Как найти сумму трех углов - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сумма углов треугольника равна (180°).

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник (KLM) и докажем, что

∠

(K) (+)

∠

(L) (+)

∠

(M =)

180°

1. Через вершину (L) параллельно стороне (KM) проведём прямую (a).

2. При пересечении параллельных прямых (a) и (KM) секущей (KL), углы, которые обозначаются (1), будут накрест лежащими углами, а углы, обозначенные (2) — это накрест лежащие углы при пересечении этих же параллельных прямых секущей (ML).

Очевидно, сумма углов (1), (2) и (3) равна развёрнутому углу с вершиной (L), т. е.

∠

(1) (+)

∠

(2) (+)

∠

(3 =)

180°

, или

∠

(K) (+)

∠

(L) (+)

∠

(M =)

180°

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

90°

Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен

45°

Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен

60°

Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство

Из равенств

∠

(KML) (+)

∠

(BML=)

180°

∠

(K) (+)

∠

(L) (+)

∠

(KML =)

180°

получаем, что

∠

(BML =)

∠

(K) (+)

∠

(L).

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.

У треугольника (KLM) все углы острые.

У треугольника (KMN) угол (K = 90)

У прямоугольного треугольника сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.

На рисунке (MN) — гипотенуза, (MK) и (KN) — катеты.

У треугольника (KLM) один угол тупой.

Источник

Сумма углов треугольника

Доказательство теоремы:

Нарисуем треугольник. Через одну из его вершин проведем прямую, параллельную противоположной стороне, и найдем на рисунке равные углы.

Угол 1 равен углу BAC, они накрест лежащие. Угол 2 равен углу ACB, они тоже накрест лежащие.

Сумма угла 1, угла ABC и угла 2 составляет развернутый угол.

A развернутый угол равен $180{}^circ$ . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

Заметим, что они похожи друг на друга. Одна и та же задача на тему «Сумма углов треугольника» может встретиться и на ОГЭ, и на ЕГЭ по математике. И уровень сложности заданий по этой теме в ЕГЭ и ОГЭ примерно одинаковый.

Задачи ЕГЭ по теме: Сумма углов треугольника

Задача 1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х.

Получим уравнение:

и найдем x = 17.

Тогда 3x=51 .

Ответ: 51.

Обратите внимание, что это даже не геометрия, а алгебра. Мы составили уравнение и решили его.

Задача 2.

Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен $98^{circ}$ , а два других равны $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 180-98}{displaystyle 2}=41^{circ}$ .

Ответ: 41.

Задача 3.

На рисунке угол 1 равен $46^{circ}$ , угол 2 равен $30^{circ}$ , угол 3 равен $44^{circ}$ . Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сначала найдем угол 5.

Он равен $180^{circ}-angle 1-angle 3 = 90^{circ}.$

Тогда $angle 6= 90^{circ}.$

$angle 7=180^{circ}-angle 2-angle 6=60^{circ}.$

Угол 4, смежный с углом 7 равен $120^{circ}.$

Ответ: $120^{circ}.$

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Задача 4.

Углы треугольника относятся как 2:3:4 . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

$2x+3x+4x=180^{circ};$

$9x=180^{circ};$

$x=20^{circ};$

Тогда $2x=40^{circ}.$

Здесь мы тоже составили уравнение и решили его. Так же, как на уроках алгебры.

Ответ: 40.

Задача 5. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен ${48}^circ$ , угол ABC равен ${41}^circ$ . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle ALC — внешний угол и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, $angle BAL=angle ALC-angle ABL=48{}^circ -41{}^circ =7{}^circ$ .

AL — биссектриса , а это значит, что $angle BAC=2 angle BAL=2cdot 7{}^circ =14{}^circ$ .

По теореме о сумме углов треугольника получаем:
$angle ACB=180{}^circ -41{}^circ -14{}^circ =125{}^circ .$
Ответ: 125.

