Как найти сумму всех двузначных натуральных чисел

Для начала желательно обосновать, что выражение с бесконечным числом радикалов имеет смысл. Это более или менее стандартная задача. Следует считать, что это число — предел последовательности чисел с увеличивающимся количеством радикалов. Она возрастает, и ограничена сверху, например, числом n+1, что доказывается по индукции. Для первого числа это верно (sqrt(n) < n+1); если это верно для какого-то члена, и он меньше n+1, то следующий меньше sqrt(2n+1) < n+1.

Таким образом, для каждого натурального n определено x=x(n). Оно положительно и удовлетворяет уравнению x^2-n=x. Оно легко решается, но здесь достаточно заметить, что n=x(x-1). Если x целое, то n должно быть целым двузначным, откуда 4<=x<=10. Чисел немного; их легко выписать и просуммировать: 12+20+30+42+56+72+90=322.

На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос
Найдите сумму : а) всех двузначных натуральных чисел б) всех двузначных чисел, кратных 3 только с подробным объяснением?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся
5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по
интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории,
чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы
расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос,
который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс
позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

Не согласна с Rafailoм. Самостоятельно подсчитать сумму всех двузначных чисел — это по-моему … сомнительное удовольствие. Без обид! Иначе бы автор, просто, не задавал подобный вопрос.

Поэтому я облегчу ему задачу и сама вычислю эту сумму, предложив два варианта решения предложенной задачи:

1 вариант:

Все двузначные числа образуют арифметическую прогрессию.

Количество членов в прогрессии — 90, где 1 член – 10, последний — 99.

Вставляем эти числа в формулу нахождения суммы членов арифметической прогрессии. Получаем:

S=((10+99):2)х90=4905.

2 вариант:

Можно воспользоваться результатом задачи, описанной Rafailoм.

Раз сумма чисел от 1 до 100 равна 5050, то достаточно вычесть все ненужные нам числа: сумму чисел от 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 и 100. ПОлучаем:

5050 – 145 = 4905.

Результаты совпали. Значит, нашли результат верно.

Там сумма в парах 109. 10+99 ,11+98 и т.д. Итог — 4905.
А мои 9 летки естественно до этого не додумались. Они просто сложили отдельно все десятки, а потом все единицы. Причем складывали, округляя, чтоб удобнее считать. Ну, собственно, их так учили, большие примеры разбивать на части и доводить до десятков.
Когда папа упрощённый вариант показал, как у них, только сложить один раз десятки и помножить на 10, а единицы на 9, удивились, сказав, что там же написано только сложить.

65.1.  Рассмотрим последовательность двузначных натуральных чисел
(а_n): 10, 11, …, 99.
a₁=10, а_n=99 и d=1.
Т. к. всего чисел от 10 до 99 — 90 штук, то
 
Ответ: сумма всех двузначных чисел равна 4905.

  65.2.  Рассмотрим последовательность всех трехзначных чисел (а_n): 100, 111, …, 999.
а₁ =100, а_n =999 и d=1.
т. к. всего чисел от 100 до 999 — 900 штук, то
 
Ответ: сумма всех трехзначных чисел равна 494550.