Как найти сумму треугольных чисел

ВОЛШЕБНАЯ СИЛА ТРЕУГОЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики [1, 41] есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что фигурные числа встречаются в окружающей жизни, просто люди об этом не задумываются.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Мне стало интересно, а знают ли другие школьники о фигурных числах. Поэтому я провёл анкету, на вопросы которой ответили 42 ученика 8 классов.

Всего 14,4% учащихся знают какие числа называются фигурными. 29,8% считают, что фигурные числа – это плоские фигуры, 32,5 % — объёмные фигуры, 58,7 % думают, что они могут изображаться и плоскими и объёмными фигурами. 66,5 % предполагают, что эти числа изобрёл Пифагор. Половина опрошенных считает, что мы ежедневно встречаемся с фигурными числами в повседневной действительности.

Цель работы: знакомство с треугольными числами.

Задачи:

выяснить существует ли связь между понятием числа и геометрической фигурой;

заинтересовать волшебной силой чисел, основанной на их свойствах;

выяснить значимость треугольных чисел.

В первой главе вы представлена история треугольных чисел, их связь с геометрическими фигурами.

Во второй главе дано определение треугольных чисел, способы их получения [7].

В нашей работе вы встретите свойства треугольных чисел, удивительные исследования, с помощью которых раскрыты секреты треугольных чисел и сделаны выводы [6].

В следующей главе мы приглашаем вас, оглянуться кругом. Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с треугольными числами. А ведь это так просто и интересно.

Занимайтесь математикой! Эта наука раскроет вам особый мир игр и чисел; она поможет вам поверить в свои силы и никогда не останавливаться на достигнутом.

Глава1

Связь между понятием числа

и геометрической фигурой

Математические понятия – число или простейшие геометрические фигуры, возникли задолго до появления математических текстов. Понятие числа и геометрические фигуры могли образоваться только в результате длительной умственной работы.

Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает. Такой «чувственный счет» существовал задолго до появления счета.

Первым шагом к возникновению счета было установление, как сейчас говорим, «взаимнооднозначного соответствия» между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. Оба сравниваемых множества предметов могут быть заранее не известными; например, при обмене между первобытными племенами обмениваемые предметы просто раскладывались в два ряда, так что взаимно однозначное соответствие между ними устанавливалось фактически.

Затем появляются своего рода счеты – камешки или палочки.

С возникновением понятия числа, геометрической фигуры появляется новый вид знаний – математическое, в котором счет и измерение сделались важным средством его развития и вычислительно-измерительной практики людей.

Исторически первые понятия математики «число» и «фигура» лежат в основе всех математических знаний. «Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске – абаке.

Давным — давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д. [3, 112]

Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это развитие счёта на камушках. Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В 5-4 веках до нашей эры учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

С возникновением понятия числа, геометрической фигуры появляется новый вид знаний – математическое, в котором счет и измерение сделались важным средством его развития и вычислительно-измерительной практики людей.

Глава 2

Определение треугольных чисел

Многоугольные числа – это числа, связанные определённым образом с плоским многоугольником. Простейшими из многоугольных чисел являются треугольные числа [6].

Нарисованные и попарно соединённые три точки создают правильный (то есть равносторонний) треугольник. Если взять три точки и не соединять их, то и так создаётся «впечатление» треугольника.

Я попробовал взять четыре точки и разложить их аналогичным способом. Оказывается – нет. Пять точек расположить, тоже нет. Шесть точек расположить в требуемом порядке уже можно. При этом новый треугольник получается линейным увеличением в 3 раза.

Итак, треугольные числа – это такие числа, из которых (имея столько камушков), можно выложить правильные многоугольники.

Число 1 Пифагорейцы решили считать первым треугольным числом. Каждое следующее число получается прибавлением строки снизу к предыдущему, в которой на одну точку больше.

1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15 1+2+3+4+5+6=21 1+2+3+4+5+6+7=28 и т.д.

Получаем треугольные числа: 1, 3, 6,10, 15, 21, 28, ……

А можно ли найти треугольное число, не вычисляя предыдущего числа?

Найдём десятое треугольное число. Для этого запишем сумму, как бы мы нашли число. И под полученной суммой запишем сумму этих же слагаемых только в обратном порядке.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

Сумма каждой пары = 11.

Количество пар = 10.

10•11:2=55

Значит, десятое треугольное число – это число 55.

Я подумал, а если мне надо узнать сотое треугольное число, я решил попробовать этот способ.

101 – сумма каждой пары, количество пар -100. Получаем 101•100:2=5050. Т.е. получаем формулу для нахождения треугольного числа по любым номером Тn =(n+1)•n:2=1/2•(n+1)•n.

Подсчитаем с помощью схемы несколько первых треугольных чисел и составим таблицу

Номер числа	10	22	25	42	51	63	101
Треугольное число	55	253	325	903	1326	2016	5151

Глава 3

Свойства треугольных чисел

1. Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат – квадратное число[2,132].

6+10=16=4²

10+15=25=5²

2. Если номер треугольного числа при делении на 4 даёт остаток 1 или 2, то треугольное число нечётное.

Проверим данное свойство, составив таблицу.

Номер треугольного числа	Остаток	Чётное или нечётное	треугольное число
17=4•4+1	1	нечётное	153
18=4•4+2	2	нечётное	171
19=4•4+3	3	чётное	190
20=4•5	нет	чётное	210
21=4•5+1	1	нечётное	231
22=4•5+2	2	нечётное	253
23=4•5+3	3	чётное	276
24=4•6	нет	чётное	300
25=4•6+1	1	нечётное	325
26=4•6+2	2	нечётное	351
27=4•6+3	3	чётное	378
28=4•7	нет	чётное	406

Вывод. Свойство 2 выполняется. Дополнительно из таблицы видно, что треугольные числа расположены так: нечётное, нечётное, чётное, чётное, нечётное, нечётное,… Оказалось, что есть ещё свойство треугольных чисел.

Свойство 3. Каждое совершённое число является треугольным числом.

Совершенное число — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей. По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14

496 =1+2+4+8+16+31+62+124+128

8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Проверим действительно ли числа 6, 28, 496, 8128 являются треугольными.

