Содержание
Определение действия сложение и компоненты сложения
Переместительный и сочетательный законы сложения
Правило прибавления слагаемого к сумме или суммы к слагаемому
Изменение суммы чисел с изменением слагаемых
Сложение однозначных чисел
Сложение многозначного и однозначного чисел
Сложение двух многозначных чисел в столбик
Сложение в столбик нескольких многозначных чисел
Пройти тест по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Как вы уже знаете, любое натуральное число представляет собой единицу или собрание нескольких единиц. Так вот, мы можем взять несколько чисел и объединить все единицы, которые их составляют, в одно большое собрание. Число, которое получилось в результате этого объединения, называется суммой.
Сумма чисел – это такое число, которое получается после объединения всех единиц других данных натуральных чисел.
Слагаемые – это числа, над которыми мы выполняем действие сложения. Иными словами, это те числа, количество единиц которых мы объединяем в новом числе.
Арифметическое действие – это нахождение нового числа при помощи двух или нескольких других данных чисел.
В курсе математики 5 класса изучаются основные арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление.
Определение
Сложение – это арифметическое действие, которое выполняется для получения суммы нескольких чисел.
Или другими словами:
Сложение – это действие увеличения числа на количество единиц, содержащихся в другом числе.
Сумма – это результат действия сложения.
На записи действие сложения обозначается знаком + (плюс). То есть, если записано 3+2+5, то это означает, что нам нужно найти сумму этих трех чисел: 3, 2 и 5. Сумма записывается обычно справа от слагаемых после знака = (равно): 3+2+5 = 10.
Сумма чисел состоит (слагается, складывается, – можно говорить по-разному) из двух или более слагаемых. Понятно, что сумма всегда больше любого ее слагаемого.
Слагаемые – это не что иное, как состав числа, обозначающего сумму этих слагаемых.
Компоненты действия сложения для двух слагаемых:
Компоненты сложения для трех слагаемых:
Действие сложения можно выполнить всегда. Действительно, так как натуральный ряд бесконечен, то мы всегда можем любые числа этого ряда объединить в другое, какое угодно большое число.
Действие сложения всегда имеет единственный результат. Действительно, если мы, к примеру, отметим на координатном луче с началом в точке O и единичным отрезком 1 см отрезок OA длиной 5 см, а потом построим еще один отрезок AB длиной 7 см, то у нас получится только единственный отрезок OB длиной 12 см.
Рисунок 1. Сумма двух чисел на координатном луче.
Основные свойства суммы натуральных чисел
Есть два основных закона суммы, из которых следуют остальные ее свойства:
- переместительный закон сложения,
- сочетательный закон сложения.
Переместительный закон сложения
Сумма двух или нескольких чисел от изменения порядка сложения слагаемых не меняется.
Это значит, что значение суммы не зависит от порядка выполнения действия сложение.
Например, в каком бы порядке мы ни складывали числа 2, 3 и 5, результат неизменно будет 10:
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких чисел не поменяется, если некоторые слагаемые заменить их суммой.
Это значит, что мы можем группировать слагаемые как угодно, а также выполнять действия сложения в любом порядке.
Например, если в нашем примере мы заменим слагаемые 2 и 3 их суммой, то результат останется такой же, как и при обычном сложении слагаемых:
То же самое будет, если мы заменим слагаемые 3 и 5, или 2 и 5 их суммами:
или
или
Из этих законов вытекает правило прибавления слагаемого к сумме или суммы к слагаемому.
Правило
Для прибавления суммы некоторых чисел к числу или некоторого числа к сумме чисел, нужно сложить это число с одним из слагаемых суммы, а получившийся результат сложить последовательно с остальными слагаемыми.
Пример 1. Прибавление числа к сумме чисел:
Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее с первым слагаемым:
325+(12+64+5) = 325+81 = 406
Также можно использовать правило прибавления слагаемого и суммы. Результат при этом не поменяется
325+12 = 337;
337+64 = 401;
401+5 = 406
или
325+64 = 389;
389+12 = 401;
401+5 = 406.
Пример 2. Прибавление суммы чисел к другому числу:
Можно сразу вычислить сумму чисел в скобках и сложить ее со вторым слагаемым
(54+240+189)+37 = 483+37 = 520
Или можно использовать правило прибавления суммы чисел к числу. Результат останется тот же.
54+37 = 91;
91+240 = 331;
331+189 = 520
или
240+37 = 277;
277+54 = 331;
331+189 = 520.
Изменение суммы чисел с изменением слагаемых
Чтобы понять, как изменится сумма чисел, если изменить одно или несколько ее слагаемых, нужно вспомнить, что сумма представляет собой собрание всех единиц, из которых состоят слагающие ее числа. Поэтому, легко можно понять, что:
При увеличении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже увеличится на это же число (на это же количество единиц).
