Знакомство с одночленами продолжим материалом статьи ниже: разберем выполнение базовых действий с одночленами, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим, в каких случаях эти действия подлежат выполнению и что дадут в итоге; сформулируем правило сложения и вычитания и применим его при решении типовых задач.
Результат сложения и вычитания одночленов
Сложение и вычитание одночленов будем изучать, опираясь на действия с многочленами, поскольку, в общем, результат сложения или вычитания одночленов – многочлен, и только в частных ситуациях – одночлен.
Иначе говоря, сложение и вычитание на множестве одночленов можно ввести лишь с ограничениями. Уточним, что это означает, проведя аналогию с вычитанием натуральных чисел. На множестве натуральных чисел действие вычитания рассматривается также с ограничением: чтобы результатом стало натуральное число, вычитание необходимо произвести только по схеме: из большего натурального числа меньшее.
Другое дело, если речь идет о множестве целых чисел, включающем в себя и натуральные: здесь вычитание производится без ограничений.
То же самое можно применить, когда речь идет о сложении или вычитании двух одночленов. Чтобы в итоге получить одночлен, на множестве одночленов сложение или вычитание возможно осуществить с ограничением: исходные складываемые или вычитаемые одночлены должны быть подобными слагаемыми (тогда их называют подобными одночленами), или один из них должен быть нулем. В прочих случаях результат осуществления действий — уже не одночлен.
А вот на множестве многочленов, которое содержит все одночлены, сложение и вычитание одночленов изучается в качестве частного случая сложения и вычитания многочленов. В этом случае действия рассматриваются без указанных выше ограничений, так как итог их выполнения — многочлен (или одночлен как частный случай многочлена).
Правило сложения и вычитания одночленов
Сформулируем правило сложения и вычитания одночленов в виде последовательности действий:
Чтобы осуществить действие сложения или вычитания двух одночленов необходимо:
- записать сумму или разность одночленов в зависимости от поставленной задачи: одночлены необходимо заключить в скобки, поставив между ними знак плюс или минус соответственно;
- если одночлены в скобках присутствуют в нестандартном виде, привести их к стандартному виду;
- раскрыть скобки;
- привести подобные слагаемые, если таковые есть, и исключить слагаемые, равные нулю.
Теперь применим озвученное правило для решения задач.
Примеры сложения и вычитания одночленов
Заданы одночлены 8·x и −3·x. Необходимо выполнить их сложение и вычитание.
Решение
- Выполним действие сложения. Запишем сумму, заключив исходные одночлены в скобки и поставив между ними знак плюс: (8·x)+(−3·x). Одночлены в скобках имеют стандартный вид, значит второй шаг алгоритма правила можно пропустить. Следующим действием раскроем скобки: 8·x−3·x, а затем приведем подобные слагаемые: 8·x−3·x=(8−3)·x=5·x.
Кратко решение запишем так: (8·x)+(−3·x)=8·x−3·x=5·x.
- Аналогично произведем действие вычитания: (8·x)−(−3·x)=8·x+3·x=11·x.
Ответ: (8·x)+(−3·x)=5·x и (8·x)−(−3·x)=11·x.
Рассмотрим пример, где один из одночленов – нуль.
Необходимо найти разность между одночленом -5·x3·23·0·x·z2 и одночленом x·23·y5·z·-38·x·y.
Решение
Действуем по алгоритму согласно правилу. Запишем разность: -5·x3·23·0·x·z2-x·23·y5·z·-38·x·y. Заключенные в скобки одночлены приведем к стандартному виду и тогда получим: 0—14·x2·y6·z. Раскроем скобки, что даст нам следующий вид выражения: 0+14·x2·y6·z, оно, в силу свойства прибавления нуля, будет тождественно равно 14·x2·y6·z.
Таким образом, краткая запись решения будет такой:
-5·x3·23·0·x·z2-x·23·y5·z·-38·x·y==0—14·x2·y6·z=14·x2·y6·z
Ответ: -5·x3·23·0·x·z2-x·23·y5·z·-38·x·y=14·x2·y6·z
Рассмотренные примеры дали в результате сложения и вычитания одночлены. Однако, как уже упоминалось, в общем случае результат действий сложения и вычитания – многочлен.
Заданы одночлены −9·x·z3 и −13·x·y·z. Необходимо найти их сумму.
Решение
Записываем сумму: (−9·x·z3)+(−13·x·y·z). Одночлены имеют стандартный вид, поэтому осуществляем раскрытие скобок: (−9·x·z3)+(−13·x·y·z)=−9·x·z3−13·x·y·z. Подобных членов в полученном выражении нет, приводить нам нечего, значит полученное выражение и будет являться результатом вычисления: −9·x·z3−13·x·y·z.
Ответ: (−9·x·z3)+(−13·x·y·z)=−9·x·z3−13·x·y·z.
По такой же схеме осуществляется действие сложения или вычитания трех и более одночленов.
Необходимо решить пример: 0,2·a3·b2+7·a3·b2−3·a3·b2−2,7·a3·b2.
Решение
Все заданные одночлены имеют стандартный вид и являются подобными. Приведем подобные члены, выполнив сложение и вычитание числовых коэффициентов, а буквенную часть оставляя исходной: 0,2·a3·b2+7·a3·b2−3·a3·b2−2,7·a3·b2==(0,2+7−3−2,7)·a3·b2=1,5·a3·b2
Ответ: 0,2·a3·b2+7·a3·b2−3·a3·b2−2,7·a3·b2=1,5·a3·b2.
Заданы одночлены: 5, −3·a, 15·a, −0,5·x·z4, −12·a, −2 и 0,5·x·z4. Необходимо найти их сумму.
Решение
Запишем сумму: (5)+(−3·a)+(15·a)+(−0,5·x·z4)+(−12·a)+(−2)+(0,5·x·z4). В результате раскрытия скобок получим: 5−3·a+15·a−0,5·x·z4−12·a−2+0,5·x·z4. Сгруппируем подобные слагаемые: (5−2)+(−3·a+15·a−12·a)+(−0,5·x·z4+0,5·x·z4) и приведем их: 3+0+0=3
Ответ: (5)+(−3·a)+(15·a)+(−0,5·x·z4)+(−12·a)+(−2)+(0,5·x·z4)=3.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Складывать и вычитать можно только подобные одночлены.
Подобными одночленами называются такие одночлены, у которых произведения переменных равны, хотя их порядок может отличаться.
При сложении или вычитании одночленов нужно выполнить следующие действия:
1) сложить или вычесть коэффициенты одночленов;
2) переменные множители не менять.
При сложении или вычитании одночленов нужно помнить, что:
— коэффициенты одночленов обычно складываются и вычитаются в уме, и записывается упрощённая сумма;
— нельзя складывать или вычитать одночлены, у которых различаются произведения переменных;
— сумма противоположных одночленов всегда равна (0).
Раскрываются скобки и меняются знаки (т. к. перед скобками стоит минус, и
−−=+
):
−2p3k−(−0,6p3k)−0,2p3k=−2p3k+0,6p3k−0,2p3k==0,6p3k−0,2p3k−2p3k=0,6p3k−2,2p3k=−1,6p3k;
Эти одночлены нельзя вычесть, т. к. произведения переменных различаются.
Сумма противоположных одночленов всегда равна (0).
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Сложение и вычитание одночленов
Поддержать сайт
Вначале, необходимо понять, что называют подобными одночленами.
Запомните!
Одночлены, у которых одинаковый состав букв и их степеней,
называют подобными.
Примеры подобных и
неподобных одночленов
|
2ab и −3ab => Одночлены подобные. Можно вычитать. |
|
8y2 и 7x => Одночлены не подобные. Нельзя складывать. |
|
xy и 9xy => Одночлены подобные. Можно складывать. |
|
4a2 и 2a => Одночлены не подобные. Нельзя складывать. |
Одночлены нужно рассматривать как единое целое.
То есть, частая ошибка когда, например, одночлены 3a и
2ab считают подобными, т.к.
в обоих одночленах присутствует буквенный множитель а.
Одночлены 3a и 2ab НЕ являются подобными,
потому что состав букв должен полностью совпадать в обоих одночленах.
В данном примере в одночлене 3а из буквенных множителей только
а, а во втором одночлене
2ab — два буквенных множителя
а и b.
Запомните!
Складывать и вычитать можно только подобные одночлены.
Как складывать и вычитать одночлены
При сложении и вычитании одночленов работаем только с их числовыми коэффициентами.
Состав букв остается всегда прежним!
Разберем пример: 3a2b + 2a2b
- Сначала убедимся, что данные одночлены подобные.
У первого одночлена 3a2b состав букв со степенями: a2b.
У второго одночлена 2a2b состав букв со степенями: a2b.Важно!
Состав букв и их степеней у обоих одночленов одинаков, значит, одночлены подобные и их можно складывать.
- Теперь рассмотрим числовые коэффициенты одночленов.
У первого одночлена 3a2b коэффициент: 3.
У второго одночлена 2a2b коэффициент: 2. - Сложим их коэффициенты: 3 + 2 = 5
- Запишем окончательный ответ в виде суммы одночленов.
3a2b + 2a2b = 5a2b
Еще раз обратите внимание, что состав букв в итоговом одночлене НЕ поменялся.
3a2b + 2a2b = 5a2b
Запомните!
Противоположные одночлены взаимно уничтожаются.
−73x2z + 73x2z = 0
Примеры сложения и вычитания одночленов
- 7x2y − 2x2y = 5x2y
- 2a3 + 3a3 − a3 = 5a3 − a3 =
5a3 − 1 a3 = 4a3 - ab3 + ab3 = 1ab3 + 1ab3 = 2ab3
- 5t − 6t = −t (т.к. 5 − 6 = −1)
- 8xy − 10xy + 2xy = −2xy + 2xy = 0
(т.к. при вычитании коэффициентов −2 + 2 = 0)
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Сложение и вычитание одночленов
- Подобные одночлены
- Сложение одночленов
- Вычитание одночленов
Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.
Подобные одночлены
Подобные одночлены — одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:
5ab2 и -7ab2 — подобные одночлены;
5a2b и 5ab — не подобные одночлены.
Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить. Поэтому, прежде чем приступать к определению, подобны ли данные одночлены, или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:
5abb и -7b2a.
Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить, являются ли они подобными. Чтобы это узнать, приведём одночлены к стандартному виду:
5ab2 и -7ab2.
Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.
Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:
5a2bc и -5a2bc — противоположные одночлены.
Приведение подобных одночленов — это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.
Сложение одночленов
Чтобы сложить одночлены, надо:
- Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим.
- Привести все одночлены к стандартному виду.
- Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
- Привести подобные слагаемые. Для этого нужно:
- сложить их численные множители;
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Пример 1. Сложить одночлены 12ab, -4a2b и -5ab.
Решение: Составим сумму одночленов:
12ab + (-4a2b) + (-5ab).
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
12ab — 4a2b — 5ab.
Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:
12ab — 4a2b — 5ab = (12 + (-5))ab — 4a2b = 7ab — 4a2b.
Пример 2. Сложить одночлены 5a2bc и -5a2bc.
Решение: Составим сумму одночленов:
5a2bc + (-5a2bc).
Раскроем скобки:
5a2bc — 5a2bc.
Эти два одночлена являются противоположными, то есть, отличаются только знаком. Значит, если мы сложим их численные множители, то получим нуль:
5a2bc — 5a2bc = (5 — 5)a2bc = 0a2bc = 0.
Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.
Общее правило сложения одночленов:
Чтобы сложить несколько одночленов, следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).
Вычитание одночленов
Чтобы произвести вычитание одночленов, надо:
- Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком
—
(минус). - Привести все одночлены к стандартному виду.
- Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
- Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
- сложить их численные множители,
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Пример. Найти разность одночленов 8ab2, -5a2b и —ab2.
Решение: Составим разность одночленов:
8ab2 — (-5a2b) — (-ab2).
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
8ab2 + 5a2b + ab2.
Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:
8ab2 + 5a2b + ab2 = (8 + 1)ab2 + 5a2b = 9ab2 + 5a2b.
Общее правило вычитания одночленов:
Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.
Алгебра
7 класс
Урок № 17
Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Алгебраические выражения.
- Одночлен; стандартный вид одночлена.
- Подобные одночлены.
- Коэффициент и степень одночленов.
- Сумма (разность) подобных одночленов.
Тезаурус:
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).
Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.
Правило приведения одночлена к стандартному виду:
- перемножить все числовые множители;
- поставить полученный коэффициент на первое место;
- получить буквенную часть.
Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:
- составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим
- привести все одночлены к стандартному виду
- сложить (вычесть) их численные множители
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений
Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена.
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
Основная литература:
- Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
- Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
- Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Известное изречение гласит: «Теория без практики – мертва, практика без теории – слепа».
И сегодня мы найдём ту «золотую середину», между теорией и практикой, при дальнейшем изучении одночленов.
Начнём с того, что введём новое понятие – стандартный вид одночлена.
Стандартный вид одночлена – это такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных букв. При этом каждая буква участвует в записи один раз, а все буквы записаны в алфавитном порядке.
Например:
12a2bc3
xy4
1,2cp8
Все представленные одночлены имеют стандартный вид, т. к. в начале одночлена стоит числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке.
Стоит отметить, что числовой множитель в одночленах, записанных в стандартном виде, имеет своё название – коэффициент одночлена. (Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена).
В наших примерах коэффициенты – это числа 12 и -1,2
А одночлены 14ac5ax и 3k4k2 записаны не в стандартном виде, так как числовые множители стоят не только в начале, а буквенные множители повторяются.
