Как найти сумму площадей треугольников формула

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Чему равна сумма S(ABC) + 2S(AED) ? бонус за лучший ответ (выдан): 7 кредитов Продолжим сторону ВС за точку С, и из точки А опустим на это продолжение перпендикуляр, точку пересечения обозначим М. В треугольнике АМС угол МАС равн 20°, а сторона АС равна 2х. Тогда площадь треугольника АМС= (1/2)*2x*sin(20°)*2x­*cos(20°)=x^2*sin(40­°). Площадь треугольника AED равна (1/2)*x^2*sin(40°). Таким образом 2S(AED)= S(АМС), и искомая сумма равна площади треугольника АМВ. Поскольку он прямоугольный с углом 30°, то АМ=2, МВ=2*√3, а его площадь 2*√3. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Светл­ана02­02 [189K] 3 года назад  Треугольник AED является равнобедренным, поскольку углы AED и ADE по семьдесят градусов каждый. Стало быть, АЕ = х, АС = 2х. S(ABC) = 4x*sin40°. 2S(AED) =x²*sin40°. S(ABC) + 2S(AED) = (4x + x²)sin40°. Теперь дело за малым, осталось лишь найти х. По т. синусов 2х/sin30° = 4/sin110°; x = 1/sin110°. Таким образом, искомая сумма равна sin40°(4/sin110° + 1/sin²110°). Честно говоря, мне лень возиться с тригонометрическими вычислениями (да и неизвестно, был бы от этого хоть какой-то толк), поэтому я прибегла к онлайн-калькулятору для нахождения приблизительного значения синусов сорока и ста десяти градусов. В итоге получилось, что указанная в задании сумма примерно равна 3,464. bezde­lnik 1 [1.1K] 3 года назад  Автор вопроса не оговорил что считать за единицу площади. По условию задачи AB=AD+DB=x+(4-x)=4. Прочертим отрезок прямой АВ=4 в произвольном масштабе, например 3:1, то-есть на чертеже АВ=12 см, но в дальнейшем будем считать АВ=4 безразмерным единицам. Чтобы построить угол АВС=30°, разделим АВ пополам и обозначим эту середину буквой Н. Из точки Н восстановим перпендикуляр к АВ и отложим на нём отрезок НТ=1. Через точку Т проведём прямую Z параллельно АВ. Из точки В проведём дугу радиусом 2 до пересечения с прямой Z в точке К, ВК=2. Через точки В и К проведём прямую ВК которая образует угол АВК=30°. Из точки К опустим перпендикуляр КМ=НТ=1 на АВ. По теореме Пифагора КМ^2=ВК^2-ВМ^2, 1=4-ВМ^2, ВМ^2=3, ВМ=√3. Площадь треугольника Sквм=ВМ*КМ/2=√3*1/2. АМ=4-ВМ=4-√3. Угол АСВ=110° по условию задачи, тогда угол ВАС=180-110-30=40°. Угол ВАС=180-110-30=40°. Угол ВDЕ=70° по условию вопроса, поэтому угол АЕD=180-40-70=70°, следовательно треугольник АЕD равнобедренный, АD=х по условию, тогда АЕ=х и ЕС=х, АС=2х. Из точки Е сделаем засечку на прямой АВ радиусом равным х и обозначим этот отрезок ЕГ=х. Из точки Г восстановим перпендикуляр к АВ до пересечения с продолжением прямой ВК в некоторой точке,предположитель­но в точке С. Тогда угол ЕГС=АСГ=90-40=50°. Угол АСВ=110=АСГ+ВСГ=50+6­0=110°, следовательно перпендикуляр из точки Г действительно пересекается с продолжением прямой ВК в точке С. Площадь треугольника Sасв=АВ*СГ/2=4*СГ/2=­2*СГ. Из рисунка выполненного в масштабе АВ≈12, СГ≈3,8, Sасв≈12*3,8≈45,6 квадратных единиц. Как известно любые практические построения не могут быть абсолютно точными, поэтому можно считать полученные результаты удовлетворительными. Из точки Е опустим перпендикуляр ПЕ на АВ. Площадь 2S(AED)≈АD*ПЕ. Из рисунка АD≈3,2, ПЕ=1,9, тогда 2S(AED)=3,2*1,9=6,08­. Суммарная площадь треугольников S≈45,6+6,08≈51,68 квадратных единиц. bezde­lnik 1 [1.1K] 3 года назад  AD=x, DB=4-x, AB=AD+DB=x+(4-x)=4. AC=CB=2x. Опустим из точки С перпендикуляр СМ на сторону АВ. СМ=АС/2=х, как катет лежащий напротив угла 30°. Площадь равнобедренного треугольника Sавс=АВ*СМ/2=4*х/2=2­*х. В тоже время эта площадь по формуле Герона Sавс=√р*(р-a)*(p-b)*(p-c), где р — половина периметра треугольника, р=(АС+СВ+АВ)/2=(2х+2­х+4)/2=2х+2. Sавс=√(2х+2)*2*2*(2х-2)=2*√(2х+2)*(2х-2)=2*√(4х^2-4)=4*√(х^2-1). 4*√(х^2-1)=2*х Из этого равенства х=2/√3, а Sавс=4/√3. S(AED)=(АЕ*АD*Sin30°­)/2=х^2/4=1/3, 2*S(AED)=2/3. Суммарная площадь треугольников S=4/√3+2/3≈2,976… . Знаете ответ?

