Как найти сумму векторов по правилу треугольника

В статье Понятие вектора мы сказали, что векторы можно складывать друг с другом. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Пусть нам даны два вектора a⃗vec{a} и b⃗vec{b}. Что понимать под суммой этих двух векторов, то есть под a⃗+b⃗vec{a}+vec{b}? Во первых, сумма двух векторов это вектор. То есть, если мы складываем два вектора (две стрелки) то снова получаем вектор (стрелку). Существуют два способа (или правила) как можно складывать векторы. Они, конечно, дают один и тот же самый результат. Говорят о правиле треугольника и правиле параллелограмма. Оба эти правила графические, то есть сумма векторов находится путем геометрического построения. О сумме векторов, выраженной через координаты векторов речь пойдет в другой статье.

Правило треугольника

Вот нам даны два вектора a⃗vec{a} и b⃗vec{b}. Для того чтобы найти их сумму, пользуясь правилом треугольника, нужно чтобы начало одного из векторов находилось в точке конца другого вектора. То есть, чтобы точки начала одного вектора и конца другого вектора совпадали. Но что делать, если это не так? Для этого нужно параллельно перенести любой из векторов так чтобы это условие выполнялось. Например, пусть вначале векторы у нас расположены так:

Перенесем теперь вектор b⃗vec{b} параллельно самому себе так чтобы его начало совпало с концом вектора a⃗vec{a}. Получим:

Теперь, чтобы найти сумму этих векторов, нужно провести вектор (стрелку) из начала вектора a⃗vec{a} в конец вектора b⃗vec{b}. Получим вектор c⃗=a⃗+b⃗vec{c}=vec{a}+vec{b}:

Правило параллелограмма

Решим ту же задачу вторым способом. Для этого нам нужно сделать так чтобы векторы a⃗vec{a} и b⃗vec{b} исходили из одной точки, то есть, чтобы точки начала этих векторов совпали. Получим:

Теперь построим на этих двух векторах параллелограмм. Суммой векторов a⃗vec{a} и b⃗vec{b} будет вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, и начало этого суммарного вектора c⃗vec{c} будет совпадать с началом векторов a⃗vec{a} и b⃗vec{b}:

На самом деле, по своему смыслу, оба эти правила это одно и то же правило. Просто так уж вышло, что в зависимости от построения треугольника или параллелограмма, говорят о соответствующем правиле складывания векторов.

Сумма любого числа векторов

Складывать между собой можно не только два вектора, но и любое их количество. Для этого удобно воспользоваться правилом треугольника. Пусть у нас есть векторы a⃗,b⃗,c⃗,d⃗,e⃗vec{a}, vec{b}, vec{c}, vec{d}, vec{e}. Пусть мы перенесли параллельно векторы так, что начало каждого последующего вектора берет свое начало в конце предыдущего вектора, тогда сумма этих векторов, вектор s⃗vec{s} — это вектор с началом, совпадающим с началом первого вектора (вектора a⃗vec{a}) и концом, совпадающим с концом последнего вектора (вектора e⃗vec{e}):

Тест по теме “Сумма векторов”

Определение

Сумма векторов

   

и

   

— это вектор

   

с координатами c₁=a₁+b₁, c₂=a₂+b₂, то есть

   

или

   

 Свойства сложения векторов:

Для любых векторов

   

верны свойства:

1) переместительное:

   

2) сочетательное:

   

3) свойство прибавления нулевого вектора:

   

4) сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

   

Доказательство:

Достаточно сравнить координаты векторов, стоящих в левой и правой частях этих равенств:

   

   

Так как соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

Аналогично

   

   

   

   

   

   

   

Теорема

(О сложении векторов)

Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство:

   

Доказательство:

Для точек A (x₁;y₁), B (x₂;y₂), C (x₃;y₃)

   

   

   

Тогда

   

   

Что и требовалось доказать.

Правило треугольника построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, надо от конца одного вектора отложить другой вектор и провести вектор от начала первого к концу второго вектора.

Например,

   

(то есть это правило следует из теоремы о сложении векторов).

Правило параллелограмма построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма, надо отложить эти векторы от общего начала. Сумма векторов есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах и имеющая с ними общее начало.

Например,

   

Правило параллелограмма построения суммы векторов применяется лишь для неколлинеарных векторов.

При любом способе построения суммы неколлинеарных векторов получим одинаковый результат.

Пример.

Построить сумму векторов

   

Решение:

1) Чтобы построить сумму векторов по правилу треугольника, отложим от конца вектора

   

вектор

   

Сумма этих векторов равна вектору, проведённому от начала первого вектора (a) к концу второго (b).

2) Чтобы построить сумму векторов по правилу параллелограмма, отложим векторы

   

от общего начала.

Достроим на этих векторах параллелограмм.

Сумма

   

равна вектору, лежащему на диагонали параллелограмма и имеющему с ними общее начало.

Сложение коллинеарных векторов

1) Сумма двух сонаправленных коллинеарных векторов равна вектору, сонаправленному этим векторам, длина которого равна сумме длин данных векторов.

2) Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, направление которого совпадает с направлением вектора, модуль которого больше, а длина равна разности этих векторов.

Фактически в обоих случаях мы используем правило треугольника сложения векторов:

от конца первого вектора откладываем вектор, равный второму, и строим сумму как вектор в направлении от начала первого вектора к концу второго.

Из неравенства треугольника следует ещё два свойства сложения векторов:

   

   

Сложение
и вычитание векторов.

Сумма
двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.

     Представим себе такую ситуацию.
Направляясь из школы домой, вам захотелось пить и вы решили зайти сначала в
магазин, а затем уже домой. Цель достигнута: вы из школы добрались домой.
Сейчас мы описали принцип первого правила сложения векторов.

Правило треугольника.

     Чтобы найти вектор суммы двух векторов  и , нужно:

1)   совместить параллельным переносом начало вектора  с концом
вектора ;

2)   провести вектор из начала вектора  в конец
вектора ;

3)   получившийся вектор и есть вектор суммы: .

                                              

     Если к вектору  прибавить
нулевой вектор  по правилу
треугольника, то получим вектор , т.е.
справедливо равенство:  .

Утверждение. Если  и  –
произвольные точки, то .

Например, .

Сложение векторов подчиняется алгебраическим законам.

ТЕОРЕМА.
Для любых векторов  и  справедливы
равенства:

                      (переместительный
закон)

                      (сочетательный
закон).

                                          
Дано: 

                                 
Доказать: 1)  

                                                     2)  

Доказательство.

Доказательство теоремы в случае, когда
векторы коллинеарны достаточно простое. Его вы можете провести самостоятельно.
Мы рассмотрим случай, когда данные векторы неколлинеарны.

1). Отметим произвольную точку  и отложим от этой точки
вектор . Воспользуемся правилом
треугольника и прибавим к нему вектор . Вектором суммы этих двух
векторов является вектор . (Рисунок слева).

Теперь от точки  и отложим вектор . По правилу треугольника
прибавим к нему вектор . Вектором суммы этих двух
векторов является вектор . (Рисунок справа).

 – параллелограмм и точка  совпадает с точкой . Значит, , т.е.

2). От точки  отложим вектор , от точки  отложим вектор , а от точки  – вектор . Найдём суммы векторов по
правилу треугольника.

Теорема доказана.

     При доказательстве первой формулы получился параллелограмм,
причём, из точки  выходят два вектора  и , а вектор их суммы является
диагональю параллелограмма. На основе этого возникает второе правило
геометрического сложения векторов.

Правило параллелограмма.

     Чтобы найти вектор суммы двух векторов  и , нужно:

1)   совместить параллельным переносом начала векторов  и  ;

2)      на этих векторах достроить параллелограмм;

3)   вектором суммы   является
вектор, который лежит на диагонали параллелограмма, имеющий своё начало в
начале исходных векторов.

Сумма
нескольких векторов.

     Сложение нескольких векторов происходит по принципу правила
треугольника. Складываются два вектора, к вектору суммы прибавляется следующий
вектор и т.д. Приведём пример.

Сложить векторы .

Отметим точку  и отложим от неё вектор . Прибавим к нему вектор  по правилу треугольника. . Теперь к вектору  прибавим вектор . . К вектору  прибавляем вектор . . Осталось к вектору  прибавить вектор . .

Итак, . Значит, суммой векторов  является вектор, с началом
в начале первого вектора и концом – в конце последнего. Такое сложение векторов
называется правилом многоугольника.

Правило многоугольника.

     Чтобы найти вектор суммы нескольких  векторов, нужно:

1)      последовательно совместить параллельным переносом начало
последующего вектора с концом предыдущего;

2)      вектором суммы всех векторов является вектор, с началом в
начале первого вектора и концом – в конце последнего.

Вычитание
векторов.

 Определение. Разностью
двух векторов  и  называется такой вектор , что при
сложении его с вектором   получается
вектор .

