Как найти сумму пяти чисел геометрической прогрессии

Решение.

Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…)  Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по  формуле:

Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).

Ответ: (0,(8)=8/9).

Определение

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (b_n) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:

b_n+1= b_n×q,

где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и b_n≠0

Примером такой последовательности может быть ряд чисел 2; 10; 50; 250;…., откуда видно, что каждое последующее больше предыдущего в пять раз, значит, каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число 5. Или, например, ряд чисел 20; -2; 0,2; -0,02……, где видно, что каждое последующее умножали на одно и то же число (-0,1).

Так как по определению геометрической прогрессии мы имеем одно и то же число, то это и есть число q. Оно называется «знаменатель» геометрической прогрессии. Он находится путем деления соседних членов – последующего на предыдущий, то есть q=bn+1bn. Знаменатель не может быть равным нулю!

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, надо знать ее первый член и знаменатель. Например, если b₁=4, q=3, то получим прогрессию: 4; 12; 36; ….и так далее. Ну, а зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии: b₂=b₁q; b₃=(b₁q)q=b₁q²; b₄==((b₁q)q)q=b₁q³. Так можно продолжать и дальше, но из этих записей видно, что можно найти n-ый член геометрической последовательности, если умножить первый член на знаменатель, степень которого на 1 меньше порядкового номера искомого члена, то есть bn=b1 qn−1 . Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

bn=b1 ×qn−1

Рассмотри на примерах применение формулы bn=b1 qn−1 для указанного члена геометрической прогрессии.

Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b₁=6, q=3. Составляем формулу для b₄:

b4=b1 q4−1=b1 q3

Подставляем в формулу значения, указанные в задании и вычисляем результат: b4=6×33=162.

Найти шестой член геометрической прогрессии 2; -6;……. Здесь для нахождения b₆ надо знать знаменатель q. Для его нахождения надо -6 разделить на 2, получим -3, то есть q=-3. Теперь составляем формулу для b₆, подставляем значения и вычисляем ответ:

b6=b1 q6−1=b1 q5=2×(−3)5=−486

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:

b2n=bn−1×bn+1

Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.

Пример №2. Найти b₅, если задана геометрическая прогрессия, в которой b₄=32, b₆=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:

b25=b5−1×b5+1=b4 ×b6 =32×128=4096

Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b₅: b₅=√4096=64

Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у=√24×96=√2304=48.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы членов геометрической прогрессии с известными членами

Sn=bnq−b1q−1 , где q≠1

Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.

Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель:

Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем

Sn=b1(qn−1)q−1, где q≠1

Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами.

Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b₁=2; b₅=162; q=-3.

Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S₅:

S5=b5q−b1q−1

Подставим значения b₁=2; b₅=162 и найдем результат:

S5=162(−3)−2−3−1=−486−2−4=−488−4=122

Способ №2 (вторая формула).

 Sn=b1(qn−1)q−1

Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b₁=2; q=-3. Составим формулу:

S5=b1(q5−1)q−1

Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:

S5=2((−3)5−1)−3−1=2(−243−1)−4=−488−4=122

Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.

Даниил Романович | Просмотров: 6.4k

Печать страницы

Для прогрессии, знаменатель которой заключен между нулем и единицей, то есть является правильной дробью (0<к<1), сумма всей последовательности будет вполне однозначным конкретным числом, так как весь числовой ряд будет убывающим. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет свою отдельную формулу, которую можно найти в соответствующем разделе, вместе с калькулятором.

Чтобы найти сумму первых членов геометрической прогрессии, необходимо знать первый член и знаменатель прогрессии. Если по условиям задачи дан какой-либо другой член прогрессии, кроме первого, тогда нужно будет сначала воспользоваться формулой первого члена геометрической прогрессии, чтобы вычислить его, и подставить полученное значение в онлайн калькулятор суммы.

Формула суммы первых трех, четырех или n членов геометрической прогрессии выводится с использованием среднего геометрического, как основного свойства данной прогрессии. Любое из чисел, стоящих в ряду, будет равно среднему геометрическому его соседей:

Если объединить это свойство с отношением двух последовательных членов прогрессии, которые неизменно равно одному и тому же числу — знаменателю, то путем нехитрых сокращений, сумма первых нескольких членов геометрической прогрессии приводится к такому виду:

В некоторых источниках встречается похожий вариант, но с другими знаками в скобках — по сути окончательного значения это не меняет, и для ручного расчета, когда даны первые несколько членов, уместно использовать более удобную на момент формулу.

Прогрессии

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение («progression», что означает «движение вперед»), был введен римским математиком Боэцием в 6 веке.

Что такое прогрессия? Это тип последовательности. А что такое последовательность? Это бесконечный набор чисел, подчиняющийся определенному правилу. Например, последовательность составляют все числа, делящиеся на 2. Их бесконечно много, и они подчиняются определенному правилу. Последовательность можно задать формулой n-го члена, где n – номер члена последовательности.

Например,

$ M_{n}=2^{n}-1 $ (числа Мерсенна)

$ M_{1}=2^{1}-1=1 $

$ M_{2}=2^{2}-1=3 $

$ M_{5}=2^{5}-1=31 $

Последовательность также может задаваться правилом, по которому находят каждый ее член, если известны предыдущие. Например, первые два члена последовательности равны единице, а каждый следующий равен сумме двух непосредственно предшествующих ему. Тогда получаем последовательность чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (называемых числами Фибоначчи)

Есть два вида последовательностей, которые изучаются в курсе математики– это арифметические и геометрические прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число d.

