Как найти сумму углов треугольника 5 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Цель: Способствовать формированию у учащихся умения доказывать и
доказать, что сумма углов треугольника равна 180º.

Задачи урока:

Содействовать формированию у детей навыков измерения углов треугольника.
Продолжить работу по формированию у школьников умения выполнять такие
мыслительные операции, как классификация, обобщение, развитие мышления.
Вызвать интерес к самостоятельной поисковой деятельности.

Оборудование: транспортир, угольник, плакаты с изображением различных
видов углов, карточки с изображением треугольников, магниты.

Подготовил: учитель математики МОУ “Тат. Челнинская ООШ”
Менделеевского муниципального района РТ Панкрашина Наталья Вячеславовна.

Ход урока

В начале урока учащиеся проговаривают слова:

“Да, путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше чем разгадок,
И поискам предела нет!”

Учитель оглашает тему и цель урока: выяснить, чему равна сумма углов
треугольника.

На магнитной доске многоугольники.

– Ребята, разбейте на группы многоугольники (Шестиугольники,
четырехугольники, треугольники.)
– Наиболее известная вам фигура из четырехугольников какая? Назовите ее? (Квадрат.)
– Какая фигура называется квадратом? (Квадратом
называется фигура прямоугольник, у которого все стороны равны.)
– По каким элементам можно дать еще определение квадрата? (По
углам.)
– Чему равны углы в квадрате? (90º)
– Сформулируйте полное определение квадрата. (Квадрат, это фигура, у которой
все стороны равны и углы равны по 90º.)
– Чему равна сумма углов квадрата? (360)
– Как из квадрата получить 2 треугольника? (Провести
диагональ.)
– Свойства диагонали проведенной в квадрате? (Диагональ проведенная в
квадрате делит угол пополам..)
– Какие треугольники получились? (Прямоугольные,
равные.)

Δ AВС = Δ АДС (по сторонам и углу В = углу Д = 90º)

– А чему равны углы в Δ АВС, Δ AДС. Можно
найти? (Вспомогательное свойство диагонали.)
– Найдите сумму углов получившихся Δ-ов. (180º).

Вывод:

Сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 180º.

– Ребята, а какие вам еще треугольники известны кроме прямоугольного? (Тупоугольный
и остроугольный.)
– Дайте определение остроугольному треугольнику. (Треугольник у которого все
углы острые, называется остроугольным.)
– Определение тупоугольного треугольника. (Треугольник
у которого один угол тупой, называется тупоугольным.)

– А как вы думаете в остроугольном треугольнике (тупоугольном треугольнике)
сумма углов равна 180 º?
– Хотите проверить?

У каждого учащегося на парте Δ.

(I вариант – остроугольные, II вариант – тупоугольные). Измеряют, убеждаются,
что сумма углов равна 180º.

Вывод: В любом треугольнике сумма углов равна 180º.

1) Постройте в тетради произвольный треугольник. Измерьте углы.

Постройте угол АВС = 120º. На сторонах угла отметьте отрезки, на ВС – 3 см,
АВ – 2 см. Измерьте угол С, угол А. (угол С = 25º, угол А = 35º)

2) Постройте отрезок АВ, от точки А отложите угол 50º, от точки В отложите
угол 30º. Найдите угол С, измерьте. (угол С = 100 º)

Практическая часть:

1. В Δ АВС угол В = 70º, угол А в два раза меньше угла
В. Найдите величину угла С. (Рис. 1)

Решение:

1) 70:2 = 35º уголА
2) 180-(70+35) = 75º <С.

2. В прямоугольном Δ АВС угол С составляет 60º прямого
угла. Найдите угол А. Постройте треугольник.

90 – 100%
? – 60%
90:100•60 = 54 – <С
180 – (90+54) = 36º – <А

3. Далее работа устно по карточкам (рис 2
– рис 6, см.
Приложение) – вычисление углов.

Выводы урока, обобщение.

Д/з построить 3 треугольника:

– прямоугольный
– остроугольный
– тупоугольный.

Убедиться что сумма углов равна 180º.

Источник

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: АВС (рис. 220).

Доказать: A+B +C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда KBA =A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aMBC =C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

KBA +ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, то1 =2.

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Решение:

Пусть ( — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Тогда

Ответ:

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Из треугольника АОС находим:

Ответ: 125°.