Задача 6. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD, angle B=61 ${}^circ ,$ angle D=151 ${}^circ .$ Найдите величину угла A. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Если соединить точки B и D, получим два равных треугольника. Они равны по трем сторонам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике ABD сумма двух углов
$angle DBA+angle BDA=displaystyle frac{1}{2}left(angle B+angle Dright)=displaystyle frac{1}{2}left(61+151right)=106{}^circ .$
Тогда $angle A=180{}^circ -106=74{}^circ$ , по теореме о сумме углов треугольника.

Ответ: 74.

Задача 7. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен ${124}^circ$ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры окружности. Значит, — равнобедренный, в нем BO=OC — как радиусы.

$angle AOD=angle BOC=124{}^circ$ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике:

$angle OCB=displaystyle frac{180{}^circ -124{}^circ }{2}=28{}^circ$ .

Ответ: 28.

Задача 8. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен ${104}^circ$ , угол CAD равен ${5}^circ$ . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD — биссектриса, отсюда следует, что $angle CAD=angle DAB=5{}^circ Rightarrow angle CAB=10{}^circ$ .

Тогда по теореме о сумме углов треугольника $angle B=180{}^circ -104{}^circ -10{}^circ =66{}^circ$ .

Ответ: 66.

Задача 9. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен ${90}^circ$ , угол B равен ${35}^circ$ . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен ${90}^circ$ , угол B равен ${35}^circ$ , тогда угол A равен $90{}^circ -35{}^circ =55{}^circ$ .

CD — медиана. А медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Значит, .

Поэтому треугольник ADC равнобедренный и $angle A=angle ACD=55{}^circ$ .

Ответ: 55.

Задача 10. В треугольнике ABC угол C равен ${58}^circ$ , биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен ${58}^circ$ , отсюда по теореме о сумме углов треугольника $angle A+angle B=180{}^circ -58{}^circ =122{}^circ$ .

Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Угол OAB — это половина угла CAB, угол OBA — это половина угла CBA. Теперь применим теорему о сумме углов треугольника к треугольнику AOB.

$angle AOB=180{}^circ -displaystyle frac{1}{2}left(angle A+angle Bright)=180{}^circ -61{}^circ =119{}^circ .$

Ответ: 119.

Задача 11. В треугольнике ABC угол A равен ${56}^circ$ , углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BD — высота тогда — прямоугольный,

$angle ABD=90{}^circ -56{}^circ =34{}^circ .$

CE — высота тогда — прямоугольный и $angle BOE=90{}^circ -34{}^circ =56{}^circ$ .

Углы и — смежные, поэтому $angle EOD=180{}^circ -56{}^circ =124{}^circ$ .

Ответ: 124.

Задача 11. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен ${14}^circ$ . Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке вершины треугольника ABC, биссектрису CК и высоту CН. Биссектриса CК делит прямой угол на два угла по $45{}^circ$ . Угол BCН равен разности углов BCК и КCН, то есть $45{}^circ -14{}^circ =31{}^circ$ .

Треугольники BCН и BAC подобны по двум углам. Значит, угол BAC равен углу BCН, то есть $31{}^circ .$

Ответ: 31.

Задача 12. Острые углы прямоугольного треугольника равны ${84}^circ$ и ${6}^circ$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке медиану CМ и высоту CН.

Пусть $angle A=6{}^circ$ и $angle B=84{}^circ$ . Высота CН разбивает прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному. Значит, угол BCН равен углу BAC, то есть ${6}^circ$ .

у которых углы равны т. е. угол C разбился на углы

${84}^circ$ и

Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Получили два равнобедренных треугольника, BCМ и ACМ. В треугольнике ACМ углы A и C равны 6 градусов каждый.

Тогда угол МCН между высотой и медианой равен: $90{}^circ -angle ACM- angle BCH=90{}^circ -6{}^circ -6{}^circ =78{}^circ .$

Ответ: 78.

Задачи ОГЭ по математике по теме: Сумма углов треугольника.

Задача 13. В треугольнике два угла равны ${57}^circ$ и ${86}^circ$ . Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна $180{}^circ$ , поэтому

третий угол равен $180{}^circ -57{}^circ -86{}^circ =37{}^circ$ .