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d < 0, то — убывающей последовательностью. А если d = 0 ? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью d = 1, а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность d = 2 (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии a₁ и ее разность d, то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

• a_n = a₁ + d · (n−1) — формула n-го члена,

Пример: найдите члены а₈, а₁₀₀₀ арифметической прогрессии, у которой а₁ = -2, d = 5

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

а₈ = a₁ + d · (8 −1) = -2 + 7 · 5 = 33.

а₁₀₀₀ = a₁ + d · (1000 −1) = -2 + 999 · 5 = 4993.

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

• $ S_{n}= frac {a_{1}+a_{n}}{2} cdot n = frac {2a_{1}+d(n-1)}{2} cdot n; $

Пример: определить сумму k первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с a₁ = 1 и d = 2

$ S_{k}= frac {2a_{1}+d(k-1)}{2} cdot k = frac {2 cdot 1+2(k-1)}{2} cdot k = frac {2+2k-2}{2} cdot k=k^{2} $

Например, сумма первых пяти нечетных чисел:

Можно убедиться, что 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)

• $ a_{n}= frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2} $ — свойство n-го члена.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Например, 1, 3, 9, 27…

Если q > 0, то прогрессия считается знакоположительной, при q < 0 – знакопеременной.

Если |q |>1, прогрессия возрастающая, если |q | <1 – убывающая. Заметим, что при q < 0 сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если b₁ — первый член прогрессии (b₁ ≠ 0), а q — знаменатель прогрессии (q ≠ 0), то справедливы следующие формулы:

• b_n = b_{1 ·} q ^{n -1} формула n-го члена

Пример: найдите b₄, b₁₁ геометрической прогрессии, если b₁ = 3, q = 2

Решение:

По формуле найдем:

b₄ = b_{1 ·} q ^{4 — 1}= 3 · 2 ³ = 24,

b₁₁ = b_{1 ·} q ^{11 — 1}= 3 · 2 ¹⁰ = 3072.

• $ S_{n}= b_{1} frac {q^{n}-1}{q-1} $ — формула суммы n первых членов;

Пример: найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой b₁ = 2, q = 3

Решение:

$ S_{5}= b_{1} frac {(q^{5}-1)}{q-1} = 2 frac {(3^{5}-1)}{3-1} = 2 frac {(243-1)}{2}=242 $

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

• $ b_{n}= sqrt {b_{n-1} cdot b_{n+1}} $ — свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле $ S= frac {b_{1}}{1-q} $

Замечание:

Формула n-го члена прогрессии:

• арифметической:a_n = a₁ + d · (n − 1)
• геометрической: b_n = b_{1 ·} q ^{n — 1}

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.

Сложные проценты

Есть два вида процентов доходности – простые и сложные.

Чтобы с ними разобраться, представим двух братьев: Расчетливого Сашу и Простака Петю. Их отец дал каждому по 1000 рублей, и оба кладут их в банк. Расчетливый Саша всегда пользуется счетом со сложными процентами, а Простак Петя больше любит поступать по старинке и предпочитает счета с простыми процентами.

Сложный процент — это проценты с процентов.

У простого процента такой особенности нет, его рассчитывают от стартовой суммы, которую называют «основным капиталом». Пете легко в этом разобраться: основной капитал зарабатывает каждый год одну и ту же сумму.

Если вы откладываете деньги, занимаете их, пользуетесь кредитной картой, берёте в ипотеку или покупаете пожизненную ренту, формула сложного процента работает на (или против) вас.

Давайте выведем формулу сложных процентов. Допустим, у нас есть некоторая сумма S, в конце года мы ее увеличиваем на некоторый процент (%). Полученную сумму S₁ после начисления процентов можно посчитать так:

$ S_{1}=S+frac{%}{100} cdot S = S big( 1+frac{%}{100} big) $

В следующем году полученную сумму снова увеличим на тот же процент. Тогда можем записать верное равенство:

$ S_{2}=S_{1}+frac{%}{100} cdot S_{1} = S_{1} big( 1+ frac{%}{100} big) = S big( 1+ frac{%}{100} big) big( 1+ frac{%}{100} big) = S big( 1+ frac{%}{100} big)^{2} $

Аналогично мы можем посчитать полученную сумму еще через год:

$ S_{3}=S_{2}+frac{%}{100} cdot S_{2} = S_{2} big( 1+ frac{%}{100} big) = S_{1} big( 1+ frac{%}{100} big)^{2} big( 1+ frac{%}{100} big) = S big( 1+ frac{%}{100} big)^{3} $

Таким образом, если периодов n, то можем записать формулу вычисления сложных процентов:

$ S_{n}=S big( 1+ frac {%}{100} big)^{n} $ начисление процентов (%) на сумму S через n периодов.

Тогда последовательность остатков долга будет следующей:

$ S; S big( 1+ frac {%}{100} big); S big( 1+ frac {%}{100} big)^{2}; S big( 1+ frac {%}{100} big)^{3}… S big( 1+ frac {%}{100} big)^{n} $

Видим, что это геометрическая прогрессия.

Итак, Саша размещает свои 1000 рублей на счете и получает ежегодно 7% дохода. Давайте посчитаем, сколько он получит за три года? В данном случае S = 1000, % = 7, n = 3, $ S_{3} $– общая сумма, получаемая по формуле сложного процента:

$ S_{3} = 1000 big(1+frac{7}{100} big)^{3}=1225,04 ; (руб). $

Счет Пети – тоже 7%-ный, но процент у него простой. Какие деньги заработает за три года Петя? В первый год он получит 70 рублей, столько же – во второй и в третий. Таким образом, проценты составят 3 · 70 = 210 рублей, итого общая сумма на счете — 1210 рублей. Инвестиционное решение Саши, очевидно, выгоднее.