Замечание. Если то, рассуждая аналогично, получим формулу: Если, например,

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, (рис. 226).

Докажем, чтоACB = 90°. Обозначим A = ,В = . Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как АМС — равнобедренный, тоA =ACM = как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, СМВ — равнобедренный и B =BCM = . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 + 2, с другой — равна 180°. Отсюда 2 + 2 = 180°, 2( + ) = 180°, + = 90°. НоACB = + , поэтому

ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=,B=.

Проведем отрезок СМ так, чтоACM=, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aBCM дополняетACM до 90°. Поскольку ACM =A = , тоBCM =. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = АВ.

Внешний угол треугольника
Свойство точек биссектрисы угла
Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
Четырехугольник и его элементы
Перпендикулярные прямые в геометрии
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Соотношения в прямоугольном треугольнике

Источник

План урока:

Сумма углов треугольника

Внешние углы треугольника

Сравнение сторон и углов треугольника

Неравенство треугольника

Сумма углов треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, а потому через В можно провести прямую a, параллельную АС. При этом прямые СВ и АВ окажутся секущими для двух параллельных прямых:

Известно, что секущие образуют пары накрест лежащие углы, причем они равны. Отметим на рисунке эти пары и обозначим их как ∠1, ∠2, ∠3 и ∠ 4.

Равные углы (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4) отметим одним цветом. Также обозначим ∠АВС как ∠5:

С одной стороны, углы 2, 4 и 5 вместе образуют развернутый угол, то есть их сумма равна 180°:

В результате мы получили, что сумма углов треугольника АВС в точности равна 180°! В итоге мы можем сформулировать следующую теорему:

Задание. В треуг-ке один угол равен 50°, а второй – 60°. Чему равен третий угол этого треуг-ка?

Решение. Обозначим углы треугольника как ∠1, ∠2 и ∠3.

Получили обыкновенное уравнение с одной переменной. Для его решения просто перенесем слагаемые 50° и 60° из левой части в правую:

Задание. Докажите, что у любого треуг-ка есть хотя бы один угол, который не превосходит 60°.

Решение. Докажем это утверждение методом «от противного». Пусть существует такой треуг-к, у которого каждый из углов больше 60°. Это можно записать в виде трех неравенств:

В итоге имеем, что в сумме эти углы больше 180°, а это невозможно. Это противоречие, следовательно, треуг-к с тремя углами, каждый из которых больше 60°, не существует.

Задание. Основанием рав-бедр. ∆АВС является сторона АС. Известно, что ∠В = 40°. Чему равны ∠А и ∠С этого треуг-ка?

Решение. Сначала необходимо вспомнить важное свойство – углы равнобедренного треугольника при его основании равны друг другу. В нашем случае это значит, что ∠А = ∠С:

Задание. Один из углов при основании рав-бедр. треуг-ка равен 50°. Найдите два других угла.

Решение. Построим рисунок по условию задачи:

Отдельного внимания заслуживает равносторонний треуг-к. Напомним, что у него равны все три стороны. Построим его:

Теперь подумаем о том, чему равны его углы. С одной стороны, мы можем рассматривать ∆АВС как рав-бедр. с основанием АС, ведь AB = BC. Тогда∠А = ∠С. Но с другой стороны, всё тот же ∆АВС мы можем одновременно считать и рав-бедр. с основанием АВ, ведь АС = ВС. Из этого следует, что ∠А = ∠С. В итоге получаем, что все три угла ∆АВС равны:

Итак, получили удивительный факт – в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°!

Рассмотрим чуть более сложную задачу, где неизвестен ни один из углов треуг-ка, однако известны некоторые соотношения между ними.

Задание. Первый угол треуг-ка больше второго в 2 раза, а третий равен сумме первых двух углов. Чему равны углы треуг-ка?

Решение. Для большей наглядности примем первый угол треуг-ка за неизвестную величину, то есть за х. Тогда второй угол будет равен 2х, а третий окажется равным их сумме:

Внешние углы треугольника

Построим некоторый треуг-к, а потом продлим одну из его сторон. На рисунке мы продлили сторону АС. В результате образуется угол, который называют внешним углом треугольника:

На рисунке видно, что ∠ВСD является внешним. Но одновременно можно утверждать и ещё один факт – углы ∠АСВ и ∠ВСD являются смежными. Это позволяет нам дать следующее определение:

В итоге мы доказали, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треуг-ка, которые с ним не смежны.