Ответ: 37.

Задача 14. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34 ${}^circ$ . Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90{}^circ$ . Поэтому второй острый угол равен: $90{}^circ -34{}^circ =56{}^circ$ .

Ответ: 56.

Задача 15.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC, $angle ABC=108{}^circ$ . Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC известно, что AB=BC. Значит, треугольник ABС равнобедренный, и углы при основании AС равны,

т.е. $angle A=angle C=displaystyle frac{180{}^circ -108{}^circ }{2}=36{}^circ$ .

Ответ: 36.

Задача 16. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, $angle BAC=37{}^circ$ . Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BH — высота , тогда — прямоугольный, в нем $angle AHB=90{}^circ$ и $angle BAC=37{}^circ .$ Используя теорему о сумме углов в треугольнике, найдем угол ABH:
$angle ABH=180{}^circ -angle AHB-angle AHB=180{}^circ -90{}^circ -37{}^circ =53{}^circ .$
Ответ: 53.

Задача 17. В треугольнике ABC угол C равен ${133}^circ$ . Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника AВC при вершине C является смежным углом с углом ACB, а сумма смежных углов равна $180{}^circ$ .

Значит, внешний угол треугольника ABC при вершине C равен: $180{}^circ -133{}^circ =47{}^circ$ .

Ответ: 47.

Задача 18. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и $angle ABC=25{}^circ$ . Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

— равнобедренный, $angle A=angle C=displaystyle frac{180{}^circ -25{}^circ }{2}=displaystyle frac{155{}^circ }{2}$ .

— вписанный угол и опирается на дугу BC, а — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного опирающегося на ту же дугу, $angle BOC=2angle BAC=155{}^circ$ .

Ответ: 155.

Задача 19. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и angle ABC=123 ${}^circ$ . Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

— равнобедренный треугольник, отсюда .

— вписанный угол, он опирается на дугу BC, а — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, значит, $angle BOC=2angle BAC=180{}^circ -123{}^circ =57{}^circ$ .

Ответ: 57.

Задача 20. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен ${114}^circ$ . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры, отсюда следует, что — равнобедренный, BO=OC — радиусы.

$angle AOD=angle BOC=114{}^circ$ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике $angle OCB=displaystyle frac{180{}^circ -114{}^circ }{2}=33{}^circ$ .

Ответ: 33.

Задача 21. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен ${75}^circ$ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. A это означает, что AB — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90{}^circ$ , и треугольник ABC — прямоугольный. И если $angle BAC=75{}^circ$ , то второй острый угол этого треугольника равен: $90{}^circ -75{}^circ =15{}^circ$

Ответ: 15.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Сумма углов треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника — это сумма
всех внутренних углов треугольника.

Так, как углы измеряются в градусах, соответственно значение
суммы углов треугольника также измеряется в градусах.

Сумма углов треугольника есть величина постоянная,
неизменяемая, она равна 180 градусам, вне зависимости
от вида рассматриваемого треугольника.

На рисунке 1 изображены равносторонний,
разносторонний и прямоугольный треугольники,
их суммы внутренних углов равны 180 градусам.

Также, существует теорема, которая доказывает
утверждение о том, что сумма углов треугольника
180 градусов, она называется теоремой
о сумме углов треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника — это теорема в
геометрии о сумме углов произвольного треугольника на плоскости.

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: АВС (рис. 220).

Доказать: A+B +C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда KBA =A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aMBC =C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

KBA +ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, то1 =2.

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Решение:

Пусть ( — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Тогда

Ответ:

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Из треугольника АОС находим:

Замечание. Если то, рассуждая аналогично, получим формулу: Если, например,

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, (рис. 226).

Докажем, чтоACB = 90°. Обозначим A = ,В = . Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как АМС — равнобедренный, тоA =ACM = как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, СМВ — равнобедренный и B =BCM = . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 + 2, с другой — равна 180°. Отсюда 2 + 2 = 180°, 2( + ) = 180°, + = 90°. НоACB = + , поэтому

ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=,B=.