При уменьшении одного из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), сумма тоже уменьшится на это же число (на это же количество единиц).
Эти два свойства справедливы и в обратную сторону. То есть, если увеличить или уменьшить сумму на какое-то число, тогда для сохранения равенства нужно соответственно увеличить или уменьшить одно из слагаемых.
Если увеличить одно из слагаемых на какое-то число (на какое-то количество единиц), а другое уменьшить на это же число (на это же количество единиц), то в результате сумма не поменяется.
Простой пример увеличения суммы при увеличении слагаемого: у вас есть 700 рублей; 200 рублей лежит в левом кармане, а 500 – в правом. Вы нашли на улице 300 рублей и положили их в левый карман, после чего там стало 200+300=500 рублей. Таким образом, всего у вас оказалось 500+500=1000 рублей, то есть, сумма всех ваших денег увеличилась на 300 рублей.
Попробуйте самостоятельно придумать примеры для всех трех правил.
Сложение однозначных чисел
Сложение двух однозначных чисел выполняется так: одно число увеличивается на количество единиц другого числа. То есть, единицы одного числа присоединяются к единицам другого числа.
Например, для нахождения суммы 5+2 нужно к числу 5 присоединить 2 единицы. Тогда получим 5+2=7. А если нужно к числу 7 прибавить число 8, или другими словами, найти сумму 7+8, то после присоединения к 7 единиц числа 8 получим 1 десяток единиц и еще 5 единиц, то есть, число 15.
Сложение однозначных чисел – это первый и очень важный шаг в освоении этого арифметического действия. Если хорошо выучить все результаты сложения однозначных чисел между собой, тогда вы сможете намного быстрее складывать в уме любые числа.
Сложение многозначного числа с однозначным
Чтобы найти сумму многозначного числа и однозначного, можно действовать двумя способами. Оба они основаны на свойствах суммы чисел. Рассмотрим их на примерах.
Допустим, нам нужно найти сумму чисел 88 и 5.
Способ 1.
Представим число 88 в виде суммы 80+8 и прибавим к ней число 5. После этого, найдем сумму однозначных чисел 8 и 5, получится 13. Прибавим этот результат к числу 80. Число 13 – это 10+3, поэтому мы к 8 десяткам прибавляем 1 десяток, получаем 9 десятков, или число 90, а к нему прибавляем еще 3 (оставшиеся от числа 13), и получим 93.
То есть, мы проделываем такие действия:
88+5 = 80+8+5 = 80+13 = 80+10+3 = 90+3=93.
Способ 2.
Замечаем, что если к 88 прибавить 2, то получим полный десяток, то есть, число 90. Тогда представляем число 5 в виде суммы 2+3; число 2 складываем с 88, получаем замеченное нами ранее число 90. Добавляем к нему оставшееся число 3, и получаем результат 93.
То есть, ход вычисления был такой:
88+5 = 88+2+3 = 90+3 = 93.
Сложение в столбик многозначных чисел
Сумма многозначных чисел удобно вычисляется, если использовать так называемое сложение в столбик.
Сложение в столбик – это способ нахождения суммы чисел путем их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим).
Этот способ простой, и он помогает не запутаться во время вычисления, не допустить ошибки. Но, чтобы складывать быстро, как я и говорил раньше, вам нужно очень хорошо знать все попарные суммы однозначных чисел.
Итак, допустим, что нам нужно найти сумму : 5728+803
Запишем их друг под другом таким образом, чтобы совпадали соответствующие разряды обоих чисел, т.е. единицы под единицами, десятки под десятками и т.д. После этого, под вторым слагаемым проводим горизонтальную черту, а между слагаемыми ставим знак действия, т.е. плюс. У нас получилась такая запись:
Теперь нам нужно сложить между собой единицы каждого разряда, начиная с первого: сперва простые единицы, потом десятки единиц, потом сотни единиц и т.д. Результаты этих сложений записываем под чертой в том разряде, единицы которого мы складывали.
Начинаем с простых единиц: 8+3=11. У нас получилось число 11, то есть, 1 десяток и 1 единица. 1 единицу мы записываем под чертой в разряде единиц, а 1 получившийся десяток нужно будет дополнительно прибавить к сумме единиц разряда десятков. Чтобы не забыть совершить это действие, мы пишем над цифрами разряда десятков маленькую цифру 1 или ставим там точку.
Про подобное действие обычно говорят: «один пишем, один в уме» , то есть, оставляем в памяти, чтобы не забыть добавить при следующем действии.
