Как найти тангенс альфа пополам

Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `frac{alpha}2` через эти ж функции аргумента `alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.

Список всех формул половинного угла

Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:

`sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`
`cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`
`tg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1+cos alpha}=frac {1-cos alpha}{sin alpha}`
`ctg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1-cos alpha}=frac {1+cos alpha}{sin alpha}`

Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `frac{alpha}2`.

Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:

`sin^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}2`
`cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`
`tg^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}`
`ctg^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}`

Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `alpha`.

Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `alpha`, при которых определен `tg frac alpha 2`, то есть при ` alphanepi+2pi n, n in Z`.

Формула котангенса выполняется для тех `alpha`, при которых определен `ctg frac alpha 2`, то есть при ` alphane 2pi n, n in Z`.

С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `alpha` через тангенс половинного угла.

`sin alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alphane pi +2pi n, n in Z`
`cos alpha= frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z`
`tg alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z,` ` alpha ne frac{pi}{2}+ pi n, n in Z`
`ctg alpha = frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{2tgfrac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi n, n in Z,` `alpha ne pi + 2pi n, n in Z`

Вывод формул половинного угла

Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos alpha=1-2 sin^2 frac alpha 2` и `cos alpha=2 cos^2 frac alpha 2-1`. Выразив из первого равенства ` sin frac alpha 2` получим `sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos frac alpha 2` в результате будем иметь `cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`.

Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}` и `ctg frac alpha 2=frac{cos frac alpha 2}{sin frac alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.

В результате будем иметь: `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}` и `ctg frac alpha 2=frac{cosfrac alpha 2}{sin frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}`.

Примеры использования при решении задач

Пример 1. Найти `cos 15^circ`, если известно, что `cos 30^circ=frac{sqrt3}2`.

Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`. Подставив известные значения, имеем `cos^2 15^circ=frac {1+cos 30^circ}2=` `frac{1+frac{sqrt3}2}2=frac{2+sqrt3}4`. Имея значение `cos^2 15^circ`, найдем `cos 15^circ`. Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15^circ=sqrt{frac{2+sqrt3}4}=` `frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.

Ответ. `cos 15^circ=frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.

Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5`, если `cos alpha=frac {1}8`.

Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4sqrt{frac {1+cos alpha}2}+2cos alpha+5=4sqrt{frac {1+frac {1}8}2}+2 cdot frac {1}8+5=` `4sqrt{frac {9}16}+frac{1}4+5=8frac{1}4`.

Ответ. `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5=8frac{1}4`.

Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:

В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.

Материалы по теме:

• Тригонометрические формулы: косинус, синус и тангенс двойного угла
• Формулы понижения степени в тригонометрии: вывод и примеры
• Все формулы по тригонометрии
• Формулы приведения тригонометрических функций

Определение и формулы половинного угла

Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла [frac{alpha}{2}] при помощи тригонометрических функций угла [a].

Дальше в статье, мы рассмотрим доказательства этих формул, а также примеры их решений.

У этих формул есть ещё одно название, их также называют «формулами понижения степени». Причины такого название кроется в том, что в части слева находится вторая степень синуса и косинуса, а в части справа первая, что означает степень понизилась, но не забывайте, что степени снижается, а аргумент удваивается.

Формулы половинного угла: примеры

Давайте рассмотрим основные тригонометрические формулы половинного угла в тригонометрии.

[
sin ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{2}
]

[
cos ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{2}
]

[
tan ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
]

[
cot ^{2} frac{alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha}
]

Формулы, применяемые как для синуса, так и косинуса половинного угла не зависит от заданного значения угла α.  Для тангенса в независимости от угла α определяется следующим видом [tan frac{alpha}{2}], где значение  угла a≠π+2π•z, а значение z равняется любому целому числу. Значение выражения 1+cosα не должно быть равно нулю. Формула котангенса угла будет считаться верной, если любой угол α, где имеет место быть половинный угол α в тригонометрии, принимает следующий вид α ≠2π•z.

Самыми важными тригонометрическими формулами половинного угла являются тригонометрических функций с квадратами, которые могут быть выведены и через положительные, и отрицательное значение арифметического квадратного корня. Получаются следующие формулы половинного угла:

[
frac{sin sin alpha}{2}=pm frac{sqrt{1-cos alpha}}{sqrt{2}}, frac{cos cos alpha}{2}=pm frac{sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{2}}, quad tan frac{alpha}{2}=frac{sqrt{1-cos alpha}}{sqrt{1+cos alpha}}, cot frac{alpha}{2}=frac{sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{1-cos alpha}}
]

Знак «-» свидетельствуют о том, что тригонометрическая функция определяется четвертью угла [frac{alpha}{2}]

Доказательство тригонометрических функций половинного угла

Доказательство тригонометрических формул половинного угла строится на основании формулы косинуса двойного угла [cos alpha=1-2 times frac{alpha}{2}] и [cos alpha=2 times frac{alpha}{2}-1]. Упростим первое выражение по [frac{alpha}{2}], придем к формуле половинного угла в тригонометрии [frac{alpha}{2}=frac{1-cos alpha}{2}], упростим по тому принципу второе выражение [frac{alpha}{2}], получаем выражение [frac{alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{2}].

Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса угла [frac{alpha}{2}] применим основное тригонометрическое тождество:

[
frac{cot ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha} text { и }frac{tan ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
]

В основное тригонометрическое тождество нужно подставить тригонометрические формулы половинного угла косинуса и синуса, доказанные выше. При подстановке получаем выражение следующего вида:

[
frac{tan ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
]

[
frac{cot ^{2} alpha}{2}=frac{frac{alpha}{2}}{frac{alpha}{2}}=frac{frac{1-cos alpha}{2}}{frac{1+cos alpha}{2}}=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha}
]

Посмотрим применение форму тригонометрического половинного угла на решение примеров.

Рассмотрим первое задание.

Найдите cos15°, если известно, что [cos 30^{circ}=frac{sqrt{3}}{2}].

Решение данного задания.

Воспользуемся формулой половинного угла для функции косинус в тригонометрии имеет следующий вид [frac{cos ^{2} alpha}{2}=frac{1+cos alpha}{2}].

Подставим значения, которая известная, в указанную тригонометрическую формулу:

[15^{circ}=frac{1+cos 30^{circ}}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4}]

Так как у нас имеется значение 15°, найдем cos15°. 

Так как угол 15° находится в первой координатной четверти, а косинус там имеет положительное значение, то [cos 15^{circ}=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{sqrt{4}}=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{2}]

Ответ: [cos 15^{circ}=frac{sqrt{2+sqrt{3}}}{2}]

Рассмотрим ещё одно задание.

Необходимо вычислить значение указанного выражения [frac{4 cos alpha}{2}+2 cos alpha+5], где [cos alpha=frac{1}{8}].

Решение:

Нужно использовать  ту же самую формулу, которую применяли в первом примере [frac{cos alpha}{2}=pm frac{sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{2}}]. Подставим значение косинуса, упростим данное выражение:

[
frac{4 sqrt{1+cos alpha}}{sqrt{2}}+2 cos alpha+5=frac{4 sqrt{1+frac{1}{8}}}{sqrt{2}}+2 times frac{1}{8}+5=frac{4 sqrt{9}}{sqrt{16}}+frac{1}{4}+5=8 frac{1}{4}
]

Ответ: [frac{4 cos alpha}{2}+2 cos alpha+5=8 frac{1}{4}].

Применяя формулы тригонометрического половинного угла, нужно учитывать, что угол может быть и нестандартного вида a2 и a, а его нужно будет привести к такому стандартному виду. Главным пунктом является то, что аргумент в правой части должен быть в два раза больше, чем в левой. В противном случае применить формулу не получится.

Если тождество записано в таком виде [7 alpha=frac{1-cos 14 alpha}{2}] или [frac{5 a}{17}=frac{1-frac{cos cos 10 alpha}{17}}{2}], то формулу применять можно.