Смотрите также: ОГЭ математика 5, годовая 4 по алгебре и 4 по геометрии, что в аттестат? ОГЭ математика 4. Годовая алгебра 4, геометрия 3. Что будет в аттестате? Математика 6, 5, 2 класс. Где скачать ответы на задачи в 2017? Задача о разделении школьников на кружки по математике поровну. Как решить? Как решить задачу: в школе мальчики составляют 57 % (см)? Как объяснить ребенку задачи на скорость, время, расстояние? 4 класс. Как решить задачу: Алёша решил в 3 раза больше задач, чем Боря (см.)? Вы помните каких учителей вы не любили в школе? За что? Задача. Если сегодня вторник, какой день недели будет через 150 дней? Задачи экологического характера для 1 класса, какие придумать?

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решать задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Начнем с квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Она также равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Для площади треугольника есть целых 5 формул. И все они применяются в задачах ЕГЭ.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

2) Она также равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

3) По формуле Герона, где полупериметр.

4) Также площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радис вписанной окружности, S = pr.

5) Еще один способ. Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности,

Есть и другие формулы для площади треугольника. Но для решения заданий ЕГЭ, и первой, и второй части, достаточно этих пяти.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Она также равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе:

Площадь правильного треугольника равна квадрату его стороны, умноженному на и деленному на 4:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту,

Также можно сказать, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту,

Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними,

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. Она также равна половине произведения диагоналей:

Площадь круга равна произведению числа и квадрата радиуса круга.

Ее также можно записать как произведение числа и квадрата диаметра круга, деленного на 4:

Вспомним важные свойства площадей фигур.

1. Равные фигуры имеют равные площади.
   Иногда фигуры, имеющие равные площади, еще называют равновеликими.
2. Если фигура составлена из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

Пример. Найдем площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см1см.

Решение:

Найдем площадь фигуры на рисунке как сумму площадей нескольких фигур.

На рисунке это три треугольника и трапеция, указаны их площади. Тогда площадь фигуры равна 10 + 3,5 + 1,5 + 3 = 18.

Ответ: 18.

3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Треугольники АВС и на рисунке называются подобными.

У треугольника все стороны в k раз длиннее, чем у треугольника АВС. Высота треугольника в k раз длиннее, чем высота треугольника АВС. Тогда площадь треугольника в раз больше, чем площадь треугольника АВС.

4. На рисунке показаны треугольники АВС и BCD, имеющие общую высоту. Отношение площадей этих треугольников равно отношению АС к CD:

5. Треугольники АВС и АЕС на рисунке имеют одинаковое основание и разные высоты.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот:

6. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, то есть равных по площади, треугольника.

На рисунке СМ — медиана треугольника АВС. Площади треугольников АСМ и ВСМ равны.