Далее переходим к десяткам. У первого слагаемого 2 единицы разряда десятков, а у второго 0, поэтому: 2+0=2. Мы помним, что после сложения простых единиц у нас образовался дополнительно 1 десяток, поэтому к этому результату добавляем еще единицу: 2+1=3. У нас получилось 3 десятка, поэтому записываем цифру 3 под чертой в разряде десятков.
Следующими идут сотни: 7+8=15. Первым делом проверяем, не нужно ли нам дополнительно добавлять единицу? В нашем случае нет, потому что на предыдущем шаге при сложении десятков мы получили однозначное число. Поэтому, пишем под чертой в разряде сотен цифру 5. И у нас получилось дополнительно 10 сотен, то есть, 1 тысяча единиц. Значит, нам нужно отметить эту получившуюся 1 тысячу как дополнительную, поставив маленькую цифру 1 над цифрами разряда тысяч.
В разряде тысяч у первого слагаемого стоит цифра 5, а у второго ничего не стоит. Но мы помним, что при отсутствии разрядов в начале числа (слева) нули не пишутся, но подразумевается, что в этих разрядах по 0 единиц. Поэтому мы находим сумму 5+0=5, т.е. 5 единиц разряда тысяч и добавляем к ней дополнительную 1 единицу тысяч, полученную после сложения разрядов сотен. 5+1=6. Записываем эту цифру под чертой в разряде тысяч.
После нахождения суммы чисел методом сложения столбиком, записываем результат решения в исходном строчном примере:
5728+803 = 6531
Сложение в столбик нескольких многозначных чисел
Этим способом так же легко можно найти сумму нескольких многозначных чисел.
Рассмотрим пример: 12044+28609+1358
Сложив простые единицы, мы получим 21, то есть, 2 десятка и 1 единицу. Записываем под чертой в разряде единиц цифру 1, а 2 отмечаем «в уме».
Сложив десятки этих трех чисел, мы получим 4+0+5=9 единиц разряда десятков. Добавив 2 десятка единиц, которые у нас были «в уме», получаем 11, то есть, 10 десятков и ещё 1 десяток. Под чертой мы записываем цифру 1 в разряде десятков, а так как 10 десятков – это не что иное как 1 сотня, то мы отмечаем «единицу в уме», то есть, ставим над всеми тремя числами в разряде сотен маленькую цифру 1.
Теперь складываем 0 сотен первого числа, 6 сотен второго и 3 сотни третьего. Получается 9 сотен. Добавляем 1 сотню, которая была «в уме» после сложения всех десятков, и у нас выходит 10 сотен, то есть, 1 тысяча единиц. Значит, под чертой в разряде сотен мы пишем 0 (так как у нас не получилось ни одной единицы сотен, только десяток сотен), а над всеми числами в разряде тысяч отмечаем дополнительную 1 тысячу.
В разряде тысяч мы находим сумму 2+8+1, это будет 11 тысяч единиц, добавляем 1 тысячу, которая получилась после сложения сотен. Получаем 12 тысяч единиц, то есть, 10 тысяч и 2 тысячи. Цифру 2 пишем в разряде тысяч единиц под чертой, а единицу десятка тысяч (наши 10 тысяч единиц) отмечаем сверху в соответствующем разряде.
Нам осталось сложить десятки тысяч единиц: 1+2+0=3 десятка тысяч, и прибавить к результату 1 десяток тысяч, получившийся после прошлого шага. У нас вышло 4 десятка тысяч, поэтому в этом разряде под чертой мы пишем цифру 4.
Нам остается только записать результат в начальном примере:
12044+28609+1358
Хочу обратить внимание, что при сложении в столбик все шаги (сложение единиц каждого разряда) совершаются последовательно в одной записи. Я расписывал их отдельными только для лучшего понимания сути процесса сложения. И конечно же, не нужно выделять каждый разряд отдельным цветом. В случае рассмотренных выше примеров все решение выглядит так:
Математика
5 класс
Урок № 5
Сложение натуральных чисел
Законы сложения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— сложение натуральных чисел;
— переместительный закон сложения;
— сочетательный закон сложения.
Тезаурус
Сложение – арифметическое действие, посредством которого из двух или нескольких чисел получают новое, содержащее столько единиц, сколько было во всех данных числах вместе.
Слагаемые – числа, которые складывают.
Сумма – результат сложения.
Переместительный закон сложения: сумма не меняется от перестановки её слагаемых.
Сочетательный закон сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Обязательная литература
- Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
- Потапов М. К. Математика. Книга для учителя. 5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.
Дополнительная литература
- Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
- Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
- Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Представьте, что надо сложить числа 6 и 4. Будем рассуждать таким образом. Рассмотрим числовую прямую и отметим на ней число 6. Отсчитаем от него вправо 4 деления.
Получим число 10, которое является суммой чисел 6 и 4. То есть 10 = 6 + 4.
Числа 6 и 4 называются слагаемыми.
Но можно поступить иначе: отметим на числовом луче сначала число 4 и отсчитаем от него вправо 6 делений. Получится тоже самое число 10, которое является суммой чисел 4 и 6: 10 = 4 + 6.
То есть сумма не меняется от перестановки слагаемых:
4 + 6 = 6 + 4.
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство:
a + b = b + a,
выражающее переместительный закон сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Теперь будем складывать три числа – 2, 3 и 4. Для этого, применяя уже известный способ, отметим на числовой прямой число 2, отсчитаем от него вправо 3 деления – получим число 5, отсчитаем от него вправо ещё 4 деления, получим число 9.
Следовательно, (2 + 3) + 4 = 9.
Теперь отметим число 2, отсчитаем от него вправо 3 + 4 = 7 делений.
Получим также 9: 3 + (2 + 4) = 9.
Таким образом, мы получим равенство
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
Для любых чисел a, b и с верно равенство:
(а + b) + с = а + (b + с),
выражающее сочетательный закон сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Также стоит обратить внимание, что этот закон позволяет записать сумму нескольких слагаемых без скобок:
3 + (2 + 4) = (3 + 2) + 4 = 3 + 2 + 4.
Законы сложения верны для любых неотрицательных чисел.
А теперь применим на практике следующее утверждение: в сумме нескольких слагаемых можно менять местами слагаемые и заключать их в скобки любым образом.
Например, 23 + 118 + 17 + 82 = 240
Поменяем местами слагаемые 118 и 17, получим:
(23 + 17) + (118 + 82) = 40 + 200 = 240
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Чему равно значение выражения: 138 + 22 + 36?
Варианты ответа: 196; 195; 190; 200.
Решение: чтобы найти значение данного выражения, следует сложить 138 и 22, что в сумме даст 160, а затем к этому числу прибавить 36. В итоге получится 196.
Ответ: 196.
№ 2. Используя законы сложения, составьте новое выражение, значение которого можно будет легко найти: 635 + 298 + 1365 + 402.
Решение: воспользуемся переместительным законом сложения; получим 635 + 1365 + 298 + 402. В итоге получаем выражение, значение которого легко вычислить.
Ответ: 635 + 1365 + 298 + 402.
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Натуральные числа и действия над ними
- Сложение натуральных чисел
К нескольким натуральным числам прибавим 1:
Мы видим, что когда мы прибавляем к натуральному числу 1, получаем следующее за ним натуральное число, т.е. следующее число больше предыдущего на единицу. Теперь к 4 прибавим 3: 4+3: для этого к 4 прибавим 3 раза единицу. Учитывая, что при прибавлении к числу единицы получаем следующее число, получим:
Но мы записываем коротко: 4+3=7.
Запомните:
Числа, которые складываются, называются слагаемыми, число, которое получается в результате сложения, называется суммой.
Сложение чисел на координатном луче
Изобразим координатный луч. Отметим на нем начало координат, единичный отрезок и несколько чисел, следующих друг за другом:
Рассмотрим наш пример: 4+3. Для того чтобы к 4 прибавить 3 на координатном луче, необходимо от точки 4 вправо отложить 3 единичных отрезка:
И мы попадем в точку 7, следовательно 4+3=7.
Теперь попробуем отложить на луче, от точки 3 6 единичных отрезков, и от точки 6 3 единичных отрезка, другими словами к 3 прибавим 6 и к 6 прибавим 3 :
Мы видим, что и в первом и во втором случае мы попадаем в одну и ту же точку: 9, следовательно сумма чисел 3 и 6 и 6 и 3 одинакова и равна 9. Это можно записать с помощью равенства:
В этом случае мы меняем местами слагаемые и получаем первое свойство сложения — переместительное свойство:
- От перестановки слагаемых сумма не меняется
Рассмотрим с помощью координатного луча следующие суммы: 
и 
, для этого от точки 3 сначала отложим (6+7) единичных отрезков, а затем от точки 3, отложим сначала 6 единичных отрезков, а затем от получившийся точки отложим еще 7 единичных отрезков:
Заметим, что и в первом и во втором случае мы попадаем в одну точку: 16. Это можно записать равенством:
Мы получили второе свойство сложения — сочетательное свойство:
- Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое
К натуральному числу можно прибавлять не только натуральное число, но еще и нуль, изобразим на луче прибавление нуля к 7:
Так как нам необходимо отложить от точки 0 единичных отрезков, то мы попадаем снова в ту же точку,т.е. значение числа от прибавления к нему нуля не изменилось: 7+0=7 . Применив переместительное свойство получим: 7+0=0+7=7, отсюда получаем третье свойство сложения — свойство нуля:
- Если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное число
Свойства сложения
- Переместительное свойство
От перестановки слагаемых сумма не меняется
Пример: 9+8=8+9=17
- Сочетательное свойство
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое
Пример: 7+(3+9)=(7+3)+9=19
- Свойство нуля
Если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное число
Пример: 0+10=10
Сравнение сумм натуральных чисел
Сравним (15+81) и (15+77), для этого рассмотрим слагаемые этих двух сумм: Мы видим, что первые слагаемые у них одинаковые, поэтому переходим к сравнению вторых слагаемых: 81 >77, поэтому (15+81)>(15+77).
Теперь сравним (21+15) и (34+54), для этого опять рассмотрим слагаемые, в данном случае одинаковых у нас нет, но мы видим, что слагаемые первой суммы меньше слагаемых второй суммы, а значит мы можем записать: (21+15)<(34+54).
Бывают случаи, когда нельзя однозначно сказать, какая сумма больше. Например сравним суммы: (26+33) и (18+43), мы видим, что первое слагаемое первой суммы больше первого слагаемого второй суммы, но второе слагаемое первой суммы меньше второго слагаемого второй суммы. В таком случае необходимо наши суммы привести к виду первого примера, т.е. 26=18+8, следовательно, 26+33=(18+8)+33=18+8+33=18+41, теперь мы сравниваем (18+41) и (18+43), первые слагаемые равны, а 41<43, следовательно(18+41)<(18+43) и мы можем сказать, что (26+33)<(18+43).
Из выше сказанного, делаем вывод: При увеличении слагаемых сумма увеличивается, а при уменьшении уменьшается.
Письменный прием сложения («сложение в столбик»)
Часто при решении задач, нам необходимо складывать многозначные числа, поэтому считать в «уме» или чертить координатный луч не целесообразно, для решения таких задач был придуман письменный прием сложения или «сложение в столбик», который помогает сложение многозначных чисел свести к сложению однозначных чисел, которое мы можем производить легко. Рассмотрим пример:
| 1 | 1 | 1 | |||
| + | 4 | 5 | 8 | 7 | 1 |
| 4 | 3 | 8 | 2 | ||
| 5 | 0 | 2 | 5 | 3 |
Сложение начинаем справа, с разряда единиц: 1+2=3, записываем 3 под единицами, и переходим в разряд десятков: 7+8=15 >10, значит единицы десятков(5) записываем под десятками, а десяток десятков — это единица сотен, записываем ее над разрядом сотен, чтобы не забыть и переходим в следующий разряд: 8+3+1=12 >10, поступаем аналогично, единицы(2) записываем под рассматриваемым разрядом, а десятки записываем над следующим разрядом, далее складываем единицы тысяч: 5+4+1=10=10, здесь 0 единиц, поэтому под рассматриваемым разрядом ставим нуль, а десяток переносим в разряд десятков тысяч: 4+1=5. Получаем, что 45871+4382=50253.
Вывод: Если при сложении чисел одного разряда число получается больше или равное 10, то 1 десяток записываем над следующим разрядом, а единицы под рассматриваемым разрядом.
Советуем посмотреть:
Понятие о натуральном числе
Вычитание натуральных чисел
Умножение натуральных чисел
Деление натуральных чисел
Порядок выполнения действий
Степень числа. Квадрат и куб числа
Меньше или больше
Меньше или больше на сколько? во сколько раз?
Формулы
Уравнения
Натуральные числа и действия над ними
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 438,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 439,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 662,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 815,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 970,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1038,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1098,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1839,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 349,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Номер 355,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 388,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 698,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 947,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1181,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1183,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1218,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 409,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 779,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 829,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 7,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 11,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 12,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 17,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 177,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 178,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 671,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 706,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1006,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 67,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Натуральные числа для вас являются привычными и давно знакомыми.
С детства считая предметы или указывая их порядковые номера, вы использовали натуральные числа.
С натуральными числами можно производить основные математические операции: складывать, вычитать, умножать, делить, сравнивать.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
На этом занятии мы поговорим об операции сложения натуральных чисел, рассмотрим, как можно проиллюстрировать сложение чисел на координатном луче.
Определим основные свойства сложения и научимся применять их при решении задач.
Продемонстрируем свойства сложения с помощью координатного луча.
Научимся группировать и округлять натуральные числа при сложении.