Проведем отрезок СМ так, чтоACM=, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aBCM дополняетACM до 90°. Поскольку ACM =A = , тоBCM =. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = АВ.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Внешний угол треугольника
Свойство точек биссектрисы угла
Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
Четырехугольник и его элементы
Перпендикулярные прямые в геометрии
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Соотношения в прямоугольном треугольнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Сумма углов треугольника формула

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 4 Сумма углов треугольника.

Великий французский ученый XVII века Блез Паскаль в детстве любил возиться с геометрическими фигурами. Он был знаком с транспортиром и умел измерять углы. Юный исследователь заметил, что у всех треугольников сумма трех углов получается одна и та же — 180°. «Как же это доказать? — подумал Паскаль. — Ведь нельзя же проверить сумму углов у всех треугольников — их бесконечное множество». Тогда он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие. Дальнейшая судьба мальчика была уже предопределена.

В этой теме вы познакомитесь с пятью признаками равенства прямоугольных треугольников и, пожалуй, с самым популярным свойством прямоугольного треугольника с углом 30°. Оно звучит так: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Разделив равносторонний треугольник высотой, мы сразу получим доказательство этого свойства.

Сумма углов треугольника

ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180°. Для доказательства проведем через вершину прямую, параллельную основанию. Темные углы равны и серые углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Темный угол, серый угол и угол при вершине образуют развернутый угол, их сумма 180°. Из теоремы следует, что углы равностороннего треугольника равны по 60° и что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. Поэтому иногда углы самого треугольника называют внутренними углами.

ТЕОРЕМА о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Действительно, внешний угол и два внутренних, не смежных с ним, дополняют закрашенный угол до 180°. Из теоремы следует, что внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.

Расстояние от точки до прямой. Так как перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, то его длина принимается за расстояние от точки до прямой.

Неравенство треугольника. Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, т. е. а

ТЕОРЕМА о свойстве катета, лежащего против угла 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказывается достроением треугольника до равностороннего.

ТЕОРЕМА о свойстве точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. Доказывается проведением двух перпендикуляров к сторонам угла и рассмотрением прямоугольных треугольников.

Вторая замечательная точка. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Расстояние между параллельными прямыми. ТЕОРЕМА. Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой. Из теоремы следует определение расстояния между параллельными прямыми.

Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Подробные доказательства теорем

Это опорный конспект № 4 по геометрии в 7 классе «Сумма углов треугольника». Выберите дальнейшие действия:

источники:

http://www.evkova.org/summa-uglov-treugolnika

Сумма углов треугольника (опорный конспект)

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Теорема о сумме углов треугольника

Теорема

Данная теорема является одной из важнейших теорем геометрии.

Доказательство

Дано: ABC

Доказать: A+B+C=180⁰

Доказательство:

Нам дан ABC

Проведем прямую aAC, проходящую через вершину B и обозначим углы.

Углы 1 и 4; 3 и 5 будут являться накрест лежащими углами при параллельных прямых a и AC, секущих AB и BC соответственно, 4 =1, 5 =3.

Из построения мы видим, что сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной B, значит 4+2+5 = 180⁰. , учитывая то, что 4 =1, 5 =3, можем записать, что 1+2+3 = 180⁰, или A+B+C = 180⁰. Что и требовалось доказать.

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Доказательство:

Пусть нам дан треугольник, в котором 3 и 4 смежные (т.е. 4 является внешним углом данного треугольника)

Так как данные углы смежные мы можем записать, что 3 +4 = 180⁰,а по теореме о сумме углов треугольника (1 +2) + 3 = 180⁰. Из данных выражений мы видим, что 4 = 1 +2. Что и требовалось доказать.

Советуем посмотреть:

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Неравенство треугольника

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Уголковый отражатель

Расстояние от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по трем его сторонам

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 252,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 272,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 298,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 333,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 10,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 662,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 664,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 852,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

8 класс

Номер 433,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Источник