Для того чтобы научиться правильно преобразовать и применять описанные выше формулы, нужна пристально изучить тему функции тригонометрических выражений. Не каждое выражение поддается преобразованию. И особое внимание нужно обратить на то, что значение углов тригонометрических функций зависит от их нахождения в разных четвертях для определения положительного и отрицательного знака выражения.

tg 112°30ʹ = –1 – √͞͞͞͞͞2.   

Доказать справедливость
равенства

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем левую часть:

а это – правая часть.

Что такое формулы половинного угла в тригонометрии

Перечислим их:

• (sin^2left(fracalpha2right)=frac{1-cosleft(alpharight)}2), где (alpha) — любой угол;
• (cos^2left(fracalpha2right)=frac{1+cosleft(alpharight)}2), где (alpha) — любой угол;
• (tan^2left(fracalpha2right)=frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)}), где (alphaneqmathrmpi+2mathrmpitimesmathrm z)  (z — любое целое число);
• (cot^2left(fracalpha2right)=frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)}), где (alphaneq2mathrmpitimesmathrm z) (z — любое целое число).

Все формулы половинного угла даны для вычисления квадрата функции. Выражение решается до конца с помощью нахождения арифметического квадратного корня, т.е.:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• (sinleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1-cosleft(alpharight)}2});
• (cosleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1+cosleft(alpharight)}2});
• (tanleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)}});
• (cotleft(fracalpha2right)=pmsqrt{frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)}}).

Знак, стоящий перед ответом, обозначает координатную четверть, в которой находится угол (fracalpha2. )

График:

Доказательство формул половинного угла

Данное доказательно основано на формулах косинуса двойного угла:

(cosleft(alpharight)=1-2timessin^2fracalpha2;)

(cosleft(alpharight)=2timescos^2(fracalpha2)-1.)

И основных тригонометрических тождествах:

(tanleft(fracalpha2right)=frac{sinleft({displaystylefracalpha2}right)}{cosleft({displaystylefracalpha2}right)};)

(cotleft(fracalpha2right)=frac{cosleft(fracalpha2right)}{sinleft(fracalpha2right)}.)

Вывод с доказательством через синус, косинус, тангенс и котангенс

Для доказательства формул синуса и косинуса половинного угла используем формулы косинуса двойного угла.

Решим первое равенство относительно (sin^2left(fracalpha2right)) для выведения синуса

Решим второе уравнение относительно (sin^2left(fracalpha2right)) для выведения косинуса.

Перейдем к приведению тангенса и котангенса половинного угла через тригонометрические тождества.

(tan^2left(fracalpha2right)=frac{sin^2left({displaystylefracalpha2}right)}{cos^2left(fracalpha2right)}=frac{displaystylefrac{1-cosleft(alpharight)}2}{displaystylefrac{1+cos(alpha)}2}=frac{1-cosleft(alpharight)}{1+cosleft(alpharight)} )

(cot^2left(fracalpha2right)=frac{cos^2left({displaystylefracalpha2}right)}{sin^2left(fracalpha2right)}=frac{displaystylefrac{1+cosleft(alpharight)}2}{displaystylefrac{1-cos(alpha)}2}=frac{1+cosleft(alpharight)}{1-cosleft(alpharight)})

ЧТД.

Пример задачи с решением

Задача 1

Косинус угла в 30 градусов равен (frac{sqrt3}2.)

Найдите косинус угла в 15 градусов.

Решение

Воспользуемся формулой половинного угла для косинуса. Получим:

(cos^2left(15^circright)=frac{1+cosleft(30^circright)}2=frac{1+{displaystylefrac{sqrt3}2}}2=frac{2+sqrt3}4.)

Угол в 15 градусов находится в первой координатной четверти. Следовательно, его косинус будет являться положительным. 

Ответ:

(cosleft(15^circright)=sqrt{frac{2+sqrt3}4}=frac{sqrt{2+sqrt3}}2.)