Как найти сумму пятнадцати первых - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Контрольные задания > Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (an), если a1=2 и a2=5.

Ответ:

[a_{1} = 2; a_{2} = 5:]

[d = a_{2} — a_{1} = 5 — 2 = 3.]

[S_{15} = frac{2a_{1} + 14d}{2} cdot 15 = 15 cdot left( a_{1} + 7d right) =]

[= 15 cdot (2 + 21) = 15 cdot 23 = 345.]

[Ответ:345.]

Источник

Вася Иванов

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.

Источник

Опубликовано 3 года назад по предмету
Алгебра
от Дарина8г5434567

найти сумму 15 первых членов арифметической прогрессии а N задана формулой N Ого члена ан= — 4 N + 13

Ответ

Ответ дан
milenacimenova

Сумма 15 членов = 180)
все во вложении
Ответ

Ответ дан
orion8105

a1= -4*1+13=-4+13=9
a2= -4*2+13= -8+13=5
d= -4
S(15)=((2a1+(n-1)d)/2)*n=((18(15-1)*(-4))/2)*15=18*(-28)*15= -7560
1. Ответ
  
  Ответ дан
  orion8105
  
  ой у меня ошибка в примере S(15)=((18+14*(-4))/2)*15= -38/2*15= -285

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Источник

Находим первый член а1 данной арифметической прогрессии:
а1 = -4*1 + 13 = -4 + 13 = 9.
Используя соотношение аn+1 — аn = d, где d — разность арифметической прогрессии, находим разность данной арифметической прогрессии
d = -4*(n + 1) + 13 — (-4*n + 13) = -4*n — 4 + 13 + 4*n — 13 = -4.
Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2*a1 + d*(n — 1))*n/2 при n = 15, находим сумму пятнадцати первых членов данной арифметической прогрессии:
S15 = (2*a1 + d*(15 — 1))*15/2 = (2*a1 + d*14)*15/2 = (a1 + d*7)*15 = (9 + (-4)*7)*15 = (9 — 28)*15 = -19*15 = -285.

Ответ: сумма пятнадцати первых членов данной арифметической прогрессии равна -285.

Источник

Мы дали определение арифметической прогрессии, вывели основные формулы и решили несколько базовых задач здесь. В этой статье мы рассмотрим основные типы задач на арифметическую прогрессию.

Общий подход к решению задач на прогрессии такой: если в задаче есть слово «сумма», то применяем формулу суммы n членов арифметической прогрессии. Если слова «сумма» нет, то записываем формулу n-го члена. Затем условие задачи, и то, что нам нужно узнать выражаем через a_1 и .

Рассмотрим примеры решения задач.

1. Арифметическая прогрессия задана формулой .

a) Найдите сумму положительных членов данной прогрессии.

б) Найдите сумму членов данной прогрессии с 5 по 14 включительно.

1. Чтобы найти сумму положительных членов прогрессии, нужно знать их количество. Выясним, сколько в прогрессии положительных членов.

По условию . Решим неравенство

98-5n>0 и найдем наибольшее n, удовлетворяющее этому неравенству.

5n<98

n<19,6 .

Наибольшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству n=19.

Следовательно, в прогрессии 19 положительных членов и нам надо найти их сумму.

$S_{19}={a_1+a_19}/2{19}$

$a_{19}=98-5*19=3$

$S_{19}={93+3}/2{19}=912$

б) Формула для нахождения суммы n членов арифметической прогрессии позволяет найти сумму членов с 1 по n включительно. Чтобы найти сумму с 5 по 14 включительно, мы поступим так:

Очевидно, что $S_{5-14}=S_{14}-S_4$

$S_4={a_1+a_4}/2{4}$

$S_4={93+78}/2{4}=342$

$S_{14}={a_1+a_{14}}/2{14}$

$a_{14}=98-5*14=28$

$S_14={93+28}/2{14}=847$

$S_{5-14}=S_{14}-S_4=847-342=505$

Ответ: а) 912; б) 505

2. Четвертый член арифметической прогрессии равен 9, а восьмой равен 7. Найти сумму пяти членов прогрессии.

Запишем условие задачи в виде системы, выразив a_4 , a_8 и S_5 через a_1 и .

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a_1+3d=9} {a_1+7d=7} }}{ }$ (1)

********

Найти $S_5={2a_1+d(5-1)}/2{5}$ .

Чтобы найти S_5 нам нужно знать a_1 и . Найдем их, решив систему (1)

Вычтем из второго уравнения первое, получим

4d=-2

d=-1/2

Подставим d=-1/2 в первое уравнение системы:

Теперь найдем S_5 :

$S_5={2a_1+d(5-1)}/2{5}={2*10,5+(-1/2)(5-1)}/2{5}=47,5$

Ответ: 47,5

3. Сумма третьего, пятого и седьмого членов арифметической прогрессии равна 60, а произведение пятого и шестого членов этой прогрессии равно 300. Найдите сумму пятнадцати первых членов этой прогрессии.

Запишем условие задачи, выразив a_3 , a_5 , a_7 , a_5 , a_6 , и S_15 через a_1 и :

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+6d)=60} {(a_1+4d)*(a_1+5d)=300} }}{ }$ (2)

******

Найти $S_{15}={2a_1+d(15-1)}/2{15}$ .

Чтобы найти $S_{15}$ нам нужно знать a_1 и . Найдем их, решив систему (2)

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3a_1+12d=60} {(a_1+4d)*(a_1+5d)=300} }}{ }$

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a_1=20-4d} {(a_1+4d)*(a_1+5d)=300} }}{ }$

Подставим выражение a_1 через во второе уравнение системы.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a_1=20-4d} {((20-4d)+4d)*((20-4d)+5d)=300} }}{ }$

Решим второе уравнение:

20+d=15

d=-5

$S_{15}={2a_1+d(15-1)}/2{15}={2*40+(-5)(15-1)}/2{15}=75$

Ответ: 75

4. Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 18. Найти сумму тринадцати членов этой прогрессии.

Запишем условие задачи в виде системы, выразив a_5 , a_9 и $S_{13}$ через a_1 и .

(3)

**************

Найти $S_{13}={2a_1+12d}/2{13}$

В этой задаче мы не можем пойти проторенной дорожкой, поскольку у нас только одно уравнение, а неизвестных два. Мы не можем найти по отдельности a_1 и .

И не будем пытаться.

Упростим левую часть уравнения (3) и разделим обе части на 2, получим:

(4)

Теперь посмотрим, что нам нужно найти:

$S_{13}={2a_1+12d}/2{13}=(a_1+6d)*13=$ ( из (4))

Ответ: 117

5. Если разделить шестой член арифметической прогрессии на первый, то в частном получится 4, а в остатке 1. Разность пятого и второго ее членов равна 4,2. Сколько членов содержит прогрессия, если сумма ее первого и последнего членов равна 11.

Как обычно, выразим условие задачи через a_1 и .

Остановимся подробнее на первом условии. Как записать в виде равенства «если разделить шестой член арифметической прогрессии на первый, то в частном получится 4, а в остатке 1».

Если, например, мы хотим разделить 16 на 5, то в частном получим 3 и в остатке 1. То есть если мы из 16 вычтем 1, то оставшееся число 15 разделится на 5 без остатка:

или

В общем случае

Итак, запишем условие задачи. Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{a_1+5d={a_1}*4+1} {(a_1+4d)-(a_1+d)=4,2} {a_1+(a_1+d(n-1))=11}}}{ }$

Из второго уравнения получаем 3d=4,2 ; d=1,4

Подставим значение в первое уравнение и найдем a_1 :

3a_1=6 ; a_1=2

Подставим значения и a_1 в третье уравнение системы и найдем n:

n-1=5

n=6

Ответ: 6

6. Найти сумму трехзначных чисел, которые делятся на 5, но не делятся на 3.

Число, которое делится на 3 и на 5, делится на 15. Следовательно, чтобы найти сумму трехзначных чисел, которые делятся на 5, но не делятся на 3, нам нужно:

1. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 5.

2. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 15.

3. Из первой суммы вычесть вторую.

1. Первое трехзначное число, которое делится на 5 — число 100.

Последнее — число 995. Очевидно, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой . Найдем число членов этой прогрессии.

n=180

$S_{180}={100+995}/2{180}=98550$

Итак, сумма трехзначных чисел, кратных 5 равна 98550.

2. Первое трехзначное число, которое делится на 15, равно 105. Перед нами арифметическая прогрессия, в которой . Найдем число членов этой прогрессии, которые меньше 1000. Для этого решим неравенство:

Наибольшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству n=60.

Найдем сумму 60 членов это прогрессии.

$S_{60}={2*105+15*(60-1)}/2{60}=32850$

3. Вычтем из первой суммы вторую:

Ответ: 65700

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник