запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.
Решение.
Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…) Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по формуле:
.
Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:
.
Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).
Ответ: (0,(8)=8/9).
Геометрическая прогрессия
- Понятие геометрической прогрессии
- Формула n-го члена геометрической прогрессии
- Свойства геометрической прогрессии
- Сумма первых n членов геометрической прогрессии
- Примеры
п.1. Понятие геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой bn, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена bn-1 и некоторого постоянного числа q: $$ mathrm{ b_n=b_{n-1}q, ninmathbb{N}, n ge 2, qne 0, qne 1, b_1ne 0 } $$ Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, … является геометрической прогрессией с b1 = 1, q = 3.
2. Последовательность (mathrm{9, -3, 1, -frac13, frac19,…}) является геометрической прогрессией с b1 = 9, (mathrm{q=-frac13}).
п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии
По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: bn = bn-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:
b2 = b1q, b3 = b2q = (b1q)q = b1q2, b4 = b3q = (b1q2)q = b1q3,…
Получаем:
bn = b1qn-1
Например:
Найдём b5, если известно, что (mathrm{b_1=frac12, q=2}).
По формуле n-го члена получаем: (mathrm{b_5=b_1q^4=frac12cdot 2^4=2^3=8})
п.3. Свойства геометрической прогрессии
Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение
Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b1 > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqn: $$ mathrm{ b_n=frac{b_1}{q}q^n } $$
При b1 > 0, q > 1 прогрессия экпоненциально растёт
При b1 > 0, 0 < q < 1 прогрессия экпоненциально падает
Свойство 2. Признак геометрической прогрессии
Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{b_nright} — text{геометрическая прогрессия} Leftrightarrow b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ b_n=sqrt{b_{n-k}b_{n+k}}, ninmathbb{N}, kinmathbb{N}, n geq k+1 } $$
Например:
Найдём b9, если известно, что (mathrm{b_7=frac{1}{16}, b_{11}=4})
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm{b_9=sqrt{b_7b_{11}}=sqrt{frac{1}{16}cdot 4}=frac12})
Свойство 3. Равенство сумм индексов
Если {bn} – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q } $$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ b_1b_n = b_2b_{n-1}=b_3b_{n-2}=… } $$
Например:
Найдём b6, если известно, что b2 = 5, b4 = 10, b8 = 40
По равенству сумм индексов b2b8 = b4b6
Откуда (mathrm{b_6=frac{b_2b_8}{b_4}=frac{5cdot 40}{10}=20})
п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна $$mathrm{ S_n=frac{b_nq-b_1}{q-1}, qne 1} $$
Если учесть, что bn = b1qn-1, получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}, qne 1} $$
Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 22 + 23 + … + 210
В этом случае b1 = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm{ S_{10}=2cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=2cdot (1024-1)=2046})
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b5 = 9, b8 = 243
Найдём отношение $$ mathrm{ frac{b_8}{b_5}=frac{b_1cdot q^7}{b_1cdot q^4}=q^3, frac{b_8}{b_5}=frac{243}{9}=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 } $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm{ b_1=frac{b_5}{q^4}=frac{9}{3^4}=frac{3^2}{3^4}=frac{1}{3^2}=frac19 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=frac{3^{10}-1}{9cdot 2}=frac{29524}{9}=3280frac49 } $$ Ответ: q = 3, S10 = (mathrm{3280frac49})
б) b1 = 3, bn = 96, Sn = 189
По формуле суммы: $$ mathrm{ S_{n}=frac{b_nq-b_1}{q-1}Rightarrow 189 =frac{96q-3}{q-1}Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=3cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=3cdot 1023=3069 } $$ Ответ: q = 2, S10 = 3069
Пример 2. Между числами (mathrm{40frac12 text{и} 5frac13}) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm{b_1=40frac12, b_6=5frac13}) $$ mathrm{ frac{b_6}{b_1}=q^5, frac{b_6}{b_1}=5frac13 : 40frac12=frac{16}{3} : frac{81}{2}=frac{16}{3} cdot frac{2}{81}=frac{32}{243}=frac{2^5}{3^5}=left(frac23right)^5 } $$ Знаменатель (mathrm{q=frac23})
Находим промежуточные члены прогрессии: begin{gather*} mathrm{ b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac{81}{2}cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, }\ mathrm{ b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 } end{gather*} Ответ: 27, 18, 12 и 8
Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_4-b_2=0,6} & \ mathrm{b_5-b_3=1,2} & \ mathrm{S_n=12,7} & end{array}right. $$ Заметим, что b4=b2q2, b5=b3q2. Для первых двух уравнений получаем: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2q^2-b_2=0,6} & \ mathrm{b_3q^2-b-3=1,2} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2(q^2-1)=0,6} & \ mathrm{b_3(q^2-1)=1,2} & end{array}right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ mathrm{ frac{b_3(q^2-1)}{b_2(q^2-1)}=frac{1,2}{0,6}Rightarrowfrac{b_3}{b_2}=q=2 } $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ mathrm{ b_2(2^2-1)=0,6 Rightarrow b_2=frac{0,6}{3}=0,2 Rightarrow b_1=frac{b_2}{q}=frac{0,2}{2}=0,1 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=0,1cdotfrac{2^n-1}{2-1}=frac{2^n-1}{10}=12,7 Rightarrow 2^n-1=127 Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 2^n=128=2^7 Rightarrow n=7 } end{gather*} 7-й член b7 = b1q6 = 0,1 · 26 = 6,4
Ответ: b1 = 0,1; b7 = 6,4
Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором Sn = 63. $$ text{По условию} left{ begin{array}{ l } mathrm{b_1+b_2=48} & \ mathrm{b_3+b_4=12} & \ mathrm{S_n=63} & end{array}right. $$ Заметим, что b3 = b1q2, b_4=b_2q2. Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm{ b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace{(b_1+b_2)}_{=48} q^2=12 Rightarrow q^2=frac{12}{48}=frac14 Rightarrow q=frac12 } $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm{ b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac{48}{1+frac12}=48cdotfrac23=32 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=b_1frac{1-q^n}{1-q}=32cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=64left(1-frac{1}{2^n}right)=63 }\ mathrm{ 64-frac{64}{2^n}=63 Rightarrow 1=frac{2^6}{2^n} Rightarrow n=6 } end{gather*} Ответ: 6
Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти
N = N0 · 2n, где N0 = 1
N = 272 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 1021
Ответ: 4,7 · 1021 бактерий
16
Июл 2013
Категория: Справочные материалы
Геометрическая прогрессия
2013-07-16
2021-06-28
А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? + показать
Определение
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии) 
, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число 
(знаменатель прогрессии):
, где 
Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая (
)
Геометрическая прогрессия
Знаменатель геометрической прогрессии
, 
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
для 
Последовательность 
является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.
В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно: 
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
, где 
(если же 
, то 
)
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
При 
, геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число 
и 
Посмотри это видео
Примеры
Пример 1. Последовательность {} –геометрическая прогрессия.
Найдите 
, если 
, 
Решение: + показать
Приметр 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии {}, в которой 
Решение: + показать
Пример 3. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 
, а одиннадцатый член равен 
Решение: + показать
Пример 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии
Решение: + показать
Пример 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии {}, в которой 
Решение: + показать
Пример 6. Представьте в виде обыкновенной дроби число 
Решение: + показать
Пример 7. Найдите 
, если известно, что числа 
являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).
Решение: + показать
Пример 8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно 
Решение: + показать
Пример 9. Между числами 
и вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия 
Решение: + показать
Вы можете пройти тест по теме «Геометрическая прогрессия»
Автор: egeMax |
комментариев 5
Печать страницы
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
Другими словами, последовательность (bn) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:
bn+1= bn×q,
где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и bn≠0
Примером такой последовательности может быть ряд чисел 2; 10; 50; 250;…., откуда видно, что каждое последующее больше предыдущего в пять раз, значит, каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число 5. Или, например, ряд чисел 20; -2; 0,2; -0,02……, где видно, что каждое последующее умножали на одно и то же число (-0,1).
Так как по определению геометрической прогрессии мы имеем одно и то же число, то это и есть число q. Оно называется «знаменатель» геометрической прогрессии. Он находится путем деления соседних членов – последующего на предыдущий, то есть q=bn+1bn. Знаменатель не может быть равным нулю!
Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, надо знать ее первый член и знаменатель. Например, если b1=4, q=3, то получим прогрессию: 4; 12; 36; ….и так далее. Ну, а зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии: b2=b1q; b3=(b1q)q=b1q2; b4==((b1q)q)q=b1q3. Так можно продолжать и дальше, но из этих записей видно, что можно найти n-ый член геометрической последовательности, если умножить первый член на знаменатель, степень которого на 1 меньше порядкового номера искомого члена, то есть bn=b1 qn−1 . Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии
bn=b1 ×qn−1
Рассмотри на примерах применение формулы bn=b1 qn−1 для указанного члена геометрической прогрессии.
Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b1=6, q=3. Составляем формулу для b4:
b4=b1 q4−1=b1 q3
Подставляем в формулу значения, указанные в задании и вычисляем результат: b4=6×33=162.
Найти шестой член геометрической прогрессии 2; -6;……. Здесь для нахождения b6 надо знать знаменатель q. Для его нахождения надо -6 разделить на 2, получим -3, то есть q=-3. Теперь составляем формулу для b6, подставляем значения и вычисляем ответ:
b6=b1 q6−1=b1 q5=2×(−3)5=−486
Свойство геометрической прогрессии
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:
b2n=bn−1×bn+1
Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.
Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.
Пример №2. Найти b5, если задана геометрическая прогрессия, в которой b4=32, b6=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:
b25=b5−1×b5+1=b4 ×b6 =32×128=4096
Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b5: b5=√4096=64
Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у=√24×96=√2304=48.
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
Формула суммы членов геометрической прогрессии с известными членами
Sn=bnq−b1q−1 , где q≠1
Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.
Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель:
Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем
Sn=b1(qn−1)q−1, где q≠1
Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами.
Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b1=2; b5=162; q=-3.
Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S5:
S5=b5q−b1q−1
Подставим значения b1=2; b5=162 и найдем результат:
S5=162(−3)−2−3−1=−486−2−4=−488−4=122
Способ №2 (вторая формула).
Sn=b1(qn−1)q−1
Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b1=2; q=-3. Составим формулу:
S5=b1(q5−1)q−1
Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:
S5=2((−3)5−1)−3−1=2(−243−1)−4=−488−4=122
Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.
Задание OM1420222
У Кати есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в 2 раза меньше предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см?
Определим, к какой последовательности относится наша задача. По условию имеем, что после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в 2 раза меньше предыдущей. Это геометрическая прогрессия. Теперь выпишем, что известно по условию и определим, что надо найти: первый член прогрессии b1=400, знаменатель q=12, n – количество отскоков, значит, найти надо n при bn<20.
Подставим в формулу n-ого члена геометрической прогрессии наши данные:
bn=b1qn-1=400∙(12)n−1<20
Разделим обе части неравенства на 400: (12)n−1<120
Будем рассматривать случаи, начиная с n=3: (12)3−1<120; (12)2<120; (14)<120 неверно
При n=4: (12)4−1<120; (12)3<120; (18)<120 неверно
При n=5: (12)5−1<120; (12)4<120; (116)<120 неверно
При n=6: (12)6−1<120; (12)5<120; (132)<120 верно. Следовательно, после 6 отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см.