Задание. У ∆АВС ∠А = 50°, ∠В = 75°. Найдите величину внешнего угла, смежного с ∠С.

Решение. В данном случае, согласно доказанному нами правилу, достаточно просто сложить ∠А и ∠B:

Рассмотрим ещё несколько более тяжелых задач.

Задание. В ∆АВС проведены биссектрисы угловА и B. Они пересекаются в точке М. Известно, что ∠А = 58°, ∠B = 96°. Найдите ∠АМB.

Решение. Устно такую задачу не решить, поэтому построим рисунок:

АМ – это биссектриса, а она разбивает∠ВАС на два равных угла. Поэтому мы можем вычислить ∠ВАМ:

Отметим найденные углы на рисунке:

Обратите внимание на ∆АВМ, который выделен красным цветом. Теперь мы знаем два угла в нем. Значит, можно найти и третий! Запишем для ∆АВМ сумму его углов:

Задание. Построен внешний угол равнобедренного треугольника, который смежен с вершиной, лежащей против основания. Далее построили биссектрису этого внешнего угла. Докажите, что эта биссектриса будет параллельна основанию.

Решение. Выполним построение:

Пусть АС – это основание рав-бедр. ∆АВС. Тогда внешний угол должен быть проведен к вершине В, ведь именно она лежит против основания. Обозначим внешний угол как ∠СВD (для этого мы просто добавили точку Dна продолжение отрезка АВ). Далее проводим биссектрису ВК. Нам требуется доказать, что ВК||АС.

Поступим очень просто – обозначим неизвестную нам величину угла при основании как х. То есть

В результате мы получили, что и ∠С, и ∠CBK равны х, то есть они равны и друг другу. Однако эти углы являются накрест лежащими для прямых АС и ВК и секущей ВС. Из равенства накрест лежащих углов следует, что АС||ВК.

Задание. В ∆АВС проведена медиана АМ, причем ее длина равна ВМ. Найдите ∠А.

Решение. Напомним, что медиана – это прямая, разбивающая сторону на два равных отрезка. То есть ВМ = МС. По условию АМ = ВМ, значит, имеет место двойное равенство:

Посмотрите на рисунок – здесь есть сразу два рав-бедр. треуг-ка! Это ∆АВМ (с основанием АВ) и ∆АМС (с основанием АМС). Обозначим∠В как х, а ∠С – как у. Углы при основании рав-бедр. треуг-ков одинаковы, а потому

Сравнение сторон и углов треугольника

Докажем следующую теорему:

Построим ∆АВС, в котором сторона АВ будет длиннее, чем АС. Нам надо доказать, что ∠С >∠B:

Выполним дополнительное построение – отметим на прямой АВ такую точку D, что AD = АС. Точка D будет располагаться на отрезке АВ, ведь АВ больше АС, а, значит, и больше АD. Также соединим C и D отрезком:

Теперь рассмотрим ∆ADC. Он является рав-бедр., ведь AD = AC. Из этого следует, что ∠ADC = ∠ACD.

Можно заметить, что ∠АDС является внешним углом для ∆BDC. Это значит, что

Мы доказали только первую часть теоремы. Теперь надо доказать обратное утверждение – против большего угла находится большая сторона треугольника. Предположим обратное, что существует ∆АВС, в котором ∠С>∠B, но не выполняется условие АВ >AC. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ <ВС. Первый вариант означает, что ∆АВС – рав-бедр., но тогда ∠С =∠B, что противоречит условию. Если же АВ <ВС, то по только что доказанному утверждению ∠С<∠B, что также противоречит исходному условию. Поэтому АВ >AC.

Задание. В ∆АВС известны углы:

Запишите стороны этого треуг-ка в порядке возрастания.

Решение. Всё очень просто – чем больше сторона, тем против большего угла она лежит. Поэтому самая большая сторона – это АВ, вторая по длине – АС, а наименьшая сторона – ВС. То есть BС<AС<AВ:

Доказанная теорема помогает сформулировать важный признак рав-бедр. треуг-ка:

Действительно, против равных углов должны лежать равные стороны, в противном случае сложится ситуация, когда в треуг-ке против сторон разной длины будут лежать равные углы, что невозможно.

Задание. В рав-бедр. ∆АВС основанием является АС. Из точек А и С проведены биссектрисы, которые пересеклись в точке О. Докажите, что ∆АОС также является рав-бедр.