Стоит отметить, что стандартный вид нулевого одночлена есть число ноль.
Введём ещё одно понятие, характерное для одночленов – степень одночлена.
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называется сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
Например:
12a2bc3 – одночлен 6-й степени.
xy4 – одночлен 5-й степени
1,2cp8 – одночлен 9-й степени
Если ни одной буквы в одночлене нет, а сам одночлен отличен от ноля, то его степень будет нулевой.
Например:
15
2
Это одночлены 0 степени.
У самого же числа 0 степень не определена, это единственный такой одночлен.
Рассмотрим правило приведения одночлена к стандартному виду.
Для этого нужно:
• перемножить все числовые множители;
• поставить полученный коэффициент на первое место;
• получить буквенную часть, используя свойства степеней, так, чтобы буквы не повторялись, и были записаны в алфавитном порядке.
Например:
Привести одночлен 4ac(-3)a2ck к стандартному виду.
Здесь есть два числа и буквы повторяются. Найдём произведение чисел, оно равно минус двенадцати, по свойству степеней найдём степень буквы а, как сумму степеней один и два, и степень буквы c – она равна двум.
Поставим полученное числовое значение в начало, буквенные множители запишем в алфавитном порядке.
4ac(-3)a2ck = (4 · (-3))a3c2k = -12a3c2k
Введём ещё одно понятие – подобные одночлены.
Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
Например, 4a2c2x и -41a2c2x – подобные одночлены, так как отличаются лишь коэффициентами.
4a2c2x и -41a2c2 – не подобные одночлены, т.к. есть отличие в буквенных множителях.
Для подобных одночленов можно найти сумму и разность.
Рассмотрим правило сложения (вычитания) подобных одночленов.
Чтобы сложить (вычесть) одночлены, надо:
1. составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим;
2. привести все одночлены к стандартному виду;
3. сложить (вычесть) их коэффициенты;
4. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Если сумма (разность) коэффициентов рана нулю, то сумма (разность) одночленов равна нулю.
Например, найдём сумму (разность) подобных одночленов, используя правило.
Т. к. одночлены приведены к стандартному виду, то остаётся только найти сумму или разность их коэффициентов, а затем приписать буквенные множители.
Сумма подобных одночленов:
4a2c2x + (-41a2c2x) = (4 + (-41))a2c2x = -37a2c2x
Разность подобных одночленов:
4a2c2x — (-41a2c2x) = (4 — (-41))a2c2x = 45a2c2x
Итак, сегодня мы получили представление о стандартном виде одночлена и научились находить сумму и разность подобных одночленов.
Действия над одночленами.
Усложним задачу. Приведём подобные одночлены:
-(-7)aaa · (bc2)3 · (2ak)5 + 2a8b3c6k5 – 2a7b37c6k5a
Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, т.е. в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенные в алфавитном порядке.
Возьмём первый одночлен и приведём его к стандартному виду. Произведение чисел будет равно 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, т.е. степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, т. е. степень буквы с равна 6.
Далее рассмотрим букву k, её степень находится как произведение степени 1 и 5, т.е. степень буквы k равна 5. Итак, первый одночлен в стандартном виде выглядит так: 448a8b3c6k5
Второй одночлен записан в стандартном виде.
Третий одночлен приведём, аналогично первому, к стандартному виду. Итак, третий одночлен в стандартном виде выглядит так: 14a8b3c6k5.
А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.
-(-7)aaa · 2(bc2)3 · (2ak)5 + 2a8b3c6k5 – 2a7b37c6k5a = 448a8b3c6k5 + 2a8b3c6k5 – 14a8b3c6k5 = (448 + 2 – 14)a8b3c6k5 = 436a8b3c6k5
Таким образом, мы привели подобные одночлены.
Разбор заданий тренировочного модуля.
№1. Найдите одночлен, равный сумме одночленов 5ах + 2ах
Варианты ответа:
10ах;
7ах;
7аахх.
Решение:
Для выполнения задания нужно воспользоваться правилом сложения подобных одночленов. Для этого найдём сумму коэффициентов, а множители из букв перепишем. Получается 5ах + 2ах = (5 + 2)ах = 7ах. Это и есть правильный ответ.
Ответ: 7ах.
№ 2.
Решение:
Для выполнения задания, нужно вспомнить свойства степеней (при возведении в степень показатели степеней перемножаются) и правило приведения одночлена к стандартному виду (коэффициент стоит в начале одночлена, а буквы записаны в алфавитном порядке). Поэтому возведём в степень число и буквы и выстроим буквы в алфавитном порядке.