Вычитание
векторов можно производить, руководствуясь двумя понятиями: следствием из
правила треугольника сложения векторов; определением разности двух чисел. Разберём
каждое из них.

    
Сложим векторы  и  по правилу треугольника. По
рисунку видно, что . Отсюда,  и . Значит, разность двух
векторов можно составить, совмещая их начала, либо совмещая их концы. Отсюда
два правила:

I правило
вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:

1)      совместить параллельным переносом начала этих векторов;

2)      вектором разности  является вектор с началом в конце второго вектора
и концом в конце первого вектора.

II правило
вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно:

1)      совместить параллельным переносом концы этих векторов;

2)      вектором разности  является вектор с началом в начале первого
вектора и концом в начале второго вектора.

Далее, из алгебры мы знаем, что для того, чтобы
из числа  вычесть
число , нужно к числу  прибавить
число, противоположное числу , т.е. . Такое же
правило справедливо и для векторов.

ТЕОРЕМА.
Для любых векторов  справедливо
равенство:

                                                  

  

                                    Дано: 

                           Доказать:

Доказательство.

1. Найдём разность векторов  по
I правилу. Вектором разности является
вектор  (рисунок слева). А теперь
найдём сумму векторов  по правилу
треугольника, где  – вектор,
противоположный вектору . Вектором
суммы является вектор  (рисунок
справа). Не трудно заметить, что . Они сонаправлены и имеют
одинаковые модули.

2. А теперь докажем то же самое аналитически. По определению
разности векторов,

Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует третье правило
вычитания векторов.

III правило
вычитания векторов.

Чтобы найти вектор разности двух векторов, нужно к первому вектору прибавить вектор, противоположный
второму.

Используя это правило вычитания векторов,
способ сложения векторов выбирается произвольно.

1. Вектор  является суммой векторов  и . Определите, какой из четырёх рисунков верный.

2. Проведите векторы . Какая геометрическая фигура у вас
получилась?

3. Вектор  является разностью векторов  и . Определите, какой из четырёх рисунков
верный.

4. Вектор  является суммой векторов  и . Определите, какой из четырёх рисунков
верный.

5. Выразите
вектор  через векторы , используя рисунок.

6. Выразите
вектор  через векторы , используя рисунок.

7. Упростите выражения:

8. Длина вектора  равна , а длина вектора  равна . Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора ?

9. Длина вектора  равна , а длина вектора  равна . Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора ?

10. Длина вектора  равна , а длина вектора  равна . Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора ?

11. Длина вектора  равна , а длина вектора  равна . Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора ?

12. Длина вектора  равна , а длина вектора  равна . Сколько различных целых значений может
принимать длина вектора ?

13. В квадрате   проведены диагонали  и  . Укажите номера верных утверждений.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)

14.  – параллелограмм. Найдите сумму векторов .

15.  – прямоугольник. Диагонали  и  пересекаются в точке . Укажите номера верных утверждений.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)		9)	10)

16.  – параллелограмм. Выразите векторы  и  через векторы  и .

17.  – параллелограмм. Выразите векторы  и  через векторы  и .

18.  – прямоугольник. Выразите векторы  и  через векторы  и .

19.  – параллелограмм. Выразите векторы  и  через векторы  и .

20. Найдите длины
векторов , изображённых на клетчатой бумаге с
размерами клетки 1 х 1.

21. Две стороны
прямоугольника  равны 20 и 21. Найдите длину суммы
векторов  и .

22. Две стороны
прямоугольника  равны 7 и 24. Найдите длину разности
векторов  и .

23. На каждом рисунке
найдите длину вектора  (размеры клетки 1 х 1).

24. На каждом рисунке
найдите длину суммы векторов  и  (размеры клетки 1 х 1).

25. На каждом рисунке
найдите длину разности векторов  и , изображённых на клетчатой бумаге с
размерами клетки 1 х 1.

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец – с концом b. При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b.

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c, совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

c_i = a_i + b_i

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b.

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c)

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (-a) = 0

Примечание: Вектор –a коллинеарен и равен по длине a, но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Если из вектора a вычесть b, то получится c, причем должно соблюдаться условие: b + c = a

Формула вычитания векторов

c_i = a_i – b_i

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b.

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов a = {3; 5} и b = {2; 7}.

Решение:
a + b = {3 + 2; 5 + 7} = {5; 12}.

Задание 2
Найдем разность векторов a = {4; 8; -2} и b = {-1; 9; 5}.

Решение:
a – b = {4 – (-1); 8 – 9; -2 – 5} = {5; -1; -7}.