6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7, 406+29= 435, 435+30=465, 465+31= 496

496	528	561	595	630	666	703	741
780	820(40)	861	903	946	990	1035	1081
1128	1176	1225	1275 (50)	1326	1378	1431	1485
1540	1596	1653	1711	1770	1830(60)	1891	1953
2016	2080	2145	2211	2278	2346	2415	2485(70)
2556	2628	2701	2775	2850	2926	3003	3081
3160	3240(80)	3321	3403	3486	3570	3655	3741
3828	3916	4005	4095 (90)	4186	4278	4371	4465
4560	4656	4753	4851	4950	5050(100)	5151	5253
5356	5460	5565	5671	5778	5886	5995	6105(110)
6216	6328	6441	6555	6670	6786	6903	7021
7140	7260(120)	7321	7503	7626	7750	7875	8001
8128	8256	8385	8515(130)

Вывод. Число 8128 — сто двадцать седьмое треугольное число.

Проверка по формуле: Т₂₇ =1/2(127+1)•127=64•127=8128

Что интересно число 666 – звериное число оказалось треугольным. Под этим символом скрыто имя зверя, и многим людям хорошо известно, что 666 число дьявола и воплощение сатаны. Наряду с пентаграммой и перевернутым крестом, данное число часто используется в атрибутике сатанистов[5].

Рассмотрим треугольные числа, номера которых делятся на 10.

55, 210, 465, 820, 1275, 1830, 2485, 3240, 4095, 5050, 6105, 7260, 8515,…..

1. Все числа делятся на 5.

2. Последние цифры чередуются: 5,0,5,0,5,0,…

3. Найдём разность последовательных треугольных чисел:

210-55=155 465-210=255 820-465=355 1275-820=455

1830- 1275=555 2485-1830= 655 3240-2485=755 4095-3240=855

5050-4095=955 6105-5050=1055 7260-6105=1155 8515-7260=1255 т.д.

155, 255, 355, 455, 555, 655, 755, 855, 955, 1055, 1155, 1255,…

Удивительно, получилась последовательность чисел, которой увеличиваются на 100, начиная со второго числа. В Интернете я вычитал, что такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Треугольные числа, номера которых делятся на 10 можно найти и таким образом.

Свойство 4.Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное,…1,3, 6, 10, 15, 21, 28, 36,…

Треугольное число 10

Пифагорейцам была присуща и особая числовая мистика. Особенно почиталось

Особенно почиталось у пифагорейцев треугольное число 10.

10 = 1 + 2 + 3 + 4:

1 – единица, «матерь всех чисел»

2 – выражает линию

3 – треугольник

4 – пирамиду

Поскольку 10, кроме того, само является треугольным числом со стороной, равной 4, число 4, как бы в зародыше содержащее 10, также считалось священным и именовалось «истоком и корнем высшей природы»

Величайшей клятвой у пифагорейцев считалась клятва Четверицей.

Глава 4 Применение треугольных чисел в жизни человека

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с треугольными числами. А ведь это так просто и интересно[2,51].

При решении задач:

1. Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось шаров?

2. Чему равно треугольное число с номером 35? С номером 50? С номером 1000?

3. а) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник – остались лишними 3 шара. А когда построили треугольник, сторона которого содержит на 1 шар больше, то не хватило 4 шаров. Сколько было шаров?

б) Несколько шаров уложили на плоскости в равносторонний треугольник – остались лишними 24 шара. А когда построили треугольник, сторона которого содержит на один шар больше, то не хватило 11 шаров. Сколько было шаров?

4. В каком порядке идут четные и нечетные числа в последовательности треугольных чисел? Четным или нечетным является число с номером 17, 18, 19, 20? Четным или нечетным является число с номером 60, 78, 35?

5. Найдите сумму:

а) 15-го и 16-го треугольных чисел;

б) 47-го и 48-го треугольных чисел.

• Треугольные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

• Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа.

• В различных играх.

Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах

Заключение

Я благодарю всех, кто прочитал мою научную работу. Математика – это скучная наука или весёлая и интересная? Математика повсюду: дома, на улице, на огороде, в саду… Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах.

Цель – знакомство с треугольными числами достигнута. В первой главе вы познакомились с историей треугольных чисел, их связь с геометрическими фигурами.

Во второй главе дано определение треугольных чисел, способы их получения.

В нашей работе вы встретили свойства треугольных чисел, удивительные исследования, с помощью которых раскрыты секреты треугольных чисел и сделаны выводы.

В следующей главе мы приглашали вас, оглянуться кругом. Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с треугольными числами. А ведь это так просто и интересно.

Занимайтесь математикой! Эта наука раскроет вам особый мир игр и чисел; она поможет вам поверить в свои силы и никогда не останавливаться на достигнутом.

Литература

1. Математика: Учеб. Для 6 кл. общеобразоват. учреждений. М34 Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 16-е изд., перераб.- М.: Мнемозина, 2005. – 288 с. : ил.

2. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

3. Юшкевич А.П. История математики в средние века. — М.: Наука, 1961.

4. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972. 5. Почему число 666 считают числом дьявола [Электронный ресурс]/Режим доступа:http:valtasar.ru›666 число дьявола 6. Фигурные числа. Треугольные числа. [ Электронный ресурс]/Режим доступа:http:dok.opredelim.com›docs/index-46388.html 7. Треугольное число[ Электронный ресурс]/Режим доступа:http: •ru.knowledgr.com

[ Электронный ресурс]/Режим доступа:http:ru.knowledgr.com›00150533/ТреугольноеЧисло

Просмотров работы: 7668

Первые шесть треугольных чисел

A треугольное число или треугольное число подсчитывают объекты, расположенные в равносторонний треугольник (таким образом, треугольные числа являются типом фигурных чисел, другими примерами являются квадратные числа и кубические числа). N-е треугольное число — это количество точек в треугольном расположении с n точками на стороне, равное сумме n натуральных чисел от 1 до n. Последовательность треугольных чисел (последовательность A000217 в OEIS ), начиная с 0-го треугольного числа, составляет

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666…

Содержание

• 1 Формула
• 2 Связь с другими фигуральными числами
• 3 Другие свойства
• 4 Приложения
• 5 Треугольные корни и тесты для треугольных чисел
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Формула

Выведение треугольных чисел из выровненного влево треугольника Паскаля

числа треугольника задаются следующими явными формулами:

T n = ∑ k = 1 nk = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n (n + 1) 2 = (n + 1 2), { displaystyle T_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} k = 1 + 2 + 3 + dotsb + n = { frac {n (n + 1)} {2}} = {n + 1 choose 2},}

где (n + 1 2) { displaystyle textstyle {n + 1 choose 2}}— это биномиальный коэффициент. Он представляет собой количество различных пар, которые могут быть выбраны из n + 1 объектов, и читается вслух как «n плюс один выбирают два».

Первое уравнение можно проиллюстрировать с помощью наглядного доказательства. Для каждого треугольного числа T n { displaystyle T_ {n}}представьте себе «полуквадратное» расположение объектов, соответствующее треугольному числу, как на рисунке ниже. При копировании этой компоновки и ее повороте для создания прямоугольной фигуры количество объектов удваивается, в результате получается прямоугольник с размерами n × (n + 1) { displaystyle n times (n + 1)}, который также является количеством объектов в прямоугольнике. Ясно, что само треугольное число всегда составляет ровно половину количества объектов на такой фигуре, или: T n = n (n + 1) 2 { displaystyle T_ {n} = { frac {n (n +1)} {2}}}. Пример T 4 { displaystyle T_ {4}}следующий:

Первое уравнение также может быть установлено с помощью математической индукции. Поскольку T 1 { displaystyle T_ {1}}равно единице, устанавливается базисный случай. Из определения следует, что T n = n + T n — 1 { displaystyle T_ {n} = n + T_ {n-1}}, поэтому предположение индуктивной гипотезы для n — 1 { displaystyle n-1}, добавление n { displaystyle n}к обеим сторонам сразу дает

T n = n + T n — 1 знак равно 2 N 2 + (N — 1) N 2 знак равно (2 + N — 1) N 2 = (N + 1) N 2. { displaystyle T_ {n} = n + T_ {n-1} = { frac {2n} {2}} + { frac {(n-1) n} {2}} = { frac {(2 + n-1) n} {2}} = { frac {(n + 1) n} {2}}.}

Другими словами, поскольку предложение P ( n) { displaystyle P (n)}(то есть первое уравнение или сама индуктивная гипотеза) истинно, когда n = 1 { displaystyle n = 1}, и поскольку P (n) { displaystyle P (n)}истинность означает, что P (n + 1) { displaystyle P (n + 1)}также верно, тогда первое уравнение верно для всех натуральных чисел. Приведенный выше аргумент можно легко изменить, чтобы начать с нуля и включить его.

Карл Фридрих Гаусс, как говорят, обнаружил эту взаимосвязь в ранней юности, умножив n / 2 пар чисел в сумме на значения каждой пары n + 1. Однако, независимо от того, насколько это верно История, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают, что ее происхождение восходит к пифагорейцам V веку до нашей эры. Две формулы были описаны ирландским монахом Дикуилом примерно в 816 году в его Computus.

Треугольное число T n решает проблему рукопожатия подсчет количества рукопожатий, если каждый человек в комнате с n + 1 людьми пожимает руку каждому человеку один раз. Другими словами, решение проблемы рукопожатия для n человек — это T n − 1. Функция T является аддитивным аналогом функции факториал, которая является произведением целых чисел от 1 до n.

Количество сегментов линии между ближайшими парами точек в треугольнике может быть представлено в виде количества точек или с помощью рекуррентного отношения :

L n = 3 T n — 1 = 3 (n 2); L n = L n — 1 + 3 (n — 1), L 1 = 0. { displaystyle L_ {n} = 3T_ {n-1} = 3 {n choose 2}; ~~~ L_ {n} = L_ {n-1} +3 (n-1), ~ L_ {1} = 0.}

В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками линии составляет

lim n → ∞ Т н Л п = 1 3. { displaystyle lim _ {n to infty} { frac {T_ {n}} {L_ {n}}} = { frac {1} {3}}.}

Отношения с другими фигуральными числами

Треугольные числа имеют самые разные отношения с другими фигуральными числами.

Проще говоря, сумма двух последовательных треугольных чисел представляет собой квадратное число, где сумма равна квадрат разницы между двумя (и, таким образом, разница между двумя является квадратным корнем из суммы). Алгебраически

T n + T n — 1 = (n 2 2 + n 2) + ((n — 1) 2 2 + n — 1 2) = (n 2 2 + n 2) + (n 2 2 — п 2) = п 2 = (Т н — Т н — 1) 2. { displaystyle T_ {n} + T_ {n-1} = left ({ frac {n ^ {2}} {2}} + { frac {n} {2}} right) + left ( { frac { left (n-1 right) ^ {2}} {2}} + { frac {n-1} {2}} right) = left ({ frac {n ^ {2 }} {2}} + { frac {n} {2}} right) + left ({ frac {n ^ {2}} {2}} — { frac {n} {2}} справа) = n ^ {2} = (T_ {n} -T_ {n-1}) ^ {2}.}

Этот факт можно продемонстрировать графически, разместив треугольники в противоположных направлениях для создания квадрата:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами; например, 1, 36, 1225. Некоторые из них могут быть созданы с помощью простой рекурсивной формулы:

S n + 1 = 4 S n (8 S n + 1) { displaystyle S_ {n + 1} = 4S_ { n} left (8S_ {n} +1 right)}с S 1 = 1. { displaystyle S_ {1} = 1.}

Все квадратно-треугольные числа находятся из рекурсии

S n = 34 S n — 1 — S n — 2 + 2 { displaystyle S_ {n} = 34S_ {n-1} -S_ {n-2} +2 }с S 0 = 0 { displaystyle S_ {0} = 0}и S 1 = 1. { displaystyle S_ {1} = 1. }

Квадрат, длина стороны которого равна треугольному числу, можно разделить на квадраты и полуквадраты, площадь которых складывается с кубиками. Это показывает, что квадрат n-го треугольного числа равен сумме первых n чисел куба.

Кроме того, квадрат n-го треугольного числа совпадает с суммой кубики целых чисел от 1 до n. Это также можно выразить как

∑ k = 1 n k 3 = (∑ k = 1 n k) 2. { displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = left ( sum _ {k = 1} ^ {n} k right) ^ {2}.}

сумма первых n треугольных чисел является n-м тетраэдрическим числом :

∑ k = 1 n T k = ∑ k = 1 nk (k + 1) 2 = n (n + 1) (n + 2) 6. { displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} T_ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {k (k + 1)} {2}} = { frac {n (n + 1) (n + 2)} {6}}.}

В более общем смысле, разница между n-м m-угольным числом и n-м (m + 1) — гональное число — это (n — 1) -е треугольное число. Например, шестое семиугольное число (81) минус шестое шестиугольное число (66) равно пятому треугольному числу 15. Любое другое треугольное число является шестиугольным числом. Зная треугольные числа, можно найти любое центрированное многоугольное число ; n-е центрированное k-угольное число получается по формуле

C kn = k T n — 1 + 1 { displaystyle Ck_ {n} = kT_ {n-1} +1}

где T — треугольник число.

Положительная разность двух треугольных чисел — это трапециевидное число.

Другие свойства

Треугольные числа соответствуют случаю первой степени формулы Фаульхабера.

Чередование треугольные числа (1, 6, 15, 28,…) также являются шестиугольными числами.

Каждое четное совершенное число является треугольным (как и шестиугольным), задаваемым формулой

М п 2 п — 1 знак равно М п (М п + 1) 2 = TM p { displaystyle M_ {p} 2 ^ {p-1} = { frac {M_ {p} (M_ {p} +1)} {2}} = T_ {M_ {p}}}

, где M p — простое число Мерсенна. Совершенные нечетные числа неизвестны; следовательно, все известные совершенные числа треугольные.

Например, третье треугольное число — (3 × 2 =) 6, седьмое — (7 × 4 =) 28, 31-е — (31 × 16 =) 496 и 127-е — (127 × 64 =) 8128.

В base 10 цифровой корень ненулевого треугольного числа всегда равен 1, 3, 6 или 9. Следовательно, каждый треугольное число либо делится на три, либо имеет остаток 1 при делении на 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

…

Есть более конкретное свойство на треугольные числа, не делящиеся на 3; то есть, они имеют остаток 1 или 10 при делении на 27. Те, которые равны 10 mod 27, также равны 10 mod 81.

Шаблон цифрового корня для треугольных чисел, повторяющийся каждые девять членов, как показано выше это «1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9».

Однако обратное к приведенному выше утверждению не всегда верно. Например, цифровой корень 12, не являющийся треугольным числом, равен 3 и делится на три.

Если x — треугольное число, то ax + b также является треугольным числом, если a — нечетный квадрат, а b = a — 1/8

b всегда будет треугольным числом, потому что 8T n + 1 = (2n + 1), что дает все нечетные квадраты, выявляются путем умножения треугольного числа на 8 и добавления 1, а процесс для b, заданного a, является нечетным квадратом: инверсия этой операции.

Первые несколько пар этой формы (не считая 1x + 0): 9x + 1, 25x + 3, 49x + 6, 81x + 10, 121x + 15, 169x + 21 и т. Д. x равно T n, эти формулы дают T 3n + 1, T 5n + 2, T 7n + 3, T 9n + 4 и так далее.

Сумма обратных всех ненулевых треугольных чисел равна

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n Знак равно 2. { Displaystyle ! Сумма _ {п = 1} ^ { infty} {1 над {{п ^ {2} + n} над 2}} = 2 сумма _ {п = 1 } ^ { infty} {1 over {n ^ {2} + n}} = 2.}

Это можно показать, используя базовую сумму ряда телескопирования :

∑ n = 1 ∞ 1 N (N + 1) = 1. { Displaystyle ! Sum _ {n = 1} ^ { infty} {1 over {n (n + 1)}} = 1.}

Две другие формулы относительно треугольных чисел:

T a + b = T a + T b + ab { displaystyle T_ {a + b} = T_ {a} + T_ {b} + ab}

и

T ab = T a T b + T a — 1 T b — 1, { displaystyle T_ {ab} = T_ {a} T_ {b} + T_ {a-1} T_ {b-1},}

и то, и другое можно легко установить, глядя на точечные рисунки (см. Выше) или с помощью простой алгебры.

В 1796 году немецкий математик и ученый Карл Фридрих Гаусс обнаружил, что каждое положительное целое число можно представить в виде суммы трех треугольных чисел (возможно, включая T 0 = 0), записав в своем дневнике свои знаменитые слова: «ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ». Эта теорема не означает, что треугольные числа различны (как в случае 20 = 10 + 10 + 0), и что должно существовать решение с ровно тремя ненулевыми треугольными числами. Это частный случай теоремы Ферма о многоугольных числах.

Наибольшее треугольное число в форме 2 — 1 равно 4095 (см. уравнение Рамануджана – Нагелла ).

Вацлав Францишек Серпинский поставил вопрос о существовании четырех различных треугольных чисел в геометрической прогрессии. Польский математик предположил, что это невозможно, и позже это было доказано Фангом и Ченом в 2007 году.

Формулы, выражающие целое число как сумму треугольных чисел, связаны с тета-функциями в в частности, тета-функция Рамануджана.

Приложения

A полностью подключенная сеть из n вычислительных устройств требует наличия T n — 1 кабелей или других соединений; это эквивалентно проблеме рукопожатия, упомянутой выше.

В формате турнира, который использует циклический групповой этап, количество матчей, которые необходимо сыграть между n командами, равно треугольному числу T n — 1. Например, групповой этап с 4 командами требует 6 матчей, а групповой этап с 8 командами требует 28 матчей. Это также эквивалентно проблеме рукопожатия и неполадкам полностью подключенной сети.

Одним из способов расчета амортизации актива является метод суммы лет, который включает нахождение T n, где n — продолжительность полезного использования актива в годах. Каждый год предмет теряет (b — s) × n — y / T n, где b — начальная стоимость предмета (в денежных единицах), s — его окончательная спасательная стоимость, n — общая количество лет, в течение которых элемент можно использовать, и y текущий год в графике амортизации. Согласно этому методу, предмет со сроком службы n = 4 года потеряет 4/10 своей «потерянной» стоимости в первый год, 3/10 во второй, 2/10 в третий и 1/10 в четвертый, накапливающий общую амортизацию в размере 10/10 (всего) от стоимости потери.

Треугольные корни и тесты для треугольных чисел

По аналогии с квадратным корнем из x, можно определить (положительный) треугольный корень из x как число n, например что T n = x:

n = 8 x + 1 — 1 2 { displaystyle n = { frac {{ sqrt {8x + 1}} — 1} {2}}}

, которая непосредственно следует из квадратной формулы. Таким образом, целое число x является треугольным тогда и только тогда, когда 8x + 1 является квадратом. Эквивалентно, если положительный треугольный корень n из x является целым числом, то x является n-м треугольным числом.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с треугольными числами.

Содержание

• Свойства треугольных чисел
• Демонстрации
• — Демо 1
• — Демо 2
• — Демо 3
• — Демо 5
• Тетраэдрическое число
• Ссылки

Известный кактреугольные числа к последовательности чисел, которые получаются при составлении расположения или фигуры точек в виде равностороннего треугольника. Первые в последовательности: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …

Первое треугольное число — 1, второе — 3, потому что оно получается добавлением ряда из двух точек к предыдущему, чтобы сформировать равносторонний треугольник из трех элементов.

Третий — это число 6, которое появляется при добавлении ряда из трех точек к предыдущему расположению таким образом, что образуется треугольник из трех точек на каждую сторону. 10 в последовательности получается добавлением еще одной строки к предыдущему расположению, так что образуется треугольник с четырьмя точками на каждой стороне.

Формула, позволяющая найти элемент п треугольной последовательности, известное предыдущим треугольным числом:

Т_п = T_п-1 + п

Список первых шести треугольных чисел получается так:

–Первый:  1

–Второй:  1 + 2 = 3

–Третий:  (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

–Четвертый:  (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

–Пятый:  (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

–Шестой:  (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

Свойства треугольных чисел

1.- n-е треугольное число Tn последовательности треугольных чисел равно половине n, умноженного на n + 1:

Т_п = ½ n (n + 1)

2.- Сумма n-го треугольного числа с предыдущим треугольным числом, то есть (n-1) -го, равна n в квадрате:

Т_п + Т_п-1= п²

3.- Разность n-го треугольного числа минус n-е треугольное минус единица равна n:

Т_п — Т_п-1 = п

4.- Сумма первых n треугольных чисел называется тетраэдрическим числом Sn и равна шестой части произведения n, умноженного на (n + 1) и умноженного на (n + 2):

S_п= ⅙ п (п + 1) (п + 2)

5.- Каждое натуральное число N является результатом суммы трех треугольных чисел:

N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Это последнее свойство или теорема было открыто великим математиком Карлом Фридрихом Гауссом в 1796 году, что он отметил в своем дневнике, поместив восхищение греков. Эврика! что это значит «Я сделал это.»

Это было то же слово, которое задолго до этого использовал греческий Архимед, когда он определял кажущуюся массу затопленного тела.

В этом соотношении число ноль считается треугольным и может иметь место повторение.

Демонстрации

— Демо 1

Докажите, что треугольное число п-этот:

Т_п = ½ n (n + 1)

Вывести приведенную выше формулу легко, если мы поймем, что можем добавить равное количество точек к треугольному расположению так, чтобы оно образовало четырехугольник из точек.

Поскольку общее количество точек в четырехугольнике — это количество рядов п умноженное на количество столбцов (п + 1), то треугольное расположение будет иметь только половину точек четырехугольника.

Здесь это показано на рисунке 2.

— Демо 2

Покажите, что сумма п-е треугольное число с п-й минус один треугольное число п в квадрате:

Т_п + Т_п-1= п²

Уже было показано, что треугольное число п-th дается:

Т_п= ½ n (n + 1)

Следовательно, указанное выше треугольное число:

Т_п-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n — 1)

Сумма обоих:

Т_п + Т_п-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n — 1)

Общий множитель ½ n берется для получения:

Т_п + Т_п-1 = ½ n [(n + 1) + (n — 1)] = ½ n [n + 1 + n — 1]

И сразу выражение внутри скобки упрощается:

Т_п + Т_п-1= ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Теперь, помня, что 1/2 умноженное на 2 равно 1 и что n умноженное на n равно n в квадрате, мы имеем:

Т_п + Т_п-1 = п²

Это свойство также можно показать в геометрической форме, просто завершите треугольник, чтобы получился квадрат, как показано на рисунке 3.

— Демо 3

Отличие треугольного порядкового номера п минус треугольный порядковый номер п-1 это n:

Т_п — Т_п-1 = п

Это можно доказать, просто вспомнив, что следующее треугольное число получается из предыдущего по формуле:

Т_п = T_п-1 + п

Отсюда видно, что Т_п — Т_п-1 = п. Его также легко просматривать графически, как показано на рисунке 4.

— Демо 5

Сумма первых n треугольных чисел Sп равно одной шестой произведения n, умноженного на (n + 1) и умноженного на (n + 2):

S_п = ⅙ п (п + 1) (п + 2)

Воспользуемся треугольным числом порядка n:Т_п= ½ n (n + 1). Сумма первых п треугольные числа обозначают его S_п 

Например,S₁означает сумму первого треугольного числа, которое, несомненно, будет равно 1.

Затем давайте посмотрим, верна ли формула, которую мы пытаемся проверить для n = 1:

S₁ = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

Действительно, формула для n = 1 проверена. Легко представить, что сумма первых n + 1 треугольных чисел будет суммой первых n плюс следующего треугольного числа:

S_{п + 1} = S_п + Т_{п + 1}

Теперь предположим, что формула для S_п верно для n, то мы подставляем его в предыдущее выражение и добавляем треугольное число порядка п + 1:

S_{п + 1} = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]

Посмотрим шаг за шагом, что у вас получится:

-Проводим сумму двух дробных выражений:

S_{п + 1} = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12

-Общий множитель 2 (n + 1) (n + 2) взят из числителя и упрощен:

S_{п + 1} = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

Приведенный результат согласуется с формулой для Sп если n заменить на n + 1, что доказывает формулу суммы первых n треугольных членов по индукции.

Тетраэдрическое число

Полученный результат называется тетраэдрическое число порядка n, потому что это похоже на накопление треугольных слоев, образующих тетраэдр, как показано на следующей анимации.

Ссылки

1. Камачо Дж. Неожиданное появление треугольных чисел. Получено с: masscience.com
2. Клаудио. Треугольные числа. Извлечено из: просто чисел. blogspot. com
3. Википедия. Треугольное число. Получено с: es.wikipedia.com
4. Википедия. Треугольное число. Получено с: en.wikipedia.com
5. Википедия. Третраэдрическое число. Получено с: en.wikipedia.com

Методическая разработка

«Нахождение
конечных сумм с помощью геометрических соображений»

Как известно, в математике особенную ценность представляют
задачи, в которых удается найти красивое яркое решение. Особенно, если такое
решение отличается простотой и наглядностью. Отдельную роль в таких вопросах
играют задачи, которые можно «решить» с помощью рисунка, таблицы, графа.

В этой методической разработке мы расскажем о том, как
можно находить некоторые конечные суммы, пользуясь геометрическими методами.
Отметим, что, как правило, нахождение сумм вызывает трудности у учеников 9-х
классов. Методы, которые предложены в данной разработке, позволят лучше понять
идеи суммирования не только девятиклассникам, но и ученикам средней школы (6-7
класс).

Геометрический способ суммирования основан на
представлении искомой суммы в виде площади или объема некой геометрической
фигуры или тела. В данной разработке мы подробнее остановимся на использовании
объемных тел для вычисления сумм.

1.    
Сумма квадратов первых n натуральных
чисел.

Было бы интересно
попробовать применить геометрические идеи для определения суммы квадратов
натуральных чисел. Итак, нам необходимо вычислить сумму

.

Рассмотрим угловую пирамиду, представленную на рисунке
1. Пирамида составлена из кубиков с ребром равным 1 и имеет высоту . Как нетрудно видеть, число кубиков на каждом ярусе представляет собой
квадрат соответствующего натурального числа.

Рисунок 1. Угловая пирамида высоты .

Очевидно, что искомая сумма равна объему такой
пирамиды. Как же его вычислить? Для решения этой задачи нам потребуются три
такие пирамиды. На рисунке 2 поэтапно показано, как из трех пирамид можно
сложить фигуру, напоминающую куб, но с выступающей зубчатой частью.

                        

Рисунок 2. Из трех угловых пирамид получается
половина параллелепипеда.

Остается догадаться, что это лишь половина дела. Нам
необходимо взять еще три таких же угловых пирамиды и сложить из них аналогичную
фигуру. Две такие фигуры без труда объединяются в прямоугольный параллелепипед
размером . Его объем есть
произведение его измерений. Поскольку параллелепипед составлен из 6 одинаковых
пирамид, то объем каждой (а, следовательно, и искомая сумма) имеет вид

.

Отмечу, что
геометрическое решение этой задачи уже было известно и публиковалось в
литературе.

Геометрические
методы решения следующих задач были предложены мною и моими учениками Агаларовым
Даниилом и Березиным Вадимом в рамках написания исследовательской
работы для участия в школьной научно-практической конференции в 2016-2017 уч.
году.

2.  
Сумма первых  треугольных чисел.

Треугольными числами древнегреческий математик Диофант
(III век н. э.) называл числа ,  ,  , … Эти числа легче всего
представить себе, располагая одинаковые шары на столе в виде равносторонних
треугольников все большего размера подобно тому, как это делается во время игры
в бильярд. На рисунке 3 представлены несколько первых треугольных чисел.

Рисунок 3. Треугольные числа.

Какой общей формулой задается треугольное число с
номером ? Исходя из самого способа
построения (в каждом последующем ряду число шаров на 1 больше, чем в
предыдущем) ясно, что треугольное число  есть не что иное, как сумма
первых   натуральных чисел (1):

.

Оказывается, сумма любых двух последовательных
треугольных чисел есть полный квадрат. Это утверждение также без труда
доказывается с помощью геометрических соображений. Рассмотрим два пиксельных
треугольника размерами   и  :

Видно, что если их расположить «гипотенузами» друг к
другу, то они заполнят квадрат :

(Это свойство треугольных чисел понадобится нам в дальнейшем.)

Давайте рассмотрим сумму первых  треугольных чисел

и найдем геометрический метод
ее вычисления.

Заметим, что эту сумму также можно представить как
объем пирамиды (см. рисунок 4).

Рисунок 4. Пирамида, «составленная» из
треугольных чисел.

Чтобы выполнить суммирование, нужно догадаться взять
две такие пирамиды и вспомнить, что пара последовательных треугольных чисел при
сложении дает полный квадрат.

Рисунок 5. Нахождение суммы треугольных
чисел.

Следовательно, можно, используя кубики второй пирамиды
дополнить первую до «суммы квадратов». А именно, послойно переместить кубики
второй пирамиды к первой, спустив их при этом на один ярус по высоте, как
показано на рисунке 5. При этом каждый слой первой пирамиды будет дополнен до
квадрата, а последний слой второй пирамиды, представляющий собой пиксельный
треугольник размером , останется
неизрасходованным. Напомним, что объем этой «неизрасходованной» части есть
попросту сумма натуральных чисел от 1 до .

Таким образом, удвоенная сумма  треугольных чисел представляет собой сумму квадратов первых  натуральных чисел (4) и сумму первых  натуральных чисел(1):

откуда после преобразований
получаем:

3.  
Сумма квадратов первых  нечетных чисел.

Попробуем теперь найти сумму квадратов нечетных чисел.
Это еще одна задача, в которой нам самостоятельно удалось найти
геометрическое решение.

Итак, нам требуется вычислить сумму

.

Еще раз отметим, что в ней
всего  слагаемых. Как и ранее, представим
эту сумму в виде объема пирамиды высоты  (см. рисунок 6).

Рисунок 6. Пирамида, «составленная» из
квадратов нечетных чисел.

Каждый слой этой пирамиды
представляет собой квадрат соответствующего нечетного числа. Чтобы выполнить
суммирование, мы снова воспользуемся тем свойством, что два соседних
треугольных числа составляют квадрат. Следовательно, и обратно, квадрат
размером  можно представить в виде
суммы двух треугольных чисел.

Разобьем каждый слой нашей пирамиды на два пиксельных
треугольника, как показано на рисунке 7.

Рисунок 7. Представление пирамиды в виде
суммы треугольных чисел.

Тогда из получившихся
пиксельных треугольников можно составить пирамиду, представляющую собой сумму
треугольных чисел, объем которой был уже найден ранее. При этом, так как каждый
ярус (кроме первого) исходной пирамиды дал по два яруса в новой пирамиде, ее
высота выросла и стала равна .

Выходит, сумма квадратов первых  нечетных чисел равна сумме первых  треугольных чисел (5):

откуда получаем

4.  
Сумма кубов первых  натуральных чисел.

Теперь было бы интересно, пользуясь геометрическими
соображениями, найти суммы кубов натуральных чисел. Геометрическое решение этой
задачи мы также придумали самостоятельно. Итак, найдём сумму:

Каждое слагаемое этой суммы можно представить в виде
куба соответствующего размера. Расставим эти кубы по диагонали, как показано на
рисунке 8.

Рисунок 8. Суммирование кубов натуральных
чисел.

Ясно, то искомая сумма – есть количество маленьких
кубиков. Чтобы найти её, заметим следующее. Рассмотрим второй куб. Кубики его
верхнего слоя можно спустить на первый уровень и расположить, как показано на
рисунке 9.

Рисунок 9. Кубики второго куба расположены на
нижнем ярусе.

С третьим кубом проделаем то же
самое (см. рисунок 10) и так далее.

Рисунок 10 Кубики второго и третьего
кубов расположены на нижнем ярусе.

При этом, спуская верхние слои очередного куба вниз,
мы будем заполнять пропуски и получать квадрат всё большого размера. В итоге
все кубики заполнят большой квадрат:

Рисунок 11. Верхние слои кубов
дополняют нижний ярус до полного квадрата.

Сторона этого квадрата есть

Теперь, когда нам удалось разместить все кубики в
квадрате размером , мы
незамедлительно получаем, что искомая сумма есть

Заключение

Как правило, наиболее изящные и рациональные решения
задач возникают на стыке различных разделов математики. В частности, очень
эффективным является геометрический подход к решению многих задач. В данной
методической разработке мы рассмотрели, как геометрические идеи могут быть
применены при суммировании.

Все суммы, полученные мною и моими учениками,
совпадают с табличными.

Отметим, что наряду с очевидными преимуществами
геометрический метод вычисления сумм обладает и рядом недостатков. В первую
очередь, это отсутствие универсального способа решения задач (для каждой
конкретной суммы приходится искать новые методы).

Список использованной литературы.

1.           
Блинков А. Д.: Геометрия в
негеометрических задачах. М.: МЦНМО, 2016, 160 с.

2.           
Перельман Я. И. Занимательная геометрия.
М.-Л., ГТТИ, 1950.

3.           
Фукс Д. Б. Можно ли из тетраэдра сделать
куб? // Квант, 1990 №11

4.           
Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина. Площадь.
Объём. М.: МЦНМО, 2011.

5.           
Диофант Александрийский.
Арифметика и книга о многоугольных числах. Пер. И. Н. Веселовского; ред. и
комм. И. Г. Башмаковой. М.: Наука (ГРФМЛ), 1974, 328 с.

6.           
А.Д. Блинков. Вычисление некоторых
конечных сумм. // «Математика для школьников» , №4, 2008.

А количество треугольных или треугольник число отсчетов объектов , расположенные в равностороннем треугольнике . Треугольные числа представляют собой тип фигурных чисел , другими примерами являются квадратные числа и числа в кубе . П е треугольного числа есть число точек в треугольной договоренности с п точек на одной стороне, и равен сумму п натуральных чисел от 1 до п . Последовательность треугольных чисел, начиная с 0 — го треугольного числа , является

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 …

(Эта последовательность включена в Он-лайн энциклопедию целочисленных последовательностей (последовательность A000217 в OEIS )).

Формула

Треугольные числа задаются следующими явными формулами:

где — биномиальный коэффициент . Он представляет собой количество различных пар, которые могут быть выбраны из n + 1 объектов, и читается вслух как « n плюс один выбирают два».

Первое уравнение можно проиллюстрировать с помощью наглядного доказательства . Для каждого треугольного числа представьте «полуквадратное» расположение объектов, соответствующее треугольному числу, как на рисунке ниже. При копировании этой компоновки и ее повороте для создания прямоугольной фигуры количество объектов удваивается, образуя прямоугольник с размерами , который также является количеством объектов в прямоугольнике. Очевидно, что сам по себе треугольное число всегда ровно половина от числа объектов в такой фигуре, или: . В следующем примере :

Первое уравнение также может быть установлено с помощью математической индукции : поскольку оно равно единице, устанавливается базисный случай. Из определения следует, что , принимая индуктивную гипотезу для , добавление к обеим частям немедленно дает

Другими словами, поскольку утверждение (то есть первое уравнение или сама индуктивная гипотеза) истинно, когда и поскольку истинность подразумевает, что это также верно, то первое уравнение истинно для всех натуральных чисел. Приведенный выше аргумент можно легко изменить, чтобы начать с нуля и включить его.

Говорят, что немецкий математик и ученый Карл Фридрих Гаусс обнаружил эту взаимосвязь в ранней юности, умножая
п/2пары чисел в сумме по значениям каждой пары n + 1 . Однако, несмотря на правдивость этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают, что ее происхождение восходит к пифагорейцам в V веке до нашей эры. Эти две формулы были описаны ирландским монахом Дикуилом примерно в 816 году в его Computus .

Треугольное число T _n решает проблему рукопожатия, заключающуюся в подсчете количества рукопожатий, если каждый человек в комнате с n + 1 людьми пожимает руку каждому человеку один раз. Другими словами, решение проблемы рукопожатия для n человек — это T _{n −1} . Функция T является аддитивным аналогом факториальной функции, которая является произведением целых чисел от 1 до  n .

Количество отрезков линии между ближайшими парами точек в треугольнике может быть представлено в виде количества точек или с помощью рекуррентного соотношения :

В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками линии равно

Отношение к другим фигуральным числам

Треугольные числа имеют самые разные отношения с другими фигуральными числами.

Проще говоря, сумма двух последовательных треугольных чисел представляет собой квадратное число, сумма которого является квадратом разницы между ними (и, таким образом, разность двух является квадратным корнем из суммы). Алгебраически,

Этот факт можно продемонстрировать графически, расположив треугольники в противоположных направлениях для создания квадрата:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами; например, 1, 36, 1225. Некоторые из них могут быть сгенерированы простой рекурсивной формулой:

с участием

Все квадратные треугольные числа находятся из рекурсии

с и

Кроме того, квадрат n- го треугольного числа совпадает с суммой кубиков целых чисел от 1 до n . Это также можно выразить как

Сумма первых n треугольных чисел является n- м тетраэдрическим числом :

В более общем смысле, разница между n- м m- угольным числом и n- м ( m + 1) -угольным числом является ( n — 1) -м треугольным числом. Например, шестое семиугольное число (81) минус шестое шестиугольное число (66) равно пятому треугольному числу 15. Любое другое треугольное число является шестиугольным числом. Зная треугольные числа, можно считать любое центрированное многоугольное число ; п — го по центру K -gonal число получается по формуле

где T — треугольное число.

Положительная разность двух треугольных чисел — это число трапеции .

Прочие свойства

Треугольные числа соответствуют случаю первой степени формулы Фаульхабера .

Чередующиеся треугольные числа (1, 6, 15, 28, …) также являются шестиугольными числами.

Каждое четное совершенное число является треугольным (а также шестиугольным), определяемым формулой

где M _p — простое число Мерсенна . Совершенные нечетные числа неизвестны; следовательно, все известные совершенные числа треугольные.

Например, третье треугольное число — (3 × 2 =) 6, седьмое — (7 × 4 =) 28, 31-е — (31 × 16 =) 496 и 127-е — (127 × 64 =) 8128.

В базе 10 , то цифровой корень из числа от нуля треугольной всегда равен 1, 3, 6 или 9. Следовательно, каждое треугольное число либо делится на три или имеет остаток 1 при делении на 9:

У треугольных чисел, которые не делятся на 3, есть более специфическое свойство; то есть, они имеют остаток 1 или 10 при делении на 27. Те, которые равны 10 по модулю 27, также равны 10 по модулю 81.

Шаблон цифрового корня для треугольных чисел, повторяющихся каждые девять членов, как показано выше, — это «1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9».

Однако обратное приведенному выше утверждению не всегда верно. Например, цифровой корень из 12, который не является треугольным числом, равен 3 и делится на три.

Если x — треугольное число, то ax + b также является треугольным числом, если a — нечетный квадрат и b =а — 1/8. Обратите внимание, что
b всегда будет треугольным числом, потому что 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ² , что дает все нечетные квадраты, обнаруживаются путем умножения треугольного числа на 8 и добавления 1, а процесс для b задан a — нечетный квадрат — это операция, обратная этой операции. Первые несколько пар этой формы (не считая 1 x + 0 ): 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 и т. Д. Если x равно T _n , эти формулы дают T _{3 n + 1} , T _{5 n + 2} , T _{7 n + 3} , T _{9 n + 4} и так далее.

Сумма обратных всех ненулевых треугольных чисел равна

Это можно показать, используя базовую сумму ряда телескопирования :

Две другие формулы относительно треугольных чисел:

а также

и то, и другое можно легко установить, глядя на точечные рисунки (см. выше) или с помощью какой-нибудь простой алгебры.

В 1796 году Гаусс обнаружил, что каждое положительное целое число можно представить в виде суммы трех треугольных чисел (возможно, включая T ₀ = 0), записав в своем дневнике свои знаменитые слова « ! Num = Δ + Δ + Δ ». Эта теорема не означает, что треугольные числа различны (как в случае 20 = 10 + 10 + 0), или что должно существовать решение с ровно тремя ненулевыми треугольными числами. Это частный случай теоремы Ферма о многоугольных числах .

Наибольшее треугольное число вида 2 ^k — 1 равно 4095 (см. Уравнение Рамануджана – Нагелла ).

Вацлав Францишек Серпинский задал вопрос о существовании четырех различных треугольных чисел в геометрической прогрессии . Польский математик Казимеж Шимичек предположил, что это невозможно, и позже это было доказано

Фангом и Ченом в 2007 году.

Формулы, выражающие целое число как сумму треугольных чисел, связаны с тета-функциями , в частности с тета-функцией Рамануджана .

Приложения

Полностью подключен сеть из п вычислительных устройств требует присутствия Т _{п — 1} кабели или другие соединения; это эквивалентно проблеме рукопожатия, упомянутой выше.

В формате турнира, который использует групповой этап по круговой системе , количество матчей, которые необходимо сыграть между n командами, равно треугольному числу T _{n — 1} . Например, групповой этап с 4 командами требует 6 матчей, а групповой этап с 8 командами требует 28 матчей. Это также эквивалентно проблеме рукопожатия и неполадкам полностью подключенной сети.

Одним из способов расчета амортизации актива является метод суммы лет , который включает определение T _n , где n — продолжительность срока полезного использования актива в годах. Каждый год товар теряет ( b — s ) ×п — у/Т _н, где b — начальная стоимость предмета (в денежных единицах), s — его окончательная ликвидационная стоимость, n — общее количество лет, в течение которых предмет может использоваться, а y — текущий год в графике амортизации. При использовании этого метода элемент со сроком службы n = 4 года потеряет4/10 от его «потерянной» стоимости в первый год, 3/10 во-вторых, 2/10 в третьем и 1/10 в четвертом, накапливая общую амортизацию в размере 10/10 (целиком) потерянной стоимости.

Треугольные корни и тесты для треугольных чисел

По аналогии с квадратным корнем из x , можно определить (положительный) треугольный корень из x как число n такое, что T _n = x :

что непосредственно следует из квадратичной формулы . Таким образом, целое число x является треугольным тогда и только тогда, когда 8 x + 1 является квадратом. Эквивалентно, если положительный треугольный корень n из x является целым числом, то x является n- м треугольным числом.

альтернативное имя

Альтернативное название, предложенное Дональдом Кнутом , по аналогии с факториалами , — «termial» с обозначением n ? для n- го треугольного числа. Однако, хотя некоторые другие источники используют это название и обозначения, они не получили широкого распространения.

Смотрите также

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Дважды треугольное число , треугольное число, положение которого в последовательности треугольных чисел также является треугольным числом.
• Тетрактис , расположение десяти точек в треугольнике, важное в пифагореизме.

использованная литература

внешние ссылки

• «Арифметические серии» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Треугольные числа в разрезе
• Существуют треугольные числа, которые также являются квадратными при разрубании узла.
• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольное число» . MathWorld .
• Гипертетраэдрические многогранные корни Роба Хаббарда, включая обобщение на треугольные кубические корни , некоторые более высокие измерения и некоторые приближенные формулы