Решение.

Ясно, что ∠ВАС = ∠ВСА, так как это углы при основании рав-бедр. ∆АВС. С другой стороны, ∠ОАС равен половине ∠ВАС, ведь АО – биссектриса:

В итоге имеем, что ∠ОАС и ∠АСО равны. Но тогда в ∆АОС есть два одинаковых угла, а потому он является рав-бедр. (АО = ОС).

Неравенство треугольника

Следующая важная теорема называется неравенством треугольника:

Попробуем доказать неравенство треугольника. Возьмем произвольный ∆АВС и покажем, что сторона АВ меньше, чем величина ВС + АС. Для этого «дорисуем» к отрезку АС ещё один отрезок СD, равный BC, при этом АС и СD должны лежать на одной прямой:

Так как AD = АС + СD, то нам достаточно показать, что АВ <AD. Ясно, что ∆ВСD является рав-бедр., ведь ВС = СD. Это значит, что

Получается, что в ∆АВD сторона АВ лежит против меньшего угла по сравнению со стороной АD. Значит, эта сторона должна быть меньше АD, что мы и пытаемся доказать.

Доказанная теорема означает, что не всякий треуг-к можно построить по его сторонам. Так, у нас никогда не получится построить треуг-к, у которого стороны равны 2, 3 и 7 см, так как одна из этих длин больше, чем сумма двух других:

7 > 2 + 3

Верно обратное утверждение – если все заданные длины удовлетворяют неравенству, то треуг-к построить можно.

Задание. Известны две стороны равнобедренного треугольника, они равны 25 и 10 см. Какая из них является основанием?

Решение. Рассмотрим сперва случай, когда основание равно 25 см. Тогда две другие стороны имеют длину 10 см. Их сумма (10 см + 10 см = 20 см) меньше основания. Такая ситуация невозможно из-за неравенства треуг-ка.

Ситуация же, при которой основание имеет длину 10 см, вполне допустима. Тогда две другие стороны равны 25 см, и для каждой стороны неравенство треуг-ка выполняется:

Источник

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника — это сумма
всех внутренних углов треугольника.

Так, как углы измеряются в градусах, соответственно значение
суммы углов треугольника также измеряется в градусах.

Сумма углов треугольника есть величина постоянная,
неизменяемая, она равна 180 градусам, вне зависимости
от вида рассматриваемого треугольника.

На рисунке 1 изображены равносторонний,
разносторонний и прямоугольный треугольники,
их суммы внутренних углов равны 180 градусам.

Также, существует теорема, которая доказывает
утверждение о том, что сумма углов треугольника
180 градусов, она называется теоремой
о сумме углов треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника — это теорема в
геометрии о сумме углов произвольного треугольника на плоскости.

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: АВС (рис. 220).

Доказать: A+B +C = 180°.

Доказательство:

KBA +ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

Пример:

Решение:

Пусть ( — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Тогда

Ответ:

Пример:

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Из треугольника АОС находим:

Замечание. Если то, рассуждая аналогично, получим формулу: Если, например,

Пример:

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, (рис. 226).

ACB = 90°.

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=,B=.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Внешний угол треугольника
Свойство точек биссектрисы угла
Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
Четырехугольник и его элементы
Перпендикулярные прямые в геометрии
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Соотношения в прямоугольном треугольнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

источники:

http://www.evkova.org/summa-uglov-treugolnika

http://mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle

Источник

Сумма углов треугольника

Доказательство теоремы:

Нарисуем треугольник. Через одну из его вершин проведем прямую, параллельную противоположной стороне, и найдем на рисунке равные углы.

Угол 1 равен углу BAC, они накрест лежащие. Угол 2 равен углу ACB, они тоже накрест лежащие.

Сумма угла 1, угла ABC и угла 2 составляет развернутый угол.

A развернутый угол равен $180{}^circ$ . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

Заметим, что они похожи друг на друга. Одна и та же задача на тему «Сумма углов треугольника» может встретиться и на ОГЭ, и на ЕГЭ по математике. И уровень сложности заданий по этой теме в ЕГЭ и ОГЭ примерно одинаковый.

Задачи ЕГЭ по теме: Сумма углов треугольника

Задача 1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х.

Получим уравнение:

и найдем x = 17.

Тогда 3x=51 .

Ответ: 51.

Обратите внимание, что это даже не геометрия, а алгебра. Мы составили уравнение и решили его.

Задача 2.

Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен $98^{circ}$ , а два других равны $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 180-98}{displaystyle 2}=41^{circ}$ .

Ответ: 41.

Задача 3.

На рисунке угол 1 равен $46^{circ}$ , угол 2 равен $30^{circ}$ , угол 3 равен $44^{circ}$ . Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Сначала найдем угол 5.

Он равен $180^{circ}-angle 1-angle 3 = 90^{circ}.$

Тогда $angle 6= 90^{circ}.$

$angle 7=180^{circ}-angle 2-angle 6=60^{circ}.$

Угол 4, смежный с углом 7 равен $120^{circ}.$

Ответ: $120^{circ}.$

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Задача 4.

Углы треугольника относятся как 2:3:4 . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

$2x+3x+4x=180^{circ};$

$9x=180^{circ};$

$x=20^{circ};$

Тогда $2x=40^{circ}.$

Здесь мы тоже составили уравнение и решили его. Так же, как на уроках алгебры.

Ответ: 40.

Задача 5. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен ${48}^circ$ , угол ABC равен ${41}^circ$ . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle ALC — внешний угол и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, $angle BAL=angle ALC-angle ABL=48{}^circ -41{}^circ =7{}^circ$ .

AL — биссектриса , а это значит, что $angle BAC=2 angle BAL=2cdot 7{}^circ =14{}^circ$ .

По теореме о сумме углов треугольника получаем:
$angle ACB=180{}^circ -41{}^circ -14{}^circ =125{}^circ .$
Ответ: 125.

Задача 6. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC, AD=CD, angle B=61 ${}^circ ,$ angle D=151 ${}^circ .$ Найдите величину угла A. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Если соединить точки B и D, получим два равных треугольника. Они равны по трем сторонам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике ABD сумма двух углов
$angle DBA+angle BDA=displaystyle frac{1}{2}left(angle B+angle Dright)=displaystyle frac{1}{2}left(61+151right)=106{}^circ .$
Тогда $angle A=180{}^circ -106=74{}^circ$ , по теореме о сумме углов треугольника.

Ответ: 74.

Задача 7. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен ${124}^circ$ . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры окружности. Значит, — равнобедренный, в нем BO=OC — как радиусы.

$angle AOD=angle BOC=124{}^circ$ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике:

$angle OCB=displaystyle frac{180{}^circ -124{}^circ }{2}=28{}^circ$ .

Ответ: 28.

Задача 8. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен ${104}^circ$ , угол CAD равен ${5}^circ$ . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD — биссектриса, отсюда следует, что $angle CAD=angle DAB=5{}^circ Rightarrow angle CAB=10{}^circ$ .

Тогда по теореме о сумме углов треугольника $angle B=180{}^circ -104{}^circ -10{}^circ =66{}^circ$ .

Ответ: 66.

Задача 9. В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен ${90}^circ$ , угол B равен ${35}^circ$ . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен ${90}^circ$ , угол B равен ${35}^circ$ , тогда угол A равен $90{}^circ -35{}^circ =55{}^circ$ .

CD — медиана. А медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Значит, .

Поэтому треугольник ADC равнобедренный и $angle A=angle ACD=55{}^circ$ .

Ответ: 55.

Задача 10. В треугольнике ABC угол C равен ${58}^circ$ , биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах

Решение:

В треугольнике ABC угол C равен ${58}^circ$ , отсюда по теореме о сумме углов треугольника $angle A+angle B=180{}^circ -58{}^circ =122{}^circ$ .

Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Угол OAB — это половина угла CAB, угол OBA — это половина угла CBA. Теперь применим теорему о сумме углов треугольника к треугольнику AOB.

$angle AOB=180{}^circ -displaystyle frac{1}{2}left(angle A+angle Bright)=180{}^circ -61{}^circ =119{}^circ .$

Ответ: 119.

Задача 11. В треугольнике ABC угол A равен ${56}^circ$ , углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BD — высота тогда — прямоугольный,

$angle ABD=90{}^circ -56{}^circ =34{}^circ .$

CE — высота тогда — прямоугольный и $angle BOE=90{}^circ -34{}^circ =56{}^circ$ .

Углы и — смежные, поэтому $angle EOD=180{}^circ -56{}^circ =124{}^circ$ .

