Как найти сумму остатков при делении числа

Метод анализа остатков

В основе метода анализа остатков, который используется при решении ряда задач с целочисленными неизвестными, лежит формула деления с остатком. Суть метода состоит в рассмотрении случаев различных остатков от деления на заданное число, что позволяет в конечном итоге решить поставленную задачу.

В первых трёх примерах, приведённых ниже, в явном виде ищутся остатки от деления одних целых чисел на другие.

Пример №19.

Найти частное и остаток от деления числа (— 23) на 7.

Решение:

Согласно формуле деления с остатком, получаем:

— 23 = — 4 • 7 + 5 , т.е. частное равно — 4, а остаток равен 5.

Пример №20.

Найти сумму остатков, получающихся при делении числа 7263544587435873 на 2, 4, 5, 9, 10, 25.

Решение:

Используя признаки делимости нацело на числа 2,4,5,9,10 и 25, находим остатки:

• остаток от деления на 2 равен 1;
• остаток от деления на 4 равен 1;
• остаток от деления на 5 равен 3;
• остаток от деления на 9 равен 0;
• остаток от деления на 10 равен 3;
• остаток от деления на 25 равен 23.

Суммируя остатки 1 + 1+3+0+3+23, получаем в ответе 31.

Пример №21.

Пусть остаток от деления натурального числа m на 7 равен 3. Найти остаток от деления на 7 числа

Решение:

Из условия следует, что число m имеет вид: . Тогда

Таким образом, остаток от деления числа на 7 равен 1.

Пример №22.

Доказать, что при любых целых X число делится нацело на 6.

Решение:

Разобьём множество всех целых X на 6 групп в зависимости от остатка при делении на 6, т.е. рассмотрим 6 случаев:

1) Пусть , тогда

2) Пусть , тогда

3) Пусть , тогда

4) Пусть , тогда

5) Пусть тогда

6) Пусть , тогда

Таким образом, мы рассмотрели все целые числа X и доказали, что всегда (в каждом из шести случаев) выражение кратно 6.

Замечание. Эту задачу можно было решить иначе. Преобразуем данное в условии задачи выражение:

Каждое из двух слагаемых делится нацело на 6 (первое как произведение трёх последовательных целых чисел), поэтому их сумма кратна 6.

Пример №23.

Учительница принесла в класс счётные палочки. Дети раскладывали их в пакетики. Когда разложили по 2 палочки в каждый пакетик, то осталась 1 лишняя палочка. Затем разложили по 13 штук в пакетик, и тогда осталось 7 лишних палочек. Когда же палочки разложили по 9 штук в пакетик, то лишних не осталось. Сколько, самое меньшее, было счётных палочек?

Решение:

Пусть всего было n счётных палочек. Тогда условия задачи приводят к системе

Таким образом, требуется найти наименьшее натуральное нечётное число п , делящееся на 9 и дающее при делении на 13 остаток 7. Заметим, что в силу нечётности число k должно быть чётным, т.е. причём меньшему n соответствует меньшее р , но тогда имеем Поскольку числа п и делятся нацело на 9, то, следовательно, число также должно быть кратно 9 (и при этом быть минимальным). Наименьшее целое неотрицательное р , для которого выполняются эти условия, равно 7, откуда находим

Ответ: самое меньшее — 189 счётных палочек.

Пример №24.

После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найти это двузначное число.

Решение:

Обозначим — искомое число Тогда, по условию, имеем систему уравнений

Решая систему методом подстановки, находим единственное решение, удовлетворяющее всем условиям задачи: x= 8, y = 3 . Ответ: 83.

Пример №25.

Целые числа m, n,k не делятся нацело на 3. Доказать, что число делится на 3.

Доказательство. Если то возможны два случая: и . В первом случае — делится на 3 с остатком 1, а значит, , также делится на 3 с остатком 1. Аналогично во втором случае: делится на 3 с остатком делится на 3 с остатком 1. Таким образом, если целое число не делится нацело на 3, то его квадрат (любая чётная степень) при делении на 3 дают остаток 1. Но тогда сумма трёх таких чётных степеней кратна 3.

Пример №26.

Доказать, что если — простые числа, то — тоже простое число.

Доказательство. Если , то остаток от деления на 3 равен 1. Но тогда делилось бы на 3, что противоречит условию. Следовательно, , тогда действительно — простое число, и при этом тоже является простым.

Пример №27.

Решить уравнение в целых числах

Решение:

Перепишем уравнение в виде: . Заметим, что правая часть уравнения при любом целом Y делится нацело на 7. Выясним, какие остатки при делении на 7 даёт левая часть данного уравнения. Для этого разобьём множество всех целых X на 7 групп в зависимости от остатка при делении на 7: где , и рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1) Если

2) если

3) если

4) если

5) если

6) если

7) если

Итак, правая часть уравнения делится на 7 нацело (т.е. с остатком 0), а левая часть при этом — с остатками 2, 3, 4, 6. Однако равные числа при делении на одно и то же целое число 7 должны давать одинаковые остатки. Полученное противоречие говорит о том, что данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример №28.

Найти все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющие уравнению

и доказать, что для каждой такой пары сумма является нечётным числом.

Решение:

Заметим, что левая часть уравнения кратна 3, следовательно, и правая часть должна делиться на 3 нацело. Разобьём множество всех целых y на три группы в зависимости от остатка при делении на 3:

1) Если , то уравнение примет вид . Это равенство невозможно, так как его левая часть кратна 3, а правая — нет.

2) Если , то получим аналогичную ситуацию.

3) Наконец, если , то, подставляя в уравнение, получим

Следовательно, общий вид решений:Осталось показать, что — нечётно. В самом деле, если чётно, то — чётно и, значит, — нечётно. Если, наоборот, — нечётно, то также нечётно, а значит, — чётно. Таким образом, числа и , а значит и их кубы, имеют всегда разную чётность, поэтому их сумма есть нечётное число.

Ответ:

Пример №29.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Так как произвольное целое число представимо в виде , или где , а

то любое число в кубе или делится нацело на 9, или даёт при делении на 9 в остатке 1 или 8. Аналогично, так как даёт при делении на 9 остаток 0 или 3. Итак, правая часть уравнения может делиться на 9 с остатками 2 или 5, а левая — 0, 1 или 8. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Метод анализа остатков

Метод анализа остатков

В основе метода анализа остатков, который используется при решении ряда задач с целочисленными неизвестными, лежит формула деления с остатком. Суть метода состоит в рассмотрении случаев различных остатков от деления на заданное число, что позволяет в конечном итоге решить поставленную задачу.

В первых трёх примерах, приведённых ниже, в явном виде ищутся остатки от деления одних целых чисел на другие.

Пример №19.

Найти частное и остаток от деления числа (— 23) на 7.

Решение:

Согласно формуле деления с остатком, получаем:

— 23 = — 4 • 7 + 5 , т.е. частное равно — 4, а остаток равен 5.

Пример №20.

Найти сумму остатков, получающихся при делении числа 7263544587435873 на 2, 4, 5, 9, 10, 25.

Решение:

Используя признаки делимости нацело на числа 2,4,5,9,10 и 25, находим остатки:

• остаток от деления на 2 равен 1;
• остаток от деления на4 равен 1;
• остаток от деления на 5 равен 3;
• остаток от деления на 9 равен 0;
• остаток от деления на 10 равен 3;
• остаток от деления на 25 равен 23.

Суммируя остатки 1 + 1+3+0+3+23, получаем в ответе 31.

Пример №21.

Пусть остаток от деления натурального числа m на 7 равен 3. Найти остаток от деления на 7 числа

Решение:

Из условия следует, что число m имеет вид: . Тогда

Таким образом, остаток от деления числа на 7 равен 1.

Пример №22.

Доказать, что при любых целых X число делится нацело на 6.

Решение:

Разобьём множество всех целых X на 6 групп в зависимости от остатка при делении на 6, т.е. рассмотрим 6 случаев:

1) Пусть , тогда

2) Пусть , тогда

3) Пусть , тогда

4) Пусть , тогда

5) Пусть тогда

6) Пусть , тогда

Таким образом, мы рассмотрели все целые числа X и доказали, что всегда (в каждом из шести случаев) выражение кратно 6.

Замечание. Эту задачу можно было решить иначе. Преобразуем данное в условии задачи выражение:

Каждое из двух слагаемых делится нацело на 6 (первое как произведение трёх последовательных целых чисел), поэтому их сумма кратна 6.

Пример №23.

Учительница принесла в класс счётные палочки. Дети раскладывали их в пакетики. Когда разложили по 2 палочки в каждый пакетик, то осталась 1 лишняя палочка. Затем разложили по 13 штук в пакетик, и тогда осталось 7 лишних палочек. Когда же палочки разложили по 9 штук в пакетик, то лишних не осталось. Сколько, самое меньшее, было счётных палочек?

Решение:

Пусть всего было n счётных палочек. Тогда условия задачи приводят к системе

Таким образом, требуется найти наименьшее натуральное нечётное число п , делящееся на 9 и дающее при делении на 13 остаток 7. Заметим, что в силу нечётности число k должно быть чётным, т.е. причём меньшему n соответствует меньшее р , но тогда имеем Поскольку числа п и делятся нацело на 9, то, следовательно, число также должно быть кратно 9 (и при этом быть минимальным). Наименьшее целое неотрицательное р , для которого выполняются эти условия, равно 7, откуда находим

Ответ: самое меньшее — 189 счётных палочек.

Пример №24.

После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найти это двузначное число.

Решение:

Обозначим — искомое число Тогда, по условию, имеем систему уравнений

Решая систему методом подстановки, находим единственное решение, удовлетворяющее всем условиям задачи: x= 8, y = 3 . Ответ: 83.

Пример №25.

Целые числа m, n,k не делятся нацело на 3. Доказать, что число делится на 3.

Доказательство. Если то возможны два случая: и . В первом случае — делится на 3 с остатком 1, а значит, , также делится на 3 с остатком 1. Аналогично во втором случае: делится на 3 с остатком делится на 3 с остатком 1. Таким образом, если целое число не делится нацело на 3, то его квадрат (любая чётная степень) при делении на 3 дают остаток 1. Но тогда сумма трёх таких чётных степеней кратна 3.

Пример №26.

Доказать, что если — простые числа, то — тоже простое число.

Доказательство. Если , то остаток от деления на 3 равен 1. Но тогда делилось бы на 3, что противоречит условию. Следовательно, , тогда действительно — простое число, и при этом тоже является простым.

Пример №27.

Решить уравнение в целых числах

Решение:

Перепишем уравнение в виде: . Заметим, что правая часть уравнения при любом целом Y делится нацело на 7. Выясним, какие остатки при делении на 7 даёт левая часть данного уравнения. Для этого разобьём множество всех целых X на 7 групп в зависимости от остатка при делении на 7: где , и рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1) Если

2) если

3) если

4) если

5) если

6) если

7) если

Итак, правая часть уравнения делится на 7 нацело (т.е. с остатком 0), а левая часть при этом — с остатками 2, 3, 4, 6. Однако равные числа при делении на одно и то же целое число 7 должны давать одинаковые остатки. Полученное противоречие говорит о том, что данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример №28.

Найти все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющие уравнению

и доказать, что для каждой такой пары сумма является нечётным числом.

Решение:

Заметим, что левая часть уравнения кратна 3, следовательно, и правая часть должна делиться на 3 нацело. Разобьём множество всех целых y на три группы в зависимости от остатка при делении на 3:

1) Если , то уравнение примет вид . Это равенство невозможно, так как его левая часть кратна 3, а правая — нет.

2) Если , то получим аналогичную ситуацию.

3) Наконец, если , то, подставляя в уравнение, получим

Следовательно, общий вид решений:Осталось показать, что — нечётно. В самом деле, если чётно, то — чётно и, значит, — нечётно. Если, наоборот, — нечётно, то также нечётно, а значит, — чётно. Таким образом, числа и , а значит и их кубы, имеют всегда разную чётность, поэтому их сумма есть нечётное число.

Ответ:

Пример №29.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Так как произвольное целое число представимо в виде , или где , а

то любое число в кубе или делится нацело на 9, или даёт при делении на 9 в остатке 1 или 8. Аналогично, так как даёт при делении на 9 остаток 0 или 3. Итак, правая часть уравнения может делиться на 9 с остатками 2 или 5, а левая — 0, 1 или 8. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Деление чисел с остатком

О чем эта статья:

Деление с остатком целых положительных чисел

Деление — это разбиение целого на равные части.

Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.

Теорема

a = b · q + r, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. 0 ⩽ r

Проверка деления с остатком

Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.

Формула деления с остатком

a = b * c + d,

где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.

Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.

Пример

Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).

В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.

Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:

Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!

Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.

Попрактикуемся в решении.

Пример

Разделить 14671 на 54.

Выполним деление столбиком:

Неполное частное равно 271, остаток — 37.

Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:

В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.

Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.

Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».

Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.

Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя
• получить неполное частное и остаток;
• записать число противоположное полученному.

Пример

Разделить 17 на −5 с остатком.

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.

Проверка : a = b * q + r, 17 = −5 * (−3) + 2.

Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное

Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:

Чтобы получить неполное частное q при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток r будет вычисляться по формуле:

r = a − b * q

Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.

Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить по модулю;
• записать противоположное данному число и вычесть 1;
• использовать формулу для остатка r = a − b * q.

Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.

Пример

Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.

Разделим заданные числа по модулю.

Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.

Так как получили 3, противоположное ему −3.

Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.

Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, q = −4, тогда:

r = a − b * q = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.

Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.

Проверка: a = b * q + r, −17 = 5 * (−4) + 3.

Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).

Деление с остатком целых отрицательных чисел

Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:

r = a − b * q

Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.

Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя;
• получить неполное частное и остаток;
• прибавить 1 к неполному частному;
• вычислить остаток, исходя из формулы r = a − b * q.

Пример

Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.

Применим алгоритм для деления с остатком.

Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим r = a − b * q = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.

Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.

Проверка: a = b * q + r, −17 = −5 * 4 + 3.

Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).

Деление с остатком с помощью числового луча

Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

Пример 1

Рассмотрим выражение: 10 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.

Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).

Пример 2

Рассмотрим выражение: 11 : 3.

Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.

Деление многочленов

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся их делить.

Деление многочлена на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить на этот одночлен каждый член многочлена, затем сложить полученные частные.

Например, разделим многочлен 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 на одночлен xy . Запишем это деление в виде дроби:

Теперь делим каждый член многочлена 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 на одночлен xy. Получающиеся частные будем складывать:

Получили привычное для нас деление одночленов. Выполним это деление:

Таким образом, при делении многочлена 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 на одночлен xy получается многочлен 15xy 2 + 10y + 5y 2 .

При делении одного числа на другое, частное должно быть таким, чтобы при его перемножении с делителем, получалось делимое. Это правило сохраняется и при делении многочлена на одночлен.

В нашем примере произведение полученного многочлена 15xy 2 + 10y + 5y 2 и делителя xy должно быть равно многочлену 15x 2 y 3 + 10xy 2 + 5xy 3 , то есть исходному делимому. Проверим так ли это:

Деление многочлена на одночлен очень похоже на сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Мы помним, что для сложения дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Например, чтобы сложить дроби , и нужно записать следующее выражение:

Если мы вычислим выражение , то получим дробь , значение которой равно 1,5.

При этом выражение мы можем вернуть в исходное состояние , и вычислить по отдельности каждую дробь, затем сложить полученные частные. Результат по прежнему будет равен 1,5

Тоже самое происходит при делении многочлена на одночлен. Одночлен берёт на себя роль общего знаменателя для всех членов многочлена. Например, при делении многочлена ax + bx + cx на многочлен x , образуется три дроби с общим знаменателем x

Вычисление каждой дроби даст в результате многочлен a + b + c

Пример 2. Разделить многочлен 8m 3 n + 24m 2 n 2 на одночлен 8m 2 n

Пример 3. Разделить многочлен 4c 2 d − 12c 4 d 3 на одночлен −4c 2 d

Деление одночлена на многочлен

Не существует тождественного преобразования, позволяющего разделить одночлен на многочлен.

Допустим, мы захотели разделить одночлен 2xy на многочлен 5x + 3y + 5 .

Результатом этого деления должен быть многочлен, перемножение которого с многочленом 5x + 3y + 5 даёт одночлен 2xy . Но не существует многочлена, перемножение которого с многочленом 5x + 3y + 5 давало бы в результате одночлен 2xy , поскольку перемножение многочленов даёт в результате многочлен, а не одночлен.

Но в учебниках можно встретить задания на нахождение значения выражения при заданных значениях переменных. В исходных выражениях таких заданий бывает выполнено деление одночлена на многочлен. В этом случае никаких преобразований выполнять не нужно. Достаточно подставить значения переменных в исходное выражение и вычислить получившееся числовое выражение.

Например, найдём значение выражения при x = 2 .

Выражение представляет собой деление одночлена на многочлен. В данном случае мы не сможем выполнить какие-либо преобразования. Единственное, что мы сможем сделать — это подставить число 2 в исходное выражение вместо переменной x и найти значение выражения:

Деление многочлена на многочлен

Если первый многочлен умножить на второй многочлен, получается третий многочлен. Например, если умножить многочлен x + 5 на многочлен x + 3 , получается многочлен x 2 + 8x + 15

Если произведение разделить на множитель, то получится множимое. Это правило распространяется не только для чисел, но и для многочленов.

Тогда согласно этому правилу, деление полученного нами многочлена x 2 + 8x + 15 на многочлен x + 3 должно давать в результате многочлен x + 5 .

Деление многочлена на многочлен выполняется уголком. Отличие будет в том, что при делении многочленов не нужно определять первое неполное делимое, как в случае деления обычных чисел.

Выполним уголком деление многочлена x 2 + 8x + 15 на многочлен x + 3 . Так мы поэтапно увидим, как получается многочлен x + 5 .

В данном случае результат нам известен заранее. Это будет многочлен x + 5 . Но чаще всего результат бывает неизвестным. Поэтому решение будем комментировать так, будто результат нам неизвестен.

Результатом деления должен быть новый многочлен. Члены этого многочлена будут появляться один за другим в процессе деления.

Сейчас наша задача найти первый член нового многочлена. Как это сделать?

Когда мы изначально перемножали многочлены x + 5 и x + 3 , мы сначала умножили первый член первого многочлена на первый член второго многочлена. Тем самым мы получили первый член третьего многочлена:

Если мы обратно разделим первый член третьего многочлена на первый член второго многочлена, то получим первый член первого многочлена. А это то, что нам нужно. Ведь мы должны прийти к многочлену x + 5 .

Этот же принцип нахождения первого члена будет выполняться и при решении других задач на деление многочленов.

Итак, чтобы найти первый член нового многочлена, нужно первый член делимого разделить на первый член делителя.

Если первый член делимого (в нашем случае это x 2 ) разделить на первый член делителя (это x), получится x. То есть первым членом нового многочлена является x. Записываем его под правым углом:

Теперь, как и при делении обычных чисел, умножаем x на делитель x + 3 . На этом этапе нужно суметь умножить одночлен на многочлен. При умножении x на x + 3 , получается x 2 + 3x . Записываем этот многочлен под делимым x 2 + 8x+ 15 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Теперь из делимого x 2 + 8x + 15 вычитаем x 2 + 3x . Подобные члены вычитаем из подобных им членов. Если из x 2 вычесть x 2 , получится 0 . Ноль не записываем. Далее если из 8x вычесть 3x , получится 5x . Записываем 5x так, чтобы этот член оказался под членами 3x и 8x

Теперь, как и при делении обычных чисел, сносим следующий член делимого. Следующий член это 15. Сносить его нужно вместе со своим знаком:

Теперь делим многочлен 5x + 15 на x + 3 . Для этого нужно найти второй член нового многочлена. Чтобы его найти, нужно первый член делимого (сейчас это член 5x ) разделить на первый член делителя (это член x ). Если 5x разделить на x , получится 5. То есть вторым членом нового многочлена является 5. Записываем его под правым углом, вместе со своим знаком (член 5 в данном случае положителен)

Теперь умножаем 5 на делитель x + 3 . При умножении 5 на x + 3 , получается 5x + 15 . Записываем этот многочлен под делимым 5x + 15

Теперь из делимого 5x + 15 вычитаем 5x + 15 . Если из 5x + 15 вычесть 5x + 15 получится 0.

На этом деление завершено.

После выполнения деления можно выполнить проверку, умножив частное на делитель. В нашем случае, если частное x + 5 умножить на делитель x + 3 , должен получаться многочлен x 2 + 8x + 15

Пример 2. Разделить многочлен x 2 − 8x + 7 на многочлен x − 7

Записываем уголком данное деление:

Находим первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим x . Записываем x под правым углом:

Умножаем x на x − 7 , получаем x 2 − 7x . Записываем этот многочлен под делимым x 2 − 8x + 7 так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Вычитаем из x 2 − 8x + 7 многочлен x 2 − 7x . При вычитании x 2 из x 2 получается 0 . Ноль не записываем. А при вычитании −7x из −8x получается −x , поскольку −8x − (−7x) = −8x + 7x = −x . Записываем −x под членами −7x и −8x . Далее сносим следующий член 7

Следует быть внимательным при вычитании отрицательных членов. Часто на этом этапе допускаются ошибки. Если на первых порах вычитание в столбик даётся тяжело, то можно использовать обычное вычитание многочленов в строку, которое мы изучили ранее. Для этого нужно отдельно выписать делимое и вычесть из него многочлен, который под ним располагается. Преимущество этого метода заключается в том, что следующие члены делимого сносить не нужно — они автоматически перейдут в новое делимое. Давайте воспользуемся этим методом:

Вернёмся к нашей задаче. Разделим многочлен −x + 7 на x − 7 . Для этого нужно найти второй член частного. Чтобы его найти, нужно первый член делимого (сейчас это член −x ) разделить на первый член делителя (это член x ). Если −x разделить на x , получится −1 . Записываем −1 под правым углом вместе со своим знаком:

Умножаем −1 на x − 7 , получаем −x + 7 . Записываем этот многочлен под делимым −x + 7

Теперь из −x + 7 вычитаем −x + 7 . Если из −x + 7 вычесть −x + 7 получится 0

Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена x 2 − 8x + 7 на многочлен x − 7 равно x − 1

Выполним проверку. Умножим частное x − 1 на делитель x − 7 . У нас должен получиться многочлен x 2 − 8x + 7

Пример 3. Разделить многочлен x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 на многочлен x 2 + x 3

Найдём первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим x 4

Умножаем x 4 на делитель x 2 + x 3 и полученный результат записываем под делимым. Если x 4 умножить на x 2 + x 3 получится x 6 + x 7 . Члены этого многочлена записываем под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом:

Теперь из делимого вычитаем многочлен x 6 + x 7 . Вычитание x 6 из x 6 даст в результате 0. Вычитание x 7 из x 7 тоже даст в результате 0. Оставшиеся члены 2x 4 и 2x 5 снесём:

Получилось новое делимое 2x 4 + 2x 5 . Это же делимое можно было получить, выписав отдельно многочлен x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 и вычтя из него многочлен x 6 + x 7

Разделим многочлен 2x 4 + 2x 5 на делитель x 2 + x 3 . Как и раньше сначала делим первый член делимого на первый член делителя, получим 2x 2 . Записываем этот член в частном:

Умножаем 2x 2 на делитель x 2 + x 3 и полученный результат записываем под делимым. Если 2x 2 умножить на x 2 + x 3 получится 2x 4 + 2x 5 . Записываем члены этого многочлена под делимым так, чтобы подобные члены располагались друг под другом. Затем выполним вычитание:

Вычитание многочлена 2x 4 + 2x 5 из многочлена 2x 4 + 2x 5 дало в результате 0, поэтому деление успешно завершилось.

В промежуточных вычислениях члены нового делимого располагались друг от друга, образуя большие расстояния. Это было по причине того, что при умножении частного на делитель, результаты были записаны так, чтобы подобные члены располагались друг под другом.

Эти расстояния между членами нового делимого образуются тогда, когда члены исходных многочленов расположены беспорядочно. Поэтому перед делением желательно упорядочить члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Тогда решение примет более аккуратный и понятный вид.

Решим предыдущий пример, упорядочив члены исходных многочленов в порядке убывания степеней. Если члены многочлена x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 упорядочить в порядке убывания степеней, то получим многочлен x 7 + x 6 + 2x 5 + 2x 4 . А если члены многочлена x 2 + x 3 упорядочить в порядке убывания степеней, то получим многочлен x 3 + x 2

Тогда деление уголком многочлена x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 на многочлен x 2 + x 3 примет следующий вид:

Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5 на многочлен x 2 + x 3 равно x 4 + 2x 2

Выполним проверку. Умножим частное x 4 + 2x 2 на делитель x 2 + x 3 . У нас должен получиться многочлен x 6 + 2x 4 + x 7 + 2x 5

При перемножении многочленов члены исходных многочленов тоже желательно упорядочивать в порядке убывания степеней. Тогда члены полученного многочлена тоже будут упорядочены в порядке убывания степеней.

Перепишем умножение (x 4 + 2x 2 )(x 2 + x 3 ) упорядочив члены многочленов в порядке убывания степеней.

Пример 4. Разделить многочлен 17x 2 − 6x 4 + 5x 3 − 23x + 7 на многочлен 7 − 3x 2 − 2x

Упорядочим члены исходных многочленов в порядке убывания степеней и выполним уголком данное деление:

Пример 5. Разделить многочлен 4a 4 − 14a 3 b − 24a 2 b 2 − 54b 4 на многочлен a 2 − 3ab − 9b 2

Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 4a 2 . Записываем 4a 2 в частном:

Умножим 4a 2 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 и полученный результат запишем под делимым:

Вычтем из делимого полученный многочлен 4a 4 − 12a 3 b − 36a 2 b 2

Теперь делим −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 54b 4 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 . Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим −2ab . Записываем −2ab в частном:

Умножим −2ab на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 и полученный результат запишем под делимым −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 54b 4

Вычтем из многочлена −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 54b 4 многочлен −2a 3 b + 12a 2 b 2 − 18ab 3 . При вычитании подобных членов обнаруживаем, что члены −54b 4 и 18ab 3 не являются подобными, а значит их вычитание не даст никакого преобразования. В этом случае выполняем вычитание там где это можно, а именно вычтем −2a 3 b из −2a 3 b и 6a 2 b 2 из 12a 2 b 2 , а вычитание 18ab 3 из −54b 4 запишем в виде разности −54b 4 − (+18ab 3 ) или −54b 4 − 18ab 3

Этот же результат можно получить, если выполнить вычитание многочленов в строку с помощью скобок:

Вернёмся к нашей задаче. Разделим 6a 2 b 2 − 54b 4 − 18ab 3 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 . Делим первый член делимого на первый член делителя, получим 6b 2 . Записываем 6b 2 в частном:

Умножим 6b 2 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 и полученный результат запишем под делимым 6a 2 b 2 − 54b 4 − 18ab 3 . Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 6a 2 b 2 − 54b 4 − 18ab 3

Деление завершено. Таким образом, частное от деления многочлена 4a 4 − 14a 3 b − 24a 2 b 2 − 54b 4 на многочлен a 2 − 3ab − 9b 2 равно 4a 2 − 2ab + 6b 2 .