Первым делом вспомним, что называют числовым рядом натуральных чисел и как он выглядит.
Натуральный ряд- это неограниченная последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания (каждое число стоит на своем месте).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Таким образом, в натуральном ряду каждое последующее число больше предыдущего на единицу.
Если не известно какое-либо число из натурального ряда, его можно определить прибавлением к предыдущему числу единицы.
Найдем в натуральном ряду, изображенном на картинке, пропущенное число, которое следует за числом три.
Прибавим к тройке единицу и получим следующее за тройкой число, равное четырем.
Получим натуральный ряд:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Попробуем сложить числа 2 и 3, действуя по аналогии с предыдущим примером.
К числу 2 прибавим три раза по единице.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
К числу 2 прибавим единицу — получим число 3. К числу 3 прибавим единицу — получим число 4. К 4 прибавим единицу — получим число 5.
В результате сложения чисел 2 и 3 получили число 5.
Данный способ сложения натуральных чисел легко представить на маленьких числах.
Рассмотрим пример, в котором необходимо сложить два больших числа:
Маша прочитала за первый день 25 страниц рассказа, за второй день она прочитала 35 страниц.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Чтобы определить общее число страниц, которые прочитала маша, можно было бы пересчитать все страницы по одной, отсчитывая сначала 25 страниц, затем еще 35.
Времени на решение поставленной задачи было бы затрачено много, да и запись решения такого примера получилась бы очень громоздкой.
Чтобы освободится от пересчета объектов, используют операцию сложения.
Сложение- это арифметическое действие, в результате которого происходит объединение исчисляемых объектов в единое целое.
Результат операции сложения называется суммой (от латинского — итог, общее количество).
В общем виде операция сложения выглядит так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Для записи сложения используют математический знак плюс «+», который находится между складываемыми числами.
Складываемые числа называют слагаемыми.
Операция сложения и результат сложения соединяются знаком равно «=».
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение нашей задачи будет выглядеть так:
Найдем сумму страниц, прочитанных Машей за два дня.
25 + 35 = 60 (страниц)
Эта запись читается так: «Сумма 25 (двадцати пяти) и 35 (тридцати пяти) равняется 60 (шестидесяти) или «25 (двадцать пять) плюс 35 (тридцать пять) равно 60 (шестьдесят)»
Сложение небольших натуральных чисел легко представить на координатном луче.
Найдем сумму чисел 2 и 4.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком 1 деление = 1 единица.
Известно, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Выполним сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче:
Отметим на координатном луче число 2
К числу 2 прибавим 4, т.е. переместим точку А(2) на 4 единичных отрезка вправо, окажемся в точке В (6)
Следовательно, сумма чисел 2 и 4 равна 6
2 + 4 = 6
Ответ: 6
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим свойства сложения натуральных чисел.
1. Переместительное свойство сложения.
Чтобы лучше понять переместительное свойство сложения натуральных чисел, рассмотрим задачу:
В вазу для фруктов положили 4 яблока и 3 груши, в результате в вазе оказалось 7 фруктов.
Представим другую ситуацию: в вазу для фруктов положили сначала 3 груши, затем 4 яблока, общее количество фруктов в вазе стало равным 7.
В первом и во втором случае общее количество фруктов, которые положили в вазу, одинаковое.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Таким образом, если сложить 4 яблока и 3 груши, то получится такой же результат, как при сложении 3 груш и 4 яблок.
Получаем:
4 + 3 = 7
3 + 4 = 7
4 + 3 = 3 + 4
Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Первый вариант задачи: 4 + 3
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Отметим точку C (4) на координатном луче, отложив 4 единичных отрезка вправо от точки О (0).
К числу 4 прибавим число 3, т.е. переместим точку С(4) на 3 единичных отрезка вправо, получим точку D(7), следовательно, сумма 4 + 3 = 7
Второй вариант задачи: 3 + 4
Отметим точку Е (3) на координатном луче, отложив 3 единичных отрезка вправо от точки О (0).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
К числу 3 прибавим число 4, т.е. переместим точку E (3) на 4 единичных отрезка вправо, получим точку F (7), следовательно, сумма 3 + 4 = 7
Cформулируем переместительное свойство сложения.
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
В общем виде данное свойство выглядит так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
2. Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.
Рассмотрим данное свойство на примере.
В овощной салат нарезали 2 огурца, затем добавили 1 луковицу и 3 томата.
Рассмотрим другую ситуацию: в салат положили сначала 2 огурца и луковицу, а затем добавили 3 томата.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В первом и во втором случае для приготовления салата было использовано 6 овощей (2 огурца, 1 луковица, 3 томата).
