Как найти сумму нечетных чисел геометрической прогрессии - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Канал видеоролика: Задачи по математике, информатике

Смотреть видео:

Свежая информация для ЕГЭ и ОГЭ по Информатике (листай):

С этим видео ученики смотрят следующие ролики:

Сумма чётных и нечётных членов арифметической прогрессии Д413 Rec 03 09 22

Задачи по математике, информатике

Сумма членов геометрической прогрессии равна Д213 Rec 01 24 22

Задачи по математике, информатике

Сумма n членов арифметической прогрессии Д430 Rec 01 11 22

Задачи по математике, информатике

Сумма членов Арифметическая последовательность

Задачи по математике, информатике

Облегчи жизнь другим ученикам — поделись! (плюс тебе в карму):

02.06.2020

Комментарии

RSS

Написать комментарий

Нет комментариев. Ваш будет первым!

Ваше имя:

Загрузка…

Источник

запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.

Решение.

Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…) Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по формуле:

S=b11−q=0,81−0,1

Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:

0,81−0,1=0,80,9=89

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).

Ответ: (0,(8)=8/9).

Источник

Формулы для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии

Содержание:

Что такое геометрическая прогрессия
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия — что из себя представляет
Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Как найти q в геометрической прогрессии
Примеры решения задач

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия являет собой последовательность чисел. Когда каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число (Xn), то говорят, что представлена числовая последовательность. Она имеет вид: (X_1, X_2)
,…,(X_n), или ({[X_n]}). Для задания последовательности необходимо знать закон, по которому каждому натуральному числу n соответственно поставлено общее число последовательности (f(n)=X_n.)

Геометрическая прогрессия — последовательность с заданным первым членом (b_1), в которой каждый следующий, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число (q).

Числа ( b_1) и q не могут равняться нулю, поскольку в таком случае все члены прогрессии, начиная со второго, будут равны нулю.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Геометрическую прогрессию определяют как произведение между ее знаменателем и n-м членом:

(b_n=b_{n-1}cdot q,)

Где (b_n) — (n-й) член прогрессии, (q) — знаменатель прогрессии.

Геометрическая прогрессия может быть задана рекуррентным соотношением:

(b_1=b,) (b_{n+1}=b_ncdot q,) (nin N,) (bneq0), (qneq0.)

Примечание

Рекуррентное соотношение задается формулой, выражающей (Xn) через предшествующие ему члены последовательности.

Примеры геометрических прогрессий:

1, 2, 4, 8, 16, 32 …; (b_1 = 1), (q = 2;)
1, 3, 9, 27, 81…; (b_1 = 1), (q = 3;)
2, -8, 32, -128, 512…:(b_1 = 2), (q = -4.)

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, рассчитывается как модуль среднего геометрического соседних членов:

(left|b_nright|=sqrt{b_{n-1}cdot b_{n+1}},) (ngeq2, )

или

(b_n^2=b_{n-1}cdot b_{n+1}.)

Если (b_1 > 0) и (q > 1) или (b_1 < 0) и (0 < q < 1), то для геометрической последовательности характерно возрастание.

Если (b_1 > 0) и 0 < (q < 1) или (b_1 < 0) и (q > 1), то для нее характерно убывание.

Примеры геометрических прогрессий в жизни:

Размножение бактерий крайне велико и осуществляется по геометрической прогрессии: каждая клетка делится на две, новые — делятся еще на две и т.д. Знание принципов размножения бактерий находит свое применение в биотехнологии, пищевой промышленности, медицине и т.д.
Зная формулу суммы геометрической прогрессии, можно находить площади и объемы геометрических фигур. Еще Архимед заметил связь между прогрессиями и вывел формулу для нахождения площади сегмента параболы через сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Возрастание скорости химических реакций происходит в геометрической прогрессии при увеличении температуры по арифметической прогрессии.
Начисление процентов по вкладу в банках может осуществляться по простой или сложной схеме: соответственно, проценты начисляются либо по арифметической, либо по геометрической прогрессиям.

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия — что из себя представляет

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы (|q| <1.)

Сумма S всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется как соотношение между первым членом геометрической прогрессии к разности между единицей и знаменателем прогрессии:

(S=frac{b_1}{1-q}.)

Доказательством этой формулы является то, что величина (q^n) по модулю становится все меньше и меньше и стремится к нулю, при этом величина n неограниченно возрастает.

Пример такой прогрессии:

1, (frac12,) (frac14,) (frac18), (frac1{16},…)

Если (q=1), то для вычисления суммы (S_n) первых n членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

(S_n=b_1+…+b_n=frac{b_1-b_nq}{1-q}=frac{b_1left(1-q^nright)}{1-q}.)

Если (q≠1), то формула видоизменяется в:

(S_n=b_1n.)

Также для объяснения формулы, введем другое обозначение суммы первых членов прогрессии:

(S_n=b_1+b_2+…+b_n.)

Тогда можно видоизменить формулу нахождения суммы (S_n) первых n членов геометрической прогрессии:

(S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}.)

Как найти q в геометрической прогрессии

Вычисление знаменателя прогрессии (q) осуществляют через выведение из формулы на нахождение общего члена геометрической прогрессии:

(b_n=b_1q^{n-1} )

Отсюда:

(q=frac{b_{n+1}}{b_n}.)

Примеры решения задач

Задача № 1

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 35. Сумма первых 5 членов в 49 раз больше суммы их обратных величин.

Найти знаменатель и первый член геометрической прогрессии.

Решение:

По условиям задачи:

(b_1+b_1q^2=35.,)

(b_1left(1+q+q^2+q^3+q^4right)=49left(frac1{b_1}+frac1{b_1q}+frac1{b_1q^2}+frac1{b_1q^3}+frac1{b_1q^4}right).) (2)

Так как (1+q+q^2+q^3+q^4neq0) (иначе задача теряет смысл), то равенство (2) можно записать в виде:

(b_1^2q^4=49. ) (3)

Из (3) следует, что либо (b_1q^2=7,) либо (b_1q^2=-7.)

Если равно 7, то из (1) находим (b_1=28,) (q^2={textstylefrac14}), откуда (q=pmfrac12 )

Если равно -7, (b_1=42,) (\q^2=-{textstylefrac16}). В этом случае второе условие задачи теряет смысл.

Конечный результат:

(b_1=28,) (q=pmfrac12. )

Задача № 2

(S_n) — сумма первых n членов геометрической прогрессии.

Доказать, что: (S_nleft(S_{3n}-S_{2n}right)=left(S_{2n}-S_nright)^2). (1)

Доказательство:

Пусть (b_k — k-й) член, (q)— знаменатель геометрической прогрессии. Тогда:

(S_{m+k}=S_m+b_1q^m+b_1q^{m+1}+…+b_1q^{m+k-1},)

откуда:

(S_{m+k}-S_m=q^mleft(b_1+b_1q+…+b_1q^{k-1}right))

или

(S_{m+k}-S_m=q^mS_k) (2).

Полагая в (2) сначала (m = 2_n,) (k = n), а затем (m = n), (k = n), получаем

(S_{3n}-S_{2n}=q^{2n}cdot S_n), (S_{2n}-S_n=q^ncdot S_n.) (3)

А из равенств (3) следует равенство (1).

Задача № 3

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4. Сумма возведенных в третью степень ее членов равна 192.

Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение:

Обозначим: (b_1) — первый член, (S) — сумма прогрессии, (q) — знаменатель, (S_1) — сумма возведенных в третью степень ее членов.

Тогда

(S=frac{b_1}{1-q}),( S_1=frac{b_1^3}{1-q^3}.)

Далее получаем

(frac{S^3}{S_1}-frac{1-q^3}{{(1-q)}^3}=frac{4^3}{192}=frac13 )

(3(1+q+q^2)=1-2q+q^2,;qneq1..)
Полученное уравнение, записанное в виде

(2q^2+5q+2=0)

имеет корни (q_1 = −2,) (q_2 = − ½.)

Так как (|q| < 1), отбрасываем первый корень.

Следовательно:

(q=-frac12,;b_1=4(1-q)=6.)