Выполним проверку. Умножим частное 4a 2 − 2ab + 6b 2 на делитель a 2 − 3ab − 9b 2 . У нас должен получиться многочлен 4a 4 − 14a 3 b − 24a 2 b 2 − 54b 4

Деление многочлена на многочлен с остатком

Как и при делении обычных чисел, при делении многочлена на многочлен может образоваться остаток от деления.

Для начала вспомним деление обычных чисел с остатком. Например, разделим уголком 15 на 2. С остатком это деление будет выполнено так:

То есть при делении 15 на 2 получается 7 целых и 1 в остатке. Ответ записывается следующим образом:

Рациональное число читается как семь целых плюс одна вторая. Знак «плюс» по традиции не записывают. Но если при делении многочлена на многочлен образуется остаток, то этот плюс записывать нужно.

Например, если при делении многочлена a на многочлен b получится частное c , да еще останется остаток q , то ответ будет записан так:

Например, разделим многочлен 2x 3 − x 2 − 5x + 4 на многочлен x − 3

Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 2x 2 . Записываем 2x 2 в частном:

Умножим 2x 2 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым:

Вычтем из делимого полученный многочлен 2x 3 − 6x 2

Теперь делим 5x 2 − 5x + 4 на делитель x − 3 . Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 5x . Записываем 5x в частном:

Умножим 5x на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 5x 2 − 5x + 4

Вычтем из многочлена 5x 2 − 5x + 4 многочлен 5x 2 − 15x

Теперь делим 10x + 4 на делитель x − 3 . Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 10 . Записываем 10 в частном:

Умножим 10 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 10x + 4 . Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 10x + 4

Число 34, полученное в результате вычитания многочлена 10x − 30 из многочлена 10x + 4 , является остатком. Мы не сможем найти следующий член частного, который при умножении с делителем x − 3 дал бы нам в результате 34 .

Поэтому при делении многочлена 2x 3 − 2x 2 − 5x + 4 на многочлен x − 3 получается 2x 2 + 5x + 10 и 34 в остатке. Ответ записывается таким же образом, как и при делении обычных чисел. Сначала записывается целая часть (она располагается под правым углом) плюс остаток, разделенный на делитель:

Когда деление многочленов невозможно

Деление многочлена на многочлен невозможно в случае, если степень делимого окажется меньше степени делителя.

Например, нельзя разделить многочлен x 3 + x на многочлен x 4 + x 2 , поскольку делимое является многочленом третьей степени, а делитель — многочленом четвёртой степени.

Вопреки этому запрету можно попробовать разделить многочлен x 3 + x на многочлен x 4 + x 2 , и даже получить частное x − 1 , которое при перемножении с делителем будет давать делимое:

Но при делении многочлена на многочлен должен получаться именно многочлен, а частное x − 1 многочленом не является. Ведь многочлен состоит из одночленов, а одночлен в свою очередь это произведение чисел, переменных и степеней. Выражение x − 1 это дробь , которая не является произведением.

Пусть имеется прямоугольник со сторонами 4 и 2

Площадь этого прямоугольника будет равна 4 × 2 = 8 кв.ед.

Увеличим длину и ширину этого прямоугольника на x

Достроим отсутствующие стороны:

Теперь прямоугольник имеет длину x + 4 и ширину x + 2 . Площадь этого прямоугольника будет равна произведению (x + 4)(x + 2) и выражаться многочленом x 2 + 6x + 8

При этом мы можем выполнить обратную операцию, а именно разделить площадь x 2 + 6x + 8 на ширину x + 2 и получить длину x + 4 .

Степень многочлена x 2 + 6x + 8 равна сумме степеней многочленов-сомножителей x + 4 и x + 2 , а значит ни одна из степеней многочленов-сомножителей не может превосходить степень многочлена-произведения. Следовательно, чтобы обратное деление было возможным, степень делителя должна быть меньше степени делимого.

Арифметика остатков

Л. Каменецкая,
г. Всеволжск,
Ленинградская обл.

Арифметика
остатков

Статья опубликована при поддержке образовательного сайта по математике «EGEUROK.RU». Подготовка к ЕГЭ по математики – дело сложное. Далеко не в каждой школе учат решать задачи, которые ребенок видит в части С. Что бы к ним подготовится, изучите решение заданий ЕГЭ и ГИА по математике на сайте «EGEUROK.RU», по адресу http://egeurok.ru.

«Остатки» играют в нашей
жизни большую роль. Мы встречаемся с ними
буквально на каждом шагу. Приведем несколько
примеров.

1. Говоря «30 год», мы указываем
век, так как 30 год может быть и в XX в., и в XIX в.,
и в XVIII в.; 30 – это остаток от деления полного
числа лет на 100.

2. Вы взглянули на часы,
которые показывают 8 ч. Но это может быть и
8 ч и 20 ч, так как часы показывают остаток от
деления полного времени на 12.

3. Счетчик показывает 0314 кВт
• ч. Это может быть и 0314 кВт•ч и 10314 кВт•ч и
20314 кВт•ч, так как счетчик показывает остаток
от деления израсходованного числа
киловатт-часов на 10 000.

Таких примеров можно привести
множество. Иногда найти остаток совсем нетрудно.
А как, например, найти остаток от деления числа
1996•1997•1998•1999•2000•2001 на 7? Перемножить и
разделить? Представьте себе проблемы, с которыми
придется столкнуться.

Эту задачу мы решим немного
позже и почти устно, познакомившись с теорией
«Арифметика остатков» или «Арифметика
сравнений».

Определение. Делитель в
теории чисел называется модулем, а числа, дающие
при делении на модуль одинаковые остатки,
называются сравнимыми по модулю.

Например, 8 = 7•1 + 1, 15 = 7•2 + 1.
Числа 8 и 15 при делении на 7 дают одинаковые
остатки, равные 1, следовательно, 8 и 15 сравнимы по
модулю 7. Это записывают так: 15 є 8 (mod 7), аналогично 22 є 15 (mod 7).

В качестве модуля можно взять
любое натуральное число. Например, 20є5 (mod 3), 16є4 (mod 4), 37є7 (mod 10). 

Вообще aєb (mod m), если a = mc + r, b = mc + r, где 0 m r
< m.

Заметим, что если 15є8 (mod 7), то (15 –
7. Здесь значок обозначает «кратно» или
«делится на…».

Например, если 11є5 (mod 3), то (11 –
5) 3.

Вообще, если aєb (mod m), то a – b =
(mc + r) – (md + r) = m(c – d) m.

Мы доказали, что если числа
сравнимы по модулю m, то их разность делится на
модуль m.

Верно и обратное утверждение:
если разность двух чисел делится на m, по эти
числа сравнимы по модулю m.

В самом деле, если бы эти числа
не были сравнимы по модулю m, то давали бы разные
остатки при делении на m, но тогда их разность не
могла бы делиться на m. Это свойство сравнений мы
будем использовать, например, для доказательства
сравнимости чисел:

10є3 (mod 7), так как 10 – 3 = 7 7;
21є13 (mod 4),
так как 21 – 13 = 8 4.

Из этого свойства вытекает
способ получения сравнимых по модулю чисел:
прибавить или вычесть из данного числа кратные
модулю числа.

Например, 11є8є5є2 (mod 3). Причем, натуральное
число, меньшее модуля и сравнимое с другими
числами, служит остатком от деления этих чисел на
модуль. В рассмотренном примере остаток равен 2.

Приведем еще один пример: 23є19є15є11є7є3 (mod 4).

Здесь число 3 – остаток от
деления указанных чисел на 4.

 Действия над
сравнениями

1. Заметим, что

    10є3(mod 7)
+ 12є5(mod 7)

______________
   22є8(mod 7), 
                           
так как 22 – 8 = 14 7.

Вообще,

   aєb(mod m), т. е. (a – b) m
+ cєd(mod m),
т. е. (c – d) m
__________________________
a + cєb +
d(mod m),
                         
так как (a + c) – (b + d) = (a – b) + (c – d) m.

Мы доказали, что сравнения по
одному и тому же модулю можно складывать.

Задача 1. Найдите остаток от
деления суммы  1995 + 1996 + 1997 + 1998 + 1999 на 7.

Решение.

Так как 1995 = 7•285, то 1995є0 (mod 7), то
1995 + 1996 + 1997 + 1998 + 1999є0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10є3 (mod 7).

Остаток равен 3.

Задача 2. Найдите остаток от
деления:вашего года рождения, например 1988 г.,
на 11.

Имеем 1988 = 11•80 + 8, значит, 1998є8 (mod 11);
года рождения вашей мамы, например 1953 г., на 11.
Получаем

1953 = 11•177 + 6, значит 1953є6 (mod 11);

суммы годов рождений, вашего и
маминого, на 11. Находим 1988 + 1953є8 + 6 = 14є3 (mod 11).

2. Заметим, что

   10є3(mod 7)
• 12є5(mod
7)
______________
120є 8(mod 7),
              так
как 120 – 15 = 105 7.

Сравнения по одному и тому же
модулю, можно перемножать, следовательно, и
возводить в натуральную степень. (Это
утверждение для шестиклассников можно не
доказывать, только показать на примерах. Для
старшеклассников его следует доказать.)

Итак, пусть aєb (mod m) и cєd (mod m).

Докажем, что acєbd     (mod m).

Доказательство. Рассмотрим
разность

ac – bd = ac – bc + bc – bd = c(a – b) + b(c
– d) m,    так как (a – b) m и (c – d)
m.

Следовательно, acєbd (mod m), что и
требовалось доказать.

Задача 3. Найдите остаток от
деления на 7 произведения чисел
1995•1996•1997•1998•1999.

Решение. Так как 1995є0 (mod 7), то
1995•1996•1997•1998•1999 Ю 0•1•2•3•4 = 0 (mod 7).

Таким образом, остаток равен 0.

Задача 4. Найдите остаток от
деления на 7 числа 1996•1997•1998•1999•2000•2001.

Решение. Имеем  
1996•1997•1998•1999•2000•2001є 1•2•3•4•5•6 = 720є20є6 (mod 7).

Остаток равен 7.

Часто встречаются
произведения вида 1•2•3•4, 1•2•3•4•5, 1•2•3•4•5•6
и т д.

Их обозначают 1•2•3•4 = 4!,
1•2•3•4•5 = 5!. Читают: 4-факториал, 5-факториал и
т. д. Вообще, 1•2•3•…•n = n! (n-факториал).

(Найдите самостоятельно
значения выражений 5!, 7!.)

Заметим, что остаток от
деления числа на 10 есть последняя цифра этого
числа.

Пример. 21є1 (mod 10), 134є4 (mod 10).

Для решения ряда задач на
поиски последней цифры числа полезна следующая
«таблица», которую следует вывести вместе с
учащимися:

1kє1 (mod 10) 42kє6 (mod 10) 24kє6 (mod 10) 24k+1є2 (mod 10) 24k+2є4 (mod 10) 24k+3є8 (mod 10)

5kє5 (mod 10) 42k+1є4 (mod 10) 34kє1 (mod 10) 34k+1є3 (mod 10) 34k+2є9 (mod 10) 34k+3є7 (mod 10)

6kє 6 (mod 10) 92kє 1 (mod 10) 74kє1 (mod 10) 74k+1є 7 (mod 10) 74k+2є 9 (mod 10) 74k+3є3 (mod 10)

92k+1є9 (mod 10) 84kє6 (mod 10) 84k+1є8 (mod 10) 84k+2є4 (mod 10) 84k+3є2 (mod 10)

  Вывод этих сравнений
можно показать на примере:

7є7 (mod 10);
7² = 49є9 (mod 10);
7³ = 7²•7є9•7 = 63є3 (mod 10);
7⁴ = 7³•7є3•7 = 21є1 (mod 10).

Далее остатки будут
повторяться: остаток 1 имеют все степени числа 7,
показатель которых кратен 4; остаток 7 – все
степени 7, показатель которых при делении на 4
дает остаток 1; остаток 9 – все степени 7,
показатель которых при делении на 4 дает остаток
2; остаток 3 – все степени 7, показатель которых
при делении на 4 дает остаток 3.

Задача 5. Какова последняя
цифра числа 137100?

Решение. Имеем:  137є7 (mod 10), 137¹⁰⁰є 7¹⁰⁰ = 7^25•4є1 (mod 10).

Последняя цифра равна 1.

Задача 6. Найдите последнюю
цифру каждого из следующих чисел: 7⁷, 77⁷⁷,
2¹⁰⁰, 3¹⁹⁹⁹, 19¹⁰⁰, 1999¹⁹⁹⁹.

Решение. Получаем:  

7⁷ = 7^4•1+3є3 (mod 10),
77⁷⁷є7⁷⁷ = 7^4•19+1є7 (mod 10),
2¹⁰⁰ = 2^4•25є6 (mod 10),
3¹⁹⁹⁹ = 3^4•499+3є7 (mod 10),
19¹⁰⁰ є9¹⁰⁰є1 (mod 10).
1999¹⁹⁹⁹є9¹⁹⁹⁹є9 (mod 10).

Последняя цифра
соответственно 3, 7, 6, 7, 1, 9.

Задача 7.

а) Найдите остаток от деления
на 3 числа 1998¹⁹⁹⁸ + 1999¹⁹⁹⁹.
б) Найдите последнюю цифру числа 1998¹⁹⁹⁸ + 1999¹⁹⁹⁹.

Решение.

а) 1998¹⁹⁹⁸ + 1999¹⁹⁹⁹є0¹⁹⁹⁸ + 1¹⁹⁹⁹
= 0 + 1є1 (mod 3).  
Остаток равен 1.
б) 1998¹⁹⁹⁸ + 1999¹⁹⁹⁹є8¹⁹⁹⁸ + 9¹⁹⁹⁹ = 8^4•499+2 + 9^2•999+1є4 + 9 = 13є3 (mod 10).

Последняя цифра равна 3.

Рассмотрим еще ряд задач,
решаемых арифметикой сравнений.

Задача 8. Докажите, что n³
– n кратно 6 для любого натурального числа n.

Решение. Истинность
утверждения для некоторых n еще не служит
доказательством. Рассмотрим для ясности
несколько частных случаев. Например,

при n = 1        
1³ – 1 = 0 6,
при n = 2        2³ – 2 = 8 – 2 = 6
6,
при n = 10      10³ – 10 = 1000 – 10 = 9906.

Теперь докажем утверждение
задачи. При делении на число 6 возможны следующие
остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Тогда если

nє0 (mod 6), то  n³ – n = 0³
– 0 = 0 (mod 6),
nє1 (mod 6),
то  n³ – n = 1³ – 1 = 0 (mod 6),
nє2 (mod 6),
то  n³ – n = 2³ – 2 = 6є0 (mod 6),
nє3 (mod 6),
то  n³ – n = 3³ – 3 = 24є0 (mod 6),
nє4 (mod 6),
то  n³ – n = 4³ – 4 = 60є0 (mod 6),
nє5 (mod 6),
то  n³ – n = 5³ – 5 = 120є0 (mod 6).

Полный перебор показал, что n³
– n кратно 6 для любого натурального числа n.

Следует отметить, что имеются
и другие способы доказательства этого
утверждения.

Задача 9. Укажите все
возможные остатки при делении чисел вида n²
+ 3n на 7.

Решение. При делении на 7
возможны остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тогда:

nє0 (mod 7),   n² + 3n = 0²
+ 3•0 = 0 (mod 7),
nє1 (mod 7),  
n² + 3n = 1² + 3•1 = 4 (mod 7),
nє2 (mod 7),  
n² + 3n = 2² + 3•2 = 10є3 (mod 7),
nє3 (mod 7),  
n² + 3n = 3² + 3•3 = 18є4 (mod 7),
nє4 (mod 7),  
n² + 3n = 4² + 3•4 = 16 + 12 = 28є0 (mod 7),
nє5 (mod 7),  
n² + 3n = 5² + 3•5 = 25 + 15 = 40є5 (mod 7),
nє6 (mod 7),  
n2 + 3n = 6² + 3•6 = 36 + 18 = 54є5 (mod 7).

Возможные остатки: 0, 3, 4, 5.

В качестве самостоятельной
тренировочной или домашней работы следует
предложить упражнения следующего типа:

1. Найдите последнюю цифру
числа:

а) 11⁶ + 14⁶ + 16⁶;
б) 11•13•15•17•19.

2. Найдите остаток от деления
на 4 числа:

а) 11⁶ + 14⁶ + 16⁶;
б) 11•13•15•17•19.

3. Докажите, что n³ + 2n
кратно 3 для любого натурального значения n.

Решения.  

1.

а) 11⁶ + 14⁶ + 16⁶є1⁶ + 4⁶
+ 6⁶є1 + 6 + 6 = 13є3 (mod 10);
б) 11•13•15•17•19 = 1•3•5•7•9є5 (mod 10).

2.

а) 11⁶ + 14⁶ + 16⁶є3⁶ + 2⁶
+ 0⁶ =3⁴•3² + 64є1•9 + 0 = 9є1 (mod 4);
б) 11•13•15•17•19є3•1•3•1•3 = 27є3 (mod 4).

3.

nє0 (mod 3), n³ + 2nє0³ + 2•0є0 (mod 3),
nє1 (mod 3),
n³ + 2nє1³ + 2•1 = 3є0 (mod 3),
nє2 (mod 3),
n³ + 2nє2³ + 2•2 = 8 + 4 = 12є0 (mod 3).

Следовательно, n³ + 2n
кратно 3 для любого натурального значения n.

Проверку усвоения материала
рекомендуется провести следующим образом.
Ученики выполняют задания и каждую цифру ответа
заменяют буквой, используя таблицу шифра. Если
ученик справится с заданием, то в четвертом
столбце заполненной таблицы он прочитает слово
«верно».

Таблица шифра

Вариант 1 Вариант 2

Укажите последнюю
цифру числа:

Найдите остаток от
деления:

Ученики сдают свои листки с
ответами и, пока учитель просматривает их, они
выполняют следующее задание.

Вариант 1

Найдите остаток от деления на
9 числа 1998¹⁹⁹⁹ + 1999¹⁹⁹⁸.

Делится ли это число на 3? Если
нет, то какой остаток дает при делении на 3?

Вариант 2

Найдите последнюю цифру числа
  1998¹⁹⁹⁹ + 1999¹⁹⁹⁸.

Делится ли это число на 5? на 2?

Несколько задач,
объединенных общей идеей

1. Докажите, что n(n + 1)
2.

Способ I.

nє0 (mod 2), n(n + 1)є0(0 + 1) = 0 (mod 2);
nє1 (mod 2),
n(n + 1)є1(1 +
1) = 2є2 (mod 2).

Способ II. Из двух
последовательных чисел n и (n + 1) одно всегда четно,
следовательно, их произведение n(n+1) четно.

2. Докажите, что n(n + 1)(n + 2) 3.

Двое учащихся по очереди
проговаривают доказательство показанными выше
способами. Учитель предлагает классу составить
аналогичные задачи. Ученики формулируют задачи.

Докажите, что

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4;
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) 5;
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) 6.

Затем обобщают задачу: n(n + 1)(n +
2)…(n + m) (m + 1).

Вернемся к выражению n(n + 1)(n + 2).
Здесь n(n + 1) 2 и n(n + 1)(n + 2) 3,

2 и 3 – взаимно простые числа,
значит, n(n + 1)(n + 2) 1•2•3 = 3! = 6.

Докажем, что n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4! = 24.

Способ I. Нужно рассмотреть 24
случая сравнений, так как при делении числа на 24
возможны следующие остатки: 0, 1, 2, …, 24. Их
количество можно уменьшить, так как 24 = 3•8, а 3 и 8
– взаимно простые числа. Таким образом, можно
рассмотреть только 3 + 8 = 11 сравнений, три из
которых – сравнения по модулю 3 и восемь – по
модулю 8.

Способ II. Выше было доказано,
что n(n + 1)(n + 2) 3. Среди четырех последовательных
чисел n, n + 1, n + 2, n + 3 два четных. Докажем, что если
одно из них делится на 2, то другое делится на 4.
Эти числа имеют вид 2k и 2(k + 1). Из чисел k и k + 1 одно
четное вида 2m, тогда 2•2m = 4m 4. Таким образом,
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1•2•3•4 = 4! = 24.

Теперь можно доказать и
следующие утверждения:

n(n + 1)(n + 2)(n + 4) 5!;
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) 6!.

Задание на дом

1. Найдите последнюю цифру
суммы:

а) 1² + 2² + … + 10²;
     
б) 1² + 2² + … + 100².

2. Докажите, что:

а) n² + n2;
б) n² – n2.

3. Докажите, что квадрат
нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1.

4. Докажите, что сумма
квадратов двух последовательных натуральных
чисел при решении на 4 дает остаток 1.

Решения.

 1.

а) 1² + 2² + 3² + 4²
+ 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10²
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100є
є1 + 4 +  9 + 6
+ 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 45є5 (mod 10). Последняя цифра 5.
б) 1² + 2² + .. + 100²є5•10 = 50є100 (mod 10).
Последняя цифра 0.

2.

а) nє0 (mod 2), n² + nє0² + 0 = (mod 2), nє1 (mod 2), n²
+ nє1²
+ 1 = 2є0 (mod 2).
б) Доказывается аналогично.

3. Докажем, что (2n + 1)²є1 (mod 8).
Имеем: 

nє0 (mod 8), (2•0 + 1)² = 1є1 (mod 8),
nє1 (mod 8),
(2•1 + 1)² = 9є1 (mod 8),
nє2 (mod 8),
(2•2 + 1)² = 25є1 (mod 8),
nє3 (mod 8),
(2•3 + 1)² = 49є1 (mod 8),
nє4 (mod 8),
(2•4 + 1)² = 81є1 (mod 8),
nє5 (mod 8),
(2•5 + 1)² = 121є1 (mod 8),
nє6 (mod 8),
(2•6 + 1)² = 169є1 (mod 8),
nє7 (mod 8),
(2•7 + 1)² = 225є1 (mod 8).

4. Доказывается аналогично.

Литература

1. Генкин С.А., Итенберг И.В.,
Фомин Д.В. Математический кружок. Первый год. –
С.-Петербург, 1992.
2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная
работа по математике в 6–8 классах. – М.,
Просвещение, 1997.
3. Иванов С.Г. Нестандартные задачи по алгебре, 5–7
классы. – С.-Петербург, Институт продуктивного
обучения, центр профессионального обновления
«Информатизация образования», 1999.

Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Как найти сумму остатков при делении числа 5891023 на 2,10,3 …» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.

Смотреть другие ответы

Решения задач на остатки с вычислительной точки зрения можно несколько упростить, если вместо обычных остатков от деления на натуральное число n — чисел от 0 до n-1 — рассматривать «целые остатки» — целые числа, меньшие или равные по модулю, чем $frac n2$.

Например, всякое целое число можно единственным образом представить в одном из видов 7k, 7k±1,7k±2, 7k±3, или в одном из видов 8k, 8k±1, 8k±2, 8k±3, 8k+4, так что числа 0, ±1, ±2, ±3 также можно считать остатками от деления на 7, а числа 0, ±1, ±2, ±3, ±4— остатками от деления на 8. (Заметим, что число -4 в «целые остатки» не включается: число вида 8n-4 можно записать и в виде 8(n-1)+4, т.е. одно и то же число может быть представлено в двух различных видах, а такая неоднозначность противоречит всей идеологии деления с остатком.)

Для «целых остатков» остаются в силе все свойства обычных остатков, но при использовании целых остатков решение задач упрощается. Например, число 34⁷⁴⁵ при делении на 7 дает тот же остаток, что и (-1)⁷⁴⁵=-1, т.е. при переводе на язык обычных остатков — остаток 6.

Эффективно используются «целые остатки» при применении «языка сравнений»: ясно, что вычисления с ними проще, чем с обычными, потому что они меньше по модулю (в данном случае модуль — это абсолютная величина).

Остаток от деления суммы двух натуральных чисел на натуральное число k совпадает с остатком от деления на k, который при делении на k дает сумма их остатков.

Остаток от деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число k совпадает с остатком от деления на k, который при делении на k дает произведение их остатков.

Эти свойства доказываются в одну строчку, но во втором случае используется та же группировка, что мы применяли для доказательства одного свойства сравнений. Это и неудивительно, поскольку свойства остатков и свойства сравнений — это на самом деле одни и те же утверждения, только сформулированные на разных языках.

Ясно, что эти свойства обобщаются на любое число слагаемых и сомножителей, и поэтому отсюда можно получить утверждение, важное для степеней натуральных и целых чисел:

Если число а при делении на натуральное число k дает остаток r, то числа аⁿ и rⁿ при делении на k дают равные остатки.

Поэтому, например, 34⁷⁴⁵ при делении на 7 дает тот же остаток, что и 6⁷⁴⁵, что уже немного легче. А если заметить, что 6²=36 при делении на 7 дает остаток 1, то, пользуясь свойствами степеней, легко найти остаток, который дает вся степень 34⁷⁴⁵ при делении на 7: $6^{745}=6^{744}times 6=36^{372}times 6$ и поскольку первый множитель дает остаток 1, а второй — остаток 6, то искомый остаток равен 6.

Зная эти принципы вы легко сможете делать решение задач по математике и другим направлениям.

Материалы по теме:

• Точные квадраты и кубы
• Свойства сравнений
• Малая теорема Ферма
• Признаки делимости на 4, 8, 11 и 25