Таким образом, результат сложения числа 2 с суммой чисел 1 и 3 равен результату сложения суммы чисел 2 и 1 с числом 3
2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3
Сочетательное свойство сложения звучит так:
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе.
Последовательность действий при суммировании не важна.
В общем виде сочетательное свойство сложения выглядит так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Изобразим рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Первый вариант задачи: 2 + (1 + 3) = 2 + 4 = 6 (к числу 2 прибавили сумму двух чисел 1 и 3).
Второй вариант задачи: (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 6 (к числу 2 прибавили сначала единицу, затем к тому что получилось прибавили второе число равное 3).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Отметим точку С (2) на координатном луче (два огурца).
Решение первого варианта задачи: к двум прибавить сумму 1 + 3 = 4 (одна луковица и три томата), т.е. отложить в правую сторону от точки С (2) 4 единичных отрезка, остановимся в точке D c координатой, равной 6 (общее количество овощей в салате).
Решение второго варианта задачи: к числу 2 (число обозначающее количество огурцов в салате) прибавить сначала 1 (количество луковиц), т.е. от точки С (2) отложить на координатном луче вправо один единичный отрезок.
Затем к полученному результату прибавить число 3 (число обозначающее количество томатов), т.е. от точки Е (3) отступить 3 единичных отрезка вправо, — остановимся в точке D c координатой равной 6 (общее количество овощей в салате).
В первом и во втором варианте в результате всех производимых действий мы оказывались в точке D (6), следовательно, общее количество овощей в салате в первом и во втором варианте задачи одинаковое и равно шести.
3. Свойство сложения нуля с натуральным числом и натурального числа с нулем.
Представим, что в пустую корзину положили 6 яблок.
Это значит в корзине находилось ноль яблок и в нее помещают 6 яблок.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Понятно, что в результате в вазе оказалось 6 яблок.
0 + 6 = 6
При сложении нуля с каким-либо числом всегда получается это самое число.
Аналогичная ситуация будет складываться, если в корзине находилось 6 яблок и в нее больше ничего не положили, то в корзине останется прежнее число яблок.
Если к числу прибавлять ноль (т.е. ничего не прибавлять), то получится исходное число.
6 + 0 = 6
Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна другому слагаемому.
Рассмотрим, как выглядит данное свойство на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
6 + 0 = 6
К 6 прибавить 0, значит, точку с координатой 6 переместить на 0 единичных отрезков, т.е. оставить точку на том же месте.
0 + 6 = 6
К 0 прибавить 6, значит, от точки О (0) отложить вправо 6 единичных отрезков, полученная точка с координатой 6 является суммой чисел 0 и 6
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Переместительное и сочетательное свойство сложения используют для упрощения вычисления математических выражений.
В выражениях со скобками первым действием выполняют то, которое стоит в скобках.
Когда в записи суммы нет скобок, то сложение выполняют по порядку слева направо.
При вычислении суммы, состоящей из трех и более слагаемых, удобно использовать сразу переместительное и сочетательное свойство сложения, группируя слагаемые, объединяя их по определенному признаку с помощью скобок.
Группировать числа лучше так, чтобы в сумме эти числа давали круглое число (число, оканчивающееся на ноль), с такими числами легче выполнять математические операции.
Пример:
Дано выражение 15 + 23 + 35 + 17
Найдем сумму чисел удобным способом.
Решение:
Проще решить данное выражение, объединив с помощью скобок слагаемые так, чтобы в сумме они давали круглые числа.
Используя переместительное и сочетательное свойство сложения, переставим местами слагаемые и сгруппируем их.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ответ: 90
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Читайте также
|
Как сложить целые числа от 1 до N?
Целые числа – это числа, не содержащие дробную или десятичную часть. Если в задаче требуется сложить определенное количество целых чисел от 1 до заданного значения N, то их не нужно складывать вручную. Вместо этого воспользуйтесь формулой (N(N+1))/2, где N — наибольшее число ряда.
Окончательный ответ есть сумма всех целых чисел от 1 до данного N. Пример: (100(100+1))/2 = 100(101)/2 = (10100)/2 = 5050 Сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
В Рокотов 2 месяца назад Этот вопрос один из самых популярных в школьном образовании, даже несмотря на то, что сейчас на любое действие имеется онлайн калькулятор или иной электронный ресурс с подстановкой данных. Однако, более пригодится все-таки иметь представление о счете в диапазоне самому. Самая удобная формула нахождения суммы последовательного ряда в диапазоне от 1 до какого-то еще числа, назовем его N, такая: S =(n+1)*n/2; где N — наибольшее число ряда. Математику на пальцах не объяснишь, нужны примеры. Возьмем скажем последовательный ряд от единицы до пятнадцати., где нужно найти сумму диапазона от 1 до 15: (1+15)*15/2=120. Теперь стало более понятно. Удачи в будущих свершениях!
-Irinka- 2 месяца назад Для того, чтобы облегчить жизнь — сделать расчеты более быстрыми и легкими, необходимо знать и пользоваться формулами. Для того, чтобы быстро и легко рассчитать сумму чисел, не производить сложение чисел в ручную, стоит воспользоваться формулой. Данная формула проверена ниже в ответе.
В данной формуле буквой n обозначено максимальное число в данном ряду. Для того, чтобы понять формулу, можно произвести наглядный рассчет. За n условно возьмём число 6. Теперь подставляем зга, гения в формулу. S = 6×(6+1)/2 = 42/2 = 21. Теперь произведём сложение чисел последовательно без использования формулы. S = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21. Данные расчёты доказывают, что формула рабочая и ч её помощью произвести расчёт быстрее.
Extrimal 2 месяца назад В математике данный вопрос можно встретить довольно часто. Многие считают, что это проще сделать вручную, складывая числа друг с другом по очереди. Однако если речь идет о больших числах, например если N=100, то проще воспользоваться формулой. Формула следующая Сумма равна (n+1) умножаем на n и делим на 2. Пробуем вычислить сумму, если n равно 100. 101*100/2 получаем 5050.
КорнетОболенский 2 года назад Имеем ряд натуральных чисел. Первое число в ряду — единица, последнее N. Их сумму можно вычислить по формуле
Для примера рассмотри сумму первых 10 натуральных чисел. В формулу вместо N поставим 10. Получим 10*(10+1)/2 = 55. Проверить несложно, посчитав эту сумму вручную.
Сергей11110 3 года назад На самом деле, можно заметить, что ряд натуральных чисел образует арифметическую прогрессию с шагом 1. Сумма первых n членов арифметической прогрессии определяется формулой: S = (a1+an)*n/2; a1 = 1, а значит S = (n+1)*n/2 Это и есть сумма первых n натуральных чисел. Есть еще много способов ее посчитать, к примеру, написать программу на языке программирования (примерный код прилагаю): program a; var sum, i, n:longint; begin sum = 0; read(n); for i:=1 to n do begin sum:=sum+i; end; writeln(sum); end. Это код на языке программирования «Паскаль». Думаю, есть еще много способов посчитать сумму n первых натуральных чисел, но основные я перечислил.
Просвет 7 лет назад Целые числа — это все числа, которые не дробные и не имеют десятично части, то есть 1, 2, 3, 10, 14, и так далее. Чтобы узнать их сумму, нужно ввести такой процесс с циклом: 1.. Задается N. A=0 S=0 2.. От 1 до N делать A=А+1 S=S+A В результате вы получите окончательный ответ S — сумма. (Вводить можно в паскале)
MarkTolkien 6 лет назад Задача сложить ряд чисел от единицы до N не так сложна, но она требует слишком много времени. Упростить задачу призвана довольно простая формула: (N * (N + 1)) / 2 . Проверить формулу можем на простом примере вычисления суммы чисел от 1 до 5. 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15. По формуле получаем 5 * (5 + 1) / 2 = 15.
Чосик более года назад В данном примере мы обозначаем сумму чисел как S, а N — будет числом, до которого будет идти счет. То есть, N является самым большим числом среди всех. Рассчитываем сумму по формуле:
Проверить правильность решения можно на малом числе. Допустим, N = 7. Можно просчитать сумму от 1 до 7. Выходит S = 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Теперь решим по формуле. S = 7 * (7+1)/ 2 = 7*8/2 = 56/2 = 28
владсандрович более года назад Если у нас идут натуральные числа вряд. При этом первым числом будет цифра 1, а последним N, то есть неизвестное. Тогда сумма их вычисляется вот такой вот формулой: (N * (N + 1)) / 2 . К примеру у вас в сумме идут 5 натуральных чисел. В формуле вместо N должна быть цифра 5. В итоге рассчитываем все так 5*(5+1)/2 =15.
Степан БВ 2 месяца назад Сложить целые числа от 1 до N можно по формуле суммы арифметической прогрессии: S = (N * (N + 1)) / 2 где S — сумма чисел от 1 до N, N — последнее число в ряду. Например, если нужно сложить числа от 1 до 10, то S = (10 * (10 + 1)) / 2 = 55 Таким образом, сумма чисел от 1 до 10 равна 55.
Natasha145 7 лет назад Это арифметическая прогрессия. Формула суммы N — первых членов такава:
Знаете ответ? |