Задача № 4

(S_n)первых трех членов геометрической прогрессии равна 351. (S_n) следующих трех членов равна 13.

Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Решение:

Запишем условия задачи в виде системы уравнений:

(left{begin{array}{l}b_1+b_2+b_3=351,\b_4+b_5+b_6=13end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l}b_1+b_1q+b_1q^2=351,\b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5=13end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l}b_1(1+frac13+frac19)=351,\q=frac13end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{13}9b_1=351,\q=frac13end{array}Leftrightarrowleft{begin{array}{l}b_1=frac{351cdot9}{13}=243,\q=frac13.end{array}right.right..)

Ответ: (b_1=243,;q=frac13.)

Задача № 5

Геометрическая прогрессия содержит четное число членов. Их сумма в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах.

Найти знаменатель прогрессии?

Решение:

Определим, что в прогрессии 2n членов и (S_{2n}) — сумма всех членов, а (S_n^ast) — сумма членов, стоящих на нечетных местах.

Тогда (S_{2n}=frac{b_1(1-q^{2n})}{1-q}.)

(S_n^ast=b_1+b_3+…+b_{2n-1}=b_1+b_1q^2+…+b_1q^{2n-2}=frac{b_1(1-q^{2n)}}{1-q^2}.)

Где (b_1) — первый член прогрессии, а (q ≠ 1) — знаменатель прогрессии.

По условию задачи:

(S_{2n}=3S_n^astRightarrowfrac{b_1(1-q^{2n)}}{`1-q}=3frac{b_1(1-q^{2n)}}{1-q^2}Rightarrow1+q=3Rightarrow q=2.)

Ответ: (q=2. )

Источник

0 / 0 / 0

Регистрация: 25.12.2015

Сообщений: 37

Найдите сумму всех членов прогрессии с нечетными номерами

31.10.2016, 09:58. Показов 5626. Ответов 1

Геометрическая прогрессия со знаменателем 4 содержит 10 членов. Сумма всх членом прогрессии равна 30. Найдите сумму всех членов прогрессии с нечетными номерами.

137 / 107 / 23

Регистрация: 06.10.2008

Сообщений: 451

31.10.2016, 10:32

Сумма 10 членов прогрессии
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{10}=frac{{b}_{1}left(1-{q}^{10} right)}{left( 1-qright)}$
Сумма нечетных членов (знаменатель равен q², b₁ — тот же):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{o}=frac{{b}_{1}left(1-{q}^{10} right)}{left( 1-{q}^{2}right)} =frac{{S}_{10}}{left(1+q right)}=frac{30}{5}=6$

IT_Exp Эксперт 87844 / 49110 / 22898 Регистрация: 17.06.2006 Сообщений: 92,604	31.10.2016, 10:32
2

Источник

Числовые последовательности (основные понятия)

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Числовые последовательности (основные понятия)

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a_n, то говорят, что задано числовую последовательность:

a₁, a₂, a₃, . . . , a_n, . . . .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a₁ называют первым членом последовательности, число a₂ — вторым членом последовательности, число a₃ — третьим и так далее. Число a_n называют n-м членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Из двух соседних членов a_n и a_n₊₁ последовательности член a_n₊₁ называют последующим (по отношению к a_n), а a_n— предыдущим (по отношению к a_n₊₁).

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

► Например,

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

a_n= 2n –1,

а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой

b_n= (–1)ⁿ⁺¹. ◄

Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

► Например,

если a₁ = 1, а a_n₊₁ = a_n + 5, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a₁ = 1,

a₂ = a₁ + 5 = 1 + 5 = 6,

a₃ = a₂ + 5 = 6 + 5 = 11,

a₄ = a₃ + 5 = 11 + 5 = 16,

a₅ = a₄ + 5 = 16 + 5 = 21.

Если а₁= 1, а₂ = 1, a_n₊₂ = a_n + a_n₊₁, то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a₁ = 1,

a₂ = 1,

a₃ = a₁ + a₂ = 1 + 1 = 2,

a₄ = a₂ + a₃ = 1 + 2 = 3,

a₅ = a₃ + a₄ = 2 + 3 = 5,

a₆ = a₄ + a₅ = 3 + 5 = 8,

a₇ = a₅ + a₆ = 5 + 8 = 13. ◄

Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной, если она имеет бесконечно много членов.

► Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная. ◄

Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

► Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, . . . , ¹/_n, . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью.

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

Иначе,

a₁, a₂, a₃, . . . , a_n, . . .

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

a_n₊₁ = a_n + d,

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а₂ – a₁ = а₃ – a₂ = . . . = a_n₊₁ – a_n = d.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

► Например,

если a₁ = 3, d = 4, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a₁ =3,

a₂ = a₁ + d = 3 + 4 = 7,

a₃ = a₂ + d = 7 + 4 = 11,

a₄ = a₃ + d = 11 + 4 = 15,

a₅ = a₄ + d = 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметической прогрессии с первым членом a₁ и разностью d её n-й член может быть найден по формуле:

a_n = a₁ + (n – 1)d.

► Например,

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

Имеем,

a₁ =1, d = 3,

a₃₀ = a₁ + (30 – 1)d =1 + 29·3 = 88. ◄

Так как

a_n–1 = a₁ + (n – 2)d,

a_n= a₁ + (n – 1)d,

a_n₊₁ = a₁ + nd,

то, очевидно,

то есть,

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

► Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой a_n = 2n – 7, является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

a_n = 2n – 7,

a_n–1 = 2(n – 1) – 7 = 2n – 9,

a_n+1 = 2(n + 1) – 7 = 2n – 5.

Следовательно,

a_n+1 + a_n–1	=	2n – 5 + 2n – 9	= 2n – 7 = a_n,
2	2

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n-й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a₁, но и любой предыдущий a_k, для чего достаточно воспользоваться формулой

a_n = a_k + (n – k)d.

► Например,

для a₅ можно записать

a₅ = a₁ + 4d,

a₅ = a₂ + 3d,

a₅ = a₃ + 2d,

a₅ = a₄ + d. ◄

Так как

a_n = a_n–k + kd,

a_n = a_n+k – kd,

то, очевидно,

то есть,

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

a_m + a_n = a_k + a_l,

если

m + n = k + l.

► Например,

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

1) a₁₀= 28 = (25 + 31)/2 = (a₉+ a₁₁)/2;

2) 28 = a₁₀ = a₃ + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;

3) a₁₀= 28 = (19 + 37)/2 = (a₇+ a₁₃)/2;

4) a₂ + a₁₂ = a₅ + a₉, так как

a₂ + a₁₂= 4 + 34 = 38,

a₅ + a₉ = 13 + 25 = 38. ◄

Сумма

S_n= a₁ + a₂+ a₃ + . . .+a_n,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

a_k, a_k₊₁, . . . , a_n,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

S_n – S_k–1= a_k + a_k+1+ . . . + a_n =	a_k + a_n	· (n – k + 1) .
2

► Например,

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S₁₀= 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S₁₀– S₃= (10 + 28) · (10 – 4 + 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a₁, a_n, d, n и S_nсвязаны двумя формулами:

a_n = a₁ + (n – 1)d и S_n=	a₁ + a_n	· n .
2

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

если d > 0, то она является возрастающей;
если d < 0, то она является убывающей;
если d = 0, то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Иначе,

b₁, b₂, b₃, . . . , b_n, . . .

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

b_n₊₁ = b_n · q,

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

^b₂/_b₁ = ^b₃/_b₂ = . . . = ^b_n₊₁/_{b_n} = q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

► Например,

если b₁ = 1, q = –3, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

b₁ = 1,

b₂ = b₁ ·
q = 1 · (–3) = –3,

b₃ = b₂ ·
q = –3 · (–3) = 9,

b₄ = b₃ ·
q = 9 · (–3) = –27,

b₅ = b₄ ·
q = –27 · (–3) = 81. ◄

Для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q её n-й член может быть найден по формуле:

b_n = b₁ ·
qⁿ^–1.

► Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

Имеем,

b₁ = 1, q = 2,

b₇ = b₁ · q⁶
= 1 · 2⁶ = 64. ◄

Так как

b_n–1 = b₁ ·
qⁿ^–2,

b_n = b₁ ·
qⁿ^–1,

b_n₊₁ = b₁ ·
qⁿ,

то, очевидно,

b_n²= b_n_–1· b_n₊₁,

то есть,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

► Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b_n = –3 · 2ⁿ, является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

b_n = –3 · 2ⁿ,

b_n_–1 = –3 · 2ⁿ^–1,

b_n₊₁ = –3 · 2ⁿ⁺¹.

Следовательно,

b_n²= (–3 · 2ⁿ)² = (–3 · 2ⁿ^–1) · (–3 · 2ⁿ⁺¹) = b_n_–1· b_n₊₁,

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n-й член геометрической прогрессии можно найти не только через b₁, но и любой предыдущий член b_k, для чего достаточно воспользоваться формулой

b_n = b_k ·
qⁿ^–^k.

► Например,

для b₅ можно записать

b₅ = b₁ ·
q⁴,

b₅ = b₂ ·
q³,

b₅ = b₃ ·
q²,

b₅ = b₄ ·
q. ◄

Так как

b_n = b_k ·
qⁿ^–^k,

b_n = b_n_–_k ·
q^k,

то, очевидно,

b_n²= b_n_–_k· b_n₊_k

то есть,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

b_m· b_n= b_k· b_l,

если

m + n = k + l.

► Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

1) b₆²= 32² = 1024 = 16 · 64 = b₅· b₇;

2) 1024 = b₁₁ = b₆ ·
q⁵ = 32 · 2⁵ = 1024;

3) b₆²= 32² = 1024 = 8 · 128 = b₄ · b₈;

4) b₂ · b₇= b₄ · b₅, так как

b₂ · b₇= 2 · 64 = 128,

b₄ · b₅ = 8 · 16 = 128. ◄

Сумма

S_n= b₁+ b₂+ b₃+ . . . + b_n

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

S_n= nb₁

Заметим, что если нужно просуммировать члены

b_k, b_k₊₁, . . . ,b_n,

то используется формула:

S_n– S_k_–1= b_k + b_k₊₁+ . . . + b_n = b_k ·	1 – qⁿ^–^k⁺¹	.
1 – q

► Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S₁₀= 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 2¹⁰) / (1 – 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S₁₀– S₆= 64 · (1 – 2^10–7+1) / (1 – 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b₁, b_n, q, n и S_nсвязаны двумя формулами:

b_n = b₁ · qⁿ^–1 и S_n= b₁ ·	1 – qⁿ	.
1 – q

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b₁ и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности:

прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b₁ > 0 и q > 1;

b₁ < 0 и 0 < q < 1;

прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

b₁ > 0 и 0 < q < 1;

b₁ < 0 и q > 1.

Если q < 0, то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

P_n= b₁ · b₂· b₃ · . . . · b_n = (b₁ · b_n) ^ⁿ/₂.

► Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128)^8/2 = 128⁴ = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48)^5/2 = (144^1/2)⁵ = 12⁵ = 248 832.◄

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1, то есть

|q| < 1.

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

–1 < q < 0.

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

1, –¹/₂, ¹/₄, –¹/₈, . . . .

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Это число всегда конечно и выражается формулой

S= b₁+ b₂+ b₃+ . . . =	b₁	.
1 – q

► Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 ¹/₉ ,

10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 ¹/₁₁ . ◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

Если

a₁, a₂, a₃, . . .— арифметическая прогрессия с разностью d, то

b^a^₁, b^a^₂, b^a^₃, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем b^d.

► Например,

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

7¹, 7³, 7⁵, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 7². ◄

Если

b₁, b₂, b₃, . . .— геометрическая прогрессия с знаменателем q, то

log_a b₁, log_a b₂, log_a b₃, . . . — арифметическая прогрессия с разностью log_aq.

► Например,

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg2, lg12, lg72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg6. ◄

Смотрите также:

Обозначения и сокращения

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Предел и непрерывность функции

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники

Тела вращения

Источник