К данной задаче можно сделать проверку, а также она является простейшим способом для её решения. Рассмотрим этот способ:
1 отскок – 400 см
2 отскок – 200 см (разделили на 2, так как по условию сказано, что с каждым отскоком высота уменьшалась в 2 раза)
3 отскок – 100 см
4 отскок – 50 см
5 отскок – 25 см
6 отскок – 12,5 см, а это меньше, чем 20 см, как требуется в условии. Поэтому пишем в ответ число 6.
Ответ: 6
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Даниил Романович | Просмотров: 6.3k
Тема 13.
Сумма первых n-членов геометрической прогрессии.
Всем привет. Сегодня мы выведем формулу суммы первых n-членов геометрической прогрессии.
Расскажу историю о награде изобретателя шахматной игры. По преданию, индийский принц, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе ее изобретателя, и сказал ему: «Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, что исполнить любое твое желание». Изобретатель попросил в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Говорят, что принц рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него ученый. Так сколько же зерен должен был получить изобретатель шахмат?
Итак, получим последовательность 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;…
А это геометрическая прогрессия (bn):
Возникает необходимость найти сумму 64-х слагаемых: S64 = 1+2+4+8+16+32+64+…
Это очень сложно и громоздко…
Давай выведем формулу суммы первых n-членов (Sn) для геометрической прогрессии (bn). Обозначим сумму (Sn):
Sn =b1+b2+b3+b4+…+bn (1).
Умножим обе части этого равенства на q, получим:
Snq=b1q+b2q+b3q+…+bnq
Учитывая, что
b2=b1q, b3=b2q, …., bn =bn-1q, получим:
Snq=b2+b3+b4+….bn-1q+ bn+bnq (2)
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:
Snq- Sn= (b2+b3+b4+…+ bn+ bnq) – (b1+b2+b3+b4+…+bn)= bnq- b1, в левой части вынесем общий множитель за скобку и получим:
Sn(q-1)= bnq- b1, отсюда
S n = bnq-b1q-1; q≠1
При решении многих задач удобно пользоваться формулой, записанной в другом виде, подставим вместо bn формулу n-го члена bn=b1qn-1
S n=bnq-b1q-1= b1qn-1q-b1q-1= b1qn-b1q-1= S n=b1(qn-1)q-1, если q≠1.
Итак,
Вернемся к задаче о вознаграждении и вычислим количество зерен:
S64 =1(264-1)2-1=264-1= 18 446 744 073 709 551 615 ≈ 18,4 ∙ 1018
Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.
Давай рассмотрим несколько примеров:
(bn) – геометрическая прогрессия, где
b1=2, b2= -4. Найдем сумму первых 8 членов геометрической прогрессии:
S n=b1(qn-1)q-1 , q=b2b1=-2,
S8=2((-2)8-1)-2-1=2(256-1)-3=-170
Ответ: 170
Рассмотрим еще один пример:
Найдем сумму десяти первых членов геометрической прогрессии: 3; 6; 12; 24;….
Найдите S10 = ?
S n =b1(qn-1)q-1, q=b2b1=63=2
S10=b1(qn-1)q-1 = 3(210-1)2-1 = 3(210 – 1)=
3 ∙ (1024 — 1) = 3 ∙ 1023 = 3069.
Ответ: 3069
В следующей задаче найдем сумму первых семи членов геометрической прогрессии, в которой второй член равен 6 и четвертый – равен 54, если известно, что все ее члены положительны.
Итак, чтобы найти сумму семи членов, необходимо найти знаменатель данной прогрессии. Для этого найдем третий член, воспользовавшись свойством геометрической прогрессии, получим:
b32=b2∙b4
b32=6∙54=324
b3=18 или b3=-18
По условию задачи все члены прогрессии положительны, значит третий член равен 18.
Ответ:18
Найдем знаменатель и первый член геометрической прогрессии:
q=b3b2=186=3, значит b1=b2q=63=2
Теперь найдем сумму:
S7=b1q7-1q-1=237-13-1=2187-1=2186
Ответ: 2186