Ответ: 124.

Задача 11. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен ${14}^circ$ . Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке вершины треугольника ABC, биссектрису CК и высоту CН. Биссектриса CК делит прямой угол на два угла по $45{}^circ$ . Угол BCН равен разности углов BCК и КCН, то есть $45{}^circ -14{}^circ =31{}^circ$ .

Треугольники BCН и BAC подобны по двум углам. Значит, угол BAC равен углу BCН, то есть $31{}^circ .$

Ответ: 31.

Задача 12. Острые углы прямоугольного треугольника равны ${84}^circ$ и ${6}^circ$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим на рисунке медиану CМ и высоту CН.

Пусть $angle A=6{}^circ$ и $angle B=84{}^circ$ . Высота CН разбивает прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному. Значит, угол BCН равен углу BAC, то есть ${6}^circ$ .

у которых углы равны т. е. угол C разбился на углы

${84}^circ$ и

Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Получили два равнобедренных треугольника, BCМ и ACМ. В треугольнике ACМ углы A и C равны 6 градусов каждый.

Тогда угол МCН между высотой и медианой равен: $90{}^circ -angle ACM- angle BCH=90{}^circ -6{}^circ -6{}^circ =78{}^circ .$

Ответ: 78.

Задачи ОГЭ по математике по теме: Сумма углов треугольника.

Задача 13. В треугольнике два угла равны ${57}^circ$ и ${86}^circ$ . Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна $180{}^circ$ , поэтому

третий угол равен $180{}^circ -57{}^circ -86{}^circ =37{}^circ$ .

Ответ: 37.

Задача 14. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 34 ${}^circ$ . Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90{}^circ$ . Поэтому второй острый угол равен: $90{}^circ -34{}^circ =56{}^circ$ .

Ответ: 56.

Задача 15.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC, $angle ABC=108{}^circ$ . Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC известно, что AB=BC. Значит, треугольник ABС равнобедренный, и углы при основании AС равны,

т.е. $angle A=angle C=displaystyle frac{180{}^circ -108{}^circ }{2}=36{}^circ$ .

Ответ: 36.

Задача 16. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, $angle BAC=37{}^circ$ . Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение:

BH — высота , тогда — прямоугольный, в нем $angle AHB=90{}^circ$ и $angle BAC=37{}^circ .$ Используя теорему о сумме углов в треугольнике, найдем угол ABH:
$angle ABH=180{}^circ -angle AHB-angle AHB=180{}^circ -90{}^circ -37{}^circ =53{}^circ .$
Ответ: 53.

Задача 17. В треугольнике ABC угол C равен ${133}^circ$ . Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Внешний угол треугольника AВC при вершине C является смежным углом с углом ACB, а сумма смежных углов равна $180{}^circ$ .

Значит, внешний угол треугольника ABC при вершине C равен: $180{}^circ -133{}^circ =47{}^circ$ .

Ответ: 47.

Задача 18. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и $angle ABC=25{}^circ$ . Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

— равнобедренный, $angle A=angle C=displaystyle frac{180{}^circ -25{}^circ }{2}=displaystyle frac{155{}^circ }{2}$ .

— вписанный угол и опирается на дугу BC, а — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного опирающегося на ту же дугу, $angle BOC=2angle BAC=155{}^circ$ .

Ответ: 155.

Задача 19. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и angle ABC=123 ${}^circ$ . Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

— равнобедренный треугольник, отсюда .

— вписанный угол, он опирается на дугу BC, а — центральный угол и также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, значит, $angle BOC=2angle BAC=180{}^circ -123{}^circ =57{}^circ$ .

Ответ: 57.

Задача 20. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен ${114}^circ$ . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AC и BD — диаметры, отсюда следует, что — равнобедренный, BO=OC — радиусы.

$angle AOD=angle BOC=114{}^circ$ как вертикальные углы, тогда по теореме о сумме углов в треугольнике $angle OCB=displaystyle frac{180{}^circ -114{}^circ }{2}=33{}^circ$ .

Ответ: 33.

Задача 21. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен ${75}^circ$ . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. A это означает, что AB — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90{}^circ$ , и треугольник ABC — прямоугольный. И если $angle BAC=75{}^circ$ , то второй острый угол этого треугольника равен: $90{}^circ -75{}^circ =15{}^circ$

Ответ: 15.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Сумма углов треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник