Как найти суждение типа а

Суждение
— это форма мышления, в которой утверждается
или отрицается связь между предметом
и его признаком или отношение между
предметами и которая обладает свойством
выражать либо истину, либо ложь. Субъектом
суждения называется понятие о предмете
суждения. Понятие о признаке предмета
называется предикатом суждения. Связка
выражает отношение между субъектом и
предикатом суждения.

Суждение
о связи предмета и его признака состоит
из двух понятий — субъекта, отражающего
предмет суждения, и предиката, отражающего
признак предмета. Субъект и предикат
обозначаются латинскими буквами S и P.
Суждение также включает в свой состав
связку — элемент, который соединяет оба
термина суждения, утверждая или отрицая
принадлежность предмету некоторого
признака.

Суждения
делятся — на простые и сложные. Простым
называется суждение, выражающее связь
двух понятий. Суждение, состоящее из
нескольких простых суждений, называется
сложным.

Атрибутивным (от
латинского слова atributio — свойство,
признак) называется суждение о признаке
предмета. В нем отражается связь между
предметом и его признаком, причем эта
связь утверждается или отрицается.

Суждением
с отношением называется
суждение, отражающее отношение между
предметами. Это могут быть отношения
равенства, неравенства, родства,
пространственные, временные,
причинно-следственные и другие отношения.

В
суждениях существования (экзистенциальных
суждениях — от латинского слова existentia
— существование) отражается сам факт
существования или несуществования
предмета суждения.

Атрибутивные
суждения называются также категорическими (от
греческого — kategorikos — ясный, безусловный,
не допускающий иных толкований). В
категорическом суждении знание о
принадлежности или непринадлежности
признака предмету выражается в безусловной
форме.

Категорические
суждения делятся по качеству и по
количеству. Существует, кроме того,
объединенная классификация суждений
по количеству и качеству.

Деление
суждений по качеству.
По качеству суждения делятся на
утвердительные и отрицательные.
Утвердительным называется суждение,
выражающее принадлежность предмету
некоторого признака. Суждение, выражающее
отсутствие у предмета некоторого
признака, называется отрицательным.

Утвердительные
и отрицательные суждения различаются
характером связки, ее качеством.
Утвердительная связка указывает на
принадлежность признака предмету.
Отрицательная связка такую принадлежность
отрицает. Суждение с отрицательным
предикатом, но с утвердительной связкой
рассматривается как утвердительное.

Деление
суждений по количеству.
Утверждать или отрицать что-либо можно
об одном предмете, о части предметов
некоторого класса и обо всех предметах
класса. В соответствии с этим по количеству
суждения делятся на единичные, частные
и общие.

Единичным называется
суждение, в котором что-либо утверждается
или отрицается об одном предмете.

Частным называется
суждение, в котором что-либо утверждается
или отрицается о части предметов
некоторого класса.

В
зависимости от значения, в котором
употребляется слово “некоторые”,
различают два вида частных суждений:
неопределенные частные и определенные
частные.

В неопределенном
частном суждении
слово “некоторые” употребляется в
значении “некоторые, а может быть и
все”, “по крайней мере, некоторые”.

В определенном
частном суждении
слово “некоторые” употребляется в
значении “только некоторые”. Если,
например, нам известно, что показания
дали не все, а только некоторые свидетели,
значит, другая их часть показания не
давала. Поэтому определенное частное
суждение содержит знание и о той, и о
другой части свидетелей и может
рассматриваться как сложное суждение:
“Некоторые свидетели дали показания,
а некоторые показаний не давали”.

Общим называется
суждение, в котором что-либо утверждается
или отрицается обо всех предметах
некоторого класса.

Особое
место в классификации суждений занимают
выделяющие и исключающие суждения. Это
объясняется тем, что количественная
характеристика суждений устанавливает
объём субъекта, а что касается предиката,
то его объём остаётся неопределённым.

Выделяющие суждения
устраняют эту неопределенность; они
отражают тот факт, что признак, выраженный
предикатом, принадлежит (или не
принадлежит) только данному и никакому
другому предмету.

Выделяющие
суждения могут быть единичными, частными
и общими.

Частные
выделяющие суждения не следует смешивать
с определенными частными суждениями.
Если в определенном частном суждении
уточняется только объем субъекта, то в
частных выделяющих суждениях уточняется,
кроме того, объем предиката.

Исключающим называется
суждение, в котором отражается
принадлежность (или непринадлежность)
признака всем предметам, за исключением
некоторой их части.

Любое
суждение имеет и количественную и
качественную характеристику. Поэтому
в логике применяется объединенная
классификация суждений по количеству
и качеству, в соответствии с которой
суждения делятся на общеутвердительные,
общеотрицательные, частноутвердительные
и частноотрицательные.

Общеутвердительное
суждение —
это суждение, общее по количеству и
утвердительное по качеству.

Общеотрицательное
суждение —
суждение, общее по количеству и
отрицательное по качеству.

Частноутвердительное
суждение —
суждение, частное по количеству и
утвердительное по качеству.

Частноотрицательное
суждение —
суждение, частное по количеству и
отрицательное по качеству.

Сложным называют
суждение, включающее в качестве составных
частей другие суждения, связанные
логическими связками — конъюнкцией,
дизъюнкцией или импликацией.
В соответствии с функциями логических
связок основными видами сложных суждений
являются: соединительные, разделительные,
условные и эквивалентные суждения.

Соединительным
(конъюнктивным) суждением
называют суждение, включающее в качестве
составных частей другие суждения-конъюнкты,
объединяемые связкой “и”.

Разделительным
(дизъюнктивным) называют
суждение, включающее в качестве составных
частей суждения-дизъюнкты, объединяемые
связкой “или”.

Условным
(импликативным) называют
суждение, включающее в качестве составных
два суждения — антецедент и консеквент,
объединяемые связкой “если…, то…”.

Эквивалентным
(двойная импликация) называют
суждение, включающее в качестве составных
два суждения, связанные двойной (прямой
и обратной) условной зависимостью,
выражаемой связкой “если и только
если…, то…”.

По
своему содержанию атрибутивные суждения
могут находиться в двух важнейших
отношениях — сравнимости и несравнимости.

Несравнимые
суждения.
У них разные субъекты или предикаты или
то и другое вместе.

Сравнимые
суждения.
Они, наоборот, имеют одинаковые термины
— и субъект, и предикат, но могут различаться
по количеству и качеству. Это суждения,
как говорят, “одинаковой материи”, а
следовательно, сопоставимы по истинности
и ложности.

По
своей логической форме — прежде всего
по количеству и качеству — сравнимые
суждения подразделяются на совместимые
и несовместимые.

Совместимые
суждения содержат одну и ту же мысль
полностью или частично. Между ними
возникают следующие логические отношения:
эквивалентности, подчинения, частичной
совместимости.

Эквивалентность
(равнозначность) — это отношение между
суждениями, у которых субъект и предикат
выражены одни и теми же или равнозначными
понятиями (хотя и разными словами),
причем и количество и качество одни и
те же., а если одно ложно, то и другое
ложно.

Последующие
отношения между простыми атрибутивными
суждениями — А, Е, I, O — для наглядности
изображают графически в виде логического
квадрата.

Его
вершины символизируют простые
категорические суждения — A,
E, I, O;
стороны и диагонали отношения между
суждениями.

Размещено
на http://www.allbest.ru/

Размещено
на http://www.allbest.ru/

Подчинение —
это отношение между такими суждениями,
у которых количество различно, а качество
одно и то же. В таком отношении находятся
общеутвердительное (А) и частноутвердительное
(I), общеотрицательное (Е) и частноотрицательное
(О) суждения. При подчинении действуют
следующие закономерности:

а)
из истинности подчиняющего (А или Е)
следует истинность подчиненного
(соответственно I или O), но не наоборот;

б)
из ложности подчиненного (I или O) следует
ложность подчиняющего (соответственно
А или Е), но не наоборот.

№14
выделяющие и исключающие суждения, их
логическая структура

Особое
место в классификации суждений занимают
(а)выделяющие и
(б)исключающие суждения.

(а) Количественная
характеристика суждений устана­вливает
объем субъекта, а что касается предиката,
то его объем остается неопределенным.
В самом деле, из суждения «Зимин —
свидетель происшествия» нельзя
установить, яв­ляется ли Зимин
единственным или одним из свидетелей
происшествия.

Выделяющие
суждения устраняют эту неопределен­ность;
они отражают
тот факт, что признак, выражен­ный
предикатом, принадлежит (или не
принадлежит) только данному, и никакому
другому, предмету.

Выделяющие
суждения могут быть единичными, част­ными
и общими. Например: «Только Зимин является
свидете­лем происшествия» (S,и
только S, есть Р)
— единичное вы­деляющее суждение.
Оно выражает знание о том, что Зимин
валяется единственным свидетелем
происшествия. Субъект и предикат этого
суждения имеют одинаковый объем.

«Некоторые
города — столицы государств» — пример
частного выделяющего суждения(Некоторые
S, и только S, суть Р).
Столицами государств могут быть только
города, и притом только некоторая их
часть. Предикат частного выде­ляющего
суждения полностью входит в объем
субъекта. Дру­гие примеры частных
выделяющих суждений: «Некоторые приговоры
суда являются оправдательными»;
«Некоторые преступники — рецидивисты».

Частные
выделяющие суждения не следует смешивать
с определенными частными суждениями.
Если в определен­ном частном суждении
уточняется объем субъекта, то в част­ных
выделяющих суждениях уточняется объем
предиката. Так, в суждении «Только
некоторые свидетели дали показа­ния»
отношение предиката к субъекту остается
неопределен­ным: показания дают не
только свидетели, но также потер­певший,
обвиняемый. Это определенное частное
суждение (рис. 22). В частном выделяющем
суждении определено от­ношение не
только субъекта к предикату, но и
предиката к субъекту: только некоторые
преступники (и только преступни­ки)
— рецидивисты (рис. 23).

«Все
преступления, и только преступления, —
предусмот­ренные законом общественно
опасные деяния» — пример об­щего
выделяющего суждения (Все
S, и только S, суть Р).
Объ­емы субъекта и предиката общего
выделяющего суждения полностью совпадают.

Слова
«только», «лишь», входящие в состав
предложе­ний, выражающих выделяющие
суждения, могут находиться как перед
субъектом, так и перед предикатом
(например, «Уголовное наказание
применяется только по приговору су­да»)
Но они могут и вообще отсутствовать. В
этих случаях установить, что данное
суждение является выделяющим, по­могает
логический анализ.

(б)
Исключающим называется суждение, в
кото­ром отражается принадлежность
(или непринадлежность) признака всем
предметам, за исключением неко­торой
их части. Например:
«Все студенты нашей группы, кроме
Волкова, сдали экзамены». Исключающие
суждения выражаются предложениями со
словами «кроме», «за исклю­чением»,
«помимо», «не считая» и т.п. (Все
S, за исключе­нием S₁,
суть Р).

Значение
выделяющих и исключающих суждений
со­стоит в том, что положения, выраженные
в форме этих сужде­ний, характеризуются
точностью и определенностью, что
ис­ключает их неодназначное понимание.
Именно поэтому ряд научных положений,
а так же статей международных докумен­тов,
законов государства, статей уголовного,
уголовно-процессуального и других
кодексов выражен в форме выделяющих
или исключающих суждений. Например в
Конституции Рос­сийской Федерации
статьи 118 (часть 1) и 123 (часть 2) гла­сят:
«Правосудие в Российской Федерации
осуществляется только судом», «Заочное
разбирательство уголовных дел в судах
не допускается, кроме случаев,
предусмотренных фе­деральными
законами».

Объединенная
классификация суждений по количеству
и качеству

Любое
суждение имеет и количественную и
качествен­ную характеристику. Поэтому
в логике применяется объеди­ненная
классификация суждений по количеству
и качеству, в соответствии с которой
суждения делятся наобщеутверди­тельные,
общеотрицательные, частноутвердительные,
частноотрицатвльные.

Единичные
суждения (утвердительные и отрицательные)
по этой классификации в особую группу
не выделяются. По своей характе­ристике
их приравнивают к соответствующим
общим: общеутверди­тельным и
общеотрицательным.

Общеутвердительное
суждение —
это суждение об­щее по количеству и
утвердительное по качеству. Например:

«Каждый,
совершивший преступление (S), должен
быть под­вергнут справедливому
наказанию (Р)». Схема общеутверди­тельного
суждения «Все
S суть Р»,
где кванторное слово «все» характеризует
количество, утвердительная связка
«суть» — качество суждения.

Общеотрицательное
суждение — суждение,
общее по количеству и отрицательное по
качеству. Например: «Ни один невиновный
(S) не должен быть привлечен к уголовной
ответ­ственности (Р)». Схема
общеотрицательного суждения «Ни
одно S не есть Р»
Кванторное слово «ни одно» характеризует
количество, отрицательная связка «не
есть» — качество суждения.

Частноутвердительное
суждение — суждение,
част­ное по количеству и утвердительное
по качеству. Например:

«Некоторые
приговоры суда (S) являются обвинительными
(Р)». Схема этих суждений«Некоторые
S суть Р»
Количе­ство суждений характеризует
кванторное слово «некоторые», качество
— утвердительная связка, выраженная
словом «суть».

Частноотрицательное
суждение —
суждение, частное по количеству и
отрицательное по качеству. Например:

«Некоторые
приговоры суда (S) не являются обвинительными
(Р)». Это суждение имеет схему«Некоторые
S не суть Р»
Кванторное слово «некоторые» указывает
на количество суж­дения, отрицательная
связка «не суть» — на его качество.

В
логике принято сокращенное обозначение
суждений по их объединенной классификации.
Утвердительные сужде­ния обозначаются
двумя первыми гласными буквами латин­ского
слова affirmo («утверждаю»), отрицательные
— гласными буквами латинского слова
nеgо («отрицаю»). В соответствии с этим
суждения обозначаются следующими
буквами: А — общеут­вердительное, Е
— общеотрицательное, I — частноутвердительное,
О—частноотрицательное.

В
символической логике кванторные слова
«все», «ни один», «некоторые» заменяют
знаками, которые называются кванторами: квантором
общности V (перевернутая А — началь­ная
буква немецкого слова «alle» — «все») и
квантором суще­ствования Э (перевернутая
Е — начальная буква немецкого сло­ва
«existieren» — «существовать»).

На
языке логики предикатов сужденияА,
Е, I и О запи­сывают
следующим образом:

Читается:
для всехх, если хприсуще
свойство S, то х присуще
свойство Р

Читается:
ни одному х, которому присуще свойство
S, не присуще свойство Р.

Читается:
существуютх, которым
присуще свойство S и свойство Р.

Читается:
существуютх, которым
присуще свойство S и не присуще свойство
Р.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Термин является распределенным (обозначается знаком «+»), если он взят в полном объеме, то есть речь в нем идет обо всех предметах класса.

Термин является нераспределенным (обозначается знаком «–»), если он взят в части объема, то есть речь идет о части предметов класса.

Рассмотрим распределенность терминов в суждениях объединенной классификации.

Общеутвердительное суждение типа А

Рассмотрим общеутвердительное суждение типа А:

«Все люди смертны».

Субъектом данного суждения является понятие «люди», предикатом – понятие «смертные». Для того чтобы выяснить распределенность терминов в этом суждении, необходимо изобразить отношение между субъектом и предикатом с помощью круговых диаграмм Эйлера.

«Все преступления общественно-опасные деяния».

В новом суждении субъектом является понятие «преступление», предикатом понятие «общественно-опасное деяние». Если изобразить отношение между этими понятиями с помощью кругов Эйлера, то увидим, что их объемы полностью совпадают, поскольку нет преступлений, которые не являются общественно-опасными, и нет общественно-опасных деяний, которые не являются преступлениями.

Вывод: в общеутвердительном суждении

• • объем понятия предиката всегда шире и не распределен, а
  • объем понятия субъекта входит в объем понятия предиката и является распределенным.

Исключения:

1. • выделяющие суждения и определения, в которых объемы понятий субъекта и предиката совпадают, поэтому оба термина являются распределенными.

Частноутвердительное суждение типа J

Частноутвердительное суждение типа J:

«Некоторые студенты успевающие».

Другой пример частноутвердительного суждения:

«Некоторые юристы адвокаты».

В новом суждении субъектом является понятие «юристы», предикатом – понятие «адвокаты».

Поскольку адвокат не юристом быть не может, понятие предиката полностью входит в объем понятия субъекта. В суждении говорится не обо всех юристах, но обо всех адвокатах, поэтому субъект не распределен, предикат распределен.

Вывод:

• в частноутвердительном суждении всегда субъект и предикат частично совпадают, поэтому являются нераспределенными.

Исключение:

• частноутвердительные выделяющие суждения, в которых мыслится: «Некоторые S (и только S) есть Р».

Общеотрицательное суждение типа Е

Рассмотрим общеотрицательное суждение типа Е:

«Ни один человек не живет вечно».

Субъектом данного суждения является понятие «человек», предикатом – понятие «живущий вечно». Поскольку ни один человек не является живущим вечно, и ни один живущий вечно не является человеком, данные понятия не имеют общих элементов.

Весь объем субъекта исключается из всего объема предиката. Оба термина распределены.

Никаких исключений в общеотрицательных суждениях нет.

Частноотрицательное суждение типа О

Частноотрицательное суждение типа О:

«Некоторые студенты не являются успевающими».

Мы уже изображали отношение между понятиями «студент» и «успевающий», но в данном случае необходимо понять, о какой части субъекта говорится в суждении:

• слева — неуспевающие студенты;
• справа – успевающие «не-студенты»;
• область пересечения — успевающие студенты.

В данном же суждении идет лишь о той части студентов, которая не является успевающей.

В приведенном примере часть объема субъекта исключается из всего объема предиката, поскольку в суждении говорится о неуспевающих студентах и ничего не говорится об успевающих. Оба термина распределены.

В частноотрицательных суждениях также нет никаких исключений.

Правила распределенности терминов простого категорического суждения

Правила распределенности терминов простого категорического суждения:

1. 1. Субъект всегда распределен в общем суждении.
   2. Предикат всегда распределен в отрицательном суждении.
   3. В общеутвердительном суждении предикат распределен только тогда, когда совпадает с субъектом.

Термины	А	Е	I	O
S	+	+	—	—
Р	—	+	—	+
Р выделяющих суждений	+	+	+	+

В прошлых уроках рассказывалось о том, как правильно работать с понятиями и определениями. Хотя операции над ними очень важны и встречаются повсеместно, сами по себе они ещё не составляют рассуждений. В этом уроке мы как раз приблизимся к теме того, как правильно рассуждать. Мы будем рассматривать рассуждения на примере силлогистики. Силлогистика – это самая древняя логическая система. Она была изобретена древнегреческим философом Аристотелем в IVвеке до н.э. До сих пор она остаётся одной из самых понятных, приближенных к естественному языку и лёгких для изучения логических систем. Одно из главных её достоинств – возможность применения в повседневных ситуациях без особых усилий.

Содержание:

1. Суждения и высказывания
2. Состав и виды категорических атрибутивных высказываний
3. Условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в традиционной силлогистике
4. Игра «Пересечение множеств»
5. Упражнения
6. Проверочные вопросы на усвоение материала

Суждения и высказывания

Что такое рассуждение? Можно было бы сказать: вывод, умозаключение, размышление, доказательство и т.д. Всё это верно, но, пожалуй, самым очевидным ответом было бы: рассуждение – это последовательность суждений, которые в идеале должны быть связаны между собой согласно правилам логики. Поэтому обучение правильному рассуждению нужно начинать с того, что такое суждения и как ими корректно пользоваться.

Суждение – это мысль об утверждении или отрицании наличия некоторой ситуации в мире.

В естественном языке суждения передаются с помощью повествовательных предложений, или высказываний. Примеры суждений, выраженных в высказываниях: «Пришла осень», «Катя не знает английского языка», «Я люблю читать», «Трава зелёная, а небо голубое». Одно и то же суждение может быть выражено с помощь разных высказываний, в частности: «Небо голубое» и «The sky is blue» – разные высказывания, но суждение они выражают одно и то же, так как они передают одну и ту же мысль. Точно также высказывания «Никто не покидал дома» и «Все оставались дома» разные, но они передают одно суждение.

Поскольку высказывания посредством суждений фиксируют какое-то положение дел в мире, в отличие от понятий и определений, мы можем оценивать их с точки зрения их истинности и ложности. Так высказывание «Бил Гейтс основал компанию “Microsoft”» – истинное, а высказывание «Апельсины фиолетовые» – ложное.

Если вспомнить треугольник Фреге, то высказывание будет находиться на вершине, обозначающей знак, суждение будет составлять его смысл, а истина и ложь – значение.

Существует множество типов суждений и, соответственно, высказываний. Разные логические системы концентрируются на их разных аспектах. Силлогистика работает с так называемыми категорическими атрибутивными высказываниями. Категорические высказывания противопоставляются гипотетическим. Гипотетические высказывания говорят о возможности наличия или отсутствия какой-то ситуации в мире: «Возможно, пойдёт дождь». Категорические высказывания безапелляционно утверждают о том, что какая-то ситуация имеется или не имеется: «Пошёл дождь». Термин «атрибутивный» означает, что эти высказывания говорят о наличии либо отсутствии у предмета или класса предметов некоторого свойства.

Примеры категорических атрибутивных высказываний: «Моя машина синего цвета», «Парк около нашего дома большой», «Никто не любит рыбий жир», «Некоторые люди считают, что они самые умные». Хотя на первый взгляд может показаться, что из-за концентрации именно на категорических атрибутивных высказываниях, применение силлогистики ограничено, это не так. Огромный пласт рассуждений не выходит за рамки подобных высказываний, а потому знания силлогистики оказывается достаточно для того, чтобы научиться размышлять логично и не давать ввести себя в заблуждение.

Состав и виды категорических атрибутивных высказываний

Категорические атрибутивные высказывания состоят из терминов, предицирующих связок и кванторов.

Термины делятся на субъект и предикат.

• Субъект – это термин, обозначающий предмет или группу предметов, о которых нечто утверждается или отрицается. Обычно субъект изображается с помощью буквы S.
• Предикат – это термин, обозначающий собственно то, что утверждается или отрицается о субъекте, некоторое свойство, признак, наличие или отсутствие которого приписывается субъекту. Предикат изображается с помощью буквы P.

Предицирующие связки, как, возможно, вы помните из первого урока, это связки «есть» и «не есть». В естественном языке они могут выражаться с помощью разных слов и конструкций: «есть», «являться», «суть», «это», «выступать», знака тире, глаголов, либо вообще опускаться.

Кванторы – это слова, указывающие на количественные характеристики субъекта. Существует два вида кванторов: квантор общности («все», «каждый», «любой», «ни один», «никто») и квантор существования («некоторые», «не все», «какой-либо», «многие»). Также как и предицирующие связки, кванторы в естественной речи могут опускаться. Мы можем сказать: «Люди равны перед законом», подразумевая, что «Все люди равны перед законом»; или «Дети любят сладкое» – подразумевая, что «Многие дети любят сладкое». Зачастую лучше всего уточнить у вашего собеседника, какой именно квантор он имеет в виду, так как это будет сказываться на условиях истинности его высказываний.

Давайте разберём следующее высказывание: «Кошки мурлычут, когда им приятно». «Кошки» – это субъект, «существа, мурлычущие, когда им приятно» – это предикат. Также здесь присутствует невидимая связка «есть», которая соединяет субъект с предикатом, и невидимый квантор общности «все». Так, если записать это высказывание в соответствии с его логической формой, то получим: «Все кошки есть существа, которые мурлычут, когда им приятно». Благодаря этому примеру становится ясно, что прежде чем определять, истинно высказывание или ложно, нужно выявить его логическую форму и преобразовать исходное высказывание так, чтобы все четыре элемента (квантор, субъект, связка, предикат) были на своих местах.

В зависимости от свойств логических и нелогических терминов, входящих в состав категорических атрибутивных высказываний, их можно разделить на несколько видов.

1. В зависимости от характера субъекта категорические атрибутивные высказывания делятся на единичные и множественные. Если в качестве субъекта выступает имя, то речь идёт о единичном высказывании («Сократ был философом»). Единичные высказывание не имеют квантора перед субъектом.
2. В зависимости от предицирующей связки высказывания делятся на утвердительные и отрицательные. Если утверждается наличие какого-то свойства у субъекта, то высказывание утвердительное («Петя – настоящий друг»), если отрицается – то отрицательное («Ни один студент не пришёл на первую пару!»).

Если мы скомбинируем эти виды между собой, то получается, что всего существует шесть видов категорических атрибутивных высказываний:

• Единичноутвердительные: s есть P. Александр Пушкин – это русский писатель.
• Единичноотрицательные: s не есть P. Сервантес не был художником.
• Общеутвердительные: Все S есть P. Все квартиры в этом доме имеют высокие потолки.
• Общеотрицательные: Ни один S не есть P. Ни один студент из нашей группы не сдал экзамен на пятёрку.
• Частноутвердительные: Некоторые S есть P. Некоторые машины из нашего автопарка нуждаются в срочном ремонте.
• Частноотрицательные: Некоторые S не есть P. Некоторые тексты песен не имеют смысла.

Условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в традиционной силлогистике

Следует начать с того, что традиционная силлогистика накладывает два ограничения на используемые термины, а именно: они должны быть непусты и неуниверсальны, то есть если под термин не подпадает ни один объект из универсума рассмотрения или, наоборот, подпадают все объекты универсума, то они не могут быть предметом рассмотрения. Посмотрим на рисунки:

Первый рисунок изображает ситуацию, когда термин А пуст, поэтому весь квадратик (универсум рассмотрения) остался белым. Второй рисунок показывает случай, когда объём термина А совпадает с объёмом универсума рассмотрения, поэтому весь квадрат заштрихован. Последний рисунок репрезентирует термин А, который является непустым и в то же время неуниверсальным. Заштрихованая область соотвествует объёму А. Традиционная силлогистика работает только с терминами, которые соотвествуют третьему рисунку.

Такое условие ставится для того, чтобы исключить из рассмотрения высказывания, которые невозможно оценить как истинные либо ложные. Возьмём высказывание: «Все дети Ивана лысые». Вроде бы с высказыванием всё впорядке, однако представьте, что у Ивана нет детей. Мы не можем в данном случае просто сказать, что высказывание ложное. Если назвать его ложным, то тем самым мы подразумеваем, что не все дети Ивана лысые, а это не так. В то же время мы не можем сказать, что оно истинное. Выход из этого затруднительного положения состоит как раз в том, чтобы указать на пустоту термина «дети Ивана». Поскольку у Ивана нет детей, этот термин пуст, и мы не можем построить с ним корректное высказывание.

Непустота и неуниверсальность термина будут определяться не только контекстом, но и выбранным универсумом рассмотрения. Если наш квадратик представляет собой универсум живых существ или материально существующих предметов, то, конечно, такие термины как «русалка», «хоббит», «дракон» и т.п. окажутся пустыми, и мы не сможем их рассматривать. Однако, если универсум рассмотрения – это мифологические или сказочные существа, то все эти термины перестают быть пустыми.

То же самое верно и для универсальности. Термин «люди» может рассматриваться как универсальный, что исключает его из области традиционной силлогистики. Однако если мы хотим сказать «Сократ – человек», то в качестве универсума рассмотрения вполне можно взять живых существ. На универсуме живых существ, термин «люди» уже не будет универсальным.

Кроме того, нужно помнить, что субъект и предикат должны задаваться на одном и том же универсуме рассмотрения.

Теперь посмотрим, при каких условиях разные типы категориальных атрибутивных высказываний будут истинными. Для этого советуем ещё раз заглянуть в урок, посвящённый отношениям между понятиями. По большому счёту, субъект и предикат – это термины, представляющие некоторые понятия. Соответственно, если соединить эти понятия в одном предложении с помощью предицирующих связок и кванторов, то, чтобы узнать будут эти предложения истинными или ложными, достаточно посмотреть на диаграммы, иллюстрирующие отношения между этими двумя понятиями. Итак, преступим.

Единичноутвердительные высказывания формы «s есть P» истинны, только если термины s и P находятся в следующем отношении:

Другими словами, единичноутвердительные высказывания истинны, если точка, представляющая собой имя s, находится внутри кружочка, изображающего объём термина P. Например, возьмём высказывание «Лев Толстой проповедовал вегетарианство». «Лев Толстой» – это субъект, имя s. «Человек, проповедующий вегетарианство» – это предикат, термин P. Это высказывание истинно, так как точка s будет входить в объём термина P. Если же взять высказывание «Николай Гоголь – это великий русский композитор», то точка s, представляющая имя («Николай Гоголь»), не будет входить в объём термина P («великие русские композиторы»). Поэтому это высказывание ложно.

Единичноотрицательные высказывания, имеющие форму «s не есть P» истинны, если термины s и P находятся в следующем отношении:

Как видно из рисунка, здесь имеет место ситуация, прямо противоположная условиям истинности единичноутвердительных высказываний. Если точка, представляющая имя s, находится вне объёма термина P, то высказывание истинно. В обратном случае, оно ложно. Пример истинного единичноотрицательного высказывания: «Александр Пушкин никогда не был во Франции». Ложным единичноотрицательным высказыванием будет: «Иван Бунин не получил Нобелевскую премию по литературе».

Общеутвердительные высказывания формы «Все S есть P» истинны, если термины S и P находятся в одном из следующих отношений:

Первый рисунок изображает отношение равнообъёмности, второй – обратного подчинения. Если объёмы двух терминов совпадают (S и P делят один кружочек) или объём термина S полностью входит в объём термина P (кружочек S полностью включается в P), то общеутвердительное высказывание истинно. Если термины S и P находятся в каком-либо другом отношении, то общеутвердительные высказывания не могут быть истинными. В качестве иллюстрации истинных высказываний можно привести: «Все хвойные растения имеют шишки», «Все киты – это млекопитающие». Пример ложных высказываний: «Все политики – обманщики», «Все девушки мечтают выйти замуж за миллионера». В этих примерах термины, обозначающие субъект и предикат, не находятся ни в одном из указанных выше отношений.

Общеотрицательные высказывания, имеющие форму «Ни один S не есть P» истинны, только если термины S и P находятся в следующих отношениях:

На первом рисунке представлено отношение противоречия, а на втором – соподчинения. Как видно, у S и P нет общих элементов, их объёмы не пересекаются. К примеру, истинными будут высказывания: «Ни один павлин не относится к числу певчих птиц», «Ни один человек младше восемнадцати лет не является совершеннолетним в России». Пример ложного высказывания: «Ни один гуманитарий не разбирается в математике». Высказывание ложно, так как термины «гуманитарий» и «люди, разбирающиеся в математике» не находятся ни в отношении противоречия, ни в отношении соподчинения.

Частноутвердительные высказывания формы «Некоторые S есть P» истинны, если термины S и P находятся в следующих отношениях:

Рисунки последовательно представляют отношения: пересечения, дополнительности, подчинения, равнообъёмности и обратного подчинения. С первыми тремя картинками всё должно быть довольно ясно: видно, что объёмы терминов S и P пересекаются, поэтому в области пересечения находятся элементы, которые одновременно обладают и признаком S и признаком P. Примеры истинных высказываний таких типов: «Некоторые актёры хорошо поют», «Некоторые автомобили с ценой ниже миллиона стоят больше шестисот тысяч», «Некоторые грибы съедобны».

Что касается отношений равнообъёмности и обратного подчинения, то может возникнуть вопрос, почему они тоже представляют собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, если на картинках, обозначающих их, чётко видно, что не только некоторые S есть P, но все S есть P. Правда, естественный язык толкает нас к идее, что если некоторые S есть P, то ещё существуют и другие S, которые не есть P: некоторые грибы съедобны, а некоторые несъедобны.

Для логиков такое заключение неверно. Из высказывания «Некоторые S есть P» нельзя вывести заключение, что некоторые S не есть P. Зато из высказывания «Все S есть P» можно заключить, что и некоторые S есть P, потому что если что-то верно относительно всех элементов объёма термина, то оно будет верно и относительно некоторых отдельных элементов. Поэтому в силлогистике слово «некоторые» употребляется в значении «по крайней мере некоторые», но не в значении «только некоторые». Таким образом, из высказывания «Все папоротники размножаются спорами» можно смело вывести и высказывание «Некоторые папоротники размножаются спорами», а из высказывания «Все ученики пятого класса являются пионерами» – высказывание «Некоторые ученики пятого класса являются пионерами».

Частноутвердительные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношении противоречия или соподчинения: «Некоторые тракторы – это самолёты», «Некоторые ложные высказывания истинны».

Частноотрицательные высказывания типа «Некоторые S не есть P» истинны, если термины S и P находятся в следующих отношениях:

Это отношения: пересечения, дополнительности, включения, противоречия и соподчинения. Очевидно, что первые три отношения совпадают с тем, что было верно и для частноутвердительных высказываний. Все они как раз представляют случаи, когда некоторые S есть P, и в то же время некоторые S не есть P. Примеры подобных истинных высказываний: «Некоторые здоровые люди не употребляют алкоголь», «Некоторые наши работники из категории младше сорока ещё не достигли возраста и двадцати пяти», «Некоторые деревья не являются вечнозелёными».

По тем же причинам, по которым отношения равнообъёмности и обратного подчинения представляли собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, отношения противоречия и соподчинения будут верны для частноотрицательных высказываний. Из высказывания, имеющего форму «Некоторые S не есть P» нельзя логично вывести высказывание «Некоторые S есть P». Однако из высказывания «Все S не есть P» можно перейти к высказыванию «Некоторые S не есть P», так как на основании информации, которой мы обладаем обо всех элементах объёмов терминов S и P, можно сделать вывод и об их отдельных представителях. Поэтому верными будут высказывания: «Некоторые журналы не являются книгами», «Некоторые глупцы не являются умными» и т.п.

Частноотрицательные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношениях равнообъёмности и обратного подчинения. Примеры ложных высказываний: «Некоторые рыбы не умеют дышать под водой», «Некоторые яблоки не являются фруктами».

Итак, мы выяснили, при каких условиях высказывания той или иной формы будут истинными и ложными. При этом стало понятно, что не всегда истинность и ложность высказываний с логической точки зрения совпадает с нашими интуитивными представлениями. Иногда одинаковые на первый взгляд высказывания оцениваются совершенно по-разному, так как за ними скрываются разные логические формы и, следовательно, разные отношения между входящими в них терминами. Эти условия истинности важно запомнить. Они пригодятся, когда в следующем уроке мы научимся складывать высказывания в цепочки рассуждений и будем пытаться найти такие формы умозаключений, которые будут всегда правильными.

Игра «Пересечение множеств»

В этом упражнении вам нужно внимательно прочитать текст задания и правильно расположить множества, соответствующие понятиям.

Упражнения

Прочитайте следующие категориальные атрибутивные высказывания. Определите, к какому типу они относятся. С помощью диаграмм покажите, истинны они или ложны.

• Всё действительное разумно, всё разумное действительно.
• Соль – это яд.
• Яд – это соль.
• Все музыканты имеют хороший слух.
• Некоторые музыканты имеют хороший слух.
• Все люди, имеющие хороший слух, – музыканты.
• Некоторые люди, имеющие хороший слух, – музыканты.
• Некоторые вампиры опоздали на работу.
• Волколаки – это разновидность оборотней.
• Все круглые квадраты не имеют углов.
• Никто не любит, когда у него болят зубы.
• Ни один попугайчик не пьёт виски.
• Некоторым не нравится их работа.
• Иван Иванович поссорился с Иваном Никифоровичем.
• Фильмы Тарковского считаются классикой русского кино.
• Достоевский никогда не играл в карты.
• Некоторые куздры совсем не глокие.
• Каждый сотрудник мечтает о повышении.
• Некоторые псы умеют читать.
• Все счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчастлива по-своему.
• Некоторые акулы – это рыбы.
• Некоторые люди не летали на Марс.

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

← 3 Определение5 Законы и противоречия →

Количество и качество суждения

Количество и качество суждения

Если мы поделим суждения и по количеству, и по качеству, мы получим четыре типа суждений. Каждый тип обозначается своей буквой — А, I, E или O.

1. Общеутвердительное суждение. «Все S суть P». Обозначается буквой А (от латинского «affirmo» — утверждаю).

Пример. «Все свиньи суть прожорливы».

2. Частноутвердительное суждение. «Некоторые S суть P». Обозначается буквой I (вторая гласная того же глагола «affirmo», утверждаю).

Пример. «Некоторые свиньи суть прожорливы».

3. Общеотрицательное суждение. «Все S не суть P». Обозначается буквой E (первая гласная латинского «nego» — отрицаю).

Пример. «Все свиньи не суть трудолюбивы».

4. Частноотрицательное суждение. «Некоторые S не суть P». Обозначается буквой О (вторая буква латинского «nego»).

Пример. «Некоторые свиньи не суть трудолюбивы».

Как запомнить эти латинские глаголы — affirmo и nego? С глаголом nego всё понятно — есть старинное русское слово негатив, которое обозначает фотографию с вывернутыми наизнанку (отрицательными) цветами. С глаголом affirmo чуть сложнее. Я предлагаю три варианта запоминания.

Вариант первый — узнать, что в психологии есть такой термин — «аффирмация». Аффирмация — это, грубо говоря, настройка себя на лучшее. Повторение утверждений типа «я — хороший», «я — красивый» или «я — умный перец». Второй вариант — запомнить не глагол, а только буквы «A» и «I», которые складываются в английское слово «AI» — искусственный интеллект. Третий вариант — положить на этот глагол крест и не напрягаться запоминанием дурацких букв. Итак, вот что у нас, вкратце, получается:

А: Все S суть P.

I: Некоторые S суть P.

E: Все S не суть P.

O: Некоторые S не суть P.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Суждения, умозаключения, силлогизмы… или достижения античной логики в одном посте

Когда я учился в школе, мы изучали логику, но сейчас даже в моём любимом лицее её почему-то не преподают. Более того, я узнал, что большинство моих знакомых (даже успешно закончивших вузы) не знают, ни о логическом квадрате, ни о различных модусах. В этом небольшом топике, я постараюсь вкратце рассказать обо всём. Сразу скажу, что гуру дискретной математики вряд ли узнают что-то новое, но остальным должно быть как минимум интересно, а как максимум полезно.

Суждения

Начнём с самых основ. Т.е. с суждений. Если не вводить строгих определений, то в суждениях просто что-либо утверждается или отрицается. В подавляющем большинстве языков суждения строятся по следующей форме S есть P, при этом S называют субъектом суждения, а P предикатом.
Суждения можно делить по множеству критериев. Например, на простые (суждения без логических связок) и сложные. Простые суждения при этом можно делить на атрибутивные (утверждают или отрицают наличие атрибута), экзистенциональные (утверждают или отрицают существование чего-либо) и суждения с отношениями. Другой вариант классификации суждений — это классификация по качеству: утверждения делятся на утвердительные и отрицательные. Наиболее интересной для нас классификацией является классификация по количеству. Её мы рассмотрим чуть подробнее.
• Общеутвердительные суждения вида «все S есть P» называют суждениями типа A.
• Частноутвердительные суждения вида «некоторые S есть P» называют суждениями типа I.
• Общеотрицательные суждения вида «ни одно S не есть P» называют суждениями типа E.
• Частноотрицательные суждения вида «некоторые S не есть P» называют суждениями типа O.
Традиция обозначать суждения буквами AIEO возникла ещё в средние века. Эти гласные взяты из латинских слов affirmo (утверждаю) и nego (отрицаю).

Логический квадрат

Классификация суждений по количеству важна, потому что на её основе был построен знаменитый логический квадрат.

В углах квадрата показаны виды суждений, а на сторонах и диагоналях квадрата указаны отношения между соответствующими суждениями. Эти отношения требуют некоторых пояснений.
Если между суждениями действует отношение подчинения, то об их истинности можно сказать следующее. Если общее суждение истинно, то подчинённые суждения тоже истинны. Если общее суждение ложно, то о частном суждении ничего определенного утверждать нельзя. Если частное суждение истинно, то об общем ничего определённого утверждать нельзя. Если частное суждение ложно, то и общее суждение тоже ложно.
Контрарные суждения могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными.
Субконтрарные суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.
Контрадикторные суждения не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными. Т.е. если одно из контрадикторных суждений истинно, то второе обязательно ложно и наоборот.

Умозаключения

Разобравшись с суждениями, можно перейти к правилам получения новых суждений, т.е. умозаключениям. Начнём с самых простых непосредственных умозаключений.

Простые умозаключения

Превращение

Новое суждение получается путём изменения качества посылки. Для этого необходимо в исходное суждение вставить два отрицания: перед связкой и перед предикатом. На самом деле это очень простое умозаключение по сути оно сводится к следующим превращениям A-E, E-A, I-O,O-I.
Т.е. суждение «некоторые люди талантливы» после превращения станет суждением «некоторые люди не талантливы»(O-I).

Обращение

В обращении новое умозаключение получается после перестановки субъекта и предиката местами. Т.е. суждение «S есть P» превращается в суждение «P есть S». К сожалению, применять эту операция для любых утверждений нельзя, иначе из утверждения «котики — это млекопетающие» мы получили бы «млекопитающие — это котики».
Чтобы обращение было верным, необходимо соблюдать следующие правила:
• Общеутвердительные суждения обращаются в частноутвердительные
• Общеотрицательные суждения обращаются в общеотрицательные суждения
• Частноутвердительные суждения обращаются в частноутвердительные суждения
• Частноотрицательные суждения не обращаются совсем

Противопоставление предикату

Это самая сложная операция, которая по сути является соединением превращения и обращения. На практике это выглядит так: «S есть P» превращается в «не P не есть S». Я специально не буду приводить здесь ограничений, накладываемых на противопоставление предикату, чтобы вы сами могли немного подумать.

Силлогизмы

А мы пока начнём рассматривать силлогизмы. Силлогизмы — это самый популярный тип суждений, в него входят три суждения (две посылки и вывод) и три термина.
Меньшим термином (S) является субъект того суждения, которое получилось в качестве вывода. Больший термин (P) предикат вывода. Средний термин (M) входит в обе посылки, но отсутствует в выводе.
Чтобы силлогизм был корректным, он должен подчиняться трём группам правил: правилам терминов, правилам посылок, правилам фигур.

Правила терминов

• В силлогизме должно быть ровно 3 термина.
• Средний термин должен быть взят в полном объёме хотя бы в одной из посылок.
• Если термин не взят в полном объёме в посылке, то он не может быть взят в полном объёме и в выводе.
Чтобы понять важность этих правил приведу всего один пример: «Некоторые живые существа ядовиты. Котики — это живые существа. Котики ядовиты». Какое из правил нарушено, попробуйте определить сами.

Правила посылок

• Из двух отрицательных посылок не следует никакого вывода.
• Если одна посылка отрицательная, то и вывод должен быть отрицательным.
• Из двух частных посылок не следует никакого вывода.

Правила фигур

Вы помните, что в силлогизме три суждения и три термина? По взаимному расположению терминов в суждениях, силлогизмы можно разделить на 4 класса (фигуры):

Правила фигур:
• У первой фигуры первая посылка должна быть общим суждением, а меньшая утвердительным
• У второй фигуры большая посылка должна быть общим суждением, а меньшая посылка и заключение отрицательными.
• У третьей фигуры меньшая посылка должна быть утвердительным суждением, а заключение частным.
• Четвёртая посылка встречается реже всего, у неё целых два правила: 1. если общая посылка является утвердительным суждением, то меньшая посылка должна быть общим суждением; 2. если одна из посылок отрицательная, то большая посылка должна быть общей.
Опять же нарушения правил фигур приводит к весьма забавным логическим ошибкам: «Все котики пьют воду. Я пью воду. Я котик».
На самом деле силлогизмы можно делить не только по взаимному расположению S,P,M, но и по видам суждений (A,I,O,E), входящих в силлогизм. Нетрудно заметить, что всего возможно 64 различных силлогизма, эти силлогизмы называют модусами. Если применить к модусам все те ограничения и правила, о которых мы говорили, то получится, что логически верных модусов всего 19 и по фигурам они распределены следующим образом:

Если знать эти правила, и пользоваться ими, то можно во-первых, самому не допускать глупых ошибок, а во-вторых, замечать эти ошибки у ваших оппонентов в спорах.
На самом деле, то, что описано в посте, — лишь малая часть достижений античных мыслителей. Мы совсем не говорили ни об энтимемах, ни об эпихейремах, ни о разделительно-категорических силлогизмах, ни о… Да мы почти ни о чём не говорили, но я всё равно надеюсь, что вам было интересно.