7. Три медианы треугольника делят его на шесть равных по площади треугольников.

На рисунке все 6 треугольников, из которых состоит треугольник АВС, имеют равные лощади.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Площади фигур.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

Ответ: 24.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:

Так как DE и АВ параллельны, треугольники CDE и САВ подобны с коэффициентом подобия Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

Ответ: 1.

Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Решение:

Выразим площадь двумя способами:

Тогда

Ответ: 6.

Задача 4. Площадь треугольника ABC равна 10, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение:

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, .

Ответ: 7,5.

Задача 5. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, . Найдите большую высоту параллелограмма.

Решение:

Большая высота — это DH, потому что проведена к меньшей стороне. Из треугольника АDН:

Ответ: 18.

Задача 6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение:

Квадрат — это частный случай ромба. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 7. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Решение:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь прямоугольника равна тогда одна из сторон равна 3, а другая 6. Периметр P = 2 · 3 + 2 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Задача 8. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна вторая равна а острый угол параллелограмма равен Тогда площадь параллелограмма равна а площадь прямоугольника равна

По условию площадь прямоугольника вдвое больше:

Следовательно,

Ответ: 30.

Задача 9. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть высоты равны соответственно a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. Поэтому a = 8, b = 4. Большая высота равна 8.

Ответ: 8.

Задача 10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30

Решение:

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть сторона ромба равна

Получим уравнение:

Корень уравнения a = 4, поэтому

Ответ: 8.

Задача 11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Ответ: 24.

Задача 12. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная, значит,

Тогда по теореме Пифагора из треугольника ADH:

Ответ: 160.

Задача 13. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45

Решение:

Проведем высоту CH. Треугольник CHB — прямоугольный, в нем

значит, он также равнобедренный, CH = HB = 4.

Ответ: 16.

Задача 14. Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Выразим её из формулы площади трапеции:

Ответ: 15.

Задача 15. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна h, тогда

Из этого уравнения получим: h = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции. Длина катета равна половине гипотенузы, следовательно, он лежит напротив угла

Ответ: 30.

Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Задача 16. Найдем площадь четырехугольника на рисунке.

Решение:

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников:

Ответ: 12,5.

В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Задача 17. Найдем площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем:

Ответ: 10,5.

Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.

Задача 18.

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Решение:

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна так как Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R = 1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в  раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

Формула Пика

Покажем, как вычислять площадь фигуры, изображенной на координатной плоскости, с помощью формулы Пика.

Задача 19. Найдите площадь многоугольника АВСDE, изображенного на рисунке.

Первый способ:

Площадь многоугольника ABCDE равна сумме площадей треугольника BCD, трапеции BKDE и треугольника AKE.

Имеем:

Второй способ — применить формулу Пика.

Назовем точку координатной плоскости целочисленной, если обе ее координаты — целые числа. На нашем рисунке это точки на пересечениях линий, разделяющих клетчатую бумагу на клетки.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

.

Здесь В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Главное — аккуратно посчитать. На нашем рисунке

В = 24 (показаны зеленым),

Г = 8 (показаны красным),

S = 24 + — 1 = 27.

Ответ: 27.

Let $|AB|=|BC|=|CA|=a$,
$|AM|=m$,
$|BN|=n$,
$|CP|=p$,

$|OM|=u$,
$|ON|=v$,
$|OP|=w$.

begin{align}
S_1&=
S_{AMO}+S_{BNO}+S_{CPO}
,\
S_2&=
S_{AOP}+S_{BOM}+S_{CON}
,\
S_1+S_2&=S_{ABC}
.
end{align}

Given
begin{align}
A&=(0,0),quad B=(a,0),quad C=(tfrac12a,tfrac{sqrt3}2a),\
O&=(m,u),quad M=(m,0),\
end{align}

using complex arithmetics,
it can be shown that
begin{align}
N&=(tfrac34a-tfrac{sqrt3}4,u+tfrac14,m
,
tfrac{sqrt3}4,a+tfrac34,u-tfrac{sqrt3}4,m),\
P&=(
tfrac{sqrt3}4,u+tfrac14,m
,
tfrac34,u+tfrac{sqrt3}4,m),\
S_{AMO} &= tfrac12,u,m,\
S_{BNO} &= tfrac18,(sqrt3,a-sqrt3,m-u)(a+sqrt3,u-m),\
S_{CPO} &= tfrac18,(2,a-m-sqrt3,u)(sqrt3,m-u),\
S_1&=
S_{AMO}+S_{BNO}+S_{CPO}
=tfrac{sqrt3}8,a^2=tfrac12 S_{ABC}
=S_2
.
end{align}

Понятие площади

В этом собственно и состоит понятие площади. У неё есть следующие два свойства:

1. Площадь равных геометрических фигур имеет одно и то же числовое значение;
2. Величина площади фигуры равняется сумме единичных площадей квадратов, на которые её можно разделить.

Пример 1.

Пусть у нас имеется прямоугольник в котором укладывается 7 клеток по вертикали и 12 по горизонтали. Это значит он будет иметь стороны a=7 и b=12.

Из рисунка видно, что S нашего треугольника это половина таковой у прямоугольника.  Последняя вычисляется так [mathrm{S}_{text {прям }}=mathrm{a} * mathrm{~b}]. Чтобы узнать площадь треугольника, разделим [mathrm{S}_{text {прям }}] на 2, тогда получим:

Подставляем численные значения (7*12)/2 = 42.

Как найти площадь треугольника, если мы знаем его основание и высоту

В нашем случае основанием считается сторона AB. Формула для S получается следующей:

Доказательство:

Посмотрите рисунок. Из него ясно видно, что высота h делит ABC на 2 прямоугольных треугольника ACH и HCB.

По формуле (1) вычисление S каждого из них идёт так.

S(ACH) = (1/2)(AH)*h

S(HCB)=(1/2)(HB)*h

Чтобы вычислить площадь треугольника abc, нужно S(ACH) и S(HCB) сложить.

S=(1/2)(AH)*h+ (1/2)(HB)*h

Выносим (1/2) и h за скобки и получаем

(1/2)*h*(AH+HB)

Но AH+HB=AB, т. е.

S = (1/2)*AB*h, что и требовалось доказать.

Как видите, формулу площади треугольника получить и доказать достаточно легко.

Теперь о том, как найти площадь треугольника прибегнув к формуле Герона. Эта задача тоже не особо трудная.

Формула Герона для треугольника

По формуле Герона S треугольника, имеющего стороны a, b, c равна:

[S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}]

P — полупериметр. Он равен

[p=frac{a+b+c}{2}]

Доказательство:

Положим, что x=CH. В этом случае BH=a-x

С помощью теоремы Пифагора по отношению к AHC и AHB будем иметь

Из них следует, что

[b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}]

Отсюда легко найти

Чтобы найти h подставляем (5) в (3) и получаем

[h=sqrt{b^{2}-x^{2}}=sqrt{b^{2}-left(frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a}right)^{2}}] (6)

Тогда S будет равняться

[S=frac{1}{2} cdot a cdot h=frac{1}{2} cdot a cdot sqrt{b^{2}-left(frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a}right)^{2}}] (7)

Преобразовав это выражение, получаем формулу Герона для площади треугольника.

Вот так можно найти площадь треугольника по формуле Герона.

Площадь равностороннего треугольника

где a —длина одной из трёх сторон.

Для её доказательства употребим формулу Герона.

Полупериметр в нашем случае равен

p = (З/2)*a

Выражение под знаком корня в формуле Герона можно записать в виде

[sqrt{p^{*}(p-a)^{2 *}(p-a)}]

Выносим второй член произведения из-под корня и получаем

[(p-a) sqrt{p^{*}(p-a)}]

Далее так как p-a = (За-2а)/2=a/2 формула Герона для треугольника приобретает следующий вид

[mathrm{S}=mathrm{a} / 2 sqrt{(3 / 4)^{*} mathrm{a}^{2}}]

Выносим из-под корня a² и 4 в знаменателе, в результате расчёта получаем

[S=frac{alpha^{2} sqrt{3}}{4}]

Что и требовалось доказать.