе, равный отношению плеча второй силы к плечу первой: F 1 F 2 . . = d 2 d 1 . . Неподвижный блок |
 |
Изменяет направление действия силы. Модули и плечи сил при этом равны: Подвижный блок |
 |
Дает выигрыш в силе в 2 раза: |
 |
Делит силу на две равные части, направление которых зависит от формы клина: |
Золотое правило механики
При использовании простых механизмов мы выигрываем в силе, но проигрываем в расстоянии. Поэтому выигрыша в работе простые механизмы не дают.
Алгоритм решения
Решение
Известна лишь масса батона: m1 = 0,8 кг. Но мы также можем выразить плечи для силы тяжести батона и хлеба. Для этого длину линейки примем за один. Так как линейка поделена на 10 секций, можем считать, что длина каждой равна 0,1. Тогда плечи сил тяжести батона и рыба соответственно равны:
Запишем правило моментов:
Сила тяжести равна произведению массы на ускорение свободного падения. Поэтому:
Отсюда масса рыбы равна:
m 2 = m 1 d 1 d 2 . . = 0 , 8 · 0 , 3 0 , 4 . . = 0 , 6 ( к г )
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Однородный куб опирается одним ребром на пол, другим на вертикальную стену (см. рисунок). Плечо силы трения F → тр «> F тр относительно оси, проходящей через точку О3 перпендикулярно плоскости чертежа, равно.
Алгоритм решения
- Сформулировать определение плеча силы.
- Найти плечо силы трения и аргументировать ответ.
Решение
Плечом силы трения называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Чтобы найти такое расстояние, нужно провести из точки равновесия перпендикуляр к линии действия силы трения. Отрезок, заключенный между этой точкой и линией, будет являться плечом силы трения. На рисунке этому отрезку соответствует отрезок О3В.
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
http://ssopromat.ru/statika/kak-opredelit-reaktsii-v-oporah-dlya-balki/
Рассмотрим решение задачи по составлению и определению суммы моментов внешних сил приложенных к заданной системе относительно её точек.
Задача
К составной планке, показанной на рисунке
приложены следующие нагрузки:
- Внешние сосредоточенные силы F1=10кН и F2=50кН расположенная под углом
- Сосредоточенный момент m=70кНм
- Равномерно-распределённая нагрузка q интенсивностью 20кН/м
Требуется составить и определить алгебраическую сумму моментов относительно точек A, B и D.
Решение
Обозначим характерные точки системы буквами и покажем систему координат x-y.
Для записи и расчета уравнений суммы моментов надо мысленно закрепить систему в рассматриваемой точке и записать все внешние усилия, которые стремятся повернуть систему.
Момент силы определяется по формуле
где h — расстояние от точки до линии действия силы называемое плечом.
Другие видео
При этом, по правилу знаков, нагрузки, поворачивающие систему против хода часовой стрелки записываются положительными и наоборот.
При записи уравнений суммы моментов:
- Силы умножаются на плечо;
- Равномерно распределенные нагрузки умножаются на длину (получается равнодействующая сила), полученное произведение умножается на плечо, которым служит расстояние от её середины до рассматриваемой точки;
- Сосредоточенный момент в сумме моментов записывается как есть (с учётом знака).
Примеры составления суммы моментов сил
Определим алгебраические суммы моментов сил относительно произвольных точек системы.
Для некоторого упрощения решения задачи, распределенную нагрузку можно заменить её равнодействующей
которая при равномерном распределении приложена посередине:
а сосредоточенную силу F2 можно разложить на составляющие, спроецировав её на оси x и y.
Получается упрощенная расчетная схема:
Расчет суммы моментов относительно точки, к которой приложена сила
Для точки A:
Силы Rq и F2X создают момент, вращающий по ходу часовой стрелки, поэтому будут записаны со знаком минус.
Сила F2Y относительно точки A имеет обратное направление и создает положительный момент.
Здесь h1, h2 и h3 плечи моментов соответствующих сил и равнодействующей распределенной нагрузки относительно точки A.
Линия действия силы F1 проходит через саму точку A, следовательно, плечо равно нулю, поэтому момент этой силой в данном случае не создается.
Таким образом, относительно точки A уравнение суммы моментов будет иметь вид:
Здесь сумма моментов относительно точки A отрицательна, поэтому, если данную систему закрепить в этой точке, она будет вращаться по ходу часовой стрелки.
Определение суммы моментов относительно точки, в которой приложен момент
Для точки B надо помнить что момент приложенный в точке, относительно которой записывается сумма, в уравнении участвует.
Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно точки B равна:
Знак «-» так же показывает на вращение системы по ХЧС.
Сумма моментов относительно точки, где действует распределенная нагрузка
Для точки D:
Здесь надо смотреть, как расположена равнодействующая нагрузки по отношению к рассматриваемой точке.
В данном случае она находится справа от точки и направлена вниз, следовательно, создает вращение по ходу часовой стрелки.
Плечом момента нагрузки служит расстояние между равнодействующей и точкой.
Уравнение суммы моментов для точки под распределенной нагрузкой (в точке D) запишется в виде:
Положительный результат показывает вращение системы против ХЧС.
Направления определенных сумм моментов относительно заданных точек
При определении суммы моментов следует помнить, что в отличие от сил и распределенных нагрузок, сосредоточенный момент будет иметь один и тот же знак относительно любой точки системы.
Уравнения суммы моментов можно составить относительно любых других точек системы, в том числе точек, которые лежат вне заданной системы. Но, как правило, при решении задач этого не требуется.
Для статичных, геометрически неизменяемых систем сумма моментов всегда равна нулю.
Другие примеры решения задач статики >
§1. Момент силы относительно центра (или точки)
Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом.
Рассмотрим силу , приложенную в точке А твердого тела (рис. 1). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О. Перпендикуляр h, опущенный из центра O на линию действия силы
, называется плечом силы относительно центра О. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть:
1) от модуля силы F и длины плеча h;
2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силу F;
3) от направления поворота к этой плоскости.
Рис.1. Сила, приложенная к телу
Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается.
Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.
Момент силы относительно центра О будем обозначать M.
Следовательно, М= ±Fh. Единицы измерения в системе СИ : Н·м,
Правило знаков для момента силы: момент пары сил будем считать положительным, если пара стремиться повернуть тело по направлению хода часовой стрелки, и отрицательным, если пара сил стремится вращать тело против хода часовой стрелки.
Отметим следующие свойства момента силы:
1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.
2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).
3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью треугольника ОАВ (рис. 1)
M= ± 2пл.ΔOAB
§2.Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Докажем следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.
Рис.2. Сходящаяся система сил
Рассмотрим систему сил , сходящихся в точке А (рис. 2). Возьмем произвольный центр О и проведем через него ось Ох, перпендикулярную к прямой ОА; положительное направление оси Ох выбираем так, чтобы знак проекции любой из сил на эту ось совпадал со знаком ее момента относительно центра О.
Для доказательства теоремы найдем соответствующие выражения моментов М(), М(), … .
По формуле М() = +2пл.ΔОАВ1. Но, как видно из рисунка, где F1x — проекция силы на ось Ох; следовательно М() = ОА · F1x
Аналогично вычисляются моменты всех других сил.
Обозначим равнодействующую сил , через , где . Тогда, по теореме о проекции суммы сил на ось, получим . Умножая обе части этого равенства на ОА, найдем:
или .
§3. Пара сил. Момент пары
Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по величине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис. 3). Очевидно, и
Рис. 3. Пара сил
Несмотря на то, что сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары:
.
Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары.
Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент её считается отрицательным (как на рис. 3), если по часовой стрелке – положительным.
Для того, чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.
Вектор момента пары направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 4).
Нетрудно доказать, что вектор момента пары – есть вектор этого векторного произведения (рис. 4). И заметим, что он равен вектору момента силы относительно точки А, точки приложения второй силы:
.
Рис.4. Вектор момента пары сил
Видео-урок «Пара сил и ее свойства»
1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил.
2) Найдём сумму моментов сил оставляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис.5).
Рис.5. Пара сил
Покажем радиусы-векторы точек А1 и А2 и вектор , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О
.
Но
. Поэтому .
Но .
Значит .
Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.
Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, равный моменту этой пары
.
3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.
4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах F1=F2=5 H и плече а = 4 см момент пары m = 20 H∙см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см. При этом момент останется прежним 20 Н∙см и действие пары на тело не изменится.
Все эти свойства можно объединить и, как следствие, сделать вывод, что пары с одинаковым вектором момента и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.
Исходя из этого, на расчётных схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом пишут величину момента m (рис. 6). Или, если это пространственная конструкция, показывают только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит вектор момента пары
– свободный вектор. Такое упрощенное изображение оправдано тем, что пара сил характеризуется моментом, а не ее положением в плоскости. Но если необходимо определять не внешние силы, а внутренние в разных сечениях элемента, как это делается в сопротивлении материалов, то важен знак и место приложения пары сил.
Рис.6. Эквивалентные пары сил
И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары равен вектору момента одной из сил её относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z – есть проекция вектора момента пары
на эту ось: , где – угол между вектором и осью z.
Видео-уроки «Эквивалентность пар»
Пусть даны две пары с моментами m1 и m2, расположенные в пересекающихся плоскостях (рис. 7).
Сделаем у пар плечи одинаковыми, равными а = АВ. Тогда модули сил, образующих первую пару, должны быть равны: , а образующих вторую пару:
.
Эти пары показаны на рис. 7, где . И расположены они в своих плоскостях так, что плечи пар совпадают с прямой АВ на линии пересечения плоскостей.
Рис.7. Пары сил с моментами m1 и m2
Сложив силы, приложенные к точкам А и В, построением параллелограммов, получим их равнодействующие . Так как , то эти силы и будут образовывать пару, момент которой
, где – радиус-вектор точки В, совпадающий с АВ.
Так как
, то момент полученной пары .
Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, получится пара сил. Момент её будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар.
При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоскостях, получим пару с моментом .
Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоскости перпендикулярной вектору .
Равенство нулю результирующей пары будет означать, что пары, действующие на тело, уравновешиваются. Следовательно, условие равновесия пар =0.
Это является необходимым и достаточным условием равновесия систем пар.
Если пары расположены в одной плоскости, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно определить как алгебраическую сумму моментов пар.
Рис.8. Моменты пар сил, расположенные в одной плоскости
Например, пары, показанные на рис.8, расположены в одной плоскости и моменты их:
m1=2 Hсм , m2=5 Hсм, m3=3 Hсм. Пары уравновешиваются, потому что алгебраическая сумма их моментов равна нулю:
Вопросы для самопроверки:
— Что называется моментом силы относительно центра на плоскости?
— Какая система сил называется парой?
— Можно ли заменить действие пары сил на тело одной силой?
— Что такое момент пары?
— Какая плоскость называется плоскостью действия пары?
— Какие пары называются эквивалентными?
— Что называется плечом пары?
— Запишите векторную и скалярную зависимости между элементами пары.
— Почему пара сил не имеет равнодействующей?
— Имеет ли пара сил равнодействующую?
— Каким образом можно уравновесить действие на тело пары сил?
— Что такое момент пары сил?
— Изменятся ли моменты пар сил, если положения сил, показанные на рис. а, изменить на положения, показанные на рис. б?
— Какие пары называются эквивалентными?
— Эквивалентны ли пары сил, изображенные на рисунке?
— Каким образом производится сложение пар сил?
— Сформулируйте условие равновесия пар сил.
— Чем характеризуется действие пары сил на твердое тело?
— Как направлен вектор момента пары сил?
— Как определяются моменты пар сил, лежащих в одной плоскости?
— Какие преобразования пары сил не изменяют ее действия на твердое тело?
— Сформулируйте теоремы об эквивалентности пар.
— Что называется результирующей парой?
— Запишите формулу для определения результирующей системы пар.
— Назовите условия равновесия плоской системы пар.
— Приведите векторную запись условия равновесия произвольной системы пар.
— Будет ли изменяться момент силы относительно точки, если, не меняя направления, переносить силу вдоль линии ее действия?
— На тело действуют две силы F1 = 40 Н и F2 = 50 Н, как показано на рисунке (а = 0,5 м, b = 0,8 м, ). Какая из сил создает больший момент относительно точки О?
— Что такое главный вектор и главный момент плоской системы сил?
— Как аналитически найти главный вектор и главный момент данной плоской системы сил?
— В чем сходство и в чем различие между главным вектором плоской системы сил и ее равнодействующей?
— Сформулируйте теорему Вариньона.
— Приведите векторную запись теоремы Вариньона.
— Чему равен главный вектор системы сил?
— Чему равен главный момент системы сил при приведении ее к точке?
— Тело движется равномерно и прямолинейно (равновесие). Чему равны главный вектор и главный момент системы?
Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.
Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.
В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.
Что такое реакция опоры?
Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:
На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.
Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.
Виды связей и их реакции
Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.
В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.
Жёсткая заделка
Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (RA), горизонтальная (HA) и момент (MA).
Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора
В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.
В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.
Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.
Что такое момент силы?
Также необходимо разобраться с понятием момент силы.
Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.
Проиллюстрирую написанное:
Правило знаков для моментов
Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:
- если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;
- если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.
Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.
Определение реакций для двухопорной балки
Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:
Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как HA, RA и RB:
Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.
В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:
Условия равновесия системы
Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:
Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.
Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.
Уравнения равновесия
Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.
Уравнение проекций
Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.
В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — HA. Так как HA направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:
Тогда HA будет равна:
Поздравляю, первая реакция найдена!
Уравнения моментов
А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.
Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.
Так как сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:
Из полученного уравнения выражаем реакцию RB:
Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:
Проверка правильности найденных опорных реакций
Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.
Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:
Как видишь, реакции опор найдены правильно.
Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой
Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:
Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:
Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:
Расчёт реакций для консольной балки
Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30°).
Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:
Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:
Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:
А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:
Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что MA, направлена не по часовой стрелке, а против.
В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.
У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.
Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:
С учётом изменений на схеме реакция будет равна:
Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:
Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:
Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.
Реакции опор для плоской рамы
Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:
Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:
- заменяем опоры на реакции;
- сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
- вводим систему координат x и y.
Выполняем расчёт реакций опор:
Меняем направление реакции RA:
В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:
Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:
Как видим, расчет реакций выполнен правильно!
2.1. Момент силы относительно точки и оси
Моментом
силы
относительно точки O
называют величину, равную векторному
произведению радиус-вектора
,
проведенного из точкиO
в точку приложения силы (рис. 2.1), на эту
силу
.
(2.1)
Этот вектор приложен в точке
O и
направлен перпендикулярно плоскости,
содержащей векторы
и
в ту сторону, откуда вращение тела,
вызываемое силой
вокруг
точкиO,
представляется происходящим против
часовой стрелки.
Модуль момента
,
(2.2)
где
– плечо силы
относительно
точкиO,
равное расстоянию от этой точки до линии
действия силы
.
Из формулы (2.2) следует, что
,
еслиh
= 0, т.е. если линия действия силы
проходит через точкуО.
Обозначим через x,
y, z координаты точки
приложения силы,
– проекции силы
на координатные оси. Тогда момент силы
можно представить следующим образом
,
(2.3)
откуда следует, что проекции
момента силы на координатные оси равны
.
(2.4)
Моментом
силы относительно оси называют
величину, равную проекции на эту ось
момента силы, взятого относительно
некоторой точки оси
.
(2.5)
Момент силы относительно оси
не зависит от выбора точки O
на оси, так как ни одна
из величин в правой части формулы (2.5)
не зависит от положения начала координат
при параллельном перемещении осей x
и y.
П
роекцией
силы на плоскостьназывают
вектор, начало и конец которого совпадают
с проекциями начала и конца вектора
силы на эту плоскость. На рис. 2.2 показана
проекция
силы
на
плоскостьxОy.
Так как проекции сил
и
,
а также точек их приложения на осиx
и y
одинаковы, момент силы
относительно точкиO
может быть вычислен по формуле (2.3), где
следует положить, что
z = 0 и
,
.
Этот момент направлен вдоль
оси z,
а его проекция на эту ось совпадает с
моментом силы
относительно
осиz:
где h
– плечо силы
относительно точкиO.
Таким образом, можно
сформулировать следующее правило
вычисления момента силы относительно
оси z:
1) выберем на оси z
произвольную точку и построим плоскость,
перпендикулярную этой оси;
2) спроецируем силу на эту
плоскость;
3) определим плечо проекции силы;
4) вычислим момент силы
относительно оси z
по формуле
.
(2.6)
В формуле (2.6) знак «плюс»
ставим в том случае, если с положительного
направления оси z
поворот тела вокруг этой оси виден
направленным против часовой стрелки,
знак «минус» – в противном случае.
Аналогично вычисляют моменты силы
относительно других координатных осей.
Из формулы (2.6) следует, что
момент силы относительно оси равен нулю
в двух случаях:
1) если сила параллельна оси,
т.е. проекция
= 0;
2) если линия действия силы
пересекает ось, т.е. плечо h
= 0.
Оба случая можно объединить:
момент силы относительно оси равен нулю
тогда и только тогда, когда линия действия
силы и ось лежат в одной плоскости.
2.2. Пара сил и ее момент
Рис. 2.3.
Парой сил называют
систему двух параллельных сил, которые
равны по модулю и направлены в
противоположные стороны (рис. 2.3).
Плоскость, в которой лежат силы пары,
называют плоскостью
действия пары, а
расстояние d
между линиями действия сил – плечом
пары.
Пара сил не имеет равнодействующей
и не является уравновешенной системой
сил. Она, как и сила, – самостоятельный
силовой фактор.
Пара сил оказывает на тело вращательное
воздействие, для характеристики которого
используют момент пары.
Момент пары
сил – это мера
механического действия пары, равная
моменту одной из сил пары относительно
точки приложения другой силы
.
(2.7)
Э
тот
вектор направлен перпендикулярно
плоскости действия пары в ту сторону,
откуда вращение тела под действием сил
пары представляется происходящим против
часовой стрелки (рис. 2.4). Модуль момента
пары (см. рис.2.3) равен
произведению одной из сил пары на ее
плечо
.
(2.8)
Вычислим сумму моментов сил
пары относительно произвольной точки
O (см.
рис. 2.4)
Таким образом, сумма моментов сил пары
относительно точки не зависит от выбора
этой точки и равна моменту пары.